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6.4探索三角形相似的条件苏科版初中数学九年级下册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，小正方形的边长均为，则图中三角形阴影部分与相似的是( )
A. B. C. D.
2.如图，已知是正三角形，点是边上一动点不与，重合，以为边作正三角形，边与边交于点，则图中一定相似的三角形有
( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
3.如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点，，都在横线上．若线段，则线段的长是( )
A. B. C. D.
4.如图，已知是正三角形，点是边上一动点不与、重合，以为边作正三角形，边与边交于点，则图中一定相似的三角形有
( )
A. 对 B. 对 C. 对 D. 对
5.如图，下列条件中不能判定∽的是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在中，点是边上一点不与，两点重合，下列条件：其中能使∽的个数为
( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，在边上，：：，点是的中点，连接并延长交于点，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
8.如图，在中，在边上，，是的中点，连接并延长交于，则( )
A. B. C. D.
9.如图，已知，那么添加一个条件后，仍不能判定与相似的是
( )
A. B. C. D.
10.如下图，在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，直线、相交于点，连接则下列结论中：∽；；；面积的最大值为其中正确的有
( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11.如图，点，分别在的，边上，增加下列条件中的一个：，，，，，使与一定相似的有( )
A. B. C. D.
12.如图，，要使∽，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13.如图，点，分别在的，边上．只需添加一个条件即可证明∽，这个条件可以是 写出一个即可
14.如图，直线，交于点，若，，则的值为 ．
15.如图，点、是边、上的点，：：，连接、，交点为，：：，那么的值是____．
16.如图，是的中线，是的中点，的延长线交于点，那么______．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，．
求证：∽；
求的周长．
18.本小题分
如图，在中，，是的高，是的中点，、的延长线相交于点．与相似吗？为什么？
19.本小题分
如图，线段是线段绕点逆时针旋转后得到的图形旋转角小于．
用直尺和圆规作点保留作图痕迹，不写作法；
连接、、、、、，求证：∽．
20.本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．和的顶点都在边长为的小正方形的格点上．
则__________，__________；
判断与是否相似．若相似，请说明理由．
21.本小题分
如图，在中，点在边上，点在边的延长线上，且，与交于点．
求证：；
若，，求的长．
22.本小题分
如图，的高，相交于点．
写出一个与相似的三角形不添加其他线段，这个三角形是______；
证明：
23.本小题分
如图，在中，是上一点，且，，是上的点，且，，求的长．
24.本小题分
如图，在与中，，且．
求证：∽．
25.本小题分
如图，在中，，，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点从点开始沿边向点以每秒的速度移动，点，分别从点，同时出发，且当一点到达终点时，另一点也停止运动．
经过多少秒，可使的面积等于？
经过多少秒，与相似？
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了网格中相似三角形的判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法，勾股定理是解题的关键．
设小正方形的边长为，根据已知，利用勾股定理可求出三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
【解答】
解：小正方形的边长均为
由勾股定理得出三边分别为，，；
同理：中各边的长分别为：，，；
中各边长分别为：，，；
中各边长分别为：、，；
中各边长分别为：，，；
只有项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为，
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
见答案
【解答】
见答案
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是平行线分线段成比例过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，根据平行线分线段成比例解答即可．
【解答】
解：过点作平行横线的垂线，交点所在的平行横线于，交点所在的平行横线于，
则，即，
解得：．
4.【答案】
【解析】题图中的相似三角形有∽，∽，∽，∽，∽，共对．
理由：和是正三角形，
，
∽，
易得，又，
∽，
，又，
∽，
∽，
，，
∽．
综上，共有对相似三角形故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是相似三角形的判定的有关知识，直接利用相似三角形的判定定理对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：．，，
∽，故本选项不符合题意
B.，添加，不能推出∽，故本选项符合题意
C.，，
∽，故本选项不符合题意
D.，
，
，
∽，故本选项不符合题意
故选：．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键．
由是公共角，根据有两组角对应相等的两个三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定与相似，即可得出结果．
解：是公共角，
当时，∽有两组角对应相等的两个三角形相似
当时，∽有两组角对应相等的两个三角形相似
当时，即，∽两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．
当时，不是夹角，则不能判定与相似
能够判定与相似的条件是：．
故选：．
7.【答案】
【解析】解：如图，过点作，交于点，
点是的中点，
点是的中点．
又：：，
，
：：，
：：，
：：
设，，又点是的中点，
，，
：：，
，，
，，
故选：．
过点作的平行线交于点，由中位线的知识可得出，根据已知和平行线分线段成比例得出，：：，：：，再由同高不同底的三角形中底与三角形面积的关系可求出：的比．
本题考查平行线分线段成比例及三角形的中位线的知识，难度较大，注意熟练运用中位线定理和三角形面积公式．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．过分点作平行线构建平行线分线段成比例定理的基本图形是解决问题的关键．作交于，如图，利用得到，所以，利用得到
，所以，然后计算：．【解答】
解：作交于，如图，
，
，
即，
，
，
，
：：：．
故选B．
9.【答案】
【解析】解：
，，都可判定∽
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似，
故选：．
根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．
此题考查了相似三角形的判定：
如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形，三角形的外角性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积问题，熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．根据相似三角形的判定定理即可证明∽；根据三角形的外角性质可证明，根据、、、四点共圆，可证明；根据面积的最大时，底边对应的高最大为，即可判断正误．
【解答】
解：如图：
在中，，，将绕点沿顺时针方向旋转后得到，
，，
，
又旋转，
，
∽；正确；
∽，
，
；正确；
由，可知、、、四点共圆，
由圆内接四边形性质知，
则，即．
故正确
以作底边，则到距离为高，设高为，
当最大时，面积才最大．
A、、、四点共圆，且，
故AB为此圆直径，当垂直通过圆心的时候，最大，
此时，
则面积的最大值为，错误，
正确的有个，
故选C．
11.【答案】
【解析】【试题解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．由两角相等的两个三角形相似得出正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出正确；即可得出结果．
【解答】
解：，，
∽，正确；
，，
∽，正确；
，，
∽，正确；
由，或不能证明与相似．
故选A．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，
A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽，故此选项不合题意；
B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽，故此选项不合题意；
C、添加可利用两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可得∽，故此选项不合题意；
D、添加不能证明∽，故此选项符合题意；
故选：．
根据可得，再结合相似三角形的判定方法进行分析即可．
此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握相似三角形的判定方法：平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
13.【答案】或或
【解析】【分析】由已知得到是公共角，只需添加另一组角相等过夹角的两条边成比例即可．
【详解】，
当或时， ∽ ；
当 时， ∽ ；
故答案为：或或 ．
【点睛】此题考查相似三角形的判定定理，熟记定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而．
【详解】，，，
，
，
，
，
；
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是平行线分线段成比例的有关知识，过作，交于，依据平行线分线段成比例定理，即可得到：：，：：，由此分别用表示出和，进而可得的值．
【解答】
解：如图所示，过作，交于，
：：：，：：：，
即，，
，
16.【答案】
【解析】解：作交于点，
，是的中线，
，
，是中点，
，
，
：：，
故答案为：．
作交于点，根据平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理，进而得到，即可得到答案．
本题考查的是平行线分线段成比例定理、三角形的中位线定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
17.【答案】证明：是的切线，
，
，
，
，
，
，
又，
∽；
，，，
，，
，，
，
，
的周长．
【解析】由切线的性质可得，由外角的性质可得，由等腰三角形的性质得，从而可得，，可得结论；
由直角三角形的性质可得，，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定，切线的性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质进行推理是关键．
18.【答案】解：与相似．
，是的高，
，
．
在中，
是的中点，
．
．
又，
．
在和中，
，，
两角分别相等的两个三角形相似．
【解析】在和中，是公共角，如果或，那么这两个三角形就相似．
19.【答案】解：如图，点即为所求．
证明：连接、、、、、，
线段为线段绕点逆时针旋转后的图形，
，，．
．
∽．
【解析】本题考查了相似三角形的判定、作图复杂作图、旋转的性质，解决本题的关键是掌握作旋转中心的方法．
找旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为所求；
结合根据相似三角形的判定方法即可证明．
20.【答案】解：如图，令 的正方形顶点分别为 ， ， ， ，
由题意得 为边长为的小正方形的对角线，
，
，
由图可知， 是 的斜边， ，
．
解：判断： ，
解法一：
证明： 为边长为的小正方形的对角线， 为边长为的小正方形的对角线，
， ，
由图可得 是 的斜边， ，
，
又 ， ，
，
，
．
解法二：
证明： 为边长为的小正方形的对角线， 为边长为的小正方形的对角线，
， ，
又 ， ，
，
，
， 都是正方形的对角线，
，
，
．
【解析】【分析】本题考查了正方形对角线的性质，勾股定理解三角形及相似三角形的判定．
根据正方形对角线性质，每条对角线平分一组对角，得到 的度数，再根据邻补角定义即可得到 的度数；利用勾股定理，即可求出 的值，构造 利用勾股定理，是解题关键；
方法一：根据正方形对角线长度等于正方形边长的 倍，可求出对角线 ， 的值，然后通过构造 ，利用勾股定理可求出 的值，由此即可得到 和 三边的值，根据相似三角形的判定“三边对应成比例，两三角形相似”，即可证得结论；方法二：同方法一先求出 ， 的值，由可得到 的值，同理可求出 的值，已知 ， 的值，然后根据相似三角形判定“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，即可证得结论，熟练掌握以上相似三角形的判定是解题关键．
21.【答案】解：
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
；
四边形是平行四边形，
，
，
∽，
，
．
【解析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．
解答本题的关键是根据平行四边的判定与性质，即可证得；
解答本题的关键是根据相似三角形的判定与性质，可得，由此即可求得的长度．
22.【答案】 ， ， 写出一个即可
证明见解析
【解析】【详解】解： ， ， 写出一个即可
证明： 的高，相交于点，
23.【答案】解：，
，
，
，
，
，
，
．
【解析】本题考查平行线分线段成比例，解题的关键是根据题中的给出的平行线列出比例式，本题属于基础题型由可知，故可求出的值，由可知，故可求出的长度．
24.【答案】证明：，
，
，
，
．
【解析】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定根据相似三角形的判定即可求出答案．
25.【答案】解：设经过秒，的面积等于，
由题意得，，，则，
的面积等于，
，
解得，，，
答：经过秒或秒，的面积等于；
设经过秒，与相似，
当∽时，，
即，
解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
当∽时，，
即，
解得，，
经检验，是原方程的解，且符合题意；
答：经过秒或秒，与相似．
【解析】设经过秒，的面积等于，分别表示出和，建立方程求解即可；
根据题意进行分类讨论即可．
本题考查一元二次方程的实际应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握求解方程及相似三角形的性质是解题关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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