卷子答案网-一个不只有答案的网站第4章 平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第2课时 平行线的性质定理及推论
基础过关全练
知识点1 平行线间的平行线段
1.如图,AB∥CD,AD∥BC,若四边形ABCD的周长等于8,则AB+BC=( )
A.4 B.5 C.6 D.8
2.如图,a∥b,AB∥CD,AE∥CF,若AC=3,DE=2,则BF= .
3.如图,在 ABCD中,E,F分别为BC,AD边上的点,要使BF=DE,根据平行线的性质定理,需添加一个条件: .
4.已知:如图,AB∥DC,AD∥EF∥BC,AF∥EC.
求证:EB=DF.
知识点2 平行线间的距离
5.【新独家原创】如图,a∥b,a与b之间有一条线段AB,若AB=,∠α=120°,则a与b之间的距离为( )
A.2 B. C. D.
6.【教材变式·P84例2】林林家有一个放在墙角的实木角柜,角柜的上、下底面是等腰直角三角形,斜边的长为2 m,林林想把角柜放到自己的房间,要经过宽为1.4 m的走廊,林林的想法能实现吗
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7.【一题多变·平行线与等腰直角三角形综合,求线段长】如图,△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,直线a,b,c分别经过A,C,B三点,且a∥b∥c.若a与b之间的距离是3,b与c之间的距离是2,则AB的长是( )
A. B.5 C.7 D.
[变式·平行线与等腰直角三角形综合,求三角形面积]如图,已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,且a∥b∥c,其中a与b之间的距离是6,b与c之间的距离是8,则△ABC的面积是( )
A.24 B.100 C.50 D.48
8.如图,甲船从北岸码头A向南行驶,航速为36千米/时;乙船从南岸码头B向北行驶,航速为27千米/时.两船均于7:15出发,两岸平行,水面宽为18.9 千米,则两船距离最近的时刻为( )
A.7:35 B.7:34 C.7:33 D.7:32
9.(2023浙江衢州柯城风华学校期中,10,★★★)如图,在 ABCD中,P是CD边上一点,且AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA,若AD=2.5,AP=4,则 ABCD的面积是( )
A.6 B.12 C. D.
10.【分类讨论思想】已知直线a,b,c互相平行,直线a与b之间的距离是3 cm,直线b与c之间的距离是8 cm,那么直线a与c之间的距离是 .
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11.【推理能力】我们把能平分四边形面积的直线称为“等积线”.利用下面的作图,可以得到四边形的“等积线”:如图①,在四边形ABCD中,取对角线BD的中点O,连结OA,OC,显然,折线AOC能平分四边形ABCD的面积,再过点O作OE∥AC交CD于E,作直线AE,则直线AE即为一条“等积线”.
(1)如图①,试说明直线AE是“等积线”;
(2)如图②,AE为一条“等积线”,F为AD边上的一点,请作出经过F点的“等积线”,并说明理由;
(3)张大爷有一块如图③所示的土地ABCD,折线EGF是其中的一条小路,张大爷现在想把它改为一条过点E的直路,要求直路左边的土地面积与原来一样,请你在图③中画出示意图(只需对作图适当说明,无需说明理由).
图① 图② 图③
第4章 平行四边形
4.2 平行四边形及其性质
第2课时 平行线的性质定理及推论
答案全解全析
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1.A ∵AB∥CD,AD∥BC,∴AB=CD,AD=BC,
∵四边形ABCD的周长等于8,∴AB+BC+CD+AD=8,∴2AB+2BC=8,∴AB+BC=4.
2.答案 8
解析 ∵a∥b,AB∥CD,∴AC=BD.
∵a∥b,AE∥CF,∴AC=EF.
∵AC=3,DE=2,∴BF=BD+DE+EF=3+2+3=8.
3.答案 BF∥DE(答案不唯一)
解析 根据夹在两条平行线间的平行线段相等,可添加BF∥DE(答案不唯一).
4.证明 ∵AF∥EC,AB∥DC,∴AE=FC.
∵EF∥BC,AB∥DC,∴EB=FC.
∵AD∥EF,AB∥DC,∴AE=DF,∴EB=DF.
5.D 如图,在直线b上点B的右边截取BC=AB,连结AC,过点A作AD⊥b于D.
∵a∥b, ∴∠ABC+∠α=180°,
∵∠α=120°,∴∠ABC=60°.
∵BC=AB,∴△ABC是等边三角形,
∵AD⊥b于D,∴BD=DC=BC=,
∴AD===.
∴a与b之间的距离为.
6.解析 如图,作等腰直角三角形ABC斜边AB上的高线CD.∵AC=BC,∴AD=BD=AB,
易知△ACD为等腰直角三角形,∴CD=AD,
∵斜边AB的长为2 m,
∴CD= m>1.4 m,∴角柜不能通过走廊,林林的想法不能实现.
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7.D 如图,作CE⊥直线a于E,交直线c于F.
∵a∥b∥c,CE⊥a,∴CF⊥c,
∴∠AEC=∠CFB=∠ACB=90°,
∴∠ACE+∠BCF=90°,∠BCF+∠CBF=90°,
∴∠ACE=∠CBF,
∵AC=BC,∴△ACE≌△CBF(AAS),∴EC=BF=3,AE=CF=2,
∴AC=BC===,
∴AB=AC=.故选D.
[变式]C 如图,过点B作b的垂线,交a于点E,交c于点F,
∵a∥b∥c,∴EF⊥a,EF⊥c,∴∠CEB=∠AFB=∠ABC=90°,∴∠CBE+∠ABF=90°,∠CBE+∠BCE=90°,∴∠BCE=∠ABF,
在△ABF和△BCE中,
∴△ABF≌△BCE(AAS),∴BF=EC=8,
在Rt△BCE中,BE=6,EC=8,
∴BC===10.
∴S△ABC=AB·BC=×10×10=50.
8.C 设x小时后两船距离最近,
如图,当甲船行驶到点E处,乙船行驶到点F处,且EF∥AD时,两船距离最近,
根据题意得AE=36x千米,DF=(18.9-27x)千米,
∴36x=18.9-27x,解得x=0.3,
0.3小时=0.3×60分钟=18分钟,
∵两船均于7:15出发,
∴两船距离最近的时刻为7:33.故选C.
9.B 设点P到AB的距离为h,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴点A、B到CD的距离都是h,AB=CD,∠DAB+∠ABC=180°,AB∥CD,AD=BC.
∴S△ABP=AB·h,S△ADP=DP·h,S△BPC=PC·h,
∴S△ABP=S△ADP+S△BPC.∴ ABCD的面积=2S△ABP,
∵AP、BP分别平分∠DAB、∠CBA,
∴∠DAP=∠BAP=∠BAD,∠ABP=∠CBP=∠ABC,∴2∠BAP+2∠ABP=180°,
∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠APB=90°.
∵AB∥CD,∴∠BPC=∠ABP,∠BAP=∠APD,
∴∠PBC=∠BPC,∠DAP=∠APD,∴BC=PC,AD=PD,
∵AD=2.5,∴AB=DC=DP+PC=AD+BC=2AD=5.
∵AP=4,∴BP=3.∴ ABCD的面积=2S△ABP=2××3×4=12.
10.答案 11 cm或5 cm
解析 当直线b在直线a与c之间时,
直线a与c之间的距离是3+8=11 cm;
当直线a在直线b与c之间时,
直线a与c之间的距离是8-3=5 cm.
综上,直线a与c之间的距离是11 cm或5 cm.
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11.解析 (1)∵点O是BD的中点,
∴S△AOB=S△AOD,S△BOC=S△DOC,
∴S△AOB+S△BOC=S△AOD+S△DOC=S四边形ABCD,
∴S四边形ABCO=S四边形ABCD.
∴折线AOC能平分四边形ABCD的面积,
如图,设AE交OC于F.
∵OE∥AC,∴S△AOE=S△COE,∴S△AOF=S△CEF,
∴S四边形ABCO=S四边形ABCE,∴S四边形ABCE=S四边形ABCD,
∴直线AE平分四边形ABCD的面积,即直线AE是“等积线”.
(2)如图,连结EF,过A作EF的平行线交CD于点G,作直线FG,则直线FG为一条“等积线”.
理由如下:∵AG∥EF,∴S△AGE=S△AFG,设AE与FG的交点是O,则S△AOF=S△GOE,∴S四边形ABCE=S五边形FABCG,
∵AE为一条“等积线”,∴FG为一条“等积线”.
(3)如图所示,连结EF,过点G作GH∥EF,交AB于点H,连结EH,EH即为直路的位置.
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