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2024新高考数学第一轮章节复习
9.2 椭圆及其性质
基础篇
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.(2023届广州阶段测试,3)记p:“方程(m-1)x2+(3-m)y2=1表示椭圆”,q:“函数f(x)=x3+(m-2)x2+x无极值”,则p是q的 ( )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
答案 B
2.(2021新高考Ⅰ,5,5分)已知F1,F2是椭圆C:=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为 ( )
A.13 B.12 C.9 D.6
答案 C
3.(2021浙江嘉兴一中开学考)已知P为椭圆=1上一点,若P到一个焦点的距离为1,则P到另一个焦点的距离为 ( )
A.3 B.5 C.8 D.12
答案 B
4.(2022广东深圳中学月考,6)已知直线l:y=x+1与曲线C:x2+=1相交于A,B两点,F(0,-1),则△ABF的周长是 ( )
A.2 B.2
答案 D
5.(2023届江苏省包场高级中学检测,13)已知椭圆=1,长轴在y轴上.若焦距为2,则m等于 .
答案 7
6.(2021全国甲,理15,文16,5分)已知F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,P,Q为C上关于坐标原点对称的两点,且|PQ|=|F1F2|,则四边形PF1QF2的面积为 .
答案 8
考点二 椭圆的几何性质
1.(2022武汉二中月考,5)已知椭圆+y2=1(a>1)和双曲线-y2=1(m>0)有相同焦点,则( )
A.a=m+2 B.m=a+2
C.a2=m2+2 D.m2=a2+2
答案 A
2.(2019北京理,4,5分)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则 ( )
A.a2=2b2 B.3a2=4b2
C.a=2b D.3a=4b
答案 B
3.(2023届广东佛山顺德教学质量检测一,6)已知四边形ABCD是椭圆C:=1的内接四边形(即四边形的四个顶点均在椭圆上),且四边形ABCD为矩形,则四边形ABCD的面积的最大值为 ( )
A.4
C.
答案 A
4.(2022河北秦皇岛三模,5)已知椭圆C:=1(a>b>0),F(-,0)为其左焦点,过点F且垂直于x轴的直线与椭圆C的一个交点为A,若tan∠AOF=(O为原点),则椭圆C的长轴长等于 ( )
A.6 B.12 C.4
答案 C
5.(多选)(2022河北衡水冀州一中期末,10)已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,点Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若|PQ|-|PF|的最小值为2-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正确的是 ( )
A.椭圆C的焦距为2
B.椭圆C的短轴长为
C.|PQ|+|PF|的最小值为2
D.过点F的圆E的切线斜率为
答案 AD
6.(2021浙江,16,6分)已知椭圆=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).若过F1的直线和圆+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2⊥x轴,则该直线的斜率是 ,椭圆的离心率是 .
答案
7.(2019课标Ⅲ理,15,5分)设F1,F2为椭圆C:=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为 .
答案 (3,)
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.(多选)(2022福建莆田二中模拟,10)已知椭圆C:=1(a>b>0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),下顶点为B.过点F1的直线l与曲线C在第四象限交于点M,且与圆A:(x+2c)2+y2=c2相切,若=0,则下列结论正确的是 ( )
A.椭圆C上不存在点Q,使得QF1⊥QF2
B.圆A与椭圆C没有公共点
C.当a=3时,椭圆的短轴长为2
D.F2B⊥F1M
答案 AC
2.(多选)(2022山东菏泽二模,11)已知椭圆E:+y2=1的左,右焦点分别为F1,F2,直线x=m(-)与椭圆E交于A,B两点,C,D分别为椭圆的左,右顶点,则下列命题正确的有 ( )
A.若直线CA的斜率为k1,BD的斜率为k2,则k1k2=-
B.存在唯一的实数m,使得△AF1F2为等腰直角三角形
C.的取值范围为(-1,1)
D.△ABF1周长的最大值为4
答案 BD
3.(2022新高考Ⅱ,16,5分)已知直线l与椭圆=1在第一象限交于A,B两点,l与x轴、y轴分别交于M,N两点,且|MA|=|NB|,|MN|=2,则l的方程为 .
答案 x+=0
4.(2023届辽宁六校期初考试,21)已知椭圆C的两个焦点为(-1,0),(1,0),点A在C上,直线l交C于P,Q两点,直线AP,AQ的斜率之和为0.
(1)求椭圆C的方程;
(2)求直线l的斜率.
解析 (1)由题意知c=1,且焦点在x轴上,故可设椭圆方程为=1(b>0),由A在C上可得=1,解得b2=3或b2=-(舍去),
故椭圆C的方程为=1.
(2)设直线AP:y-=k(x-1),AQ:y-=-k(x-1),
联立消去y整理得(3+4k2)x2-(8k2-12k)x+4k2-12k-3=0,
设P(x1,y1),则x1+1=,
∵y1-=k(x1-1),∴y1=,
则P,
以-k代替k,得Q,
∴kPQ=,即直线l的斜率为.
5.(2020天津,18,15分)已知椭圆=1(a>b>0)的一个顶点为A(0,-3),右焦点为F,且|OA|=|OF|,其中O为原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知点C满足3,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点),直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点.求直线AB的方程.
解析 (1)由已知可得b=3.记半焦距为c,由|OF|=|OA|可得c=b=3.又由a2=b2+c2,可得a2=18.所以椭圆的方程为=1.
(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P,所以AB⊥CP.依题意知,直线AB和直线CP的斜率均存在.设直线AB的方程为y=kx-3.由方程组消去y,可得(2k2+1)x2-12kx=0,解得x=0或x=.依题意,可得点B的坐标为.因为P为线段AB的中点,点A的坐标为(0,-3),所以点P的坐标为.由3,得点C的坐标为(1,0),故直线CP的斜率为,即.又因为AB⊥CP,所以k·=-1,整理得2k2-3k+1=0,解得k=或k=1.所以直线AB的方程为y=x-3或y=x-3.
6.(2022山东济宁三模,21)已知椭圆E:=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A、B,点F是椭圆E的右焦点,点Q在椭圆E上,且|QF|的最大值为3,椭圆E的离心率为.
(1)求椭圆E的方程;
(2)若过点A的直线与椭圆E交于另一点P(异于点B),与直线x=2交于点M,∠PFB的平分线与直线x=2交于点N,求证:点N是线段BM的中点.
解析 (1)由已知可得
解得因此椭圆E的方程为=1.
(2)证明:由对称性,不妨设点P在x轴上方.
①当直线PF的斜率存在时,因为FN平分∠PFB,所以∠PFB=2∠NFB,
所以tan∠PFB=,即kPF=.
设直线AP的方程为y=k(x+2),其中k>0,
联立消y可得(4k2+3)x2+16k2x+16k2-12=0,
设点P(x1,y1),则-2x1=,所以x1=,
则y1=k(x1+2)=,即点P,
所以kPF=,
设直线FN的方程为y=m(x-1),则点N(2,m),把x=2代入y=k(x+2)得y=4k,即M(2,4k),
因为kPF=,所以,
整理可得(2k-m)(2km+1)=0,
因为km>0,所以m=2k,所以,
所以点N为线段BM的中点.
②当直线PF的斜率不存在时,不妨设点P,
则直线AP的方程为y=(x+2),所以点M(2,2),
又因为直线FN的方程为y=x-1,所以点N(2,1),
所以点N为线段BM的中点.
综上可知,点N为线段BM的中点.
综合篇
考法一 求椭圆的标准方程
1.(2022江苏苏州中学月考,7)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点,若△AF1B的周长为4,则椭圆C的方程为 ( )
A.=1
C.=1
答案 B
2.(2022全国甲文,11,5分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点.若=-1,则C的方程为 ( )
A.=1
C.+y2=1
答案 B
3.(2019课标Ⅰ文,12,5分)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为 ( )
A.=1
C.=1
答案 B
4.(2022河北保定部分学校期中,16)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在y轴上,F1,F2为C的两个焦点,C的短轴长为4,且C上存在一点P,使得|PF1|=6|PF2|,写出C的一个标准方程: .
答案
5.(2020课标Ⅱ理,19,12分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.
(1)求C1的离心率;
(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.
解析 (1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=,|CD|=4c.由|CD|=|AB|得4c=,即3×,解得=-2(舍去)或.所以C1的离心率为.
(2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:=1.
设M(x0,y0),则=1,=4cx0,故=1.①
由于C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C1的标准方程为=1,C2的标准方程为y2=12x.
6.(2019天津理,19,14分)设椭圆=1(a>b>0)的左焦点为F,左顶点为A,上顶点为B.已知|OA|=2|OB|(O为原点).
(1)求椭圆的离心率;
(2)设经过点F且斜率为的直线l与椭圆在x轴上方的交点为P,圆C同时与x轴和直线l相切,圆心C在直线x=4上,且OC∥AP.求椭圆的方程.
解析 (1)设椭圆的半焦距为c,∵|OA|=2|OB|,
∴a=2b.又由a2=b2+c2,消去b得a2=+c2,解得.∴椭圆的离心率为.
(2)由(1)知,a=2c,b=c,故椭圆方程为=1.由题意知,F(-c,0),则直线l的方程为y=(x+c).
点P的坐标满足消去y并化简,得到7x2+6cx-13c2=0,解得x1=c,x2=-.
代入l的方程,解得y1=c,y2=-c.
因为点P在x轴上方,所以P.
由圆心C在直线x=4上,可设C(4,t).
因为OC∥AP,且由(1)知A(-2c,0),故,
解得t=2.则C(4,2).
因为圆C与x轴相切,所以圆的半径长为2,
又由圆C与l相切,得=2,可得c=2.
所以椭圆的方程为=1.
考法二 求椭圆的离心率(或范围)
1.(2023届福建部分名校联考,4)椭圆C:=1(a>)的左、右焦点分别为F1,F2,经过点F1的直线与椭圆C相交于A,B两点,若△ABF2的周长为16,则椭圆C的离心率为 ( )
A.
答案 A
2.(2023届南京学情调研,6)已知椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点分别F1、F2,左顶点为A,上顶点为B,点P为椭圆上一点,且PF2⊥F1F2,若AB∥PF1,则椭圆的离心率为 ( )
A.
答案 A
3.(2023届南京雨花台中学调研,7)直线x-y+1=0经过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F,交椭圆于A、B两点,交y轴于C点,若,则该椭圆的离心率是 ( )
A.
C.2-1
答案 A
4.(2022全国甲理,10,5分)椭圆C:=1(a>b>0)的左顶点为A,点P,Q均在C上,且关于y轴对称.若直线AP,AQ的斜率之积为,则C的离心率为 ( )
A.
答案 A
5.(2023届长沙雅礼中学月考,7)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=,若F1关于∠F1PF2的平分线的对称点在椭圆C上,则该椭圆的离心率为 ( )
A.
答案 B
6.(2022湖南岳阳一中开学考,8)已知椭圆M的左,右焦点分别为F1,F2,若椭圆M与坐标轴分别交于A,B,C,D四点,且从F1,F2,A,B,C,D这六点中,可以找到三点构成一个直角三角形,则椭圆M的离心率的可能取值为 ( )
A.
答案 A
7.(2023届贵阳一中月考二,11)已知F1,F2分别为椭圆E:=1(a>b>0)的左、右焦点,E上存在两点A,B,使得梯形AF1F2B的高为c(其中c为半焦距),且,则E的离心率为 ( )
A.
答案 A
8.(2023届贵阳一中月考一,11)油纸伞是中国传统工艺品,至今已有1 000多年的历史,为宣传和推广这一传统工艺,某市文化宫开展油纸伞文化艺术节.活动中,某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上,如图所示,该伞伞沿是一个半径为2的圆,圆心到伞柄底端距离为2,当阳光与地面夹角为60°时,在地面形成了一个椭圆形影子,且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上,若该椭圆的离心率为e,则e= ( )
A.
C.
答案 B
9.(2022山东滨州二模,8)已知椭圆C1和双曲线C2有相同的左,右焦点F1,F2,若C1,C2在第一象限内的交点为P,且满足∠POF2=2∠PF1F2,设e1,e2分别是C1,C2的离心率,则e1,e2的关系是 ( )
A.e1e2=2 B.=2
C.
答案 D
10.(2021全国乙理,11,5分)设B是椭圆C:=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是 ( )
A.
C.
答案 C
11.(2021福建莆田三模,5)明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示,清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图2所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆.已知图1、2、3中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为,设图1、2、3中椭圆的离心率分别为e1、e2、e3,则 ( )
图1
图2
图3
A.e1>e3>e2 B.e2>e3>e1
C.e1>e2>e3 D.e2>e1>e3
答案 A
12.(2022江苏盐城三模,7)已知点P为椭圆C:x2+=1(0
C.
答案 B
13.(多选)(2022山东济宁二模,11)设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,上、下顶点分别为A1、A2,点P是C上异于A1、A2的一点,则下列结论正确的是 ( )
A.若C的离心率为,则直线PA1与PA2的斜率之积为-
B.若PF1⊥PF2,则△PF1F2的面积为b2
C.若C上存在四个点P,使得PF1⊥PF2,则C的离心率的范围是
D.若|PF1|≤2b恒成立,则C的离心率的范围是
答案 BD
14.(2023届湖北沙市中学月考,15)已知点A为椭圆=1(a>b>0)的左顶点,O为坐标原点,过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l,若直线l上存在点P满足∠APO=30°,则椭圆离心率的最大值是 .
答案
考法三 直线与椭圆的位置关系问题
1.(2021江苏盐城伍佑中学期末,8)已知F1,F2为椭圆=1的左、右焦点,P是椭圆上一点,若=4,则∠F1PF2等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案 D
2.(2022郑州检测,11)斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为 ( )
A.2 B.
C.
答案 D
3.(多选)(2022山东临沂三模,12)2022年4月16日9时56分,神舟十三号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱,返回舱的轴截面可近似看作由半圆和半椭圆组成的“曲圆”,如图,在平面直角坐标系中,半圆的圆心在坐标原点,半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0,2),椭圆的短轴与半圆的直径重合,下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A,与下半圆交于点B,则 ( )
A.椭圆的长轴长为4
B.线段AB长度的取值范围是[4,2+2]
C.△ABF面积的最小值是4
D.△AFG的周长为4+4
答案 ABD
4.(2023届广西柳州摸底,15)已知A(3,1),B(-3,0),P是椭圆=1上的一点,则|PA|+|PB|的最大值为 .
答案 9
5.(2022新高考Ⅰ,16,5分)已知椭圆C:=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是 .
答案 13
6.(2023届重庆一中月考,21)已知椭圆C:=1(a>b>0)经过点,其右焦点为F(,0).
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若点P,Q在椭圆C上,右顶点为A,且满足直线AP与AQ的斜率之积为.求△APQ面积的最大值.
解析 (1)依题意可得
所以椭圆C的方程为+y2=1,离心率e=.
(2)易知直线AP与AQ的斜率同号,所以直线PQ不垂直于x轴,
故可设PQ:y=kx+m,k≠0,P(x1,y1),Q(x2,y2),
由可得,(1+4k2)x2+8mkx+4m2-4=0,
所以x1+x2=-,x1x2=,Δ=16(4k2+1-m2)>0,由kAPkAQ=,即,
可得20(kx1+m)(kx2+m)=(x1-2)(x2-2),
20k2x1x2+20km(x1+x2)+20m2=x1x2-2(x1+x2)+4,
20k2·+4,化简得6k2+mk-m2=0,所以m=-2k或m=3k,
所以直线PQ:y=k(x-2)或y=k(x+3),因为直线PQ不经过点A,所以直线PQ经过定点(-3,0).
设定点B(-3,0),S△APQ=|S△ABP-S△ABQ|=|k||x1-x2|
=
=
=,
因为1-5k2>0,所以0
7.(2020课标Ⅲ理,20,12分)已知椭圆C:=1(0
(2)若点P在C上,点Q在直线x=6上,且|BP|=|BQ|,BP⊥BQ,求△APQ的面积.
解析 (1)由题设可得,得m2=,所以C的方程为=1.
(2)设P(xP,yP),Q(6,yQ),根据对称性可设yQ>0,由题意知yP>0.
由已知可得B(5,0),直线BP的方程为y=-(x-5),
所以|BP|=yP,|BQ|=.
因为|BP|=|BQ|,所以yP=1,
将yP=1代入C的方程,解得xP=3或-3.
由直线BP的方程得yQ=2或8.所以点P,Q的坐标分别为P1(3,1),Q1(6,2);P2(-3,1),Q2(6,8).
|P1Q1|=,直线P1Q1的方程为y=x,点A(-5,0)到直线P1Q1的距离为,故△AP1Q1的面积为.
|P2Q2|=,直线P2Q2的方程为y=,点A到直线P2Q2的距离为,故△AP2Q2的面积为.综上,△APQ的面积为.
8.(2022广东佛山一中月考,21)已知椭圆G:=1(a>b>0)的离心率为,且过点(3,1).
(1)求椭圆G的方程;
(2)斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(-3,2),求△PAB的面积.
解析 (1)由题意,知
故椭圆G的方程为=1.
(2)设直线AB的方程为y=x+n,则线段AB的中垂线方程为y=-(x+3)+2,即y=-x-1.
联立消去y整理得4x2+6nx+3n2-12=0,
由Δ=(6n)2-4×4(3n2-12)>0得-4
∴y1+y2=x1+x2+2n=,又在线段AB的中垂线上,∴,可得n=2,即x1+x2=-3,x1x2=0,∴|AB|=,
又P(-3,2)到直线AB的距离d=,
∴S△PAB=.
()