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全等模型专题1——倍长中线与截长补短
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
例2．倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．
【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：．
简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，．
【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．（2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长．（3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．
例3．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
例4．阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
例2．如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
例3．如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．(1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
例4．（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
课后专项训练：
1．如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2 B． C． D．3
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
3．如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）
4．如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．
5．利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍．
（1）尺规作图：作的平分线．
【模型构造】（2）填空：
①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”）
方法一：巧翻折，造全等
在上截取，连接，则．
②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______．
方法二：构距离，造全等
过点作，垂足为点，则．
【模型应用】（3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．
①请直接写出______；②试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
6．（2022·河南·模拟预测）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．某同学做了如下探究，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应该是______．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并说明理由．（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
7．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在△ABC 中，若 AB＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DE＝AD，再连接 BE（或将△ACD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD），把 AB、AC、2AD 集中在△ABE 中， 利用三角形的三边关系可得 2＜AE＜8，则 1＜AD＜4．
【感悟】解题时，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中 心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【解决问题】受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图 2，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点， DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF．
（1）求证：BE＋CF＞EF，（2）若∠A＝90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系，并加以证明．、
8．我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．
9．如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
10．已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
11．如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
12．如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：．
13．如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于． （1）求证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
14．如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
15．小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)小明证明用到的判定定理是： (用字母表示)；(2)的取值范围是 ；
(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：．
八年级全等模型专题1——倍长中线与截长补短
全等三角形在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就全等三角形中的重要模型（倍长中线模型、截长补短模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型1.倍长中线模型
【模型解读】中线是三角形中的重要线段之一，在利用中线解决几何问题时，常常采用“倍长中线法”添加辅助线．所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法．（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。
【常见模型及证法】
1、基本型：如图1，在三角形ABC中，AD为BC边上的中线.
证明思路：延长AD至点E，使得AD=DE. 若连结BE，则；若连结EC，则；
2、中点型:如图2，为的中点.
证明思路：若延长至点，使得，连结，则;
若延长至点，使得，连结，则.
3、中点+平行线型：如图3, ，点为线段的中点.
证明思路：延长交于点 (或交延长线于点)，则.
例1．（2022·山东烟台·一模）（1）方法呈现：
如图①：在中，若，，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使，再连接BE，可证，从而把AB、AC，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
（2）探究应用：如图②，在中，点D是BC的中点，于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断与EF的大小关系并证明；
（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是的角平分线．试探究线段AB，AF，CF之间的数量关系，并加以证明．
【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．
【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；
（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；
（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．
【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，∵，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，
在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5，
（2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；
（3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，
在△ABE和△GCE中 CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，
∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，
∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．
例2．（2022·河北·中考模拟）倍长中线的思想在丁倍长某条线段（被延长的线段要满足两个条件：线段一个端点是图中一条线段的中点；线段与这条线段不共线)，然后进行连接，构造三角形全等，再进一步将某些线段进行等量代换，再证明全等或其他的结论，从而解决问题．
【应用举例】如图（1），已知：为的中线，求证：．
简证：如图（2），延长到，使得，连接，易证，得 ，在中， ，．
【问题解决】（1）如图（3），在中，是边上的中线，是上一点，且，延长交于，求证：．（2）如图（4），在中，是边的中点，分别在边上，，若，求的长．（3）如图（5），是的中线，，且，请直接写出与的数量关系_ 及位置关系_ ．
【答案】；（1）详见解析；（2）5；（3），
【分析】【应用举例】由全等的性质可得AB=EC，由三角形三边关系可得AC+CE>AE，即AB+AC>2AD；
故答案为EC，AE；
【问题解决】（1）由题意不难得到所以∠BGD=∠BED=∠AEF=∠DAC，∴有AF=EF；
（2）延长ED到G，使DG=ED，连结CG、FG，不难得到EF=FG，另同（1）有△BDE≌△CDG，所以∠FCG=∠FCD+∠GCD=∠FCD+∠EBD=90°，CG=BE=3，由勾股定理可得FG即EF的长；
（3）由全等三角形的性质可以得到解答．
【详解】【应用举例】
【问题解决】如图延长到，
使得连接易证得，
．
如图，延长到，使得连接易证
得，垂直平分
即
在中，，
，理由如下：
如图3，延长AD到G，使AD=DG，延长DA交EF于P，连结BG，则不难得到△BGD≌△CAD，
∴BG=AC，∠GBD=∠ACD，∠DGB=∠DAC，
又AF=AC，∴BG=AF，∴∠ABG=∠ABD+∠GBD=∠ABD+∠ACD=180°-∠ BAC=∠EAF，
∴在△ABG和△EAF中，，∴△ABG≌△EAF，
∴EF=AG=2AD，∠EFA=∠DGB=∠DAC，∵∠DAC+∠PAF=180°-∠FAC=180°-90°=90°，
∴∠EFA+∠PAF=90°，∴∠APF=90°，∴EF⊥AD ．
【点睛】本题考查全等三角形的综合运用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键 ．
例3．（2022·贵州毕节·二模）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
(1)如图1，△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考帮小明完成解答过程．
(2)如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC干E，交AD于F，且AE=EF．请判昕AC与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析(2)AC=BF，理由见解析
【解析】（1）解：如图，延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，
在△ADC和△EDB中∵，∴△ADC≌△EDB（SAS）．∴BE=AC=3．
∵AB-BE
在△ADC和△GDB中，，∴△ADC≌△GDB（SAS）．∴BG=AC，∠G=∠DAC．．
∵AE=EF∴∠AFE=∠FAE． ∴∠DAC=∠AFE=∠BFG∴∠G=∠BFG∴BG=BF∴AC=BF．
【点睛】本题考查全等三角形判定与性质，三角形三边的关系，作辅助线：延长AD到点E，使DE=AD，构造全等三角形是解题的关键．
例4．（2022·山东·安丘市一模）阅读材料：如图1，在中，D，E分别是边AB，AC的中点，小亮在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使，连接CF，证明，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．
类比迁移：（1）如图2，AD是的中线，E是AC上的一点，BE交AD于点F，且，求证：．
小亮发现可以类比材料中的思路进行证明．
证明：如图2，延长AD至点M，使，连接MC，……
请根据小亮的思路完成证明过程．
方法运用：（2）如图3，在等边中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，F是线段BE的中点，连接DF、CF．请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明．
【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析
【分析】(1) 延长AD至M，使，连接MC，证明，结合等角对等边证明即可．
(2) 延长DF至点M，使，连接BM、AM，证明，△ABM是等边三角形，代换后得证．
【详解】（1）证明：延长AD至M，使，连接MC．
在和中，，∴，∴，，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴．
（2）线段DF与AD的数量关系为：．
证明如下：延长DF至点M，使，连接BM、AM，如图2所示：
∵点F为BE的中点，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∵线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE
∴，，∴
∵是等边三角形∵，，
∴
∵，∴
在和中，∵，∴
∴，，∴
∴是等边三角形，∴．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．
模型2.截长补短模型
【模型解读】
截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程，截长补短法（往往需证2次全等）。
截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
【常见模型及证法】
（1）截长：在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段。
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE
（2）补短：将短线段延长，证与长线段相等
例：如图，求证BE+DC=AD
方法：①延长DC至点M处，使CM=BE，证DM=AD；②延长DC至点M处，使DM=AD，证CM=BE
例1．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：AD+BC=AB．
【答案】证明见解析
【分析】如图，在上截取证明再证明可得 从而可得结论.
【详解】证明：如图，在上截取
平分
平分
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用截长补短的方法证明两条线段的和等于另一条线段”是解题的关键.
例2．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，在中，，平分．
（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，若，求的度数；
（3）如图3，若，求证：．
【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解
【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论；（2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90° α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论；（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论．
【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，
∴在中，， ∴∠ABC＝45°，
∵∠ACB＝90°，AD是角平分线，∴CD＝MD，
∴∠BDM＝∠ABC＝45°，∴BM＝DM，∴BM＝CD，
在RT△ADC和RT△ADM中，
，∴RT△ADC≌RT△ADM（HL），
∴AC＝AM，∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD，即AB＝AC＋CD；
（2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90° α，
在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2，
∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK∴BK＝BD，
∵AD是角平分线，∴∠CAD＝∠KAD，
在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS），
∴∠ACD＝∠AKD＝α，∴∠BKD＝180° α，
∵BK＝BD，∴∠BDK＝180° α，∴在△BDK中，180° α＋180° α＋90° α＝180°，
∴α＝108°，∴∠ACB＝108°；
（3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，
∵∠ACB＝100°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝40°，
∵AD是角平分线，∴∠HAD＝∠CAD＝20°，∴∠ADH＝∠AHD＝80°，
在AB上截取AK＝AC，连接DK，由（1）得，△CAD≌△KAD，
∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，∴∠DKH＝80°＝∠DHK，∴DK＝DH＝CD，
∵∠CBA＝40°，∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°，∴DH＝BH，∴BH＝CD，
∵AB＝AH＋BH，∴AB＝AD＋CD．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键．
例3．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在锐角中，，点D，E分别是边上一动点，连接BE交直线于点F．
(1)如图1，若，且，求的度数；(2)如图2，若，且，在平面内将线段绕点C顺时针方向旋转60°得到线段，连接，点N是的中点，连接．在点D，E运动过程中，猜想线段之间存在的数量关系，并证明你的猜想．
【答案】(1)(2)，理由见解析
【分析】（1）如图1中，在射线上取一点K，使得，证明，推出，再证明，可得结论；
（2）结论：．首先证明．如图2中，延长到Q，使得，连接，证明，推出，延长到P，使得，则是等边三角形，再证明，推出，，推出是等边三角形，可得结论
【详解】（1）解：如图1中，在射线上取一点K，使得，
在和中， ，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴．
（2）结论：．
理由：如图2中，∵，∴是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
如图2中，延长到Q，使得，连接，
∵，∴，
∴，，∴，∴．
延长到，使得，∵，
∴是等边三角形，∴，
∴，∵，∴，
∴，∴是等边三角形，∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
例4．（2022秋·全国·八年级期末）（1）阅读理解：问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：．
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题．
方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题．
结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明．
（2）问题解决：如图2，在（1）的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由；（3）问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点D作，垂足为点E，请直接写出线段、、之间的数量关系．
【答案】（1）证明见解析；（2）；理由见解析；（3）．
【分析】（1）方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题；方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题；
（2）延长到点，使，连接，证明，可得，即
（3）连接，过点作于，证明，，进而根据即可得出结论．
【详解】解：（1）方法1：在上截，连接，如图．
平分，．在和中，，
，，．
，．
．，．
方法2：延长到点，使得，连接，如图．
平分，．
在和中，，．，．
，．，，．
（2）、、之间的数量关系为：．（或者：，）．
延长到点，使，连接，如图2所示．
由（1）可知，．为等边三角形．，．
，．．
，为等边三角形．，．
，，即．
在和中，，．，
，．
（3），，之间的数量关系为：．
（或者：，）
解：连接，过点作于，如图3所示．
，．．
在和中，，，，．
在和中，，．，
，．
【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
课后专项训练：
1．（2022·浙江湖州·二模）如图，在四边形中，，，，，，点是的中点，则的长为（ ）．
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】延长BE交CD延长线于P，可证△AEB≌△CEP，求出DP，根据勾股定理求出BP的长，从而求出BM的长．
【详解】解：延长BE交CD延长线于P，
∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠ECP，在△AEB和△CEP中，
∴△AEB≌△CEP（ASA）∴BE＝PE，CP＝AB＝5
又∵CD＝3，∴PD=2，∵∴
∴BE＝BP＝．故选：C．
【点睛】考查了全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是得恰当作辅助线构造全等，依据勾股定理求出BP．
2．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若这个四边形的面积是4，则BC+CD等于（ ）
A．2 B．4 C．2 D．4
【答案】B
【分析】延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，可以证明△ADC≌△ABE，可得△EAC是等腰直角三角形，再根据△EAC的面积等于四边形的面积是4，可得EC的长，进而可得结论．
【详解】解：如图，延长CB到点E，使BE＝DC，连接AE，AC，
∵∠DAB＝∠BCD＝90°，∴∠D+∠ABC＝180°，
∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠ABE，
在△ADC和△ABE中，，∴△ADC≌△ABE（SAS），
∴AC＝AE，∠DAC＝∠BAE，S△AEC＝S四边形ABCD，
∵∠DAC+∠CAB＝90°，∴∠BAE+∠CAB＝90°，
∴∠EAC＝90°，∴△EAC是等腰直角三角形，
∵，∴AE＝，∴EC＝4，
∴BC+CD＝BC+BE＝EC＝4．故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、面积及等积变换、三角形面积公式、勾股定理，解题的关键是综合运用以上知识．
3．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，与有一条公共边AC，且AB=AD，∠ACB=∠ACD=x，则∠BAD=________．（用含有x的代数式表示）
【答案】180°-2x
【分析】在CD上截取CE=CB，证明△ABC≌△AEC得AE=AB，∠B=∠AEC,可进一步证明∠D+∠B=180°,再根据四边形内角和定理可得结论．
【详解】解：在CD上截取CE=CB，如图所示，
在△ABC和△AEC中，
∴△ABC≌△AEC(SAS)∴AE=AB，∠B=∠AEC,
∵AB=AD，∴AD=AE，∴∠D=∠AED，
∵∠AED+∠AEC=180°，∴∠D+∠B=180°，
∵∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°
∴∠DAB+∠BCD =360°-∠ABC-∠CDA=360°-180°=180°，
∵∠BCD =∠ACB +∠ACD =x+x=2x∴∠DAB=180°-∠BCD=180°-2x故答案为：180°-2x
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质以及四边形的内角和等知识，作辅助线构造全等三角形是解答此题的难点．
4．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图所示，已知AC平分∠BAD，，于点E，判断AB、AD与BE之间有怎样的等量关系，并证明．
【答案】，证明见解析
【分析】在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．证明，得到，又证明，得到，最后结论可证了．
【详解】证明:在AB上截取EF，使EF=BE，联结CF．
在 和
AC平分∠BAD
在 和中
【点睛】本题考查三角形全等知识的综合应用，关键在于寻找全等的条件，作适当的辅助线加以证明．
5．（2022·安徽淮南·八年级期中）利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半动倍．
（1）尺规作图：作的平分线．
【模型构造】（2）填空：
①如图．在中，，是的角平分线，则______．（填“”、“”或“”）
方法一：巧翻折，造全等
在上截取，连接，则．
②如图，在四边形中，，，和的平分线，交于点．若，则点到的距离是______．
方法二：构距离，造全等
过点作，垂足为点，则．
【模型应用】（3）如图，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．
①请直接写出______；②试猜想与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②6；（3）①120°；②，理由见解析．
【分析】（1）直接利用角平分线的作法作图即可；
（2）①根据三角形的性质：大边对大角即可解答；
②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得BE=EF=EC,即E为BC的中点，进而求得EF的长即可；（3）①利用角平分线的定义和三角形内角和即可解答；
②在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答．
【详解】解：（1）如图所示
（2）①∵∴大于；故答案为；
②如图：过点作，垂足为点，
∵和的平分线，交于点
∴BE=EF=EC,即BE=BC=6∴EF=6,即点到的距离是6故答案为6；
（3）①∵∠A=60°∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°
∵，是的两条角平分线，且，交于点．
∴∠CBE+∠BCF==60°∴180°-∠CBE+∠BCF=120°；
②，理由如下：
在上截取，连接，则，
∴，，由①知：，
∴，∴，∴，
又∵，∴，
∵是的角平分线，∴，
∵，∴，∴，∴．
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、性质定理以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键．
6．（2022·河南·模拟预测）（1）如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，探究图中线段BE、EF、FD之间的数量关系．某同学做了如下探究，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应该是______．（2）如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD，上述结论是否依然成立？若成立，请说明理由；若不成立，写出正确的结论，并说明理由．（3）如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/时的速度前进1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）EF=BE+DF；（2）结论EF=BE+DF仍然成立；理由见解析；（3）此时两舰艇之间的距离是210海里
【分析】（1）根据题意证明△ABE≌△ADG，△AEF≌△AGF，可得EF=FG，根据FG=DG+DF=BE+DF，可得EF=BE+DF；
（2）延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，同（1）的方法证明即可；
（3）连接EF，延长AE、BF相交于点C，应用（2）的结论可得EF=AE+BF进而气得的长，即两舰艇之间的距离
【详解】（1）EF=BE+DF，证明如下：
在△ABE和△ADG中，
，∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为 EF=BE+DF．
（2）结论EF=BE+DF仍然成立；
理由：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，如图②，
∵∠B+∠ADF=180°,∠ADG+∠ADF=180°,∴∠B=∠ADG,
在△ABE和△ADG中，
，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，
∵∠EAF=∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，
在△AEF和△AGF中，
，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，
∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；
（3）如图③，连接EF，延长AE、BF相交于点C，
∵∠AOB=30°+90°+（90°-70°）=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB，
又∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=（90°-30°）+（70°+50°）=180°，
∴符合探索延伸中的条件，∴结论EF=AE+BF成立，
即EF=1.5×（60+80）=210海里．
答：此时两舰艇之间的距离是210海里．
【点睛】本题考查全等三角形的性质与判定，方位角的计算，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
7．（2022·河南·许昌市九年级期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，在△ABC 中，若 AB＝5，AC＝3，求 BC 边上的中线 AD 的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得 DE＝AD，再连接 BE（或将△ACD 绕点 D 逆时针旋转 180°得到△EBD），把 AB、AC、2AD 集中在△ABE 中， 利用三角形的三边关系可得 2＜AE＜8，则 1＜AD＜4．
【感悟】解题时，条件中若出现中点、中线字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中 心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
【解决问题】受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图 2，在△ABC 中，D 是 BC 边上的中点， DE⊥DF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF．
（1）求证：BE＋CF＞EF，
（2）若∠A＝90°，探索线段 BE、CF、EF 之间的等量关系，并加以证明．、
【答案】（1）见解析；（2），见解析
【分析】（1）延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），利用三角形的三边关系即可解决问题；
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，在Rt△EBG中，根据BE2+BG2=EG2，即可解决问题；
【详解】解：（1）延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG，DF=DG，∵DE⊥DF，∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，∴BE2+CF2=EF2；
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
8．（2022·江苏镇江·八年级阶段练习）我们规定：有两组边相等，且它们所夹的角互补的两个三角形叫兄弟三角形．如图，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，回答下列问题：
(1)求证：△OAC和△OBD是兄弟三角形．(2)“取BD的中点P，连接OP，试说明AC＝2OP．”聪明的小王同学根据所要求的结论，想起了老师上课讲的“中线倍长”的辅助线构造方法，解决了这个问题，按照这个思路回答下列问题．①请在图中通过作辅助线构造△BPE≌△DPO，并证明BE＝OD；②求证：AC＝2OP．
【答案】(1)见解析(2)①见解析；②见解析
【分析】（1）证出∠AOC+∠BOD=180°，由兄弟三角形的定义可得出结论；
（2）①延长OP至E，使PE=OP，证明△BPE≌△DPO（SAS），由全等三角形的性质得出BE=OD；
②证明△EBO≌△COA（SAS），由全等三角形的性质得出OE=AC，则可得出结论．
（1）证明：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC+∠BOD=360°-∠AOB-∠COD=360°-90°-90°=180°，
又∵AO=OB，OC=OD，∴△OAC和△OBD是兄弟三角形；
（2）①证明：延长OP至E，使PE=OP，
∵P为BD的中点，∴BP=PD，
又∵∠BPE=∠DPO，PE=OP，∴△BPE≌△DPO（SAS），∴BE=OD；
②证明：∵△BPE≌△DPO，∴∠E=∠DOP，∴BEOD，∴∠EBO+∠BOD=180°，
又∵∠BOD+∠AOC=180°，∴∠EBO=∠AOC，∵BE=OD，OD=OC，∴BE=OC，
又∵OB=OA，∴△EBO≌△COA（SAS），∴OE=AC，
又∵OE=2OP，∴AC=2OP．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了新定义兄弟三角形，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
9．（2022·全国·八年级专题练习）如图1，在中，是边的中线，交延长线于点，．（1）求证；（2）如图2，平分交于点，交于点，若，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）延长至点，使，可证，由全等三角形的性质从而得出，根据题目已知，可证，由全等三角形的性质从而得出，等量代换即可得出答案；
（2）如图所示，作，可证，由全等三角形的性质相等角从而得出，进而得出，故可证等量转化即可求出的值．
【详解】（1）如图1所示，延长至点，使，
在与中，，，，，，
在与中，,，，；
（2）如图所示，，，
平分，，，
，，，作，
在与中，，，
，，
在与中，，，
，，，
设，，，．
【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
10．（2022·山东东营·中考真题）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．
（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是________．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）[拓展延伸]如图3，当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
【答案】（1）；（2）仍然成立，证明见解析；（3）①仍然成立，证明见解析；②
【分析】（1）根据三角形全等可得；
（2）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E，证明即可，
方法二：延长CO交BD于点E，证明即可；
（3）方法一：过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E，证明，
方法二：延长CO交DB的延长线于点E，证明；
【详解】（1）O是线段AB的中点
在和中
（2）数量关系依然成立．
证明（方法一）：过点O作直线，交BD于点F，延长AC交EF于点E．
∵∴
∴四边形CEFD为矩形∴，
由（1）知，∴，∴．
证明（方法二）：延长CO交BD于点E，
∵，，∴，∴，
∵点O为AB的中点∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴．
（3）数量关系依然成立．证明（方法一）：
过点O作直线，交BD于点F，延长CA交EF于点E．
∵∴
∴四边形CEFD为矩形．∴，
由（1）知，∴，∴．10分
证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，
∵，，∴，
∴，∴点O为AB的中点，∴，
又∵，∴，∴，
∵，∴．
【点睛】此题主要考查了三角形全等的性质与判定，直角三角形的性质，根据题意找到全等的三角形，证明线段相等，是解题的关键．
11．（2023·全国·八年级假期作业）如图，四边形中，， ，，M、N分别为AB、AD上的动点，且．求证： ．
【答案】见解析
【分析】延长至点，使得，连接，根据同角的补角相等得，根据证明，则，进而证明，根据证明，得到，则．
【详解】证明：延长至点，使得，连接，
四边形中，，，，
在和中，，
，，，
，，
，，
在和中，，
，．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解决问题的关键．
12．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图，已知：在中，，、是的角平分线，交于点O求证：．
【答案】见解析
【分析】在AC上取一点H，使AH＝AE，根据角平分线的定义可得∠EAO＝∠HAO，然后利用“边角边”证明△AEO和△AHO全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AE0＝∠AHO，根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠3＝60°，再根据角平分线的定义和三角形的内角和定理求出∠4＝60°，从而得到∠3＝∠4，然后利用“边角边”证明△CFO和△CHO全等，根据全等三角形对应边相等可得CF＝CH，再根据AC＝AH＋CH代换即可得证．
【详解】证明：如图，在上取一点H，使，连接．
∵是的角平分线，∴，
在和中，∵
∴，∴，
∵是的角平分线，∴，
∵，∴，
∵、是的角平分线，
∴，∴，
在和中，
∴，∴，
∵，∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，利用“截长补短”法作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
13．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，正方形中，是的中点，交外角的平分线于． （1）求证：；（2）如图，当是上任意一点，而其它条件不变，是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析
【分析】（1）取的中点，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到；（2）成立，在上取，连接，根据已知及正方形的性质利用判定，从而得到．
【详解】（1）证明：取的中点，连接，如图；
是正方形，；
，，
，∴，
又∵，，
在和中，
，；
（2）解：成立．在上取，连接，如图，
为正方形，，
，，
又∵，∴，
在和中，
，．
【点睛】此题考查了学生对正方形的性质及全等三角形判定的理解及运用，解题关键是构造．
14．（2022秋·浙江·八年级专题练习）如图所示，已知△ABC中AB＞AC，AD是∠BAC的平分线，M是AD上任意一点，求证：MB－MC＜AB－AC．
【答案】见解析
【分析】法一：因为AB＞AC，所以在AB上截取线段AE＝AC，则BE＝AB－AC，连接EM，在△BME中，显然有MB－ME＜BE，再证明ME＝MC，则结论成立．
法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，证明△ABM≌△AGM，得到BM=GM，根据三角形的三边关系即可求解．
【详解】证明：法一：在AB上截取AE＝AC，连接ME，
在△MBE中，MB－ME＜BE（三角形两边之差小于第三边）,
∵AD是∠BAC的平分线，∴,
在△AMC和△AME中，∵∴△AMC≌△AME（SAS），
∴MC＝ME（全等三角形的对应边相等）．
又∵BE＝AB－AE，∴BE＝AB－AC，∴MB－MC＜AB－AC．
法二：延长AC至H，在AH上截取线段AB＝AG，
同理可证得△ABM≌△AGM（SAS），∴BM=GM，
∵在△MCG中MG-MC＜CG ∴MB－MC＜AG-AC= AB－AC
即MB－MC＜AB－AC．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系以及截长补短法，解题关键是作辅助线构造全等三角形．
15．（2022秋·甘肃庆阳·八年级校考期末）小明遇到这样一个问题，如图1，中，，，点为的中点，求的取值 范围．小明发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题，所谓倍长中线法，就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法，他的做法是：如图2，延长到，使，连接，构造，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
(1)小明证明用到的判定定理是： (用字母表示)；(2)的取值范围是 ；
(3)小明还发现：倍长中线法最重要的一点就是延长中线一倍，完成全等三角形模型的构造．参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在中，为边上的中线，且平分，求证：．
【答案】(1)(2)(3)证明见解析
【分析】（1）根据定理解答；（2）根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系计算，得到答案；（3）仿照（1）的作法，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【详解】（1）解：在和中，，
小明证明用到的判定定理是，故答案为：；
（2）解：，，
在中，，
，；
（3）证明：延长到点E，使，连接，
在和中，，
，，，
平分，，
，，．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形三边关系，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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