卷子答案网-一个不只有答案的网站2024新高考数学第一轮章节复习
6.2 平面向量的数量积及其应用
基础篇
考点 平面向量的数量积
考向一 平面向量的数量积的运算
1.(2023届浙南名校联盟联考,3)已知边长为3的正△ABC,,则= ( )
A.3 B.9 C. D.6
答案 D
2.(2019课标Ⅱ理,3,5分)已知=(2,3),=(3,t),||=1,则= ( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案 C
3.(2022全国乙理,3,5分)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=,|a-2b|=3,则a·b=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
答案 C
4.(2022江苏淮安车桥中学入学调研,7)已知△ABC的外心为O,2,||=2,则的值是 ( )
A. D.6
答案 D
5.(2023届辽宁六校期初考试,13)已知a=(3,4),|b|=,则(a+b)·(a-b)= .
答案 20
6.(2022全国甲理,13,5分)设向量a,b的夹角的余弦值为,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b= .
答案 11
7.(2022湖南三湘名校、五市十校联考,14)已知点P(-2,0),AB是圆x2+y2=1的直径,则= .
答案 3
8.(2021新高考Ⅱ,15,5分)已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a= .
答案 -
考向二 利用平面向量的垂直求参数
1.(2023届长春六中月考,5)已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ= ( )
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
答案 B
2.(多选)(2022辽宁大连一中期中,9)已知平面向量=(-1,k),=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的可能取值是 ( )
A.-2 B.2 C.5 D.7
答案 BD
3.(2021全国甲理,14,5分)已知向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb.若a⊥c,则k= .
答案 -
4.(2020课标Ⅰ文,14,5分)设向量a=(1,-1),b=(m+1,2m-4),若a⊥b,则m= .
答案 5
5.(2021全国乙理,14,5分)已知向量a=(1,3),b=(3,4),若(a-λb)⊥b,则λ= .
答案
考向三 平面向量的夹角与模
1.(2023届湖湘名校教育联合体大联考,3)已知四边形ABCD,设E为CD的中点,=10,||=4,则||= ( )
A.2
答案 A
2.(2022江苏泰州二调,3)已知|a|=3,|b|=2,(a+2b)·(a-3b)=-18,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 B
3.(2022河北邢台“五岳联盟”联考,4)已知向量a=(-2,1),b=(1,t),则下列说法不正确的是 ( )
A.若a∥b,则t的值为-
B.若|a+b|=|a-b|,则t的值为2
C.|a+b|的最小值为1
D.若a与b的夹角为钝角,则t的取值范围是t<2
答案 D
4.(2022新高考Ⅱ,4,5分)已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若
A.-6 B.-5 C.5 D.6
答案 C
5.(多选)(2023届哈尔滨师大附中月考,9)已知向量a=(1,3),b=(2,-4),则下列结论正确的是 ( )
A.(a+b)⊥a
B.向量a与向量b的夹角为
C.|2a+b|=
D.向量b在向量a上的投影向量是(1,3)
答案 AB
6.(2023届广东普宁华美实验学校月考,13)已知向量a=(1,1),2a+b=(4,2),则向量a与b的夹角为 .
答案
7.(2022河北邢台期末,14)已知向量a=(1,-),|b|=3,a·b=3,则a与b的夹角为 .
答案
8.(2022湖南三湘名校联盟联考,13)已知向量a与b的夹角为,|a|=1,a·(a+b)=2,则|b|= .
答案 2
9.(2022石家庄二中月考,13)已知单位向量a,b满足|a+b|=1,则|a-b|= .
答案
综合篇
考法一 求平面向量模的方法
1.(2022福建龙岩一模,3)已知向量a,b的夹角为60°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|= ( )
A.5 B.3 C.4 D.3
答案 A
2.(2022福建南平联考,6)已知单位向量e1,e2的夹角为,则|e1-λe2|的最小值为 ( )
A.
答案 C
3.(多选)(2022沈阳三十一中月考,9)若向量a,b满足|a|=|b|=1,且|b-2a|=,则以下结论正确的是 ( )
A.a⊥b
B.|a+b|=2
C.|a-b|=
D.向量a,b的夹角为60°
答案 AC
4.(多选)(2021新高考Ⅰ,10,5分)已知O为坐标原点,点P1(cos α,sin α),P2(cos β,-sin β),P3(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0),则( )
A.||
B.||
C.
D.
答案 AC
5.(2022重庆一中月考,8)已知平面内一正三角形ABC的外接圆半径为4,在以三角形ABC的中心为圆心,r(0
C.5+6
答案 A
6.(2023届湖北摸底联考,13)已知△ABC是边长为1的等边三角形,设向量a,b满足=a,=a+b,则|3a+b|= .
答案
7.(2023届甘肃张掖诊断,13)已知a,b是单位向量,且|a-b|=1,则|a+b|= .
答案
8.(2022河北衡水中学模拟一,14)已知向量a与b的夹角为30°,且|a|=,|b|=1,设m=a+b,n=a-b,则向量m在n方向上的投影向量的模为 .
答案 2
9.(2021全国甲文,13,5分)若向量a,b满足|a|=3,|a-b|=5,a·b=1,则|b|= .
答案 3
考法二 求平面向量夹角的方法
1.(2023届福建漳州质检,4)已知a,b,c均为单位向量,且满足a+b+c=0,则
A.
答案 C
2.(2022山东烟台莱州一中开学考,4)已知|a|=,|b|=4,当b⊥(4a-b)时,向量a与b的夹角为 ( )
A.
答案 B
3.(2022福建龙岩一中月考,2)已知向量a,b满足3|a|=2|b|=3,若|a+2b|=,则a,b的夹角的余弦值为 ( )
A.
答案 C
4.(2019课标Ⅲ理,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-b,则cos
答案
考法三 平面向量数量积的综合应用
考向一 平面向量与平面几何的综合
(2022福建泉州质量监测二,7)四边形ABCD为梯形,且,||=2,
∠DAB=,点P是四边形ABCD内及其边界上的点.若()·()=-4,则点P的轨迹的长度是 ( )
A. C.4π D.16π
答案 B
(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,
∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E为边CD上的动点,则的最小值为 ( )
A. D.3
答案 A
3.(2022辽宁部分中学期末,7)已知O为坐标原点,向量满足||=1,()·()=0,若||=4,则||的取值范围是 ( )
A.[11,13] B.[8,11]
C.[8,13] D.[5,11]
答案 A
4.(2023届山西长治质量检测,16)在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,矩形内一点M(含边界),满足,若,当3λ+2μ取得最大值时,= .
答案 2-
5.(2020北京,13,5分)已知正方形ABCD的边长为2,点P满足),则||= ;= .
答案 -1
6.(2019天津,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则= .
答案 -1
考向二 平面向量数量积的最值问题
1.(2022辽宁六校协作体期中,8)边长为2的正三角形ABC内一点M(包括边界)满足:(λ∈R),则的取值范围是 ( )
A.
C. D.[-2,2]
答案 B
2.(2020新高考Ⅰ,7,5分)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则的取值范围是 ( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
答案 A
(2022湖北部分重点中学联考,6)如图,正六边形ABCDEF的边长为2,动点M从顶点B出发,沿正六边形的边逆时针运动到顶点F,若的最大值和最小值分别是m,n,则m+n= ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
答案 D
4.(2020天津,15,5分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且,则实数λ的值为 ,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则的最小值为 .
答案
专题综合检测
一、单项选择题
1.(2022辽宁大连一中期中,6)设向量a,b满足|a+b|=,|a-b|=1,则a·b= ( )
A.1 B.-1 C.4 D.-4
答案 A
2.(2022河北曲阳一中月考,3)已知|a|=4,|b|=1,且(2a-3b)·b=3,则向量a,b的夹角的余弦值为 ( )
A.-
答案 B
3.(2022湖南常德临澧一中月考,4)已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b= ( )
A.
C. D.(1,0)
答案 B
4.(2020课标Ⅱ文,5,5分)已知单位向量a,b的夹角为60°,则在下列向量中,与b垂直的是( )
A.a+2b B.2a+b C.a-2b D.2a-b
答案 D
5.(2022江苏南京、盐城模拟,6)在平面直角坐标系xOy中,设A(1,0),B(3,4),向量,x+y=6,则||的最小值为 ( )
A.1 B.2 C.
答案 D
6.(2022湖北部分重点中学联考,3)已知|a|=3,|b|=1,|a-2b|=,则向量a,b的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
答案 C
7.(2022辽东南协作体期中,6)已知平面向量m,n满足|m|=3,n=(4,-3),且m,n之间的夹角为60°,则|m-2n|= ( )
A.
答案 C
8.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,,则的值为 ( )
A.-15 B.-9 C.-6 D.0
答案 C
二、多项选择题
9.(2022辽宁六校联考,11)给出下列命题,其中正确的有 ( )
A.非零向量a、b满足|a|=|b|=|a-b|,则a与a+b的夹角为30°
B.若()·=0,则△ABC为等腰三角形
C.等边△ABC的边长为2,则=2
D.已知向量a=(1,-2),b=(k,1)且a⊥(a+b),则k=0
答案 AB
10.(2022湖北部分重点中学联考,11)已知a=(sin α,cos 2α+5),b=(3sin α+7,-1),且a⊥b,则 ( )
A.sin α=
B.sin 2α=
C.cos 2α=
D.若-,则tan=7
答案 ACD
11.(2022河北神州智达省级联测,9)设0<θ<π,非零向量a=(sin 2θ,cos θ),b=(cos θ,1),则 ( )
A.若tan θ=,则a∥b
B.若θ=,则a⊥b
C.存在θ,使2a=b
D.若a∥b,则tan θ=
答案 ABD
12.(2022山东青岛二中期末,10)已知平面向量a=(3,1),b=(1,0),c=a+kb(k∈R),则下列结论正确的是 ( )
A.{a,b}可以作为平面内所有向量的一个基底
B.若a⊥c,则k=-
C.存在实数k,使得b∥c
D.若|cos
答案 ABD
三、填空题
13.(2022辽东南协作体期中,14)已知向量m=(1,a),n=(2b-1,3)(a>0,b>0),若m⊥n,则的最小值为 .
答案 7+4
14.(2022重庆涪陵实验中学期中,14)如图,在△ABC中,D是BC的中点,||=1,|,则= .
答案 1
15.(2022重庆七中期中,15)已知||=2,且向量的夹角为90°,又||=1,则的取值范围为 .
答案 [1-2,1+2]
四、解答题
16.(2022重庆梁平调研,19)如图,平面四边形OABC中,OA=OB=OC=1,对角线AC,OB相交于点M.设(0<λ<1),且(0
(2)若∠BOA=,记λ=f(t),求f(t)的解析式.
解析 (1)∵(0<λ<1),(0
(2)∵∠BOA=,OA=OB=1,∴,又=+且OC=1,∴==1,即++·=1,∴λ2-2λ+1+t2+λt-t=λ2,∴λ=f(t)=(0
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