卷子答案网-一个不只有答案的网站07圆锥曲线方程（抛物线）- 浙江省2023-2024学年高二上学期数学期末复习专题练习（人教版）
一、单选题
1．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·浙江杭州·高二杭十四中校考期末）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当时，轨迹为椭圆；当时，轨迹为抛物线；当时，轨迹为双曲线．现有方程表示的曲线是椭圆，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·浙江杭州·高二杭州高级中学校考期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·浙江台州·高二期末）已知抛物线的焦点为F，是C上一点，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023上·浙江宁波·高二期末）已知圆，抛物线，过点作圆M的两条切线AB，AC，点B，C在抛物线P上，过B，C分别作x轴的平行线交P于F，E两点，则四边形BCEF的周长为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·浙江宁波·高二期末）如图，某种探照灯的轴截面是抛物线（焦点F），平行于对称轴的一光线，经射入点A反射过F到点B，再经反射，平行于对称轴射出光线，则入射点A到反射点B的光线距离最短时点A的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）设点是抛物线：上的动点，点是圆：上的动点，是点到直线的距离，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2023上·浙江丽水·高二统考期末）已知抛物线，点，，过点的直线与抛物线交于，两点，AP，AQ分别交抛物线于，N两点，为坐标原点，则（ ）
A．焦点坐标为 B．向量与的数量积为5
C．直线MN的斜率为 D．若直线PQ过焦点，则OF平分
9．（2023上·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期末）下列结论正确的是（ ）
A．若动点到两定点的距离之和为10，则动点P的轨迹方程为
B．若动点到两定点的距离之差为8，则动点P的轨迹方程为
C．若到定点的距离和到定直线的距离相等，则动点P的轨迹方程为
D．已知，若动点满足，则的轨迹方程是
10．（2023上·浙江宁波·高二期末）已知曲线，则（ ）
A．M既不可能是抛物线，也不可能是圆
B．当时，M是一个焦点在x轴上的椭圆
C．M不可能是焦点在y轴上的双曲线
D．M可能是两条平行的直线
11．（2023上·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）如图所示，抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于，两点，分别过点，作准线的垂线，垂足分别为，，则（ ）
A．，两点的纵坐标之积为定值 B．以线段为直径的圆与准线相切
C．点在以为直径的圆外 D．直线经过原点
12．（2023上·浙江宁波·高二统考期末）关于x，y的方程表示的曲线可以是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
13．（2023上·浙江舟山·高二统考期末）已知抛物线，直线与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则OA⊥OB D．若，则OAB面积最小值为
14．（2023上·浙江衢州·高二浙江省龙游中学校联考期末）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意实数，均有
B．存在实数，使得
C．若，则
D．若，则中点到轴的距离是3
15．（2023上·浙江宁波·高二校联考期末）已知抛物线，过焦点的直线与抛物线交于两点，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的准线方程为
B．
C．若，则的斜率为
D．是过焦点且与垂直的弦，则
三、填空题
16．（2023上·浙江杭州·高二杭师大附中校考期末）如图，已知抛物线的方程，过点作直线与抛物线相交于P，Q两点，点B的坐标为，连接BP，BQ，设QB，BP的延长线与x轴分别相交于点M，N．如果直线BQ与BP的斜率之积为，则 ．
17．（2023上·浙江湖州·高二统考期末）已知抛物线，其焦点为是过点的一条弦，定点的坐标是，当取最小值时，则弦的长是 .
18．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）圆锥曲线有着令人惊奇的光学性质，这些性质均与它们的焦点有关.如：从椭圆的一个焦点处出发的光线照射到椭圆上，经过反射后通过椭圆的另一个焦点；从抛物线的焦点处出发的光线照射到抛物线上，经反射后的光线平行于抛物线的轴.某次科技展览中某展品的一个截面由抛物线的一部分和一个“双孔”的椭圆构成（小孔在椭圆的右上方）.如图，椭圆为的焦点，为下顶点，也为的焦点，若由发出一条光线经过点反射后穿过一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，由发出的另一条光线经由椭圆上的点反射后穿过另一个小孔再经抛物线上的点反射后平行于轴射出，若两条平行光线间隔，则 .
19．（2023上·浙江温州·高二统考期末）已知点在抛物线上，B，C是抛物线上的动点且，若直线AC的斜率，则点B纵坐标的取值范围是 ．
20．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知抛物线的焦点为，点在上，点，若的最小值为5，则 .
21．（2022上·浙江台州·高二校联考期末）过的直线交抛物线于、两点，若（为坐标原点），则的面积为 ．
22．（2022上·浙江杭州·高二学军中学校考期末）已知是抛物线上的动点，记点到直线：的距离为，则的最小值为 ．
四、解答题
23．（2023上·浙江嘉兴·高二统考期末）已知、是抛物线：上的两点，是线段的中点，过点和分别作的切线、，交于点
(1)证明：轴：
(2)若点的坐标为，求的面积.
注：抛物线在点处的切线方程为.
24．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知抛物线的焦点，点在该抛物线上.
(1)求的值；
(2)设过焦点的直线交抛物线于两点.若以抛物线的对称轴为棱，将抛物线上下两部分折成直二面角，此时两点之间的距离为，求直线的方程.
25．（2023上·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围．
26．（2023上·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）求下列曲线方程．
(1)已知抛物线，求准线l方程．
(2)已知双曲线的焦距为6，渐近线方程为，求双曲线C的方程．
27．（2023上·浙江绍兴·高二统考期末）已知椭圆，离心率为，右焦点为，抛物线的焦点到其准线的距离为1.
(1)求的标准方程；
(2)若过作斜率为的直线交椭圆于，交轴于的中垂线交轴于，记以弦为直径的圆的面积为的面积为，求.
(3)已知且，若斜率为的直线与椭圆相交于两点，且中点恰在抛物线上.记的横坐标为，求的最大值.
28．（2023上·浙江金华·高二统考期末）已知直线l过抛物线的焦点F，与抛物线交于两点．
(1)若的倾斜角为，求；
(2)若在抛物线上有且仅有一点（异于），使得，求直线l的方程和相应点的坐标．
29．（2023上·浙江温州·高二统考期末）已知椭圆：过点且与抛物线：有一个公共的焦点．
(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于，两点，与抛物线交于，两点．是否存在这样的直线，使得？若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
五、证明题
30．（2023上·浙江宁波·高二期末）已知抛物线（a是常数）过点，动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B．
(1)求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
(2)当时，求直线AB的方程；
(3)证明：直线AB过定点．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【分析】由结合抛物线的定义可求出的值，进而可求的坐标.
【详解】因为是抛物线：的焦点，所以，
又，由抛物线的定义可知，解得，所以.
故选：A
2．D
【分析】根据所给方程可得，根据椭圆的离心率取值范围即可求解.
【详解】由可得，
所以，
所以，
即动点到定点的距离与到定直线的距离之比为常数，
因为方程表示的曲线是椭圆，
所以解得，
故选:D.
3．D
【分析】根据标准方程即可求解.
【详解】由题意可知，所以抛物线的焦点坐标为，
故选：D
4．C
【分析】直接利用抛物线的定义即可求解.
【详解】依题意知，焦点，
由定义知：，
所以，所以．
故选：C.
5．C
【分析】设过的直线为，由直线和圆相切求得k，直线与抛物线的方程联立，运用韦达定理求得B、C的横坐标，得到，进而可得解．
【详解】
设过的直线为：，
由直线与圆相切，则，
点在抛物线上，
联立，
由题意，点的横坐标为方程的一根，另一根设为，
由韦达定理得，则
又，可得B、C的横坐标分别为：，
则，
故四边形BCEF的周长为：．
故选：C.
6．A
【分析】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小，由此即可求得点A的坐标.
【详解】由AB过点F，所以当AB为通径即轴时，最小，
此时，则，所以，则点A的坐标是.
“轴时，最小”的证明：
法一：设AB倾斜角为，由，当即轴时，；
法二：设，与联立得，
所以，所以，所以，
又，当且仅当时取等号．
故选：A.
7．B
【分析】求出抛物线焦点坐标，由抛物线定义得到，数形结合得到即为的最小值，得到答案.
【详解】由定义知：抛物线的焦点坐标为，连接，
则，所以，
圆：的圆心为，半径为，
则使得取的最小值，
其中，故的最小值为.
故选：B
8．BCD
【分析】由抛物线方程即可判定A项；设直线AP方程与抛物线联立利用韦达定理计算数量积即可判定B项；设直线PQ方程及P、Q坐标，用来表示直线AP、AQ，并与抛物线联立求得M、N坐标，即可判定C项；设直线PQ方程及P、Q坐标，与抛物线联立结合韦达定理求得AP、AQ斜率关系即可判定D项.
【详解】
对于A项，由抛物线标准方程可得焦点，即A错误；
对于B项，可设直线AP方程为：，设，
与抛物线联立可得
∴，故B正确；
对于C项，可设直线QP方程为：，
设，
∴，
直线QP方程与抛物线方程联立，
化简可得，
又由上可知，同理有，
∴，，故C正确；
对于D项，由上设直线QP方程为：，，
联立抛物线有，
若PQ过焦点F，则有，即结合上，及可知，
此时，即直线AP、QA关于横轴对称，OF平分，故D正确.
故选：BCD
9．AC
【分析】根据题意，由椭圆，双曲线，抛物线，圆的定义可分别判断各个选项的正误，选出答案.
【详解】选项A：由椭圆定义可知，，，，焦点在轴上，，
所以动点P的轨迹方程为，A对；
选项B：由双曲线定义可知，，
所以，，，
所以动点P的轨迹方程为，，B错；
选项C：由抛物线定义可知，抛物线的开口向右，，
所以动点P的轨迹方程为，C对；
选项D：因为，
由圆的定义可知，圆心，半径，
所以动点P的轨迹方程为，D错；
故选：AC.
10．ACD
【分析】根据各曲线的定义逐项验证参数的取值即可得出答案.
【详解】A项：若M是圆，则，无解，
由于无一次项，故不可能是抛物线，正确；
B项：若M是焦点在x轴上的椭圆，则无解，错误；
C项：由，为双曲线时，此时焦点只能在x轴上，正确；
D项：当即时，为两条平行直线，正确．
故选：ACD.
11．ABD
【分析】选项A，设出的方程与抛物线联立，求两根之积即可得出结论；选项B，求的中点到准线的距离并与弦长的关系进行比较；选项C，通过斜率的关系证明，得到点在以为直径的圆的关系；选项D，通过斜率的关系证明三点共线.
【详解】选项A，设的方程为：，，，
联立，整理得，则，
故选项A正确；
选项B，的中点， 点到准线的距离为,
，所以，即以线段为直径的圆与准线相切，故选项B正确；
选项C，由，，，得，所以，
点在以为直径的圆上，故选项C错误；
选项D，由，，，得，，所以，所以三点共线；
所以直线经过原点，故选项D正确.
故选：ABD.
12．BC
【分析】先得到且，再结合方程特点，分，和三种情况求出答案.
【详解】显然且，
若，即时，此时表示椭圆；
若，即时，此时表示双曲线；
若，此时无解，
综上：方程表示的曲线可以是椭圆，也可以是双曲线.
故选：BC
13．ACD
【分析】由直线方程，与抛物线联立，根据韦达定理得出，,结合即可判断A,B,C项；把面积关系转化为，进而根据基本不等式，即可判断D项.
【详解】对于A项，因为，直线方程为，，
联立直线与抛物线的方程，消去得：,
由韦达定理得：，当时，解得，故A正确；
对于B项，因为，，所以，又因为,则，故选项B错误；
对于C项，因为且,所以,
又因为,所以,即得OA⊥OB,故正确；
对于D项，直线方程为，故设直线AB与轴的交点坐标为.
故，
根据，且得，
故，故，
所以，当且仅当时等号成立.
即的面积最小值是，故D正确；
故选：ACD.
14．ACD
【分析】由题意可知直线的方程为：，联立直线方程与抛物线方程得，由韦达定理可得，，
对于A，利用韦达定理计算即可；
对于B，由抛物线的焦点弦公式可知：=，令，求解即可；
对于C，由，可得，进而可得，，代入，计算即可；
对于D，只需计算点的横坐标是否为3即可判断.
【详解】解：由题意可得，，准线方程为，
所以直线的方程为：，
由，可得，
所以，，
所以，故A正确；
由抛物线的焦点弦公式可知：=，
令，解得，故B错误；
当时，即有，
所以有，
又因为，
所以，
解得或（舍），
当时，，所以，即，解得，故C正确；
当时，即有，所以，所以，
所以中点的横坐标为3，
所以中点到轴的距离是3，故正确.
故选：ACD.
15．BCD
【分析】A选项，将抛物线方程写出标准形式，求出准线方程，A错误；
B选项，设出直线方程为，与抛物线方程联立后，根据韦达定理求出两根之积；
C选项，由，得到，结合两根之积，求出，分两种情况，结合两根之和求出的值，进而求出直线的斜率；
D选项，利用焦点弦长公式求出，从而结合斜率关系求出，得到.
【详解】变形为，准线方程为，A错误；
设过焦点的直线方程为，
与抛物线联立得：，
则，，B正确；
因为，所以，代入中，解得：，
当时，，则，解得：，
故直线的斜率为，
当时，，则，解得：，
故直线的斜率为，
则的斜率为，C正确；
由焦点弦长公式可得：
，
是过焦点且与垂直的弦，同理可得：，
故，D正确.
故选：BCD
16．
【分析】设直线的方程为：，联立直线方程和抛物线方程，消去后利用韦达定理可证 ，结合 可取直线斜率，再利用余弦定理求解.
【详解】设直线的方程为 ，
由 得， ，
又 ，
因为， ，
故 ，又，
故解得，
所以.
所以.
由余弦定理得.
故答案为：.
17．
【分析】如图，过点作准线的垂线，垂足为，则，由图可知当三点共线时，取最小值，由此可得点的坐标，从而可得直线的方程，联立方程求出点的坐标，即可得解.
【详解】抛物线的焦点，准线为，
如图，过点作准线的垂线，垂足为，
则，
所以，当且仅当三点共线时，取等号，
所以当取最小值时，点的横坐标为，
当时，，即，
所以，
所以直线的方程为，
联立，消得，解得或，
当时，，即，
所以.
故答案为：.
18．
【分析】首先联立直线与抛物线方程求得点坐标,进而求得点坐标，然后再联立直线与椭圆方程求得点坐标，可得向量的坐标，最后求得.
【详解】由题意得：
可得抛物线方程，直线 :,
联立，可得；
因为两条平行光线间隔，所以，即.
直线：，联立椭圆方程，得，解得或（舍），所以；
则，所以 .
故答案为：.
19．
【分析】由已知得出，即可设出，，则根据已知可得与，与可解出，由整理为，根据已知得出关于的方程，在上有解，即可解出或，综合即可得出答案.
【详解】点在抛物线上，
，解得，即，
设，，
则，，
直线AC的斜率，
，解得：，
，
，且，
由解得：，
由可得：，
整理化简为：，
则关于的方程，在上有解，
则，
解得：或，
综上所述：点B纵坐标的取值范围是，
故答案为：.
20．
【分析】讨论点A与抛物线的位置关系，结合的最小值为5，列出不等关系，求得m的范围，可得答案.
【详解】当线段与抛物线C没有公共点，即点在抛物线外部时，或，
此时当三点共线时，最小，最小值为，
解得或，不合题意；
当点在抛物线上时，或，此时，
即此时重合；
点在抛物线内部时，，
设抛物线C的准线为l，过点P作l的垂线，垂足为Q，
过点A作l的垂线，垂足为B，
则,共线时，取等号，符合题意，
综合上述可得若的最小值为5，则，
故答案为：
21．
【分析】设，联立抛物线得到一元二次方程，应用韦达定理及，可得、、，再由，应用数量积运算律可得，最后利用，利用方程求得，即可得结果.
【详解】由题意，不妨设，代入得：，
所以，即或，且，
根据对称性，不妨假设，则，
且，
所以，又，则，
由，则，，
所以①，
，则，
又，
所以②，
由①②得：，
所以，故，
所以.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：由及数量积运算律得，结合韦达定理、弦长公式、三角形面积公式列出关于所设参数的方程为关键.
22．/
【分析】作直线：的平行线且与抛物线相切，再求两平行线间的距离即可．
【详解】设直线直线：的平行线为且与抛物线相切，
联立，整理得，
则，得，
则的最小值为．
故答案为：．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）设出点和的坐标，可得切线、的方程，联立、的方程可得，问题得证；
（2）由轴，得，计算即可得结果.
【详解】（1）设，，则中点，
直线：，：，
，解得，
即，从而轴.
（2）由（1）可解得，则，即
由于轴，则
，
即的面积为.
24．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据点的坐标即可求得p的值；
（2）根据直二面角的定义利用两点之间的距离为可得关于直线的参数的方程，即可求得答案.
【详解】（1）将点代入抛物线方程得：，则，
（2）由（1）知，焦点，设直线，点，
联立得：，，
由韦达定理得，
由于以抛物线的对称轴为棱，将抛物线上下两部分折成直二面角，
于是，即，
即，
将代入即
解得，所以直线的方程是：或.
25．(1)或
(2)或
【分析】（1）由抛物线的顶点在原点及焦点在直线上，可根据直线与坐标轴的交点，求得抛物线的焦点，即可求得抛物线的方程；
（2）由直线与抛物线联立求得弦长，及交点的中点，即可求得以线段AB为直径的圆的方程，再由原点在圆外，代入原点，即可求得实数a的取值范围.
【详解】（1）当时，，此时焦点为，即此时抛物线焦点在轴，开口向下，顶点在原点，则抛物线方程为；
当时，，此时焦点为，即此时抛物线焦点在轴，开口向右，顶点在原点，则抛物线方程为；
（2）设过点直线m的方程为，设直线m与抛物线的交点分别为
联立方程消去得，
即，；
AB的中点为；
；
则以线段AB为直径的圆的方程为
若原点O在以线段AB为直径的圆外，则化简得，即或.
26．(1)
(2)
【分析】（1）由曲线方程化成标准方程，再由抛物线准线的定义即可求得准线l方程；
（2）由焦距为6，及渐近线方程为可知，再由即可求得双曲线的标准方程.
【详解】（1）由抛物线可得，则，即准线l方程为
（2）双曲线的焦距为6，即；
渐近线方程为，即，
再由可解得；
则双曲线的方程为
27．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得出的值，再由椭圆的离心率公式求出的值，求出椭圆和抛物线的标准方程；
（2）直线与椭圆联立方程组，由弦长公式求出的长度，由圆的面积公式，从而求出；利用韦达定理和中点坐标公式，求出点坐标，从而求出的中垂线方程，求出点坐标，由、点坐标，利用三角形面积公式，求得，最后求出
（3）利用点差法求出的斜率与的斜率的关系，把点代入抛物线方程，求出的表达式，利用证明数列的单调性的方法，证明单调递减，由于椭圆和抛物线图象的对称性，可以得到一定小于等于它们交点的横坐标的平方，从而得出的范围，结合的单调性，从而求出的最大值.
【详解】（1）抛物线的焦点到准线的距离为，
，
， .
（2），直线的方程为：，
所以，设，
联立 ，得.
，，
.
将点代入直线方程得到，
的中点
的中垂线方程为：，
令得，.
，
.
（3）设,代入得
,作差整理得， ，即；
,即；
∵，点在抛物线上，
，，，
且
∵，
.
联立，得到其交点的横坐标为，，
（不符合要求），（不符合要求），（不符合要求），（符合）.
的最大值为.
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中三角形面积的求解方法：
（1）公式法：利用弦长公式求出弦长作为三角形的底边长，利用点线距求出三角形的高线长，结合三角形的面积公式可得答案；
（2）分割法：把三角形分割成易于求解的若干三角形，求解面积之和即可.
28．(1)
(2)直线方程为相应的点或直线方程为相应的点
【分析】（1）根据条件求出直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理可求得弦长.
（2）设直线与抛物线联立，韦达定理得两点坐标关系，，，化简可得，有且只有一个解，判别式为，可求得结果.
【详解】（1）因为直线过焦点且倾斜角为，故方程为，
与联立消去y，得，
设点，由韦达定理得，
所以．
（2）设直线方程为，联立方程组，消去得
，所以
设点直线的斜率分别为，由得，
因为，同理
所以，化简得
即，由已知方程只有一个解，故判别式
所以直线方程为相应的点
或直线方程为相应的点
29．(1)，
(2)存在，
【分析】（1）由题意椭圆与抛物线共焦点，由焦点得出基本量，即可求出椭圆与抛物线的方程.
（2）分直线的斜率存在与不存在，在直线斜率不存在时求出直线方程，并验证是否成立，再求直线斜率存在时，设直线的斜率为，联立直线与椭圆方程，求得当满足时直线的斜率，即可求得直线方程.
【详解】（1）由，，得，，
所以椭圆的方程：，
由，得，所以抛物线的方程：．
（2）当直线斜率不存在时，，得，，不符合；
当直线斜率存在时，设，，，，
由得，
，，
，
由得，，
，，，
由，得，，，经检验符合.
故存在直线，方程为.
30．(1)C的焦点为，准线方程为；
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）由点P代入得，即可求出抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）法一：设，因为，所以切线DA的斜率，再由，即可求出直线DA，同理求出DB的直线方程，即可取出直线AB的方程；
法二：设其中一条切线的斜率为k（显然存在），则切线方程为，联立直线与抛物线的方程由求出，即可求出A、B两点的坐标，即可求出直线AB的方程；
（3）由（2）知：，所以，令，即可求出直线AB过的定点.
【详解】（1）由点P代入得，所以C的焦点为，准线方程为；
（2）设，此时，则，
因为，所以切线DA的斜率，即，
所以（1）
同理可得（2）
所以由（1）、（2）可得直线AB的方程为；
法二：设其中一条切线的斜率为k（显然存在），则切线方程为，
由得，
所以由得，
不妨设，
可解得
所以AB的斜率，
得直线AB的方程为即
（3）由（2）知：，所以，
同理可得，
显然直线AB经过定点．
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