卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年浙江省宁波市余姚市八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，6）所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（3分）若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm
4．（3分）画△ABC的高BE，以下画图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（3分）下列语言叙述是命题的是（ ）
A．画两条相等的线
B．等于同一个角的两个角相等吗？
C．延长线段AO到C，使OC＝OA
D．两直线平行，内错角相等
6．（3分）已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（ ）
A．13cm B．17cm
C．13cm或17cm D．18cm
7．（3分）如果点P（m﹣1，4﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞2 C．2＞m＞1 D．m＜2
8．（3分）已知A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
9．（3分）如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0）
C．（299，0） D．（100，0）
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是CA延长线上一点，OP＝OB，下面的结论：①∠APO﹣∠OBD＝30°；③AB﹣AP＝AO；④S四边形AOBP＝4S△BOD，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，是象棋盘的一部分，若“帅”位于点（2，﹣1）上（4，﹣1）上，则“炮”所在的点的坐标是 ．
12．（4分）若a的3倍与2的差是负数，则可列出不等式 ．
13．（4分）一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 ．
14．（4分）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 ．
15．（4分）如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组 ．
16．（4分）如图，以长方形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB＝3，点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，记为点F．若线段AF沿y轴正半轴向上平移，得到线段A'F'，则F'的坐标是 ．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）解一元一次不等式组．
18．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）作出△ABC向左平移5个单位后得到的△A1B1C1．
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2．
（3）若点P是x轴上的一个动点，直接写出使△PAB周长最小时点P的坐标．
19．（6分）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝9，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＝时，求函数y的值；
（3）当﹣3＜y≤2时，求自变量x的取值范围．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别交BC、AC于点D、E，点F在BC的延长线上
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）连接AD，当AD⊥BC，BC＝8，求△DEF的周长．
21．（8分）如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上．
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长．
22．（10分）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，该校有几种购买方案？
（3）上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
23．（10分）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由．
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）．
（3）如图，△ABC中，BC＝2，且．若△BCD是平方倍三角形，求△ABC的面积．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点x+12与x轴交于点A，与y轴交于点Bx+6交于点P．点C为直线y＝x+6与x轴的交点．
（1）求点P的坐标．
（2）点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，点N，设点Q的横坐标为m．
①求线段MN的长（用含m的代数式表示）．
②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值．
（3）过点P作PH⊥y轴于点H，点E在射线PH上且不与点P重合，点F在射线CP上，连结BE，BF，请直接写出最小值；如果不存在
2022-2023学年浙江省宁波市余姚市八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，下列历届亚运会会徽是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：A选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
B选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C选项不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D选项是轴对称图形，故该选项符合题意；
故选：D．
2．（3分）在平面直角坐标系中，点P（﹣3，6）所在象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解答】解：∵﹣3＜0，2＞0，
∴点P（﹣3，5）所在象限为第二象限．
故选：B．
3．（3分）若一个三角形的两边长分别为3cm和5cm，则此三角形的第三边长可能为（ ）
A．1cm B．2cm C．5cm D．8cm
【答案】C
【解答】解：设第三边长为c，根据三角形的三边关系可得：
5﹣3＜c＜2+3，
解得：2＜c＜2，
故此三角形的第三边长可能为5cm．
故选：C．
4．（3分）画△ABC的高BE，以下画图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：画△ABC的高BE，即过点B作对边AC所在直线的垂线段BE，
故选：D．
5．（3分）下列语言叙述是命题的是（ ）
A．画两条相等的线
B．等于同一个角的两个角相等吗？
C．延长线段AO到C，使OC＝OA
D．两直线平行，内错角相等
【答案】D
【解答】解：A、画两条相等的线，不是命题；
B、等于同一个角的两个角相等吗，不是命题；
C、延长线段AO到C，没有做错判断；
D、两直线平行，是命题；
故选：D．
6．（3分）已知一个等腰三角形的一边长等于3cm，一边长等于7cm，那么它的周长为（ ）
A．13cm B．17cm
C．13cm或17cm D．18cm
【答案】B
【解答】解：分两种情况：
当腰为3时，3+3＜7；
当腰为7时，3+7＞7，周长是：5+7+7＝17．
故选：B．
7．（3分）如果点P（m﹣1，4﹣2m）在第四象限，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞1 B．m＞2 C．2＞m＞1 D．m＜2
【答案】B
【解答】解：∵点P（m﹣1，4﹣3m）在第四象限，
∴，
解不等式①得，m＞2，
解不等式②得，m＞2，
所以不等式组的解集是：m＞2，
所以m的取值范围是：m＞2．
故选：B．
8．（3分）已知A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣3x+b的图象上三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1
【答案】C
【解答】解：∵A（﹣，y8）、B（﹣，y6）、C（1，y3）是一次函数y＝﹣6x+b的图象上三点，
∴y1＝1+b，y5＝+b，y7＝﹣3+b．
∵﹣3+b＜3+b＜+b，
∴y2＜y1＜y2．
故选：C．
9．（3分）如图，直线OA的解析式为y＝x，点P1坐标为（1，0），过P1作PQ1⊥x轴交OA于Q1，过Q1作P2Q1⊥OA交x轴于P2，过P2作P2Q2⊥x轴交OA于Q2，过Q2作P3Q2⊥OA交x轴于P3，…，按此规律进行下去，则P100的坐标为（ ）
A．（2100﹣1，0） B．（5050，0）
C．（299，0） D．（100，0）
【答案】C
【解答】解：∵直线OA的解析式为y＝x，
∴∠AOP1＝45°，
∵P1Q3⊥x轴，
∴△OP1Q1为等腰直角三角形，
∵点P5坐标为（1，0），
∴P4Q1＝OP1＝4，
∵P2Q1⊥OA，
∴∠P5Q1P2＝45°，
∴△P6P2Q1为等腰直角三角形，
∴P6P2＝P1Q6＝1，
∴P2（3，0），
同理可得P3（8，0），P4（6，0），Pn（2n﹣6，0），
∴P100（299，4），
故选：C．
10．（3分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是CA延长线上一点，OP＝OB，下面的结论：①∠APO﹣∠OBD＝30°；③AB﹣AP＝AO；④S四边形AOBP＝4S△BOD，其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解答】解：如图，设AB交OP于点J．
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∴OB＝OC，
∵OP＝OB，
∴OP＝OC＝OB，
∴∠OPC＝∠OCP＝∠ACB+∠OCB，∠OCB＝∠OBC，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴∠OPC＝30°+∠OCB＝30°+∠OBC＝∠ABO，故①正确，
∵∠AJP＝∠BJO，
∴∠POB＝∠PAJ＝60°，
∵OP＝OB，故②正确，
延长AO到T，使得AT＝AB，
∵∠BAT＝60°，
∴△ABT是等边三角形，
∵∠ABT＝∠PBO＝60°，
∴∠PBA＝∠OBT，
在△PBA和△OBT中，
，
∴△PBA≌△OBT（SAS），
∴PA＝OT，
∴AB＝AT＝AO+OT＝OA+PA，
∴AB﹣AP＝AO，故③正确，
∴S△PBA＝S△BOT，
∴S四边形AOBP＝S△ABT＝定值，
∵△BOD的变化的，
与S四边形AOBP＝S△ABT＝定值矛盾
故④错误，
故选：C．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）如图，是象棋盘的一部分，若“帅”位于点（2，﹣1）上（4，﹣1）上，则“炮”所在的点的坐标是 （﹣1，2） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
“炮”所在的点的坐标是（﹣1，2）．
故答案为：（﹣4，2）．
12．（4分）若a的3倍与2的差是负数，则可列出不等式 3a﹣2＜0 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：3a﹣2＜7，
故答案为：3a﹣2＜7．
13．（4分）一个三角形的三边长分别为6，8，10，则这个三角形最长边上的中线为 5 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵三角形的三边长分别为6，8，106+82＝108，
∴此三角形为直角三角形，则10为直角三角形的斜边，
∵三角形斜边上的中线是斜边的一半，
∴三角形最长边上的中线为5．
故答案为：5．
14．（4分）等腰三角形的一个内角是80°，则它顶角的度数是 80°或20° ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：当80°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是80°；
当80°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°﹣80°×2＝20°．
故答案为：80°或20°．
15．（4分）如图，一次函数y＝﹣x﹣2与y＝2x+m的图象相交于点P（n，﹣4），则关于x的不等式组 ﹣2＜x＜2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x﹣2的图象过点P（n，﹣4），
∴﹣3＝﹣n﹣2，解得n＝2，
∴P（7，﹣4），
又∵y＝﹣x﹣2与x轴的交点是（﹣2，0），
∴关于x的不等式2x+m＜﹣x﹣4＜0的解集为﹣2＜x＜5．
故答案为﹣2＜x＜2．
16．（4分）如图，以长方形ABCD的相邻边建立直角坐标系，AB＝3，点E是边CD上一点，将△ADE沿着AE翻折，记为点F．若线段AF沿y轴正半轴向上平移，得到线段A'F'，则F'的坐标是 （4，2）或（4，3）或（4，） ．
【答案】（4，2）或（4，3）或（4，）．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝CB＝5，AB＝DC＝3，
由折叠对称性：AF＝AD＝4，EF＝DE，
在Rt△ABF中，BF＝，
如图，由平移可知：AF∥A′F′，
∴四边形AA′F′F是平行四边形，
∴AA′∥FF′，AA′＝FF′，
∴FF′⊥BC，
如图，过点F'作F'H⊥AB于H，
∴∠F′HB＝∠F′FB＝∠ABC＝90°，
∴四边形HBFF′是矩形，
∴FH′＝BF＝4，
∴F′的横坐标为4，
分三种情况讨论：
若A'O＝A'F'＝OC＝7，
∴A'H＝＝＝3，
∴OH＝A′O﹣A′H＝2，
∴F'的坐标是（2，2）；
若OF'＝F'A'＝5，
∵F'H⊥AB，F'H＝4，
∴A'H＝OH＝3，
∴F'的坐标是（4，5）；
若A'O＝OF'，
在Rt△OHF中，OF'2＝OH2+HF'7，
设AA′＝m，
∴FF′＝OH＝AA′＝m，
∴A'O＝OF'＝m+3，
∴（m+3）6＝m2+16，
解得：m＝，
∴F'的坐标是（4，）；
综上所述，若△OA'F'是等腰三角形，2）或（4，），
故答案为：（4，8）或（4，）．
三、解答题（本大题有8小题，共66分）
17．（6分）解一元一次不等式组．
【答案】3＜x≤16．
【解答】解：，
由①得：x＞4，
由②得：x≤16，
则原不等式组的解集为3＜x≤16．
18．（6分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）作出△ABC向左平移5个单位后得到的△A1B1C1．
（2）作出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2．
（3）若点P是x轴上的一个动点，直接写出使△PAB周长最小时点P的坐标．
【答案】（1）见解答．
（2）见解答．
（3）（2，0）．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C4即为所求．
（2）如图，△A2B2C3即为所求．
（3）如图，连接A2B，交x轴于点P，
此时AP+BP的值最小，
∴AP+BP+AB的值最小，
即△PAB周长最小，
∴点P的坐标为（2，2）．
19．（6分）已知y是x的一次函数，且当x＝﹣4时，y＝9，y＝﹣1．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＝时，求函数y的值；
（3）当﹣3＜y≤2时，求自变量x的取值范围．
【答案】（1）y＝﹣x+5；
（2）；
（3）3≤x＜8．
【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b，
把x＝﹣4，y＝9，y＝﹣7分别代入得，
解得，
∴一次函数解析式为y＝﹣x+5；
（2）当x＝时，y＝﹣x+5＝﹣；
（3）当y＝﹣3时，﹣x+5＝﹣3；
当y＝8时，﹣x+5＝2，
∴当﹣2＜y≤2时，自变量x的取值范围为3≤x＜8．
20．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别交BC、AC于点D、E，点F在BC的延长线上
（1）求证：△CEF是等腰三角形；
（2）连接AD，当AD⊥BC，BC＝8，求△DEF的周长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵ED∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝EC，
∵CF＝DE，
∴CE＝CF，
∴△CEF是等腰三角形；
（2）连接AD，当AD⊥BC时，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD＝BC＝6，
∵△DEF周长＝DE+DF+EF，
DE＝CE，DF＝CF+CD，
∴△DEF的周长＝CE+EF+CD+CF＝△DEF周长+CD＝16+4＝20．
21．（8分）如图，△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，CA＝CB，△DCE的顶点D在△ABC的斜边AB上．
（1）连结AE，求证：△ACE≌△BCD．
（2）若BD＝1，CD＝3，求AD的长．
【答案】（1）证明过程见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：∵△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，
∴∠ACD＝∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠CBD＝∠CAE＝45°，
又∵∠CAB＝45°，
∴∠DAE＝∠CAB+∠CAE＝90°．
在Rt△ADE中，由勾股定理可知AD2+AE2＝DE2，
在Rt△CDE中，ED2＝DC2+EC7＝2DC2，
∴AD＝＝＝．
22．（10分）在我市中小学标准化建设工程中，某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元．
（1）求每台电脑、每台电子白板各多少万元？
（2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不超过30万元，该校有几种购买方案？
（3）上面的哪种方案费用最低？按费用最低方案购买需要多少钱？
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元
解得：，
答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元．
（2）设需购进电脑a台，则购进电子白板（30﹣a）台，
则，
解得：15≤a≤17，即a＝15、17．
故共有三种方案：
方案一：购进电脑15台，电子白板15台；
方案二：购进电脑16台，电子白板14台；
方案三：购进电脑17台，电子白板13台．
（3）方案一：总费用为15×0.5+1.5×15＝30（万元）；
方案二：总费用为16×7.5+1.6×14＝29（万元），
方案三：17×0.5+6.5×13＝28（万元），
∵28＜29＜30，
∴选择方案三最省钱，即购买电脑17台．需要28万元．
23．（10分）定义：若一个三角形存在两边平方和等于第三边平方的3倍，则称此三角形为“平方倍三角形”．
（1）若一个三角形的三边长分别是，和2，这个三角形是否为平方倍三角形？请你作出判断并说明理由．
（2）若一个直角三角形是平方倍三角形，求该直角三角形的三边之比（结果按从小到大的顺序排列）．
（3）如图，△ABC中，BC＝2，且．若△BCD是平方倍三角形，求△ABC的面积．
【答案】（1）这个三角形是“平方倍三角形”．理由见解答过程；
（2）a：b：c＝1：1：；
（3）2或2．
【解答】解：（1）结论：这个三角形是“平方倍三角形”．理由如下：
∵（）2+23＝15，3×（）5＝15，
∴（）2+28＝3×（）6，
∴这个三角形是“平方倍三角形”．
（2）设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
∵△ABC为“平方倍三角形”．
∴a2+b2＝c6，且c2+a2＝3b2，
∴2a3+b2＝3b6，
∴b＝a，
∴c＝a，
∴a：b：c＝1：2：．
（3）∵CD为△ABC的中线，，，
∴∠B＝∠DCB，∠A＝∠DCA，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠ACB＝90°，
∴AB2＝AC2+BC2＝AC4+4，AC2＝AB7﹣4，
∵△BCD是平方倍三角形，
∴当AD＝BD＝DC，CD2+BD3＝3×28时，
解得：BD＝DC＝，
则AB＝2，
故AC＝＝＝2，
则△ABC的面积为：×6×2；
当AD＝BD＝DC，CD2+BC2＝5×BD2时，
解得：BD＝DC＝，
则AB＝8，
故AC＝2，
则△ABC的面积为：×2×7＝2．
故△ABC的面积为2或2．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点x+12与x轴交于点A，与y轴交于点Bx+6交于点P．点C为直线y＝x+6与x轴的交点．
（1）求点P的坐标．
（2）点Q是线段CA上的一个动点（点Q不与点C，A重合），过点Q作平行于y轴的直线l，分别交直线AB，点N，设点Q的横坐标为m．
①求线段MN的长（用含m的代数式表示）．
②当点Q，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点，请求出m的值．
（3）过点P作PH⊥y轴于点H，点E在射线PH上且不与点P重合，点F在射线CP上，连结BE，BF，请直接写出最小值；如果不存在
【答案】（1）点P的坐标为（4，9）；
（2）①MN＝|m﹣6|；
②m＝0或8；
（3）BE+BF存在最小值，最小值＝3．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+12与直线y＝，
∴联立方程组：，解得：，
∴点P的坐标为（3，9）；
（2）①点Q的横坐标为m，
∵MN∥y轴，
∴点Q，M，N三点横坐标都为m，
∴点M坐标为（m，﹣m+12），m+5），
∴MN＝|m+7+m﹣6|；
②当x＝m时，Q（m，
∴点M坐标为（m，﹣m+12），m+6），
∴QM＝|﹣m+12|＝|，QN＝|，
由①知MN＝|m﹣6|，
第一种情形：点N是QM的中点时，MN＝QN，
|m﹣6|＝|，
解得：m＝0或16（舍去）；
第二种情形：点M是QN的中点时，MN＝QM，
|m﹣6|＝|，
解得：m＝8或﹣8（舍去）；
综上，m＝6或8；
（3）BE+BF存在最小值，
在CA上取点G，使得CG＝BP，
∵直线y＝﹣x+12与x轴交于点A，点C为直线y＝，
∴C（﹣6，0），0），12），3），
∵点P的坐标为（4，9），
∴点H坐标为（4，9），
∴PH垂直平分BD，
∴PB＝PD＝CG＝5，∠HPC＝∠HPB，
∴G（﹣6，0），
∵PH∥AC，
∴∠FCG＝∠HPD＝∠HPB，
∵CG＝BP，PE＝CF，
∴△BPE≌△GCF（SAS），
∴BE＝FG，
∴BE+BF＝FG+BF，
当FG+BF最小，即B、F，BE+BF最小，
此时最小值＝＝3．
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