卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年辽宁省盘锦市大洼一中九年级（上）期初数学试卷
一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个答案是正确的，请将正确答案前的字母填入题后的括号内.每小题2分，共20分）
1．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x≤ D．x≤5
2．（2分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15
4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根为0 D．没有实数根
5．（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
6．（2分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2分）某景点去年第一季度接待游客25万人次，第二、第三季度共接待游客150万人次．设该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为x且保持不变（x＞0），则（ ）
A．25（1+x）2＝150
B．25（1+x）＝150
C．25+25（1+x）+25（1+x）2＝150
D．25（1+x）+25（1+x）2＝150
8．（2分）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝10，c＝6；②a2＝3，b2＝4，c2＝5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④∠A＝2∠B＝2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，点M是AD的中点，点P由点A出发，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）（单位：h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息（ ）
A．两城相距480千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．当乙车到达B城时，甲车距离B城80千米
D．甲车出发后4小时，乙车追上甲车
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）将直线y＝2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 ．
12．（3分）小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲内容、演讲能力、演讲效果得分分别为86分，72分，若依次按照40%，30%，则她的平均成绩是 分．
13．（3分）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为 ．
14．（3分）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是 ．
15．（3分）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD⊥BD，且AD平分∠BAC，AC＝9cm，则DE的长为 ．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1 ．
三、解答题（本题共82分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣1＝0；
（2）x（x﹣2）＝x﹣2．
19．（6分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图①和图②，解答下列问题：
（I）本次接受随机抽样调查的中学生人数为 ，图①中m的值是 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数．
20．（10分）如图所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接AF，CE直接写出当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？
21．（10分）如图，已知过点B（1，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝2x+4相交于点P（a，2）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式kx+b≥2x+4的解集；
（3）求四边形PAOC的面积．
22．（10分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上
（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长．
（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，
①求证：EF＝EG．
②求HF的长．
23．（10分）2022年，合肥蜀山区某商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售256件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上
（1）求四、五这两个月的月平均增长率；
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，该商品每降价1元，月销量增加40件，商场月获利6240元？
24．（10分）为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元．
（1）当0≤x≤50和x＞50时，求y与x之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元．
①当x＞50时，求出w与x间的函数表达式；
②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A
25．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF ，线段CF，BD的数量关系为 ；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，CF⊥BC（点C、F不重合），请直接写出答案．
2023-2024学年辽宁省盘锦市大洼一中九年级（上）期初数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（下列各题的备选答案中只有一个答案是正确的，请将正确答案前的字母填入题后的括号内.每小题2分，共20分）
1．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞ B．x≥ C．x≤ D．x≤5
【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可．
【解答】解：由题意得，5x﹣1≥5，
解得，x≥，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
2．（2分）下列各式中是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、＝2；
B、＝，故B不符合题意；
C、＝＝，故C不符合题意；
D、是最简二次根式；
故选：D．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
3．（2分）一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（ ）
A．（x+4）2＝17 B．（x﹣4）2＝17 C．（x+4）2＝15 D．（x﹣4）2＝15
【分析】先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
【解答】解：∵x2﹣8x﹣8＝0，
∴x2﹣7x＝1，
∴x2﹣7x+16＝1+16，即（x﹣4）4＝17，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
4．（2分）一元二次方程x2﹣2x﹣6＝0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．有一个实数根为0 D．没有实数根
【分析】根据一元二次方程根的判别式求解即可得出．
【解答】解：∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×（﹣7）＝28＞0，
∴一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0有两个不相等的实数根，
故选：A．
【点评】此题考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：（1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0 方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0 方程没有实数根．
5．（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，若∠COD＝50°，那么∠CAD的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．40°
【分析】只要证明OA＝OD，根据三角形的外角的性质即可解决问题；
【解答】解：∵矩形ABCD中，对角线AC，
∴DB＝AC，OD＝OB，
∴OA＝OD，
∴∠CAD＝∠ADO，
∵∠COD＝50°＝∠CAD+∠ADO，
∴∠CAD＝25°，
故选：B．
【点评】本题考查矩形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6．（2分）正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随着x增大而减小，则一次函数y＝x+k的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据正比例函数的性质得到k＜0，然后根据一次函数的性质得到一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限，且与y轴的负半轴相交．
【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的函数值y随x的增大而减小，
∴k＜0，
∵一次函数y＝x+k的一次项系数大于8，常数项小于0，
∴一次函数y＝x+k的图象经过第一、三象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）．
7．（2分）某景点去年第一季度接待游客25万人次，第二、第三季度共接待游客150万人次．设该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为x且保持不变（x＞0），则（ ）
A．25（1+x）2＝150
B．25（1+x）＝150
C．25+25（1+x）+25（1+x）2＝150
D．25（1+x）+25（1+x）2＝150
【分析】根据题意可知：该景点去年第二季度接待游客25（1+x）万人次，第三季度接待游客25（1+x）2万人次，结合该景点第二、第三季度共接待游客150万人次，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该景点去年第一季度接待游客25万人次，该景点去年第一季度到第三季度的接待游客人次的增长率为x且保持不变，
∴该景点去年第二季度接待游客25（1+x）万人次，第三季度接待游客25（1+x）8万人次．
依题意得：25（1+x）+25（1+x）8＝150．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（2分）在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，则下列条件中：①a＝10，c＝6；②a2＝3，b2＝4，c2＝5；③a2＝（b+c）（b﹣c）；④∠A＝2∠B＝2∠C．其中能判断△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：①∵b2+c2＝72+67＝100＝a2，
∴此三角形是直角三角形；
②∵a2＝3，b2＝4，c7＝5，
∴a2+b4≠c2，
∴此三角形不是直角三角形；
③∵a2＝（b+c）（b﹣c），
∴a7＝b2﹣c2，
∴此三角形是直角三角形；
④∵∠A＝8∠B＝2∠C，
∴设∠B＝∠C＝x，则∠A＝2x，
∴x+x+5x＝180°，
解得：x＝45°，
∴∠A＝2x＝90°，
∴此三角形是直角三角形．
故选：C．
【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．也考查了三角形内角和定理．
9．（2分）如图，菱形ABCD中，AB＝2，点M是AD的中点，点P由点A出发，到达点D停止，则△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分类讨论：当0≤x≤2，如图1，作PH⊥AD于H，AP＝x，根据菱形的性质得∠A＝60°，AM＝1，则∠APH＝30°，根据含30度的直角三角形三边的关系得到在RtAH＝x，PH＝x，然后根据三角形面积公式得y＝AM PH＝x；当2＜x≤4，如图2，作BE⊥AD于E，AP+BP＝x，根据菱形的性质得∠A＝60°，AM＝1，AB＝2，BC∥AD，则∠ABE＝30°，在Rt△ABE中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AE＝1，PH＝，然后根据三角形面积公式得y＝AM BE＝；当4＜x≤6，如图3，作PF⊥AD于F，AB+BC+PC＝x，则PD＝6﹣x，根据菱形的性质得∠ADC＝120°，则∠DPF＝30°，在Rt△DPF中，根据含30度的直角三角形三边的关系得DF＝（6﹣x），PF＝DF＝（6﹣x），则利用三角形面积公式得y＝AM PF＝﹣x+，最后根据三个解析式和对应的取值范围对各选项进行判断．
【解答】解：当点P在AB上运动时，即0≤x≤2，
作PH⊥AD于H，AP＝x，
∵菱形ABCD中，AB＝7，点M是AD的中点，
∴∠A＝60°，AM＝1，
∴∠APH＝30°，
在Rt△APH中，AH＝x，
PH＝AH＝x，
∴y＝AM PH＝x＝x；
当点P在BC上运动时，即2＜x≤5，
作BE⊥AD于E，AP+BP＝x，
∵四边形ABCD为菱形，∠B＝120°，
∴∠A＝60°，AM＝1，BC∥AD，
∴∠ABE＝30°，
在Rt△ABE中，AE＝，
PH＝AE＝，
∴y＝AM BE＝＝；
当点P在CD上运动时，即4＜x≤6，
作PF⊥AD于F，AB+BC+PC＝x，
∵菱形ABCD中，∠B＝120°，
∴∠ADC＝120°，
∴∠DPF＝30°，
在Rt△DPF中，DF＝（6﹣x），
PF＝DF＝，
∴y＝AM PF＝（6﹣x）＝x+，
∴△APM的面积y与点P经过的路程x之间的函数关系的图象为三段：当0≤x≤2，图象为线段x；当2≤x≤8，且到x轴的距离为，图象为线段x+．
故选：B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象：利用点运动的几何性质列出有关的函数关系式，然后根据函数关系式画出函数图象，注意自变量的取值范围．
10．（2分）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（单位：km）（单位：h）之间的函数关系如图所示，根据图象提供的信息（ ）
A．两城相距480千米
B．乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时
C．当乙车到达B城时，甲车距离B城80千米
D．甲车出发后4小时，乙车追上甲车
【分析】根据函数图象可得两城相距480千米，乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时，根据“速度＝路程÷时间”可得甲乙两车的速度，进而得出相应结论．
【解答】解：由图象可知，两城相距480千米；
由图象可知，乙车比甲车晚出发1小时，故选项B不合题意；
甲车的速度为：480÷8＝60（km/h），乙车的速度为：480÷（8﹣1）＝80（km/h），
当乙车到达B城时，甲车距离B城：480﹣60÷7＝60（km）；
设甲出发x小时后，乙车追上甲车，
则60x＝80（x﹣7），
解得x＝4，
即甲车出发后4小时，乙车追上甲车．
故选：C．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
二、填空题（本题共18分，每小题3分）
11．（3分）将直线y＝2x+1向下平移3个单位长度后所得直线的解析式是 y＝2x﹣2 ．
【分析】根据函数的平移规则“上加下减”，即可得出直线平移后的解析式．
【解答】解：根据平移的规则可知：
直线y＝2x+1向下平移2个单位长度后所得直线的解析式为：y＝2x+1﹣5＝2x﹣2．
故答案为：y＝6x﹣2．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是熟记函数平移的规则“上加下减”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平移的规则求出平移后的函数解析式是关键．
12．（3分）小红参加学校举办的“我爱我的祖国”主题演讲比赛，她的演讲内容、演讲能力、演讲效果得分分别为86分，72分，若依次按照40%，30%，则她的平均成绩是 80.3 分．
【分析】根据加权平均数的计算公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：
86×40%+72×30%+81×30%
＝34.4+21.6+24.7
＝80.3（分），
∴她的平均成绩是80．（3分）．
故答案为：80.6．
【点评】本题考查的是加权平均数的求法．本题易出现的错误是求86，72，81这三个数的平均数，对加权平均数的理解不正确．
13．（3分）如图，在Rt△BAC和Rt△BDC中，∠BAC＝∠BDC＝90°，连接AO、DO．若AO＝3，则DO的长为 3 ．
【分析】利用直角三角形斜边中线的性质即可解决问题．
【解答】解：在Rt△BAC和Rt△BDC中，∵∠BAC＝∠BDC＝90°，
∴AO＝BCBC，
∴DO＝AO，
∵AO＝3，
∴DO＝6，
故答案为3．
【点评】本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（3分）一直角三角形的两边长分别为5和12，则第三边的长是 13或 ．
【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即12是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
【解答】解：设第三边为x，
（1）若12是直角边，则第三边x是斜边
52+124＝x2，
∴x＝13；
（2）若12是斜边，则第三边x为直角边
58+x2＝122，
∴x＝；
∴第三边的长为13或．
故答案为：13或．
【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
15．（3分）如图，在△ABC中，点E是BC的中点，AD⊥BD，且AD平分∠BAC，AC＝9cm，则DE的长为 2 ．
【分析】延长AC、BD交于点H，证明△ADB≌△ADH，根据全等三角形的性质得到AH＝AB＝13，BD＝DH，求出CH，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】解：延长AC、BD交于点H，
在△ADB和△ADH中，
，
∴△ADB≌△ADH（ASA），
∴AH＝AB＝13，BD＝DH，
∴CH＝AH﹣AC＝4，
∵BE＝EC，BD＝DH，
∴DE＝CH＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
16．（3分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE＝1 ．
【分析】由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝MF；设BF＝x，则CF＝3﹣x，FM＝3﹣x+1＝4﹣x，EF＝4﹣x，再根据勾股定理列方程即可得到BF的长，进而得出△BEF的面积．
【解答】解：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，
∴∠FCM＝∠FCD+∠DCM＝180°，CM＝AE＝1，
∴F、C、M三点共线，
∴DE＝DM，∠EDM＝90°，
∴∠EDF+∠FDM＝90°，
∵∠EDF＝45°，
∴∠FDM＝∠EDF＝45°，
在△DEF和△DMF中，
，
∴△DEF≌△DMF（SAS），
∴EF＝MF，
设BF＝x，则CF＝3﹣x，EF＝5﹣x，
∵Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF6，
∴22+x5＝（4﹣x）2，
解得x＝，
∴BF＝，
∴△BEF的面积为××2＝．
故答案为：．
【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理的运用．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．
三、解答题（本题共82分）
17．（6分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先根据二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；
（2）先根据完全平方公式，平方差公式，二次根式的性质进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可．
【解答】解：（1）
＝8﹣3+
＝3﹣；
（2）
＝（）2+8×+（）2+（）3﹣12
＝7+2+5+7﹣1
＝10+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式和平方差公式等知识点，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
18．（8分）解方程：
（1）x2+2x﹣1＝0；
（2）x（x﹣2）＝x﹣2．
【分析】（1）利用配方法得到（x+1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先移项，再利用因式分解法把方程转化为x﹣2＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可．
【解答】解：（1）x2+2x﹣6＝0，
x2+7x＝1，
x2+4x+1＝2，
（x+8）2＝2，
x+5＝±，
所以x1＝﹣﹣1，x2＝﹣1；
（2）x（x﹣2）＝x﹣3．
x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝6，
（x﹣2）（x﹣1）＝3，
x﹣2＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝5，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
19．（6分）为了解中学生“平均每天体育锻炼时间”的情况，某地区教育部门随机调查了若干名中学生，根据调查结果制作统计图①和图②，解答下列问题：
（I）本次接受随机抽样调查的中学生人数为 250 ，图①中m的值是 12 ；
（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（Ⅲ）根据统计数据，估计该地区250000名中学生中，每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数．
【分析】（I）由1h人数及其所占百分比可得总人数，根据百分比之和为1可得m的值；
（Ⅱ）根据平均数、众数、中位数的定义求解可得；
（Ⅲ）总人数乘以样本中每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数所占比例可得．
【解答】解：（I）本次接受随机抽样调查的中学生人数为60÷24%＝250人，
m＝100﹣（24+48+8+8）＝12，
故答案为：250、12；
（Ⅱ）平均数为＝1.38（h），
众数为2.5h，中位数为；
（Ⅲ）估计每天在校体育锻炼时间大于等于1.5h的人数约为250000×＝160000人．
【点评】本题考查中位数、用样本估计总体、扇形统计图、条形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
20．（10分）如图所示，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CD于点E，F．
（1）求证：OE＝OF；
（2）连接AF，CE直接写出当EF与AC满足什么关系时，四边形AECF是菱形？
【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，可得OA＝OC，AB∥CD，则可证得△AOE≌△COF（ASA），继而证得OE＝OF；
（2）由△AOE≌△COF，可得OA＝OC，OE＝OF，可征得四边形AECF是平行四边形，由EF⊥AC，根据菱形的判定即可证的结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，AB∥CD，
∴∠OAE＝∠OCF，
在△OAE和△OCF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF；
（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．
证明：∵△AOE≌△COF，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AECF是菱形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
21．（10分）如图，已知过点B（1，0）的直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝2x+4相交于点P（a，2）．
（1）求直线l1的解析式；
（2）根据图象直接写出不等式kx+b≥2x+4的解集；
（3）求四边形PAOC的面积．
【分析】（1）由点P（a，2）在直线l2上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出a值，再利用点P的坐标和点B的坐标可求直线l1的解析式；
（2）kx+b≥2x+4即y＝kx+b的函数值大于等于2x+4的函数值，观察函数图象得到当x≤﹣1时满足条件；
（3）根据面积差S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC可得结论．
【解答】解：（1）∵点P（a，2）在直线l2：y＝7x+4上，
∴2×a+5＝2，即a＝﹣1，7），
∵直线l1：y＝kx+b过点B（1，2），
∴，
解得．
∴直线l1的解析式为：y＝﹣x+3．
（2）不等式kx+b≥2x+4的解集为x≤﹣7．
（3）∵直线l1与y轴相交于点C，
∴C的坐标为（0，2），
又∵直线l2与x轴相交于点A，
∴A点的坐标为（﹣2，6），
而S四边形PAOC＝S△PAB﹣S△BOC，
∴S四边形PAOC＝．
【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数与一元一次不等式、一次函数图象上点的坐标特征和三角形的面积，在函数的图象上的点，就一定满足函数解析式．并利用数形结合的思想解决问题．
22．（10分）如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，使顶点B落在边AD上的E点处，折痕的一端G点在边BC上
（1）如图（1），当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长．
（2）如图（2），当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时，
①求证：EF＝EG．
②求HF的长．
【分析】（1）根据翻折的性质可得BF＝EF，然后用AF表示出EF，在Rt△AEF中，利用勾股定理列出方程求解即可；
（2）①根据翻折的性质可得∠BGF＝∠EGF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BGF＝∠EFG，从而得到∠EGF＝∠EFG，再根据等角对等边证明即可；
②根据翻折的性质可得EG＝BG，HE＝AB，FH＝AF，然后在Rt△EFH中，利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】（1）解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴BF＝EF，
∵AB＝8，
∴EF＝8﹣AF，
在Rt△AEF中，AE4+AF2＝EF2，
即22+AF2＝（5﹣AF）2，
解得：AF＝3；
（2）①证明：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴∠BGF＝∠EGF，
∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，
∴∠BGF＝∠EFG，
∴∠EGF＝∠EFG，
∴EF＝EG；
②解：∵纸片折叠后顶点B落在边AD上的E点处，
∴EG＝BG＝10，HE＝AB＝5，
∴EF＝EG＝10，
在Rt△EFH中，，
∴AF＝FH＝8．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，熟记翻折前后两个图形能够重合得到相等的线段和角是解题的关键．
23．（10分）2022年，合肥蜀山区某商场于今年年初以每件25元的进价购进一批商品．当商品售价为40元时，三月份销售256件．四、五月该商品十分畅销．销售量持续上涨．在售价不变的基础上
（1）求四、五这两个月的月平均增长率；
（2）从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，该商品每降价1元，月销量增加40件，商场月获利6240元？
【分析】（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，利用五月份的销售量＝三月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+40m）件，利用商场销售该商品月销售利润＝每件的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设四、五这两个月的月平均增长率为x，
依题意得：256（1+x）2＝400，
解得：x7＝0.25＝25%，x2＝﹣5.25（不合题意，舍去）．
答：四、五这两个月的月平均增长率为25%；
（2）设商品降价m元，则每件获利（40﹣m﹣25）元，
依题意得：（40﹣m﹣25）（400+40m）＝6240，
整理得：m2﹣5m+6＝0，
解得：m1＝6，m2＝3．
答：当商品降价8元或3元时，商场月获利6240元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
24．（10分）为提升学生的文学素养，培养学生的阅读兴趣，某校准备购进A，购进A种图书费用y元与购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示，B种图书每本20元．
（1）当0≤x≤50和x＞50时，求y与x之间的函数关系式；
（2）现学校准备购进300本图书，其中购进A种图书x本，设购进两种图书的总费用为w元．
①当x＞50时，求出w与x间的函数表达式；
②若购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，那么应该怎样分配购买A
【分析】（1）根据函数图象可以分段求出各段对应的函数解析式；
（2）①当x＞50时，设总费用为w元，求出w关于x的关系式；
②先求出x的取值范围，再利用一次函数的性质求出最少的费用即可．
【解答】解：（1）当0≤x≤50时，设y与x之间的函数关系式是y＝kx，
50k＝1100，
解得：k＝22，
∴当0≤x≤50时，y与x之间的函数关系式是y＝22x；
当x＞50时，设y与x之间的函数关系式是y＝ax+b，
则，
解得，
∴当x＞50时，y与x之间的函数关系式是y＝18x+200；
（2）①当x＞50时，w＝18x+200+20（300﹣x）＝﹣2x+6200，
∴当x＞50时，w与x间的函数表达式为w＝﹣2x+6200；
②∵购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的2倍，
∴60≤x≤4（300﹣x），
解得60≤x≤200，
由①知，w＝﹣2x+6200，
∵﹣2＜6，
∴当x＝200时，w最小，
此时300﹣200＝100，
答：购买A种图书200本，B种图书100本，最少费用为5800元．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求出一次函数的关系式是解题关键．
25．（12分）如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF
（1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°
①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF CF⊥BD ，线段CF，BD的数量关系为 CF＝BD ；
②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立；
（2）如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，CF⊥BC（点C、F不重合），请直接写出答案．
【分析】（1）①在正方形ADEF中，根据SAS得到△DAB≌△FAC，进而得到CF＝BD，进而推出∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；
②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，所以CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，结合∠BAC＝90°，AB＝AC，得到∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；
（2）当∠ACB＝45°时，过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，则∠GAC＝90°，可推出∠ACB＝∠AGC＝45°，所以AC＝AG，结合（1）①的证明过程即可完成本题．
【解答】解：（1）①正方形ADEF中，AD＝AF，
∵∠BAC＝∠DAF＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴CF＝BD，∠B＝∠ACF，
∴∠ACB+∠ACF＝90°，即CF⊥BD；
故答案为：CF⊥BD，CF＝BD；
②当点D在线段BC的延长线上时，①中的结论仍然成立
由正方形ADEF得AD＝AF，∠DAF＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠DAF＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠FAC，
又∵AB＝AC，
∴△DAB≌△FAC（SAS），
∴CF＝BD，∠ACF＝∠ABD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝45°，
∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°，
即CF⊥BD，
综上所述，当点D在线段BC的延长线上时．
（2）当∠ACB＝45°时，CF⊥BD（如图）．
理由：过点A作AG⊥AC交CB的延长线于点G，
则∠GAC＝90°，
∵∠ACB＝45°，∠AGC＝90°﹣∠ACB，
∴∠AGC＝90°﹣45°＝45°，
∴∠ACB＝∠AGC＝45°，
∴AC＝AG，
∵∠DAG＝∠FAC（同角的余角相等），AD＝AF，
∴△GAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF＝∠AGC＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝45°+45°＝90°，即CF⊥BC．
【点评】本题考查三角形全等的判定和直角三角形的判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键．
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