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黑龙江省哈尔滨市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023 哈尔滨）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°﹣1．
2．（2022 哈尔滨）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°+1．
3．（2021 哈尔滨）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin45°﹣1．
二．一元一次不等式的应用（共3小题）
4．（2023 哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
5．（2022 哈尔滨）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
6．（2021 哈尔滨）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔．若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元．
（1）求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；
（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔？
三．正方形的性质（共1小题）
7．（2021 哈尔滨）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．
（1）如图1，求证：CE＝BH；
（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．
四．作图-轴对称变换（共1小题）
8．（2022 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4，连接DH，请直接写出线段DH的长．
五．作图-平移变换（共1小题）
9．（2021 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．
六．条形统计图（共1小题）
10．（2022 哈尔滨）民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．
黑龙江省哈尔滨市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023 哈尔滨）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°﹣1．
【答案】，．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝
＝，
∵x＝2cos45°﹣1＝，
∴原式＝
＝．
2．（2022 哈尔滨）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中x＝2cos45°+1．
【答案】，．
【解答】解：（﹣）÷
＝
＝
＝，
当x＝2cos45°+1＝2×+1＝+1时，原式＝＝．
3．（2021 哈尔滨）先化简，再求代数式（﹣）÷的值，其中a＝2sin45°﹣1．
【答案】，．
【解答】解：原式 ﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝
＝，
当a＝2sin45°﹣1＝2×﹣1＝﹣1时，
原式＝＝．
二．一元一次不等式的应用（共3小题）
4．（2023 哈尔滨）佳衣服装厂给某中学用同样的布料生产A，B两种不同款式的服装，每套A款服装所用布料的米数相同，每套B款服装所用布料的米数相同．若1套A款服装和2套B款服装需用布料5米，3套A款服装和1套B款服装需用布料7米．
（1）求每套A款服装和每套B款服装需用布料各多少米；
（2）该中学需要A，B两款服装共100套，所用布料不超过168米，那么该服装厂最少需要生产多少套B款服装？
【答案】（1）每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）该服装厂最少需要生产60套B款服装．
【解答】解：（1）设每套A款服装需用布料x米，每套B款服装需用布料y米，
根据题意得：，
解得：．
答：每套A款服装需用布料1.8米，每套B款服装需用布料1.6米；
（2）设该服装厂需要生产m套B款服装，则需要生产（100﹣m）套A款服装，
根据题意得：1.8（100﹣m）+1.6m≤168，
解得：m≥60，
∴m的最小值为60．
答：该服装厂最少需要生产60套B款服装．
5．（2022 哈尔滨）绍云中学计划为绘画小组购买某种品牌的A、B两种型号的颜料，若购买1盒A种型号的颜料和2盒B种型号的颜料需用56元；若购买2盒A种型号的颜料和1盒B种型号的颜料需用64元．
（1）求每盒A种型号的颜料和每盒B种型号的颜料各多少元；
（2）绍云中学决定购买以上两种型号的颜料共200盒，总费用不超过3920元，那么该中学最多可以购买多少盒A种型号的颜料？
【答案】（1）每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元；
（2）该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
【解答】解：（1）设每盒A种型号的颜料x元，每盒B种型号的颜料y元，
依题意得：，
解得：．
答：每盒A种型号的颜料24元，每盒B种型号的颜料16元．
（2）设该中学可以购买m盒A种型号的颜料，则可以购买（200﹣m）盒B种型号的颜料，
依题意得：24m+16（200﹣m）≤3920，
解得：m≤90．
答：该中学最多可以购买90盒A种型号的颜料．
6．（2021 哈尔滨）君辉中学计划为书法小组购买某种品牌的A、B两种型号的毛笔．若购买3支A种型号的毛笔和1支B种型号的毛笔需用22元；若购买2支A种型号的毛笔和3支B种型号的毛笔需用24元．
（1）求每支A种型号的毛笔和每支B种型号的毛笔各多少元；
（2）君辉中学决定购买以上两种型号的毛笔共80支，总费用不超过420元，那么该中学最多可以购买多少支A种型号的毛笔？
【答案】（1）每支A种型号的毛笔6元，每支B种型号的毛笔4元；
（2）最多可以购买50支A种型号的毛笔
【解答】解：（1）设每支A种型号的毛笔x元，每支B种型号的毛笔y元；
由题意可得：，
解得：，
答：每支A种型号的毛笔6元，每支B种型号的毛笔4元；
（2）设A种型号的毛笔为a支，
由题意可得：6a+4（80﹣a）≤420，
解得：a≤50，
答：最多可以购买50支A种型号的毛笔．
三．正方形的性质（共1小题）
7．（2021 哈尔滨）已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H．
（1）如图1，求证：CE＝BH；
（2）如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEG除外），使写出的每个三角形都与△AEG全等．
【答案】见试题解答内容
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝CD＝AD＝AB，∠BCD＝∠ADC＝90°，
∵BM⊥CE，
∴∠HMC＝∠ADC＝90°，
∴∠H+∠HCM＝90°＝∠E+∠ECD，
∴∠H＝∠E，
在△EDC和△HCB中，
，
∴△EDC≌△HCB（AAS），
∴CE＝BH；
（2）△BCG，△DCF，△DHF，△ABF，
理由如下：∵AE＝AB，
∴AE＝BC＝AD＝CD，
∵△EDC≌△HCB，
∴ED＝HC，
∵AD＝CD，
∴AE＝HD＝BC＝AB，
在△AEG和△BCG中，
，
∴△AEG≌△BCG（AAS），
∴AG＝BG＝AB，
同理可证△AFB≌△DFH，
∴AF＝DF＝AD，
∴AG＝AF＝DF，
在△AEG和△ABF中，
，
∴△AEG≌△ABF（SAS），
同理可证△AEG≌△DHF，△AEG≌△DCF．
四．作图-轴对称变换（共1小题）
8．（2022 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4，连接DH，请直接写出线段DH的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图，△ADC即为所求；
（2）如图， EFGH即为所求；
由勾股定理得，DH＝＝5．
五．作图-平移变换（共1小题）
9．（2021 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABC的顶点和线段DE的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移2个单位长度后得到△MNP（点A的对应点是点M，点B的对应点是点N，点C的对应点是点P），请画出△MNP；
（2）在方格纸中画出以DE为斜边的等腰直角三角形DEF（点F在小正方形的顶点上）．连接FP，请直接写出线段FP的长．
【答案】（1）见解答；
（2）FP＝．
【解答】解：（1）如图，△MNP为所作；
（2）如图，△DEF为所作；
FP＝＝．
六．条形统计图（共1小题）
10．（2022 哈尔滨）民海中学开展以“我最喜欢的健身活动”为主题的调查活动，围绕“在跑步类、球类、武术类、操舞类四类健身活动中，你最喜欢哪一类？（必选且只选一类）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢操舞类的学生人数占所调查人数的25%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若民海中学共有1600名学生，请你估计该中学最喜欢球类的学生共有多少名．
【答案】（1）80名；
（2）见解答；
（3）480名．
【解答】解：（1）20÷25%＝80（名），
答：一共抽取了80名学生；
（2）80﹣16﹣24﹣20＝20（名），
补全条形统计图如下：
（3）1600×＝480（名），
答：估计该中学最喜欢球类的学生共有480名．
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黑龙江省哈尔滨市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
1．（2023 哈尔滨）船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为 千克．
2．（2022 哈尔滨）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为 兆瓦．
3．（2021 哈尔滨）火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为 米．
二．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
4．（2023 哈尔滨）把多项式xy2﹣16x分解因式的结果是 ．
5．（2022 哈尔滨）把多项式xy2﹣9x分解因式的结果是 ．
6．（2021 哈尔滨）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 ．
三．二次根式的加减法（共3小题）
7．（2023 哈尔滨）计算的结果是 ．
8．（2022 哈尔滨）计算+3的结果是 ．
9．（2021 哈尔滨）计算﹣2的结果是 ．
四．解一元一次不等式组（共3小题）
10．（2023 哈尔滨）不等式组的解集是 ．
11．（2022 哈尔滨）不等式组的解集是 ．
12．（2021 哈尔滨）不等式组的解集是 ．
五．函数自变量的取值范围（共3小题）
13．（2023 哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 ．
14．（2022 哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
15．（2021 哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 ．
六．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）
16．（2023 哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点（a，7），则a的值为 ．
17．（2022 哈尔滨）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点（4，a），则a的值为 ．
18．（2021 哈尔滨）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为 ．
七．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
19．（2023 哈尔滨）抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 ．
八．二次函数的最值（共1小题）
20．（2021 哈尔滨）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ．
九．三角形内角和定理（共1小题）
21．（2022 哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 度．
一十．平行四边形的性质（共1小题）
22．（2021 哈尔滨）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则 ABCD的周长为 ．
一十一．菱形的性质（共1小题）
23．（2022 哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 ．
一十二．矩形的性质（共2小题）
24．（2023 哈尔滨）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝ ．
25．（2021 哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 ．
一十三．正方形的性质（共1小题）
26．（2023 哈尔滨）如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，F为BE的中点，连接CF，若 CF＝，＝，则AE的长为 ．
一十四．弧长的计算（共2小题）
27．（2023 哈尔滨）一个扇形的圆心角是150°，弧长是πcm，则扇形的半径是 cm．
28．（2021 哈尔滨）一个扇形的弧长是8π cm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 cm．
一十五．扇形面积的计算（共1小题）
29．（2022 哈尔滨）一个扇形的面积为7πcm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是 度．
一十六．列表法与树状图法（共1小题）
30．（2022 哈尔滨）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是 ．
黑龙江省哈尔滨市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共3小题）
1．（2023 哈尔滨）船闸是我国劳动人民智慧的结晶，三峡船闸的“人”字闸门是目前世界上最大的巨型闸门，重867000千克，用科学记数法表示为 8.67×105 千克．
【答案】8.67×105．
【解答】解：867000＝8.67×105，
故答案为：8.67×105．
2．（2022 哈尔滨）风能是一种清洁能源，我国风能储量很大，仅陆地上风能储量就有253000兆瓦，用科学记数法表示为 2.53×105 兆瓦．
【答案】2.53×105．
【解答】解：数字253000用科学记数法可表示为2.53×105．
故答案为：2.53×105．
3．（2021 哈尔滨）火星赤道半径约为3396000米，用科学记数法表示为 3.396×106 米．
【答案】3.396×106．
【解答】解：3396000＝3.396×106．
故答案为：3.396×106．
二．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
4．（2023 哈尔滨）把多项式xy2﹣16x分解因式的结果是 x（y+4）（y﹣4） ．
【答案】x（y+4）（y﹣4）．
【解答】解：xy2﹣16x
＝x（y2﹣16）
＝x（y+4）（y﹣4），
故答案为：x（y+4）（y﹣4）．
5．（2022 哈尔滨）把多项式xy2﹣9x分解因式的结果是 x（y+3）（y﹣3） ．
【答案】x（y+3）（y﹣3）．
【解答】解：xy2﹣9x
＝x（y2﹣9）
＝x（y+3）（y﹣3），
故答案为：x（y+3）（y﹣3）．
6．（2021 哈尔滨）把多项式a2b﹣25b分解因式的结果是 b（a+5）（a﹣5） ．
【答案】b（a+5）（a﹣5）．
【解答】解：a2b﹣25b
＝b（a2﹣25）
＝b（a+5）（a﹣5）．
故答案为：b（a+5）（a﹣5）．
三．二次根式的加减法（共3小题）
7．（2023 哈尔滨）计算的结果是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：原式＝3﹣
＝2，
故答案为：2．
8．（2022 哈尔滨）计算+3的结果是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：原式＝+3×
＝
＝2．
故答案为：2．
9．（2021 哈尔滨）计算﹣2的结果是 2 ．
【答案】2．
【解答】解：原式＝3﹣2×
＝3﹣
＝2．
故答案为：2．
四．解一元一次不等式组（共3小题）
10．（2023 哈尔滨）不等式组的解集是 x＞ ．
【答案】x＞．
【解答】解：，
由①得：x＞，
由②得：x≥﹣，
则不等式组的解集为x＞．
故答案为：x＞．
11．（2022 哈尔滨）不等式组的解集是 x＞ ．
【答案】x＞．
【解答】解：解不等式3x+4≥0，得：x≥﹣，
解不等式4﹣2x＜﹣1，得：x＞，
则不等式组的解集为x＞，
故答案为：x＞．
12．（2021 哈尔滨）不等式组的解集是 x＜3 ．
【答案】x＜3．
【解答】解：解不等式3x﹣7＜2，得：x＜3，
解不等式x﹣5≤10，得：x≤15，
则不等式组的解集为x＜3，
故答案为：x＜3．
五．函数自变量的取值范围（共3小题）
13．（2023 哈尔滨）在函数中，自变量x的取值范围是 x≠8 ．
【答案】x≠8．
【解答】解：由题意得：x﹣8≠0，
解得：x≠8，
故答案为：x≠8．
14．（2022 哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠﹣ ．
【答案】x≠﹣．
【解答】解：由题意得：
5x+3≠0，
∴x≠﹣，
故答案为：x≠﹣．
15．（2021 哈尔滨）在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≠ ．
【答案】x≠．
【解答】解：7x﹣5≠0，x≠．
故答案为：x≠．
六．反比例函数图象上点的坐标特征（共3小题）
16．（2023 哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点（a，7），则a的值为 2 ．
【答案】2．
【解答】解：∵y＝，即k＝xy＝14，
∴14＝7a，
∴a＝2．
故答案为：2．
17．（2022 哈尔滨）已知反比例函数y＝﹣的图象经过点（4，a），则a的值为 ﹣ ．
【答案】﹣．
【解答】解：点（4，a）代入反比例函数y＝﹣得，a＝﹣＝﹣，
故答案为：﹣．
18．（2021 哈尔滨）已知反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），则k的值为 ﹣10 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣5），
∴k＝2×（﹣5）＝﹣10，
故答案为：﹣10．
七．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
19．（2023 哈尔滨）抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是 （0，2） ．
【答案】（0，2）．
【解答】解：在抛物线y＝﹣（x+2）2+6中，令x＝0，
即y＝﹣4+6＝2，
则抛物线y＝﹣（x+2）2+6与y轴的交点坐标是（0，2），
故答案为：（0，2）．
八．二次函数的最值（共1小题）
20．（2021 哈尔滨）二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为 ﹣2 ．
【答案】﹣2．
【解答】解：在二次函数y＝﹣3x2﹣2中，
∵顶点坐标为（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴抛物线开口向下，
∴二次函数y＝﹣3x2﹣2的最大值为﹣2．
故答案为：﹣2．
九．三角形内角和定理（共1小题）
21．（2022 哈尔滨）在△ABC中，AD为边BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，则∠BAC是 80或40 度．
【答案】80或40．
【解答】解：当△ABC为锐角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
当△ABC为钝角三角形时，如图，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
综上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案为：80或40．
一十．平行四边形的性质（共1小题）
22．（2021 哈尔滨）四边形ABCD是平行四边形，AB＝6，∠BAD的平分线交直线BC于点E，若CE＝2，则 ABCD的周长为 20或28 ．
【答案】20或28．
【解答】解：当E点在线段BC上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE+CE＝6+2＝8，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+8）＝28，
当E点在线段BC延长线上时，如图：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，
∴∠BEA＝∠EAD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴∠BEA＝∠BAE，
∴BE＝AB，
∵AB＝6，
∴BE＝6，
∵CE＝2，
∴BC＝BE﹣CE＝6﹣2＝4，
∴平行四边形ABCD的周长为：2×（6+4）＝20，
综上，平行四边形ABCD的周长为20或28．
故答案为20或28．
一十一．菱形的性质（共1小题）
23．（2022 哈尔滨）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为 2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，
∴AE＝＝＝5，
∴BE＝AE＝5，
∴BO＝8，
∴BC＝＝＝4，
∵点F为CD的中点，BO＝DO，
∴OF＝BC＝2，
故答案为：2．
一十二．矩形的性质（共2小题）
24．（2023 哈尔滨）矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F在矩形ABCD边上，连接OF．若∠ADB＝38°，∠BOF＝30°，则∠AOF＝ 46°或106° ．
【答案】46°或106°．
【解答】当F在AB上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA，
∠OAD＝∠ODA＝38°，
∴∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝76°，
∵∠BOF＝30°，
∴∠AOF＝∠AOB﹣∠BOF＝46°；
当F在BC上时，如图，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OA，
∠OAD＝∠ODA＝38°，
∴∠AOB＝∠ADO+DAO＝76°，
∵∠BOF＝30°，
∴∠AOF＝∠AOB+∠BOF＝106°，
∴∠AOF＝46°或106°．
故答案为：46°或106°．
25．（2021 哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥BC，垂足为点E，过点A作AF⊥OB，垂足为点F．若BC＝2AF，OD＝6，则BE的长为 3 ．
【答案】3．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE，∠BOE＝∠COE，
又∵BC＝2AF，
∵AF＝BE，
在Rt△AFO和Rt△BEO中，
，
∴Rt△AFO≌Rt△BEO（HL），
∴∠AOF＝∠BOE，
∴∠AOF＝∠BOE＝∠COE，
又∵∠AOF+∠BOE+∠COE＝180°，
∴∠BOE＝60°，
∵OB＝OD＝6，
∴BE＝OB sin60°＝6×＝3，
故答案为：3．
一十三．正方形的性质（共1小题）
26．（2023 哈尔滨）如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，连接AE，BE，F为BE的中点，连接CF，若 CF＝，＝，则AE的长为 ．
【答案】．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，BC＝DC＝AD，
∵F为BE的中点，CF＝，
∴BE＝2CF＝，
设DE＝3x，EC＝2x，则DC＝BC＝5x，
在Rt△BCE中，（5x）2+（2x）2＝（）2，
解得x＝1或﹣1（舍去），
∴CE＝2，DE＝3，BC＝AD＝DC＝5，
在Rt△ADE中，AE2＝AD2+DE2，
即AE＝＝．
故答案为：．
一十四．弧长的计算（共2小题）
27．（2023 哈尔滨）一个扇形的圆心角是150°，弧长是πcm，则扇形的半径是 3 cm．
【答案】3．
【解答】解：设扇形的半径是Rcm，
则＝π，
解得：R＝3，
∴扇形的半径是3cm．
故答案为：3．
28．（2021 哈尔滨）一个扇形的弧长是8π cm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 10 cm．
【答案】10．
【解答】解：设扇形的半径为rcm，由题意得，
＝8π，
解得r＝10（cm），
故答案为：10．
一十五．扇形面积的计算（共1小题）
29．（2022 哈尔滨）一个扇形的面积为7πcm2，半径为6cm，则此扇形的圆心角是 70 度．
【答案】70．
【解答】解：设扇形的圆心角为n°，
则，
∴n＝70，
故答案为：70．
一十六．列表法与树状图法（共1小题）
30．（2022 哈尔滨）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：画树状图如下：
共有4种等可能的结果，其中一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的结果有2种，
∴一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率为＝，
故答案为：．
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黑龙江省哈尔滨市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
一．相反数（共1小题）
1．（2022 哈尔滨）的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
二．绝对值（共2小题）
2．（2023 哈尔滨）﹣的绝对值是（ ）
A． B．10 C．﹣ D．﹣10
3．（2021 哈尔滨）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
三．幂的乘方与积的乘方（共2小题）
4．（2023 哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A．（﹣ab）2＝﹣a2b2 B．a3 a2＝a6
C．（a3）4＝a7 D．b2+b2＝2b2
5．（2022 哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6 B．3b2+b2＝4b4
C．（a4）2＝a6 D．a3 a3＝a9
四．完全平方公式（共1小题）
6．（2021 哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2 a＝a3 B．（a3）2＝a5
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a5﹣a2＝a3
五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
7．（2023 哈尔滨）为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣6）＝720 B．x（x+6）＝720 C．x（x﹣6）＝360 D．x（x+6）＝360
8．（2022 哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96
六．解分式方程（共3小题）
9．（2023 哈尔滨）方程＝的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
10．（2022 哈尔滨）方程＝的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣9 C．x＝9 D．x＝﹣3
11．（2021 哈尔滨）方程＝的解为（ ）
A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝2
七．函数的图象（共3小题）
12．（2023 哈尔滨）一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头，在整个过程中，这条小船与B码头的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（ ）
A．15m/min，25m/min B．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/min D．30m/min，25m/min
13．（2022 哈尔滨）一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（ ）
A．150km B．165km C．125km D．350km
14．（2021 哈尔滨）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（ ）
A．75m/min，90m/min B．80m/min，90m/min
C．75m/min，100m/min D．80m/min，100m/min
八．二次函数的性质（共1小题）
15．（2022 哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
九．全等三角形的性质（共1小题）
16．（2021 哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30° B．25° C．35° D．65°
一十．切线的性质（共3小题）
17．（2023 哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．65° D．75°
18．（2022 哈尔滨）如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为（ ）
A．65° B．60° C．50° D．25°
19．（2021 哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（ ）
A．8 B．7 C．10 D．6
一十一．中心对称图形（共3小题）
20．（2023 哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2022 哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2021 哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
一十二．平行线分线段成比例（共1小题）
23．（2021 哈尔滨）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
一十三．相似三角形的判定与性质（共2小题）
24．（2023 哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
25．（2022 哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
一十四．简单组合体的三视图（共3小题）
26．（2023 哈尔滨）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
27．（2022 哈尔滨）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
28．（2021 哈尔滨）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
一十五．概率公式（共2小题）
29．（2023 哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
30．（2021 哈尔滨）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
黑龙江省哈尔滨市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
参考答案与试题解析
一．相反数（共1小题）
1．（2022 哈尔滨）的相反数是（ ）
A．6 B．﹣6 C． D．﹣
【答案】D
【解答】解：的相反数是﹣，
故选：D．
二．绝对值（共2小题）
2．（2023 哈尔滨）﹣的绝对值是（ ）
A． B．10 C．﹣ D．﹣10
【答案】A
【解答】解：|﹣|＝﹣（﹣）＝，
故选：A．
3．（2021 哈尔滨）﹣的绝对值是（ ）
A．﹣7 B．7 C．﹣ D．
【答案】D
【解答】解：，
故选：D．
三．幂的乘方与积的乘方（共2小题）
4．（2023 哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A．（﹣ab）2＝﹣a2b2 B．a3 a2＝a6
C．（a3）4＝a7 D．b2+b2＝2b2
【答案】D
【解答】解：A、（﹣ab）2＝a2b2，故A不符合题意；
B、a3 a2＝a5，故B不符合题意；
C、（a3）4＝a12，故C不符合题意；
D、b2+b2＝2b2，故D符合题意；
故选：D．
5．（2022 哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A．（a2b3）2＝a4b6 B．3b2+b2＝4b4
C．（a4）2＝a6 D．a3 a3＝a9
【答案】A
【解答】解：A、（a2b3）2＝a4b6，原计算正确，故此选项符合题意；
B、3b2+b2＝4b2，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a4）2＝a8，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a3 a3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
四．完全平方公式（共1小题）
6．（2021 哈尔滨）下列运算一定正确的是（ ）
A．a2 a＝a3 B．（a3）2＝a5
C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．a5﹣a2＝a3
【答案】A
【解答】解：A、a2 a＝a3，原计算正确，故此选项符合题意；
B、（a2）3＝a6，原计算错误，故此选项不符合题意；
C、（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、a5与a2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意．
故选：A．
五．由实际问题抽象出一元二次方程（共2小题）
7．（2023 哈尔滨）为了改善居民生活环境，云宁小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x米，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．x（x﹣6）＝720 B．x（x+6）＝720 C．x（x﹣6）＝360 D．x（x+6）＝360
【答案】A
【解答】解：设矩形空地的长为x米，则设矩形空地的宽为（x﹣6）米，
由题意可得，x（x﹣6）＝720，
故选：A．
8．（2022 哈尔滨）某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．150（1﹣x2）＝96 B．150（1﹣x）＝96
C．150（1﹣x）2＝96 D．150（1﹣2x）＝96
【答案】C
【解答】解：第一次降价后的价格为150×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为150×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是150（1﹣x）2＝96．
故选：C．
六．解分式方程（共3小题）
9．（2023 哈尔滨）方程＝的解为（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
【答案】C
【解答】解：分式方程去分母得：2x+2＝3x，
解得：x＝2，
经检验x＝2是分式方程的解．
故选：C．
10．（2022 哈尔滨）方程＝的解为（ ）
A．x＝3 B．x＝﹣9 C．x＝9 D．x＝﹣3
【答案】C
【解答】解：＝，
2x＝3（x﹣3），
解得：x＝9，
检验：当x＝9时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝9是原方程的根，
故选：C．
11．（2021 哈尔滨）方程＝的解为（ ）
A．x＝5 B．x＝3 C．x＝1 D．x＝2
【答案】A
【解答】解：去分母得：3x﹣1＝2（2+x），
去括号得：3x﹣1＝4+2x，
移项合并得：x＝5，
检验：当x＝5时，（2+x） （3x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝5．
故选：A．
七．函数的图象（共3小题）
12．（2023 哈尔滨）一条小船沿直线从A码头向B码头匀速前进，到达B码头后，停留一段时间，然后原路匀速返回A码头，在整个过程中，这条小船与B码头的距离s（单位：m）与所用时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则这条小船从A码头到B码头的速度和从B码头返回A码头的速度分别为（ ）
A．15m/min，25m/min B．25m/min，15m/min
C．25m/min，30m/min D．30m/min，25m/min
【答案】D
【解答】解：这条小船从A码头到B码头的速度为：1500÷50＝30（m/min），
从B码头返回A码头的速度为：1500÷（160﹣100）＝25（m/min）．
故选：D．
13．（2022 哈尔滨）一辆汽车油箱中剩余的油量y（L）与已行驶的路程x（km）的对应关系如图所示．如果这辆汽车每千米的耗油量相同，当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为（ ）
A．150km B．165km C．125km D．350km
【答案】A
【解答】解：当油箱中剩余的油量为35L时，那么该汽车已行驶的路程为：（50﹣35）×（500÷50）＝150（km），
故选：A．
14．（2021 哈尔滨）周日，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：min）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（ ）
A．75m/min，90m/min B．80m/min，90m/min
C．75m/min，100m/min D．80m/min，100m/min
【答案】C
【解答】解：由题意，得：
小辉从家去图书馆的速度为：1500÷20＝75（m/min）；
小辉从图书馆回家的速度为：1500÷（70﹣55）＝100（m/min）．
故选：C．
八．二次函数的性质（共1小题）
15．（2022 哈尔滨）抛物线y＝2（x+9）2﹣3的顶点坐标是（ ）
A．（9，﹣3） B．（﹣9，﹣3） C．（9，3） D．（﹣9，3）
【答案】B
【解答】解：∵y＝2（x+9）2﹣3，
∴抛物线顶点坐标为（﹣9，﹣3），
故选：B．
九．全等三角形的性质（共1小题）
16．（2021 哈尔滨）如图，△ABC≌△DEC，点A和点D是对应顶点，点B和点E是对应顶点，过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数为（ ）
A．30° B．25° C．35° D．65°
【答案】B
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴∠ACB＝∠DCE，
∵∠BCE＝65°，
∴∠ACD＝∠BCE＝65°，
∵AF⊥CD，
∴∠AFC＝90°，
∴∠CAF+∠ACD＝90°，
∴∠CAF＝90°﹣65°＝25°，
故选：B．
一十．切线的性质（共3小题）
17．（2023 哈尔滨）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，点C在⊙O上，OC⊥OA，连接BC并延长，交⊙O于点D，连接OD，若∠B＝65°，则∠DOC的度数为（ ）
A．45° B．50° C．65° D．75°
【答案】B
【解答】解：∵AB是⊙O的切线，A为切点，
∴OA⊥AB，
∵OC⊥OA，
∴AB∥OC，
∴∠OCD＝∠B＝65°，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC＝65°，
∴∠DOC＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
故选：B．
18．（2022 哈尔滨）如图，AD，BC是⊙O的直径，点P在BC的延长线上，PA与⊙O相切于点A，连接BD，若∠P＝40°，则∠ADB的度数为（ ）
A．65° B．60° C．50° D．25°
【答案】A
【解答】解：∵PA与⊙O相切于点A，∠P＝40°，
∴∠OAP＝90°，
∴∠BOD＝∠AOP＝90°﹣∠P＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠ADB＝∠OBD＝（180°﹣∠BOD）÷2＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
故选：A．
19．（2021 哈尔滨）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（ ）
A．8 B．7 C．10 D．6
【答案】D
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∵tan∠BAC＝＝，
∴BC＝×8＝6．
故选：D．
一十一．中心对称图形（共3小题）
20．（2023 哈尔滨）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：A．本选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
B．本选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C．本选项图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D．本选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意．
故选：A．
21．（2022 哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：B．
22．（2021 哈尔滨）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：A．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
一十二．平行线分线段成比例（共1小题）
23．（2021 哈尔滨）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，AC＝10，则AE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解答】解：∵DE∥BC，
∴，
∵AD＝2，BD＝3，AC＝10，
∴，
∴AE＝4．
故选：B．
一十三．相似三角形的判定与性质（共2小题）
24．（2023 哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴，
∵DO：OB＝1：2，
∴＝，
∴OC＝OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中点，
∴MN为△AOB的中位线，
∴MN＝OA＝＝4．
故选：B．
25．（2022 哈尔滨）如图，AB∥CD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BD的长为（ ）
A． B．4 C． D．6
【答案】C
【解答】解：∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∴＝，即＝，
∴BE＝1.5，
∴BD＝BE+DE＝4.5．
故选：C．
一十四．简单组合体的三视图（共3小题）
26．（2023 哈尔滨）七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：观察几何体可知，该几何体的俯视图如下：
．
故选：C．
27．（2022 哈尔滨）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解答】解：由题意知，题中几何体的左视图为：
故选：D．
28．（2021 哈尔滨）八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解答】解：从正面看，共有三列，每列的小正方形个数分别为2、1、2，
故选：C．
一十五．概率公式（共2小题）
29．（2023 哈尔滨）将10枚黑棋子、5枚白棋子装入一个不透明的空盒子里，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒子中随机取出一枚棋子，则取出的棋子是黑棋子的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：从盒子中随机取出一枚棋子有15种等可能结果，其中取出的棋子是黑棋子的有10种结果，
所以其概率为＝，
故选：D．
30．（2021 哈尔滨）一个不透明的袋子中装有12个小球，其中8个红球、4个黄球，这些小球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵从袋子中随机摸出一个小球共有12种等可能结果，摸出的小球是红球的结果数为8，
∴摸出的小球是红球的概率为＝，
故选：D．
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黑龙江省哈尔滨市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2022 哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+b经过点A（，），点B（，﹣），与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2．过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接DP，设点P的纵坐标为t，△DEP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接OA，点F在OA上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接DF交y轴于点G，点G为DF的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接CN，PB，延长PB交AN于点M，点R在PM上，连接RN，若3CP＝5GE，∠PMN+∠PDE＝2∠CNR，求直线RN的解析式．
2．（2023 哈尔滨）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0），B（8，0），与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，△OCE的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当S＝6时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠GBM＝∠BEG，P是x轴上一点，且在点B的右侧，∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB+∠DEG，过点M作MN⊥BG，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使BL﹣NV＝BV，若∠EBF＝∠VMN，求直线BF的解析式．
3．（2021 哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．
二．平行四边形的性质（共1小题）
4．（2023 哈尔滨）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．
（1）如图①，求证△AED≌△EFB；
（2）如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
三．矩形的性质（共1小题）
5．（2022 哈尔滨）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．
（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；
（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．
四．圆的综合题（共3小题）
6．（2023 哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．
（1）如图①，求证：BC＝2OH；
（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．
7．（2022 哈尔滨）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
8．（2021 哈尔滨）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．
五．作图-平移变换（共1小题）
9．（2023 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ABE，且AB＝BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点是点M，点D的对应点是点N）．连接EN，请直接写出线段EN的长．
六．条形统计图（共2小题）
10．（2023 哈尔滨）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课、泥塑课、纺织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有多少名．
11．（2021 哈尔滨）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．
黑龙江省哈尔滨市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二次函数综合题（共3小题）
1．（2022 哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+b经过点A（，），点B（，﹣），与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图1，点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2．过点D向y轴作垂线，垂足为点E．点P为y轴负半轴上的一个动点，连接DP，设点P的纵坐标为t，△DEP的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，连接OA，点F在OA上，过点F向y轴作垂线，垂足为点H，连接DF交y轴于点G，点G为DF的中点，过点A作y轴的平行线与过点P所作的x轴的平行线相交于点N，连接CN，PB，延长PB交AN于点M，点R在PM上，连接RN，若3CP＝5GE，∠PMN+∠PDE＝2∠CNR，求直线RN的解析式．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+b经过点A（，），点B（，﹣），
∴，
解得：，
故a＝，b＝；
（2）如图1，由（1）得：a＝，b＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣，
∵点D在该抛物线上，点D的横坐标为﹣2，
∴y＝×（﹣2）2﹣＝，
∴D（﹣2，），
∵DE⊥y轴，
∴DE＝2，
∴E（0，），
∵点P为y轴负半轴上的一个动点，且点P的纵坐标为t，
∴P（0，t），
∴PE＝﹣t，
∴S＝PE DE＝×（﹣t）×2＝﹣t+，
故S关于t的函数解析式为S＝﹣t+；
（3）如图2，过点C作CK⊥CN，交NR的延长线于点K，过点K作KT⊥y轴于点T，
由（2）知：抛物线的解析式为y＝x2﹣，
当x＝0时，y＝﹣，
∴C（0，﹣），
∴OC＝，
∵FH⊥y轴，DE⊥y轴，
∴∠FHG＝∠DEG＝90°，
∵点G为DF的中点，
∴DG＝FG，
∵∠HGF＝∠EGD，
∴△FGH≌△DGE（AAS），
∴FH＝DE＝2，HG＝EG＝HE，
设直线OA的解析式为y＝kx，
∵A（，），
∴k＝，
解得：k＝，
∴直线OA的解析式为y＝x，
当x＝2时，y＝×2＝，
∴F（2，），
∴H（0，），
∴HE＝﹣＝，
∴GE＝HE＝×＝，
∵3CP＝5GE，
∴CP＝GE＝×＝，
∴P（0，﹣1），
∵AN∥y轴，PN∥x轴，
∴N（，﹣1），
∴PN＝，
∵E（0，），
∴EP＝﹣（﹣1）＝，
设直线BP的解析式为y＝mx+n，则，
解得：，
∴直线BP的解析式为y＝x﹣1，
当x＝时，y＝×﹣1＝，
∴M（，），
∴MN＝﹣（﹣1）＝，
∵＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠PNM＝∠DEP＝90°，
∴△PMN∽△DPE，
∴∠PMN＝∠DPE，
∵∠DPE+∠PDE＝90°，
∴∠PMN+∠PDE＝90°，
∵∠PMN+∠PDE＝2∠CNR，
∴∠CNR＝45°，
∵CK⊥CN，
∴∠NCK＝90°，
∴△CNK是等腰直角三角形，
∴CK＝CN，
∵∠CTK＝∠NPC＝90°，
∴∠KCT+∠CKT＝90°，
∵∠NCP+∠KCT＝90°，
∴∠CKT＝∠NCP，
∴△CKT≌△NCP（AAS），
∴CT＝PN＝，KT＝CP＝，
∴OT＝CT﹣OC＝﹣＝2，
∴K（，2），
设直线RN的解析式为y＝ex+f，把K（，2），N（，﹣1）代入，
得：，
解得：，
∴直线RN的解析式为y＝﹣x+．
2．（2023 哈尔滨）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+6与x轴交于点A（﹣6，0），B（8，0），与y轴交于点C．
（1）求a，b的值；
（2）如图①，E是第二象限抛物线上的一个动点，连接OE，CE，设点E的横坐标为t，△OCE的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图②，在（2）的条件下，当S＝6时，连接BE交y轴于点R，点F在y轴负半轴上，连接BF，点D在BF上，连接ED，点L在线段RB上（点L不与点B重合），过点L作BR的垂线与过点B且平行于ED的直线交于点G，M为LG的延长线上一点，连接BM，EG，使∠GBM＝∠BEG，P是x轴上一点，且在点B的右侧，∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB+∠DEG，过点M作MN⊥BG，交BG的延长线于点N，点V在BG上，连接MV，使BL﹣NV＝BV，若∠EBF＝∠VMN，求直线BF的解析式．
【答案】（1）a＝﹣，b＝；
（2）S＝﹣3t；
（3）y＝x﹣．
【解答】解：（1）将点A（﹣6，0），B（8，0）代入y＝ax2+bx+6，
，
解得；
（2）由（1）可知抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+6，
当x＝0时，y＝6，
∴C（0，6），
∴OC＝6，
∴S＝（﹣t）×6＝﹣3t；
（3）∵S＝6，
∴﹣3t＝6，
解得t＝﹣2，
∴E（﹣2，5），
如图：以BM为一边作∠MBT＝∠MBN，∠MBT的另一边BT交LM的延长线于点T，
∵ED∥BG，
∴∠DEB＝∠EBG，
∵∠GEB＝2∠GBM，
∴∠GEB＝∠GBT，
∴∠DEB+∠GEB＝∠EBG+∠GBT，
∴∠DEG＝∠EBT，
∵∠PBM﹣∠GBM＝∠FRB+∠DEG，∠PBM﹣∠GBM＝∠TBP，∠ROB＝90°，
∴∠TBP＝90°﹣∠RBO+∠EBT，
∵∠RBO+∠EBT+∠TBP＝180°，
∴∠EBT＝60°，
∵LG⊥EB，
∴∠GLB＝90°，
∴∠T＝30°，
∴LB＝BT，
作MK⊥BT，
∵MN⊥GB，
∴∠MKT＝∠N＝∠MKB＝90°，
∵MB＝MB，
∴△MNB≌△MKB（AAS），
∴NB＝BK，MN＝MK，
∵BL﹣NV＝BV，
∴2BL﹣2NV＝BV，
∴BT﹣NV＝BV+NV＝BN＝BK，
∴BT﹣BK＝NV＝KT，
∴Rt△NMV≌Rt△KMT（HL），
∴∠T＝∠NVM＝30°，
∴∠NMV＝60°，
∵∠EBF＝∠VMN，
∴∠EBF＝60°，
作FS⊥BE交于S点，作EQ⊥x轴交于Q点，
∴∠EQB＝∠RSF＝∠BSF＝90°，
∵B（8，0），
∴OB＝8，
∵E（﹣2，5），
∴EQ＝5，QB＝10，
∵tan∠EBQ＝＝，
∴＝，
解得OR＝4，
∴BR＝＝4，
∵tan∠FRB＝＝＝＝，tan∠FBS＝tan60°＝＝，
∴设FS＝2m，则RS＝3m，BS＝2m，
∴3m+2m＝4，
解得m＝，
∵RF＝＝m＝，
∴OF＝，
∴F（0，﹣），
设直线BF的解析式为y＝kx+c，
∴，
解得，
∴直线BF的解析式为y＝x﹣．
3．（2021 哈尔滨）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，抛物线y＝ax2+bx经过A（10，0），B（，6）两点，直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，点P为直线y＝2x﹣4上的一个动点，连接PA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，当点P在第一象限时，设点P的横坐标为t，△APC的面积为S，求S关于t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）如图2，在（2）的条件下，点E在y轴的正半轴上，且OE＝OD，连接CE，当直线BP交x轴正半轴于点L，交y轴于点V时，过点P作PG∥CE交x轴于点G，过点G作y轴的平行线交线段VL于点F，连接CF，过点G作GQ∥CF交线段VL于点Q，∠CFG的平分线交x轴于点M，过点M作MH∥CF交FG于点H，过点H作HR⊥CF于点R，若FR+MH＝GQ，求点P的坐标．
【答案】（1）y＝﹣x2+x．
（2）S＝8t﹣16．
（3）P（，5）．
【解答】解：（1）把A（10，0），B（，6）代入y＝ax2+bx，得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．
（2）∵直线y＝2x﹣4与x轴交于点C，与y轴交于点D，
∴C（2，0），D（0，﹣4），
∵A（10，0），
∴OA＝10，OC＝2，
∴AC＝8，
由题意P（t，2t﹣4），
∴S＝ PT AC＝×8×（2t﹣4）＝8t﹣16．
（3）如图2中，过点P作PT⊥CG于T，交CF于W，过点F作FJ⊥MH交MH的延长线于J，连接JQ．
∵PT⊥CG，
∴∠PTC＝∠ODC＝90°，
∴OD∥PT，
∴∠ODC＝∠CPT，
∴tan∠CPT＝tan∠ODC＝＝＝，
∵HR⊥RF，FJ⊥MJ，MH∥CF，
∴RH⊥MJ，
∴∠FRH＝∠RHJ＝∠FJH＝90°，
∴四边形RFJH是矩形，
∴RF＝HJ，
∵RF+HM＝MH+HJ＝MJ＝GQ，MJ∥GQ，
∴四边形MJQG是平行四边形，
∴JQ＝GM，∠JQG＝∠GMJ，
∵MF平分∠CFG，
∴∠CFM＝∠MFG，
∵CF∥MH，
∴∠FMH＝∠CFM，
∴∠FMH＝∠MFH，
∴FH＝HM，
∵∠MGH＝∠FJH＝90°，∠MHG＝∠FHJ，
∴△MHG≌△FHJ（AAS），
∴MG＝FJ＝JQ，∠GMH＝∠HFJ，
∴∠JFQ＝∠JQF，∠GFJ＝∠GQJ，
∴∠GFQ＝∠GQF，
∵CF∥GQ，PT∥FG，
∴∠WPF＝∠GFQ，∠WFP＝∠GQF，
∴∠WPF＝∠WFP，
∴WP＝WF，
∵D，E关于x轴对称，
∴∠ECO＝∠DCO＝∠PCG，
∵EC∥PG，
∴∠PGC＝∠ECO，
∴∠PCG＝∠PGC，
∴PC＝PG，
∵PT⊥CG，
∴CT＝TG，
∵WT∥FG，
∴CW＝WF，
∴WP＝WC＝WF，
∴∠CPF＝90°，
∴∠LCP+∠PLC＝90°，
∵∠ODC+∠OCD＝90°，∠OCD＝∠LCP，
∴∠PLC＝∠ODC，
∴tan∠PLC＝tan∠ODC＝，
∵B（，6），
∴OL＝+12＝，
∴L（，0），
∴直线PB的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴P（，5）．
二．平行四边形的性质（共1小题）
4．（2023 哈尔滨）已知四边形ABCD是平行四边形，点E在对角线BD上，点F在边BC上，连接AE，EF，DE＝BF，BE＝BC．
（1）如图①，求证△AED≌△EFB；
（2）如图②，若AB＝AD，AE≠ED，过点C作CH∥AE交BE于点H，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图②中四个角（∠BAE除外），使写出的每个角都与∠BAE相等．
【答案】（1）证明见解析；
（2）∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠ADE＝∠EBF，
∵BC＝BE，
∴AD＝BE，
在△AED和△EFB中，
，
∴△AED≌△EFB（SAS）；
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AB∥CD，
∵AB＝AD，
∴AB＝BC，
∵BE＝BC，
∴AB＝BE，
∴∠BEA＝∠BAE，
∵CH∥AE，
∴∠DHC＝∠BEA，
∵AB∥CD，
∴∠CDH＝∠ABE，
∴∠DCH＝∠BAE，
∵△AED≌△EFB（SAS），
∴∠AED＝∠EFB，
∴∠EFC＝∠AEB，
∴与∠BAE相等角是∠AEB，∠DHC，∠EFC，∠DCH．
三．矩形的性质（共1小题）
5．（2022 哈尔滨）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．
（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；
（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝BD，
∴OB＝OC＝OA＝OD，
∵BE＝CE，OE＝OE，
∴△BEO≌△CEO（SSS）；
（2）解：△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等，
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝∠CDA＝90°AB∥CD，AB＝DC，
∵BE＝CE，
∴Rt△BAE≌Rt△CDE（HL），
∴∠AEB＝∠DEC，AE＝DE，
∵OA＝OD，
∴∠OEA＝∠OED＝90°，
∴∠BAD＝∠OED＝90°，∠ADC＝∠AEO＝90°，
∴AB∥OE，DC∥OE，
∴△AEO的面积＝△BEO的面积，△DEO的面积＝△COE的面积，
∴△AEO的面积﹣△EFO的面积＝△BEO的面积﹣△EFO的面积，△DEO的面积﹣△EHO的面积＝△COE的面积﹣△EHO的面积，
∴△AEF的面积＝△BFO的面积，△DHE的面积＝△CHO的面积，
∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴△AEF≌△DEH（ASA），
∴△AEF的面积＝△DHE的面积＝△CHO的面积，
∵DG∥AC，
∴∠G＝∠AFE，∠GDE＝∠FAE，
∴△AEF≌△DEG（AAS），
∴△AEF的面积＝△DEG的面积，
∴△DHE，△CHO，△DEG，△BFO都与△AEF的面积相等．
四．圆的综合题（共3小题）
6．（2023 哈尔滨）已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，N为的中点，连接ON交AC于点H．
（1）如图①，求证：BC＝2OH；
（2）如图②，点D在⊙O上，连接DB，DO，DC，DC交OH于点E，若DB＝DC，求证OD∥AC；
（3）如图③，在（2）的条件下，点F在BD上，过点F作FG⊥DO，交DO于点G，DG＝CH，过点F作FR⊥DE，垂足为R，连接EF，EA，EF：DF＝3：2，点T在BC的延长线上，连接AT，过点T作TM⊥DC，交DC的延长线于点M，若FR＝CM，AT＝4，求AB的长．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）2．
【解答】（1）证明：如图①，连接OC，
∵N是的中点，
∴＝，
∴∠AON＝∠CON，
∵OA＝OC，
∴AH＝HC，
∵OA＝OB，
∴OH是△ABC的中位线，
∴BC＝2OH；
（2）证明：如图②，设∠BDC＝2α，
∵BD＝CD，DO＝DO，BO＝OC，
∴△DOB≌△DOC（SSS），
∴∠BDO＝∠CDO＝∠BDC＝α，
∵OB＝OD，
∴∠DBO＝∠BDO＝α，
∵∠ACD＝∠ABD＝α，
∴∠CDO＝∠ACD，
∴DO∥AC；
（3）解：如图③，连接AD，延长AE与BC交于W点，延长AC、TM交于L点，
∵FG⊥OD，
∴∠DGF＝90°，
∵∠CHE＝90°，
∴∠DGF＝∠CHE，
∵∠FDG＝∠ECH，DG＝CH，
∴△DGF≌△CHE（AAS），
∴DF＝CE，
∵AH＝CH，
∴OH⊥AC，
∴∠EHC＝∠DGF，
∵AH＝HC，
∴△AEC是等腰三角形，
∴AE＝EC，∠EAC＝∠ECA，
∵∠BDO＝∠ODE＝∠ECA，
∴∠EAH＝∠FDG，
∵DG＝CH，
∴DG＝AH，
∴△DFG≌△AFH（ASA），
∴AE＝DF，
∵∠DEA＝2∠ECA，∠FDE＝2∠ODE，
∴∠FDE＝∠DEA，
∴DF∥AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形ADFE是矩形，
∴EF⊥BD，
∵EF：DF＝3：2，
∴tan∠EDF＝，
∵FR⊥CD，FG⊥DO，
∴∠ODE＝∠RFK＝90°，
∵∠ECA＝∠MCL，
∴∠RFK＝∠LCM，
∵CM⊥MT，
∴∠CML＝90°，
∵FR＝CM，
∴△FRK≌△CML（AAS），
∴CL＝FK＝2FG，
∵BC＝2OH，EH＝OH，
∴EH是△AWC的中位线，
∴CW＝2EH，
∵EH＝FG，
∴CL＝FK＝2FG＝CW，
∵∠TCL＝∠CMT＝90°，
∴∠MCL＝∠CTM，
∵∠ACE＝∠ECA＝∠LCM，
∴∠CTM＝∠WAC，
∴△AWC≌△TLC（AAS），
∴AC＝TC，
在Rt△ACT中，AT＝4，
∴AC＝CT＝4，
∵AW∥BD，
∴∠BAW＝∠DBC，
∵∠DBO＝∠BDO，∠EAC＝∠BDO＝∠ODE，
∴∠BAC＝∠BDE，
在Rt△ABC中，tan∠BAC＝＝，
∴BC＝6，
在Rt△ABC中，AB＝＝2．
7．（2022 哈尔滨）已知CH是⊙O的直径，点A、点B是⊙O上的两个点，连接OA，OB，点D，点E分别是半径OA，OB的中点，连接CD，CE，BH，且∠AOC＝2∠CHB．
（1）如图1，求证：∠ODC＝∠OEC；
（2）如图2，延长CE交BH于点F，若CD⊥OA，求证：FC＝FH；
（3）如图3，在（2）的条件下，点G是一点，连接AG，BG，HG，OF，若AG：BG＝5：3，HG＝2，求OF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：如图1，∵点D，点E分别是半径OA，OB的中点，
∴OD＝OA，OE＝OB，
∵OA＝OB，
∴OE＝OD，
∵∠AOC＝2∠CHB，∠BOC＝2∠CHB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∵OC＝OC，
∴△OCD≌△OCE（SAS），
∴∠ODC＝∠OEC；
（2）证明：∵CD⊥OA，
∴∠CDO＝90°，
由（1）知：∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴sin∠OCE＝＝，
∴∠OCE＝30°，
∴∠COE＝60°，
∵∠H＝∠COE＝30°，
∴∠H＝∠OCE，
∴FC＝FH；
（3）解：∵CO＝OH，FC＝FH，
∴FO⊥CH，
∴∠FOH＝90°，
如图，连接AH，
∵∠AOC＝∠BOC＝60°，
∴∠AOH＝∠BOH＝120°，
∴AH＝BH，∠AGH＝60°，
∵AG：BG＝5：3，
∴设AG＝5x，BG＝3x，
在AG上取点M，使得AM＝BG，连接MH，过点H作HN⊥GM于N，
∵∠HAM＝∠HBG，
∴△HAM≌△HBG（SAS），
∴MH＝GH，
∴△MHG是等边三角形，
∴MG＝HG＝2，
∵AG＝AM+MG，
∴5x＝3x+2，
∴x＝1，
∴AG＝5，BG＝AM＝3，
∴MN＝GM＝×2＝1，HN＝，
∴AN＝MN+AM＝4，
∴HB＝HA＝＝＝，
∵∠FOH＝90°，∠OHF＝30°，
∴∠OFH＝60°，
∵OB＝OH，
∴∠BHO＝∠OBH＝30°，
∴∠FOB＝∠OBF＝30°，
∴OF＝BF，
在Rt△OFH中，∠OHF＝30°，
∴HF＝2OF，
∴HB＝BF+HF＝3OF＝，
∴OF＝．
8．（2021 哈尔滨）已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）证明见解答；
（3）2．
【解答】（1）证明：如图1，过点O作OP⊥BC，交⊙O于点P，连接AP交BE于Q，
∴＝，
∴∠BAP＝∠CAP，
∵点N为AC的中点，
∴＝，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∴∠BAC+∠ABC＝90°，
∴∠QAB+∠QBA＝×90°＝45°，
∴∠AQB＝∠EQP＝135°，
△AQD中，∠EQP＝∠CAP+∠ADQ＝135°，
∴∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）证明：在△DGO和△DBO中，
，
∴△DGO≌△DBO（SSS），
∴∠ABD＝∠DGO，
∵DG⊥BE，
∴∠GDB＝90°，
∴∠ADG+∠BDC＝90°，
∵∠BDC+∠CBE＝90°，
∴∠ADG＝∠CBE＝∠ABD＝∠DGO，
∴OG∥AD；
（3）解：如图3，过点G作GK⊥AC于K，延长GO交BC于点H，
由（2）知：OG∥AC，
∴GH∥AC，
∴∠OHB＝∠C＝90°，
∴OH⊥BC，
∴BH＝CH，
∵∠K＝∠C＝∠OHC＝90°，
∴四边形GHCK是矩形，
∴CH＝GK，
设GK＝y，则BC＝2y，ON＝GK＝y，
由（2）知：∠ADG＝∠DBC，
在△GKD和△DCB中，
，
∴△GKD≌△DCB（AAS），
∴GK＝DC＝y，
∵OE∥BC，
∴∠E＝∠DBC，
∴tan∠DBC＝tanE，
∴，即＝，
∴EN＝，
∴AN＝CN＝y+，ON＝y，
由勾股定理得：AO2＝ON2+AN2，
∴（y+）2＝y2+（y+）2，
解得：y1＝﹣（舍），y2＝，
∴AG＝＝＝2．
五．作图-平移变换（共1小题）
9．（2023 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，线段AB和线段CD的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ABE，且AB＝BE，∠ABE为钝角（点E在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中将线段CD向下平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后得到线段MN（点C的对应点是点M，点D的对应点是点N）．连接EN，请直接写出线段EN的长．
【答案】（1）作图见解析部分；
（2）作图见解析部分，．
【解答】解：（1）如图，△ABE即为所求；
（2）如图，线段MN即为所求，EN＝＝．
六．条形统计图（共2小题）
10．（2023 哈尔滨）军乐中学开展以“我最喜欢的劳动实践课”为主题的调查活动，围绕“在园艺课、泥塑课、纺织课、烹饪课四门劳动实践课中，你最喜欢哪一门课？（必选且只选一门）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢泥塑课的学生人数占所调查人数的20%，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若军乐中学共有1200名学生，请你估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有多少名．
【答案】（1）50；
（2）见解析；
（3）480名．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名），
答：在这次调查中，一共抽取了50名学生；
（2）喜欢纺织课的人数为：50﹣15﹣10﹣20＝5（名），
补全条形统计图如下：
（3）1200×＝480（名），
答：估计该中学最喜欢烹饪课的学生共有480名．
11．（2021 哈尔滨）春宁中学开展以“我最喜欢的冰雪运动项目”为主题的调查活动，围绕“在冰球、冰壶、短道速滑、高山滑雪四种冰雪运动项目中，你最喜欢哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的条形统计图，其中最喜欢短道速滑的学生人数占所调查人数的40%．请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
（2）请通过计算补全条形统计图；
（3）若春宁中学共有1500名学生，请你估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有多少名．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生数有：24÷40%＝60（名）；
（2）最喜欢冰壶项目的人数有：60﹣16﹣24﹣12＝8（名），补全统计图如下：
（3）根据题意得：
1500×＝300（名），
答：估计该中学最喜欢高山滑雪的学生共有300名．
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