卷子答案网-一个不只有答案的网站人教B版（2019）必修第一册《2.2.4 均值不等式及其应用》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）下列函数中，最小值为的是
A. B. ，
C. ， D.
2.（5分）已知，则的最小值是
A. B. C. D.
3.（5分）当，为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是
A. B. C. D.
4.（5分）若正实数，满足，则的最大值是
A. B. C. D.
5.（5分） 已知，，，则的最大值为
A. B. C. D.
6.（5分）已知，，则的最小值为
A. B. C. D.
7.（5分）已知向量，，若，则的最小值为
A. B. C. D.
8.（5分）若，，，则的最小值是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）设正实数，满足，则
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
10.（5分）设为正实数，且满足，下列说法错误的是
A. 的最大值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最大值为
11.（5分）设，且，则的可能的值是
A. B. C. D.
12.（5分）设，，且，则下列结论正确的是
A. 有最小值 B. 有最大值
C. 有最大值 D. 有最小值
13.（5分）已知，，，则下列说法正确的是
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）函数的最大值为______．
15.（5分）设，，，，若，，则的最大值为_________.
16.（5分）若直线过点，则的最小值为______．
17.（5分）已知，求函数的最小值是______．
18.（5分）［核心素养·数学建模］用一根长为12m的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的宽为________m.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知正实数，满足，求的最小值．
20.（12分）已知中，角，，所对的边分别为，，，且
求的值；
若，求面积的最大值．
21.（12分）已知直线：经过点，求满足下列条件的的方程：
取最小值；
取最小值.
22.（12分）已知，，且
求的最大值；
求的最小值．
23.（12分）已知函数
求不等式的解集；
设函数的最小值为，若，，，且，求证：
答案和解析
1.【答案】C;
【解析】解：在中，当时，，
当且仅当时，取等号；
当时，，
当且仅当时，取等号．故A错误；
在中，，，
，
当且仅当，即时，取等号，
由，知的最小值不为故B错误；
在中，，，，
当时，取最小值为，故C正确；
在中，，
当且仅当，即时取等号，
，的最小值不是，故D错误．
故选：．
在中，当时，；当时，；在中，由，知的最小值不为；在中，当时，取最小值为；在中，由，得的最小值不是．
该题考查函数的最小值的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意均值不等式的性质的合理运用．
2.【答案】A;
【解析】此题主要考查了基本不等式求最值．
注意把握好一定，二正，三相等的原则，利用题设中的等式，把的表达式转化成展开后，利用基本不等式求得的最小值．
解：，
当且仅当时等号成立
故选
3.【答案】D;
【解析】解：因为，为两个不相等的正实数，取，分别代入各选项：
A.
B.
C.
D.
故选：
因为，为两个不相等的正实数，取，分别代入各选项．
这道题主要考查了基本不等式的大小比较以及特值法的应用，考生应擅长于应用特值法，属基础题．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了基本不等式的性质、对数的运算性质，属于基础题．
利用基本不等式的性质、对数的运算性质即可得出．
解：正实数，满足，
，化为：，当且仅当时取等号．
则，
当且仅当时取等号，故其最大值是．
故选B．
5.【答案】A;
【解析】
该题考查基本不等式求最值，熟练掌握基本不等式的性质是解答该题的关键．属于基础题．
利用基本不等式的性质即可得出．
解：，，且，
，当且仅当，时取等号，
故的最大值为，
故选：
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，考查转化思想和运算能力，属于中档题．由题意可得，运用基本不等式可得最小值．
解：，，
则，
当且仅当，时上式取得等号，
则的最小值是，
故选
7.【答案】C;
【解析】解：向量，，，，化为．
，当且仅当时取等号．
因此的最小值是．
故选C．
利用向量共线定理及，可得，的关系式，再利用基本不等式即可得出．
该题考查了向量共线定理、基本不等式的性质等基础知识与基本方法，属于基础题．
8.【答案】B;
【解析】解：，，，
，
，当且仅当，时取等号
设，
则，
，
解得舍去或，
，
故则的最小值是，
故选：．
根据基本不等式可得，当且仅当，时取等号，在构造不等式，解得即可
该题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9.【答案】AD;
【解析】【试题解析】
此题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，式子的变形是解答该题的关键，属于中等题.
利用基本不等式 及其变形逐项判断即可.
解：正实数，满足，
，
当且仅当时等号成立，故有最小值，故正确；
由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，
故有最大值 ，故不正确；
，
，当且仅当时取等号，故错误；
，即，，当且仅当时取等号，
故有最小值，故正确．
故选
10.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查了基本不等式的性质，熟练掌握性质满足的条件，属于基础题
根据基本不等式的性质判断即可.
解：，为正实数，且满足，，
，，当且仅当，即，时，取“”，故的最小值为，故说法正确，说法错误；
，为正实数，且满足，，
当且仅当时取“”，即，时，取“”，故，说法错误；
故选
11.【答案】CD;
【解析】
此题主要考查了基本不等式的应用问题，是基础题．
利用基本不等式求得时取得最小值，即可求解.
解：，且，
则，
当且仅当时取“”．
的最小值是
所以的可能的值是或，
故选：
12.【答案】AD;
【解析】
此题主要考查了基本不等式的性质和一元二次不等式的解法，属于基础题．
由题意利用基本不等式可得，化为，解得即可．再根据，即解得，即可得到答案.
解：，且，
，化为，
解得负值舍去，等号当且仅当时成立，
所以有最小值，故正确，错误；
由，且，得到，
等号当且仅当时成立，
解得：负值舍去，
所以有最小值，故正确，错误；
故选
13.【答案】AC;
【解析】
此题主要考查的是利用基本不等式求最值问题，属于中档题.
对两边同时除以可以判断，利用基本不等式分别求，，的最值，即可判断
解：在等式两边同时除以，得，故正确；
，当且仅当时取等号，故错误；
，当且仅当时取等号，故正确；
，
当且仅当且，即时取等号，故错误．
故选
14.【答案】-1;
【解析】解：由，得到，
，
当且仅当，时取等号，
则函数的最大值为．
故答案为：．
根据对数的运算性质计算已知的条件，且由对数函数的性质得到，然后利用基本不等式变形，即可求出所求式子的最小值．
该题考查了基本不等式与对数的运算性质，可以训练答题者灵活变形及选用知识的能力．要求学生掌握基本不等式，即，当且仅当时取等号．
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查指数对数的互化以及利用基本不等式求最值，是基础题.
因为，，所以利用基本不等式得到，代入即可得到答案.
解：因为，，
所以
又，当且仅当时取等号，
所以，所以
故答案为
16.【答案】8;
【解析】解：直线过点，
．
则，当且仅当时取等号．
故答案为：．
直线过点，可得再利用“乘法”与基本不等式的性质即可得出．
该题考查了“乘法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
17.【答案】;
【解析】
该题考查了利用基本不等式求最值，属于基础题．
变形利用基本不等式的性质即可得出．
解：，
．
函数，当且仅当，即时取等号．
函数的最小值是．
故答案为：．
18.【答案】;
【解析】设框架的宽为，则其高为，要使这个窗户通过的阳光最充足，只要窗户的面积最大，，当且仅当时等号成立，故框架为.
19.【答案】解：，，
所以，，
所以，，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为．;
【解析】【试题解析】
该题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行灵活配凑是解本题的关键，属于中等题．
先由得出，将与相乘，利用基本不等式可求出的最小值．
20.【答案】解：依题意得，
，
即，
则，
即，
故，
因为，所以，
又，故，
故
依题意得，
，
而，
即
则，当且仅当时等号成立，
故，
故面积的最大值为;
【解析】此题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，基本不等式以及三角恒等变换，考查了推理论证能力，运算求解能力和转化和化归思想，属于中档题．
先利用正余弦定理转化为角的三角等式，再结合同角三角函数关系公式可求；
利用余弦定理建立关于，的等式，再结合基本不等式求得的最大值，进而可求面积的最大值．
21.【答案】解：由直线过点，得
，当且仅当且，即，时等号成立，所以直线 &igr;方程为
由，得，当且仅当，即，时等号成立，所以直线方程为;
【解析】此题主要考查利用基本不等式求函数的最值，一定要注意使用的条件：一正、二定、三相等，属于基础题．
将点的坐标代入直线方程得到，变形后利用基本不等式，求出和取最小值时和的值，带入即得直线 &igr;的方程.
22.【答案】解：，，
由基本不等式，得
，，即，
当且仅当时，等号成立.
因此有，解得
此时有最大值
当，时，有最大值
，，
，
当且仅当时，等号成立.
由，解得
的最小值为;
【解析】此题主要考查了利用基本不等式求最值，对数运算，属于中档题.
由基本不等式，得，得，由可得最大值；
由展开由基本不等式求最值.
23.【答案】解：由，得，
由得或或解得
故不等式的解集为
证明：由可知函数的最小值为，从而，
因此，又，，皆为正数，
，当且仅当时，等号成立．;
【解析】【试题解析】
此题主要考查绝对值不等式和基本不等式的应用，利用的代换以及基本不等式是解决本题的关键．
根据绝对值不等式的解法进行求解即可；
由条件得，利用的代换，结合基本不等式进行证明求解即可．
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