6.7用相似三角形解决问题 苏科版初中数学九年级下册同步练习（含解析）

6.7用相似三角形解决问题苏科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，是斜靠在墙上的长梯，梯脚距离墙角，梯上点距墙，长，则梯子长为( )
A. B. C. D.
2.某同学的身高为米，某一时刻他在阳光下的影长为米，与他相邻的一棵树的影长为米，则这棵树的高度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
3.如图，利用标杆测量建筑物的高度．如果标杆高，测得，，则楼高是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，小颖测量一棵树的树高，她测得一根长为的竹竿的影长是，她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上如图，她先测得留在墙壁上的影高为，又测得地面的影长为，请问树高是
( )
A. B. C. D.
5.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆测量物的高度，已知标杆高，
测得，，则建筑物的高是( )
A. B. C. D.
6.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度长为
( )
A. B. C. D.
7.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点，在近岸取点，，，使得，，点在上，并且点，，在同一条直线上．若测得，，，则河的宽度长为
( )
A. B. C. D.
8.如图，在矩形中，，，将沿对角线折叠，点恰好落在点处，与交于点，连接交于点，交于点，下列结论不正确的是( )
A. B. 是等边三角形
C. D.
9.如图，比例规是一种画图工具，它由长度相等的两脚和交叉构成，利用它可以把线段按一定的比例伸长或缩短．如果把比例规的两脚合上，使螺丝钉固定在刻度的地方即同时，，然后张开两脚．使，两个尖端分别在线段的两个端点上，当时，则的长为
( )
A. B. C. D.
10.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“”字高度为，当测试距离为时，最大的“”字高度为( )
A. B. C. D.
11.如图，表示一个窗户的高，和表示射入室内的光线，窗户的下端到地面距离，已知某一时刻在地面的影长，在地面的影长，则高为米．( )
A. B. C. D.
12.九章算术中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水岸，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则古井水面以上深度为( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.已知点，，，的坐标如图所示，是图中两条虚线的交点轴若和相似，则点的坐标是 ．
14.天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度．数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长米，在太阳光下，它的影长为米，同一时刻，祈年殿的影长约为米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约为米 米．
15.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点在同一直线上已知纸板的两条直角边，，测得边离地面的高度，，则树高是 ．
16.如图，小亮同学跳起来把一个排球打在离他米即米远的地上，排球反弹碰到墙上，如果他跳起击球时的高度是米即米，排球落地点离墙的距离是米即米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙面离地的高度的长是___________米．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，道路的正上方挂有一盏路灯，把路灯看成一个点光源，路灯到道路的距离为，晚上，一名身高为的小女孩沿着道路散步，从处径直向前走到达处已知小女孩在处影子的长为，在处影子的长为，求小女孩的身高．
18.本小题分
如图，路灯点距地面米，身高米的小云从距路灯的底部点米的点，沿所在的直线行走米到点时，身影的长度是变长了还是变短了变长或变短了多少米
19.本小题分
小军想出了一个测量建筑物高度的方法：在地面上点处平放一面镜子，并在镜子上做一个标记，然后向后退去，直至站在点处恰好看到建筑物的顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合如图设小军的眼睛距地面，、的长分别为、，求这座建筑物的高度．
20.本小题分
如图，直立在点处的标杆长，站立在点处的观察者从点处看到标杆顶、树顶在一条直线上．已知，，，求树高精确到
21.本小题分
如图，某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：
在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树；
沿河岸直走有一树，继续前行到达处；
从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处时停止行走；
测得的长为米．
根据他们的做法，回答下列问题：
河的宽度是多少米？
请你证明他们做法的正确性．
22.本小题分
某数学兴趣小组要完成一个项目学习，测量凌霄塔的高度如图，塔前有一棵高米的小树，发现水平地面上点、树顶和塔顶恰好在一条直线上，测得米，、之间有一个花圃距离无法测量；然后，在处放置一平面镜，沿后退，退到处恰好在平面镜中看到树顶的像，米，测量者眼睛到地面的距离为米；已知，，，点、、、在同一水平线上请你求出凌霄塔的高度平面镜的大小厚度忽略不计
23.本小题分
小明利用数学课所学知识测量学校门口路灯的高度．如图：为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆．已知路灯悬臂与地面平行，当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点在同一直线上，此时小明发现路灯、标杆顶端和地面上另一点也在同一条直线上路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上这时小明测得长米，路灯的正下方距离路灯主杆底端的距离为米．请根据以上信息求出路灯主杆的高度．
24.本小题分
学完了图形的相似这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量一棵大树的高度，如图，直立在处的标杆米，小爱站在处，眼睛处看到标杆顶，树顶在同一条直线上人，标杆和树在同一平面内，且点，，在同一条直线上已知米，米，米，请根据以上测量数据，帮助实践小组求出该树的高度．
25.本小题分
如图，一电线杆的影子分别落在了地上和墙上同一时刻，小明竖起米高的直杆，量得其影长为米，量得电线杆落在地上的影子长米，落在墙上的影子的高为米请利用小明测量的数据算出电线杆的高．
答案和解析
1.【答案】
【解析】略
2.【答案】
【解析】略
3.【答案】
【解析】解：，
∽，
，即，
米．
故选：．
先证明∽，则利用相似三角形的性质得，然后利用比例性质求出即可．
本题考查了相似三角形的应用：借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高长作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的应用，在解题时要能灵活应用已知条件求出这棵树全落在地面上时的影子的长是本题的关键．
根据题意，可得：树在地面的实际影子长是，进行求解即可．
【解答】
解：如图，设是在地面的影子，树高为，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得：：，而，
，
树在地面的实际影子长是，
可得：：，
，
树高是．
故选C．
5.【答案】
【解析】略
6.【答案】
【解析】【分析】
求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
又对顶角相等，
∽，
，
即，
解得．
故选B．
7.【答案】
【解析】【分析】
求出和相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．
本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例，确定出相似三角形是解题的关键．
【解答】
解：，，
，
又对顶角相等，
∽，
，
即，
解得．
故选B．
8.【答案】
【解析】【分析】
如图，首先运用勾股定理求出的长度，进而求出，此为解决该题的关键性结论；运用翻折变换的性质证明为等边三角形；运用射影定理求出线段、之间的数量关系，进而证明选项B、、成立，选项A不成立
该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、射影定理、三角形的面积公式等几何知识点及其应用问题；
解题的关键是灵活运用矩形的性质、射影定理等几何知识点来分析、判断、推理或解答；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．
【解答】
解：如图，四边形为矩形，
；由勾股定理得：
，而，，
，，
；由翻折变换的性质得：
，，
，，，
，，，
为等边三角形，
故选项B、成立，选项A不成立；
由射影定理得：，
，，
；由题意得：
，
，
故选项D正确；
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是相似三角形的应用，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解即可，体现了数形转化思想的应用．
首先根据题意利用两组对边的比相等且夹角相等的三角形是相似三角形判定相似，然后利用相似三角形的对应边成比例求解．
【解答】
解：，，
：：：，，
∽，
，
．
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由题意可得：∽，
当测试距离为时，最大的“”字高度为，
，
，解得：，
当测试距离为时，最大的“”字高度为；
故选：．
根据条件可得∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查了相似三角形的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，从而完成求解．
11.【答案】
【解析】解：，
，，
∽，
，
，
解得：，
，
故选：．
阳光可认为是一束平行光，由光的直线传播特性可知透过窗户后的光线与仍然平行，由此可得出一对相似三角形，由相似三角形性质可进一步求出的长，即窗户的高度．
本题考查相似三角形性质的应用．解题的关键是找出相似的三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例即可解答．
12.【答案】
【解析】由题意知，
，
米，米，米，
，
解得米故选B．
13.【答案】
【解析】 解：由∽，且轴，，，得．
点的坐标为．
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】【分析】根据相似三角形的判定及性质可得 ，进而可求解．
【详解】解： ，且 ，
，
，即： ，
解得： ，
，
树高 是 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了相似三角形的应用，根据已知条件得出相似三角形是解题的关键．依据题意可得，通过说明，得出比例式可求得结论．
【解答】
解：由题意得：．
，，
，
，
，
即，
米．
故答案为：．
17.【答案】解：小女孩的身高：小女孩的影长路灯的高度：路灯的影长，
当小女孩在处时，∽，即：：，
当小女孩在处时，∽，即：：，
：：，
，
，
经检验：是原方程的根．
：：，
即：：，
解得：．
答：小女孩的身高为米．

【解析】根据在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的光线三者构成的两个直角三角形相似解答．
本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握“在同一时刻物高与影长的比相等”是解题的关键．
18.【答案】如图．，，∽，，即，解得同理，由∽，可得，即，解得，小云身影的长度变短了，变短了米．

【解析】见答案
19.【答案】解：由题意可得：，，
故∽，
则，
小军的眼睛距地面，、的长分别为、，
，
解得：，
答：这座建筑物的高度为．
【解析】直接利用相似三角形的判定与性质得出，进而得出的长．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键．
20.【答案】解：过作交于点，交于点，如图所示：
由已知得，，，，
，
四边形为矩形
，，，
，，
，
∽
答：故树高为米．
【解析】本题考查了相似三角形在实际问题中的运用．
过作交于点，交于点，可证明四边形为矩形，可得的长；可证明∽，故可求得的长，所以树高的长即可知．
21.【答案】解：由数学兴趣小组的做法可知，，
故河宽为米
由题意知，米
又光沿直线传播
在和中，
，
≌，
．
即他们的做法是正确的．
【解析】根据全等三角形对应角相等可得；
利用“角边角”证明和全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
22.【答案】解：，，
，
，
∽，
，
，，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，
∽，
，
即，
解得：，
凌霄塔的高度为米．
【解析】先证明∽，求出的长，再证明∽即可求出答案．
本题考查了相似三角形的应用，正确理解题意是解题关键．
23.【答案】解：过点作于，交于点，
，，
，
，
，
等于的边上的高，
，，，
，
米，米，
，
∽，
，
即，
米，
米，
答：路灯主杆的高度为米．

【解析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而证得相似三角形．
过点作于，交于点，则 ， ，从而得到∽，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式可得的值，即可求解．
24.【答案】解：过作交于点，交于点，
由已知得，，，，
，，
四边形为矩形，
米，米，米，
米，
，，
，
∽，
，
，
解得：，
米，
答：树高为米．
【解析】过作交于点，交于点，可证明四边形为长方形，可得的长；可证明∽，故可求得的长，所以树高的长即可知．
本题考查了相似三角形在实际问题中的运用，关键是正确作出辅助线，构造出相似三角形．
25.【答案】解：过点作于点，
米，米．
，，
又，，
，，
米．
故电线杆的高为米．

【解析】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长的比值相同这个结论．把直角梯形分割成一个直角三角形和一个矩形，由于太阳光线是平行的，构造出相似三角形，利用相似三角形的性质求解可得．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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