卷子答案网-一个不只有答案的网站第5章 特殊平行四边形
单元大概念素养目标
单元大概念素养目标 对应新课标内容
理解矩形、菱形的概念,能运用矩形、菱形的性质定理解决相关问题 探索并证明矩形、菱形的性质定理【P66】
能运用矩形、菱形的判定定理解决相关问题 探索并证明矩形、菱形的判定定理【P66】
理解正方形的概念,知道正方形既是矩形,又是菱形,能用正方形的判定解决相关问题 正方形既是矩形,又是菱形【P66】
理解正方形具有矩形和菱形的一切性质 理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系【P66】
5.1 矩形
第1课时 矩形的性质
基础过关全练
知识点1 矩形的定义
1.【新独家原创】在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若AO=OC,BO=DO,∠ABC=65°,要使四边形ABCD是矩形,AB至少要绕点A逆时针旋转( )
A.15° B.20° C.25° D.35°
知识点2 矩形的性质
2.【一题多变·利用矩形的性质求边长】 如图,矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,BD=6,则AB的长为( )
A.4 B.4 C.3 D.5
[变式1·利用矩形的性质求度数] 如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O.若∠AOB=60°,则∠OCB的度数为( )
A.30° B.35° C.40° D.45°
[变式2·矩形的性质与勾股定理相结合]如图,已知矩形ABCD的两条对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=4 cm,求BC的长.
3.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点.若AB=5,AC=13,则四边形ABOM的周长为 .
4.如图,矩形ABCD中,对角线交于点O.若点E为BC上一点,连结EO并延长,交AD于点F,则图中全等三角形共有 对.
能力提升全练
5.(2023浙江杭州外国语学校期中,8,★★☆)如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AD于点E,若AB=6,BC=8,则AE的长为( )
A. B.6 C. D.5
6.【一题多变·矩形中心在原点,求点的坐标】如图,矩形ABCD的对角线交于点O,以点O为原点建立平面直角坐标系,AC所在直线为y轴,AB=2,∠ABD=60°,则点C的坐标为 .
[变式·矩形中心不在原点,求点的坐标]如图,矩形ABCD在平面直角坐标系上,点E(1,0)和点F(0,1)在AB边上,AE=EF,DF∥x轴,则点D的坐标为 .
7. (2023贵州中考,16,★★☆)如图,在矩形ABCD中,点E为矩形内一点,且AB=1,AD=,∠BAE=75°,∠BCE=60°,则四边形ABCE的面积是 .
8.【一题多解】如图,已知矩形ABCD中,F是BC上一点,且AF=BC,DE⊥AF,垂足是E,连结DF.
(1)求证:△ABF≌△DEA;
(2)求证:DF平分∠EDC.
素养探究全练
9.【推理能力】如图,P是矩形ABCD内的任意一点,连结PA、PB、PC、PD,得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA,设它们的面积分别是S1、S2、S3、S4,给出如下结论:
①S1+S2=S3+S4;②S2+S4=S1+S3;③若S3=2S1,则S4=2S2;④若S1=S2,则P点在矩形的对角线上.其中正确的结论的序号是 .
第5章 特殊平行四边形
5.1 矩形
第1课时 矩形的性质
答案全解全析
基础过关全练
1.C ∵在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=DO,
∴四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD+∠ABC=180°,
要使平行四边形ABCD是矩形,只需∠BAD=90°,
∵∠BAD=180°-65°=115°,
∴AB至少要绕点A逆时针旋转115°-90°=25°.
2.C ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=AC,OB=BD=3,AC=BD=6,∴OA=OB=3,
∵∠AOB=60°,∴△AOB是等边三角形,
∴AB=OB=3.
[变式1]A ∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD,AO=CO,BO=DO,∴BO=CO,
∴∠OBC=∠OCB,
∵∠AOB=∠OBC+∠OCB=60°,∴∠OCB=30°.
[变式2]解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=AC,OB=BD,AC=BD.∴OA=OB=AC,
∵∠AOD=120°,∴∠AOB=180°-∠AOD=180°-120°=60°,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=AB=4 cm,∴AC=2OA=2×4=8(cm).
在Rt△ABC中,根据勾股定理得,BC===4(cm).
3.答案 20
解析 ∵在矩形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,CD=AB=5,
∴AD===12.
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,
∴OM=CD=AB=2.5,AM=AD=6,
∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点,
∴BO=AC=6.5,∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM=5+6+6.5+2.5=20.
4.答案 10
解析 ∵四边形ABCD为矩形,
∴AB=CD,AD=BC,AO=CO,BO=DO,AC=BD,∠ABC=∠BAD=∠ADC=∠DCB=90°,AD∥BC,
∴OA=OB=OC=OD,
在△ABC和△DCB中,
∴△ABC≌△DCB(SAS),
同理:△ABC≌△CDA(SAS),△ABC≌△BAD(SAS),
∴△ABC≌△DCB≌△CDA≌△BAD,
两两全等,共有6对;
在△DOC和△AOB中,
∴△DOC≌△AOB(SAS),
同理:△DOA≌△COB(SAS),共2对;
∵AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE,
在△AOF和△COE中,
∴△AOF≌△COE(ASA),
同理:△DOF≌△BOE(ASA),共2对.
综上所述,题图中全等三角形共有10对,
故答案为10.
能力提升全练
5.C 如图,连结CE,
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC=8,CD=AB=6,∠ADC=90°,
∵O为矩形ABCD对角线的交点,
∴O为AC的中点,又∵OE⊥AC,∴OE垂直平分AC,∴AE=CE,设AE=x,则CE=x,DE=8-x,
在Rt△DEC中,∵CE2=DE2+CD2,
∴x2=(8-x)2+62,解得x=,即AE=,故选C.
6.答案 (0,-2)
解析 ∵四边形ABCD是矩形,
∴OA=OB=OC=OD,
∵∠ABD=60°,∴△OAB是等边三角形,
∴OA=OB=AB=OC=2,∴点C的坐标为(0,-2).
[变式]答案 (4,1)
解析 如图,过点D作DH⊥x轴于点H,设AD交x轴于点G,
∵DF∥x轴,∴∠HOF=∠OFD=∠DHO=90°,∴四边形OFDH是矩形,∴DF=OH,DH=OF,∵E(1,0),F(0,1),∴OE=OF=1,
∴∠OEF=45°,AE=EF=,∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∵∠AEG=∠OEF=45°,∴AG=AE=,∴EG=2,∵DH=OF=1,∠DHG=90°,∠DGH=∠AGE=45°,∴GH=DH=1,∴DF=OH=OE+EG+GH=1+2+1=4,∴D(4,1).
7.答案 -
解析 如图,连结AC,
在矩形ABCD中,∠B=90°,AB=1,AD=BC=,
∴AC==2,∴AB=AC,∴∠ACB=30°,∴∠BAC=60°,∵∠BAE=75°,∴∠CAE=15°,过E作EF⊥AC于H,交BC于F,连结AF,∵∠BCE=60°,∴∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°=∠ACB,∴∠CEF=60°,∴△CEF是等边三角形,∴EH=FH,易知∠EAH=∠FAH=15°,∴∠BAF=45°,
∴△ABF是等腰直角三角形,∴BF=AB=1,∵BC=,∴CF=EF=-1,∴EH=EF=,∴四边形ABCE的面积=S△ABC+S△AEC=××1+×2×=-.
8.证明 (1)∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD=BC,AD∥BC.
∴∠DAE=∠AFB,
∵DE⊥AF,∴∠DEA=90°=∠B.
∵AF=BC,∴AF=AD.∴△ABF≌△DEA.
(2)证法一:由(1)知△ABF≌△DEA,∴DE=AB.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=90°,DC=AB.∴DC=DE.
∵DE⊥AF,∴∠DEF=90°=∠C.
∵DF=DF,∴Rt△DCF≌Rt△DEF,
∴∠CDF=∠EDF.∴DF平分∠EDC.
证法二:由(1)知△ABF≌△DEA,∴BF=EA.
∵AF=BC,∴EF=CF.
易知DC⊥CF,∵DE⊥AF,
∴DF平分∠EDC.
素养探究全练
9.答案 ②④
解析 过点P分别作△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的高,分别记做h1、h2、h3、h4,如图1,
由矩形的性质知AB=CD,AD=BC,
所以S1+S2=AB·h1+BC·h2,S3+S4=CD·h3+AD·h4,显然①不一定成立;
S1+S3=AB·h1+CD·h3=AB(h1+h3)=AB·BC,
S2+S4=BC·h2+AD·h4=BC(h2+h4)=BC·AB,显然②一定成立;
因为AB=DC,所以当S3=2S1时,h3=2h1,
因为点P到直线AD的距离与点P到直线BC的距离不确定,即h4与h2的长度不确定,所以S4与S2的关系不确定,故③不一定成立;
连结BD,过点A作AM⊥BD于M,过点C作CN⊥BD于N,在BD上截取BP'=BP,连结P'A、P'C,如图2,易证△ABM≌△CDN,所以AM=CN,
由S1=S2,且△PAB、△PCB有一条公共边PB可知,点A、C到直线BP的距离相等,
所以BP与BP'重合,即点P在对角线BD上,故④成立.
综上,正确的结论的序号为②④.
图1 图2