卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年广东省东莞重点学校高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
2. 在中，已知，，，则角等于( )
A. B. C. 或 D. 或
3. 某学校高一年级有名男生，名女生，通过分层随机抽样的方法调查数学考试成绩，抽取总样本量为，男生平均成绩为分，女生平均成绩为分，那么可以推测高一年级学生的数学平均成绩约为( )
A. 分 B. 分 C. 分 D. 分
4. 如图，在正方体中，异面直线与所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
5. 设为所在平面内一点，则( )
A. B.
C. D.
6. 已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7. 已知一个直三棱柱的高为，如图，其底面水平放置的直观图斜二测画法为，其中，则该三棱柱的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
8. 在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑在鳖臑中平面，，且，则鳖臑外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 设直线，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是( )
A. 若，，，则
B. 若，，，则
C. 若，，，则
D. 若，，不平行，则与不垂直
10. 已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是( )
A.
B.
C. 若，则在复平面内对应的点位于第四象限
D. 若是虚数单位是关于的方程的根，则
11. 某班级有名学生，其中有名男生和名女生随机询问了该班名男生和名女生在某次数学测验中的成绩，名男生的成绩分别为，，，，，名女生的成绩分别为，，，，下列说法一定正确的是( )
A. 这种抽样方法是分层抽样
B. 这名男生成绩的分位数是
C. 这名男生成绩的方差大于这名女生成绩的方差
D. 该班男生成绩的平均数一定小于该班女生成绩的平均数
12. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是( )
A. 若，一定有
B. 若，那么一定是钝角三角形
C. 一定有成立
D. 若，那么一定是等腰三角形
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 总体是由编号为，，，，的个个体组成利用下面的随机数表选取个个体，选取方法是从随机数表第行的第列和第列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第个个体的编号为______ ．
14. 已知向量，若，则实数的值为______ ．
15. 和谐钟塔位于江西省赣州市章贡区赣州大桥东岸引桥南侧，有四个直径达米的钟面小赵同学经过和谐钟塔时，想利用正弦定理的知识测量该钟塔的高度，他在该钟塔塔底点的正西处的点测得该钟塔塔顶点的仰角为，然后沿着东偏南的方向行进了后到达点三点处于同一水平面，且点在点北偏东的方向上，则该钟塔的高度为______ 参考数据：取
16. 如图，若正方体的棱长为，点是正方体的上底面上的一个动点含边界，，分别是棱，上的中点，有以下结论：
在平面上的投影图形的面积为定值；
平面截该正方体所得的截面图形是五边形；
的最小值是；
若保持，则点在上底面内运动路径的长度为．
其中正确的是 填写所有正确结论的序号
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
已知复数，．
若是纯虚数，求的值；
若复数在复平面内对应的点在直线上，求的值．
18. 本小题分
年卡塔尔世界杯是第二十二届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继年韩日世界杯之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛某校为了提高学生对体育运动的兴趣，举办了一场体育知识答题比赛活动，共有名学生参加了此次答题活动为了解本次比赛的成绩，从中抽取了名学生的得分进行统计，所有学生的得分都不低于分，将这名学生的得分进行分组，第一组，第二组，第三组，第四组单位：分，得到如下的频率分布直方图．
求图中的值，并估计此次竞赛活动学生得分的中位数；
根据频率分布直方图，估计此次竞赛活动得分的平均值若对得分不低于平均值的同学进行奖励，请估计参赛的学生中有多少名学生获奖以每组中点作为该组数据的代表
19. 本小题分
已知平面向量，，满足，，，．
若向量，的夹角为，且，求的值；
若的最小值为，求向量，的夹角大小．
20. 本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，向量，且．
求角；
若的周长为，且外接圆的半径为，判断的形状，并求的面积．
21. 本小题分
如图，已知三角形是等腰三角形，，，，分别为，的中点，将沿折到的位置如图，且，取线段的中点为．
求证：平面；
求点到面的距离．
22. 本小题分
如图，四棱锥中，平面，，，过点作直线的平行线交于，为线段上一点．
求证：平面平面；
求平面与平面所成二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，
所以．
故选：．
根据复数的乘法运算求得，再求的共轭复数．
本题主要考查复数的四则运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在中，已知，，，
由正弦定理可得，
解得．
再根据，可得，
故A，
故选：．
由正弦定理求得再根据，可得，由此求得的值．
本题主要考查正弦定理的应用，大边对大角，根据三角函数的值求角，属于中档题．
3.【答案】
【解析】解：由题意，应抽取男生人，
应抽取女生人，
所以推测高一年级学生的数学平均成绩约为分．
故选：．
根据分层抽样求出应抽取男生和女生的人数，求出平均数即可．
本题考查平均数的定义，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：如图，连接，，
由正方体的结构特征可知，，
异面直线直线与所成的角为，
为等边三角形，
．
故选：．
由，得异面直线与所成的角为，由为等边三角形，即可求出异面直线与所成的角．
本题考查两异面直线所成角的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，
，
故选：．
分析：本题考查向量的线性运算及平面向量基本定理，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：，，
，，
向量在向量方向上的投影向量为．
故选：．
根据已知条件，结合向量的投影公式，即可求解．
本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由斜二测画法还原底面平面图如图所示，
其中，
所以，
所以此直三棱柱的底面积为，高为，
故直三棱柱表面积为．
故选：．
根据斜二测画法还原底面平面图，然后由直三棱柱的表面积公式可解．
本题考查了三棱柱的表面积公式，属基础题．
8.【答案】
【解析】解：如图，取的中点为，连接，，
因为平面，平面，故AB，
同理，
因为的中点为，故，
而，，，平面，故BC平面，
而平面，故CD，
故，所以为三棱锥外接球的球心，
又，故，所以，
故三棱锥外接球半径为，故其外接球的表面积为．
故选：．
取的中点为，连接，，可证为三棱锥外接球的球心，故可求外接球的表面积．
本题考查了三棱锥外接球的表面积计算，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：若，，，则或与相交，故A错误；
若，，，则或与相交，故B错误；
若，，则，又，则，故C正确；
若，，不平行，则与不垂直，否则，与平行，故D正确．
故选：．
由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系逐一分析四个选项得答案．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，，故A正确；
对于，虚数不能比较大小，故B错误；
对于，，
则在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误；
对于，是虚数单位是关于的方程的根，
则也是关于的方程的根，
故，解得，，
故，故D正确．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，虚数不能比较大小，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由于抽样比不同，故不是分层抽样，故A错误，
名男生成绩的分位数是，故B正确，
名男生成绩的平均数为，
名女生成绩的平均数为，
名男生成绩的方差为，
名女生成绩的方差为，
由于从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故C正确，D错误．
故选：．
根据已知条件，结合分层抽样的定义，以及平均数、百分位数和方差的公式及样本与总体的关系逐项判断即可．
本题主要考查统计的知识，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：对选项，，选项正确；
对选项，，，为钝角，选项正确；
对选项，，
由正弦定理可得，选项正确；
对选项，，
由正弦定理可得：，
，或，
或，选项错误．
故选：．
根据三角形的性质，正弦定理，三角函数公式，解三角方程，即可分别求解．
本题考查解三角形问题，正弦定理与三角函数公式的应用，三角方程的求解，属中档题．
13.【答案】
【解析】解：随机数表第行的第列和第列数字为，则选取的个个体依次为：，，，，，故选出来的第个个体的编号为．
故答案为：．
根据随机数表选取编号的方法求解即可．
本题考查随机数表选取编号的方法，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，
由可得．
故答案为：．
根据向量的坐标运算，结合平行满足的坐标关系即可求解．
本题主要考查平面向量的坐标运算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：如图，
，，则．
由正弦定理，得，
所以．
故答案为：．
先利用正弦定理求出，再求出．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题
16.【答案】
【解析】解：对于，由于在平面上的投影图形为底为，高为的三角形，
则投影图形的面积为定值，故正确；
对于，如图，取的四等分点，
则，平面截该正方体所得的截面图形是，为四边形，故错误；
对于，如图，延长，使得，连接交上底面于点，
则，
当，，三点共线时，其和最小为，且，，
，即的最小值是，故正确；
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
由，得，
化简得圆：，如图，
点在上底面内运动路径的长度为劣弧，记为，
，
，则，故正确．
故答案为：．
根据正方体的性质，结合题意作出对应的图形，逐项进行分析验证即可判断．
本题考查简单几何体的结构特征以及命题的真假判断，考查逻辑推理能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为，
要使是纯虚数，需满足，，解得，
所以，．．
因为，所以复数在复平面内对应的点为，
又因为复数在复平面内对应的点在直线上，
所以．
整理得解得或．
故的值为或．
【解析】求得，根据纯虚数的定义求得，再根据模长公式求解即可；
求得，从而可得，求解即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
18.【答案】解：由频率分布直方图知：，解得，
设此次竞赛活动学生得分的中位数为，因数据落在内的频率为，落在内的频率为，
从而可得，由得：，
所以估计此次竞赛活动学生得分的中位数为．
由频率分布直方图及知：数据落在，，，的频率分别为：
，，，，
，
此次竞赛活动学生得分不低于的频率为，
则，
所以估计此次竞赛活动得分的平均值为，在参赛的名学生中估计有名学生获奖．
【解析】根据频率和为可求，利用频率为时对应的横坐标可得中位数；
利用区间中点值估计平均数，结合得分不低于平均数的频率可得获奖人数．
本题考查频率分布直方图的性质、中位数、概率等基础知识，考查数据分析能力，属于基础题．
19.【答案】解：依题意，，
所以，
则，
又，
则；
设，夹角为，
则，
可知当时，有最小值，
所以，
解得，
又，
所以或．
【解析】根据题意可得，展开计算即可得解；
设，夹角为，表示出，结合题意可得，进而得解．
本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：因为，所以，
即．
由正弦定理得，
因为，所以．
因为，所以，所以．
因为，所以．
设外接圆的半径为，则．
由正弦定理，得．
因为的周长为，所以．
由余弦定理，得，
即，所以．
则．
所以为等边三角形，的面积．
【解析】由，可得，后由正弦定理结合即可得答案；
由，的周长为，且外接圆的半径为，可得，
后由余弦定理可得，解出，即可得答案．
本题主要考查三角形中的几何计算，考查转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：证明：取中点，连接，，
为的中点，则，，，，
又，分别为，的中点，则，，
，，四边形为平行四边形，则．
平面，平面，平面；
由条件知：，，，，，
又，，，面，面，
又面，，，
为直角三角形，；
，，为直角三角形．
，，
点到面的距离为，
，
设点到面的距离为，则，
，即，．
【解析】取中点，连接，，证明四边形为平行四边形得，从而证得平面；
等积转化法，由求得点到面的距离．
本题考查线面平行的证明，线面平行的判定定理，等体积法求解点面距问题，化归转化思想，属中档题．
22.【答案】解：证明：因为平面，平面，
所以，
因为，
所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
连结，过点作于点，连接，如图，
平面，，平面，
所以，，
因为，，，
由勾股定理得：，
则，
同理可得，，
故，
所以三角形为等边三角形，，
故，，，
在中，由余弦定理得：，
则，，
在中，由余弦定理得：，
在中，，
因为，
所以，
所以为平面与平面所成二面角的平面角，
由余弦定理得：．
【解析】证明出平面，由，得到平面，故而得证；
作出辅助线，找到为平面与平面所成二面角的平面角，利用余弦定理求出二面角的大小即可．
本题考查面面垂直的判定定理，考查二面角的定义及其求解，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
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