卷子答案网-一个不只有答案的网站
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
一．相反数（共1小题）
1．（2021 盘锦）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
二．倒数（共2小题）
2．（2022 盘锦）﹣6的倒数是（ ）
A． B．﹣0.6 C． D．6
3．（2023 盘锦）|﹣3|的倒数是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．
三．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
4．（2023 盘锦）2022年盘锦市被评为“中国河蟹第一市”，河蟹总产量约为79000t，数79000用科学记数法表示为（ ）
A．0.79×105 B．7.9×105 C．79×103 D．7.9×104
四．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
5．（2022 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2x）2＝4x2 C． D．ab2﹣ab＝b
五．同底数幂的除法（共2小题）
6．（2021 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．m﹣2＝﹣m2 C．（2m）2＝2m2 D．ab2÷ab＝b
7．（2023 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．a3÷a＝a
C．（﹣m2）3＝﹣m6 D．（﹣2ab）2＝4ab2
六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
8．（2022 盘锦）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
七．解一元一次不等式（共1小题）
9．（2022 盘锦）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
八．动点问题的函数图象（共3小题）
10．（2022 盘锦）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP，PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2021 盘锦）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连接PC，设OM长为x，△PMC的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
12．（2023 盘锦）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B，C在x轴的正半轴上，D（2，），P（﹣1，﹣1），点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
九．平行线的性质（共1小题）
13．（2023 盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44° B．34° C．24° D．14°
一十．作图—基本作图（共1小题）
14．（2021 盘锦）如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于a的说法正确的是（ ）
A．a≥DE的长 B．a≤DE的长 C．a＞DE的长 D．a＜DE的长
一十一．作图—复杂作图（共1小题）
15．（2022 盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
一十二．命题与定理（共3小题）
16．（2022 盘锦）下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
17．（2021 盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．同位角相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
18．（2023 盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．方差越小则数据波动越大
B．等边三角形是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．正多边形的外角和为360°
一十三．轴对称-最短路线问题（共1小题）
19．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝，AD＝4，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3 D．4
一十四．相似三角形的应用（共1小题）
20．（2021 盘锦）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，设井深为x尺，所列方程正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
一十五．简单组合体的三视图（共1小题）
21．（2023 盘锦）如图中的几何体由五个完全相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
一十六．由三视图判断几何体（共2小题）
22．（2022 盘锦）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
23．（2021 盘锦）如图中的三视图对应的三棱柱是（ ）
A． B． C． D．
一十七．全面调查与抽样调查（共2小题）
24．（2022 盘锦）下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A．了解神舟飞船的设备零件的质量情况
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
C．全国人口普查
D．企业招聘，对应聘人员进行面试
25．（2021 盘锦）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班学生的身高情况
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
C．调查某批汽车的抗撞击能力
D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量
一十八．统计图的选择（共1小题）
26．（2021 盘锦）空气是由多种气体混合组成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ）
A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图
一十九．众数（共2小题）
27．（2022 盘锦）某校开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有20名，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分 100 99 98 97
人数 3 7 6 4
则这20名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．98，98 B．98，99 C．98.5，98 D．98.5，99
28．（2023 盘锦）为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图．则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（ ）
A．4.8，4.8 B．13，13 C．4.7，13 D．13，4.8
二十．方差（共1小题）
29．（2021 盘锦）甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二十一．随机事件（共1小题）
30．（2023 盘锦）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．掷一次骰子，向上一面的点数是3
D．射击运动员射击一次，命中靶心
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-01选择题知识点分类
参考答案与试题解析
一．相反数（共1小题）
1．（2021 盘锦）3的相反数是（ ）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
【答案】A
【解答】解：根据概念，3的相反数在3的前面加﹣，则3的相反数是﹣3．
故选：A．
二．倒数（共2小题）
2．（2022 盘锦）﹣6的倒数是（ ）
A． B．﹣0.6 C． D．6
【答案】A
【解答】解：﹣6的倒数是1÷（﹣6）＝．
故选：A．
3．（2023 盘锦）|﹣3|的倒数是（ ）
A．﹣3 B． C．3 D．
【答案】D
【解答】解：∵|﹣3|＝3，3的倒数是，
∴|﹣3|的倒数是．
故选：D．
三．科学记数法—表示较大的数（共1小题）
4．（2023 盘锦）2022年盘锦市被评为“中国河蟹第一市”，河蟹总产量约为79000t，数79000用科学记数法表示为（ ）
A．0.79×105 B．7.9×105 C．79×103 D．7.9×104
【答案】D
【解答】解：79000＝7.9×104．
故选：D．
四．幂的乘方与积的乘方（共1小题）
5．（2022 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．a2 a3＝a6 B．（﹣2x）2＝4x2 C． D．ab2﹣ab＝b
【答案】B
【解答】解：A、a2 a3＝a5，故A不符合题意；
B、（﹣2x）2＝4x2，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、ab2与﹣ab不能合并，故D不符合题意；
故选：B．
五．同底数幂的除法（共2小题）
6．（2021 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．a2+a3＝a5 B．m﹣2＝﹣m2 C．（2m）2＝2m2 D．ab2÷ab＝b
【答案】D
【解答】解：A、a2和a3不是同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、m﹣2＝，故B不符合题意；
C、（2m）2＝4m2，故C不符合题意；
D、ab2÷ab＝b，故D符合题意．
故选：D．
7．（2023 盘锦）下列运算正确的是（ ）
A．2a2+a3＝3a5 B．a3÷a＝a
C．（﹣m2）3＝﹣m6 D．（﹣2ab）2＝4ab2
【答案】C
【解答】解：A．2a2与a3不是同类项，所以不能合并，故本选项不符合题意；
B．a3÷a＝a2，故本选项不符合题意；
C．（﹣m2）3＝﹣m6，故本选项符合题意；
D．（﹣2ab）2＝4a2b2，故本选项不符合题意．
故选：C．
六．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
8．（2022 盘锦）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：．
故选：B．
七．解一元一次不等式（共1小题）
9．（2022 盘锦）不等式的解集在数轴上表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：∵不等式的解集为x≤4，
∴数轴表示为：
，
故选C．
八．动点问题的函数图象（共3小题）
10．（2022 盘锦）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，连接OE，OF，点P从点E出发沿E﹣O﹣F运动，同时点Q从点B出发沿BC运动，两点运动速度均为1cm/s，当点P运动到点F时，两点同时停止运动，设运动时间为ts，连接BP，PQ，△BPQ的面积为Scm2，下列图象能正确反映出S与t的函数关系的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解答】解：当0≤t≤1时，
∵正方形ABCD的边长为2，点O为正方形的中心，
∴直线EO垂直BC，
∴点P到直线BC的距离为2﹣t，BQ＝t，
∴S＝；
当1＜t≤2时，
∵正方形ABCD的边长为2，点E，点F分别为边AD，CD中点，点O为正方形的中心，
∴直线OF∥BC，
∴点P到直线BC的距离为1，BQ＝t，
∴S＝；
故选D．
11．（2021 盘锦）如图，四边形ABCD是菱形，BC＝2，∠ABC＝60°，对角线AC与BD相交于点O，线段BD沿射线AD方向平移，平移后的线段记为PQ，射线PQ与射线AC交于点M，连接PC，设OM长为x，△PMC的面积为y，下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝BC＝2，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，
∴＝60°，
∴△DAC是等边三角形，
∴AD＝AC＝2，
∴AO＝CO＝＝1，
设OM＝x，
∵AC⊥BD，PQ为BD平移而来，
∴∠AOD＝∠AMP＝90°，
∴△AMP为直角三角形，
∴PM＝AM tan∠PAM＝（1+x），
①当点M在线段OC上（不含点O）时，即0≤x＜1，此时CM＝1﹣x，
则y＝（1﹣x）×（1+x）＝﹣x2+，
∴0≤x＜1，函数图象开口应朝下，
故B、C不符合题意，
②当点M'在线段OC延长线上时，即x＞1，如图所示：
此时CM'＝x﹣1，
则y＝（x﹣1）×＝，
∴只有D选项符合题意，
故选：D．
12．（2023 盘锦）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴的正半轴上，顶点B，C在x轴的正半轴上，D（2，），P（﹣1，﹣1），点M在菱形的边AD和DC上运动（不与点A，C重合），过点M作MN∥y轴，与菱形的另一边交于点N，连接PM，PN，设点M的横坐标为x，△PMN的面积为y，则下列图象能正确反映y与x之间函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝AD＝2，OA＝，
所以OB2＝22﹣2，
OB＝1，
OC＝1+2＝3．
（1）当M横坐标在0～1之间，
在三角形PMN中，P点横坐标为（﹣1，﹣1），M平行y轴，M点横坐标为x，
所以高＝1+x，
直线AB所在的函数为：y＝kx+b，经过点A（0，），点B（1，0），
代入解析式得到：k＝﹣，b＝，
得到解析式：y＝﹣x+，
又因为MN平行于y轴，
所以点N的横坐标为x，代入y＝﹣x+，
即点N的坐标（x，﹣x+），
所以MN＝﹣（﹣x+）＝x，
S△PMN＝×x×（1+x）＝x2+x，
所以当点M横坐标在0～1之间是开口向上的抛物线．
（2）当点M横坐标在1～2之间，
在三角形PMN中，底为，高为1+x，
所以S△PMN＝×（1+x）×＝x+，
所以点M横坐标在1～2之间是一次函数，即一条直线．
（3）当M横坐标在2～3之间，
在三角形PMN中，高为1+x，
直线CD所在直线的函数为：y＝kx+b经过点C（0，3），点D（2，），
代入解析式得到：y＝﹣x+3，
将点M横坐标x代入解析式得到纵坐标为：﹣x+3，
S△PMN＝×（1+x）×（﹣x+3）＝﹣x2+x+，
所以点M横坐标在2～3之间是二次函数，开口向下的抛物线．
故答案为A．
九．平行线的性质（共1小题）
13．（2023 盘锦）如图，直线AB∥CD，将一个含60°角的直角三角尺EGF按图中方式放置，点E在AB上，边GF，EF分别交CD于点H，K，若∠BEF＝64°，则∠GHC等于（ ）
A．44° B．34° C．24° D．14°
【答案】B
【解答】解：因为AB∥CD，且∠BEF＝64°，
所以∠DKF＝∠BEF＝64°．
又三角形EFG为直角三角形，且∠G＝90°，∠GEF＝60°，
所以∠F＝30°．
所以∠KHF＝64°﹣30°＝34°．
又∠GHC＝∠KHF，
所以∠GHC＝34°．
故选：B．
一十．作图—基本作图（共1小题）
14．（2021 盘锦）如图，已知直线AB和AB上一点C，过点C作直线AB的垂线，步骤如下：
第一步：以点C为圆心，以任意长为半径作弧，交直线AB于点D和点E；
第二步：分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F；
第三步：作直线CF，直线CF即为所求．
下列关于a的说法正确的是（ ）
A．a≥DE的长 B．a≤DE的长 C．a＞DE的长 D．a＜DE的长
【答案】C
【解答】解：由作图可知，分别以点D和点E为圆心，以a为半径作弧，两弧交于点F，此时a＞DE，
故选：C．
一十一．作图—复杂作图（共1小题）
15．（2022 盘锦）如图，线段AB是半圆O的直径．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交半圆O于点C，交AB于点E，连接AC，BC，若AE＝1，则BC的长是（ ）
A． B．4 C．6 D．
【答案】A
【解答】解：如图，连接OC．
根据作图知CE垂直平分AO，
∴AC＝OC，AE＝OE＝1，
∴OC＝OB＝AO＝AE+EO＝2，
∴AC＝OC＝AO＝AE+EO＝2，
即AB＝AO+BO＝4，
∵线段AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ACB中，根据勾股定理得，，
故选A．
一十二．命题与定理（共3小题）
16．（2022 盘锦）下列命题不正确的是（ ）
A．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
B．负数的立方根是负数
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．五边形的外角和是360°
【答案】C
【解答】解：A、经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；故A正确；
B、负数的立方根是负数；故B正确；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C错误；
D、五边形的外角和是360°，故D正确；
故选：C．
17．（2021 盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．同位角相等
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．对角线相等的四边形是矩形
D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
【答案】D
【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题错误，不符合题意；
B、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，不符合题意；
D、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，正确，符合题意；
故选：D．
18．（2023 盘锦）下列命题正确的是（ ）
A．方差越小则数据波动越大
B．等边三角形是中心对称图形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．正多边形的外角和为360°
【答案】D
【解答】解：A、方差越小则数据波动越小，故A不符合题意；
B、等边三角形不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、对角线相等的四边形不一定是矩形，故C不符合题意；
D、正多边形的外角和为360°，正确，故D符合题意．
故选：D．
一十三．轴对称-最短路线问题（共1小题）
19．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝，AD＝4，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．3 D．4
【答案】C
【解答】解：∵点M，N分别是PB，PC的中点，
∴AM＝BP，DN＝PC，MN∥BC，
∵ME∥DN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴ME＝ND，
∴AM+ME＝AM+DN＝（BP+PC），
∴AM+ME的最小值就是（BP+PC）的最小值．
找到点C关于直线AD对称点M，连接PM、BM．
BP+PC＝BP+PM，
当点BPM三点共线时，BP+PM的最小值就是BM，
在Rt△BCM中，BC＝AD＝4，MC＝2CD＝2，
BM＝＝＝6，
∴AM+ME的最小值＝BM＝3，
故选：C．
一十四．相似三角形的应用（共1小题）
20．（2021 盘锦）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得，设井深为x尺，所列方程正确的是（ ）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】A
【解答】解：如图，设AD交BE于K．
∵DK∥BC，
∴△EKD∽△EBC，
∴＝，
∴＝，
故选：A．
一十五．简单组合体的三视图（共1小题）
21．（2023 盘锦）如图中的几何体由五个完全相同的小正方体组成，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解答】解：从上面看易得上层有3个正方形，下层最左边有一个正方形．
故选：B．
一十六．由三视图判断几何体（共2小题）
22．（2022 盘锦）如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体是圆锥．
故选：C．
23．（2021 盘锦）如图中的三视图对应的三棱柱是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：由俯视图得到正三棱柱两个底面在水平方向，由主视图得到有一条侧棱在正前方，于是可判定B选项正确．
故选：B．
一十七．全面调查与抽样调查（共2小题）
24．（2022 盘锦）下列调查中，适合采用抽样调查的是（ ）
A．了解神舟飞船的设备零件的质量情况
B．了解一批袋装食品是否含有防腐剂
C．全国人口普查
D．企业招聘，对应聘人员进行面试
【答案】B
【解答】解：A、了解神舟飞船的设备零件的质量情况，适合普查，故A不符合题意；
B、了解一批袋装食品是否含有防腐剂，适合抽样调查，故B符合题意；
C、全国人口普查，适合普查，故C不符合题意；
D、企业招聘，对应聘人员进行面试，适合普查，故D不符合题意；
故选：B．
25．（2021 盘锦）下列调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A．调查某班学生的身高情况
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况
C．调查某批汽车的抗撞击能力
D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量
【答案】C
【解答】解：A．调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
B．调查亚运会100m游泳决赛运动员兴奋剂的使用情况，适合全面调查，故本选项不符合题意；
C．调查某批汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故本选项符合题意；
D．调查一架“歼20”隐形战斗机各零部件的质量，适合全面调查，故本选项不符合题意．
故选：C．
一十八．统计图的选择（共1小题）
26．（2021 盘锦）空气是由多种气体混合组成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（ ）
A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图
【答案】B
【解答】解：条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别，故A选项不符合题意；
扇形统计图中用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小，故B选项符合题意；
折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势，故C选项不符合题意；
直方图在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势，故D选项不符合题意．
故选：B．
一十九．众数（共2小题）
27．（2022 盘锦）某校开展安全知识竞赛，进入决赛的学生有20名，他们的决赛成绩如表所示：
决赛成绩/分 100 99 98 97
人数 3 7 6 4
则这20名学生决赛成绩的中位数和众数分别是（ ）
A．98，98 B．98，99 C．98.5，98 D．98.5，99
【答案】D
【解答】解：∵99出现的次数最多，7次，
∴众数为99；
∵中位数是第10个，11个数据的平均数即，
故选D．
28．（2023 盘锦）为了解全市中学生的视力情况，随机抽取某校50名学生的视力情况作为其中一个样本，整理样本数据如图．则这50名学生视力情况的中位数和众数分别是（ ）
A．4.8，4.8 B．13，13 C．4.7，13 D．13，4.8
【答案】A
【解答】解：把这50名学生视力情况从小到大排列，排在中间的两个数分别是4.8、4.8，故中位数为＝4.8；
在这50名学生视力情况中，4.8出现的次数最多，故众数为4.8．
故选：A．
二十．方差（共1小题）
29．（2021 盘锦）甲、乙、丙、丁四人10次随堂测验的成绩如图所示，从图中可以看出这10次测验平均成绩较高且较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【解答】解：由折线统计图得：丙、丁的成绩在92附近波动，甲、乙的成绩在91附近波动，
∴丙、丁的平均成绩高于甲、乙，
由折线统计图得：丙成绩的波动幅度小于丁成绩的波动幅度，
∴这四人中丙的平均成绩好又发挥稳定，
故选：C．
二十一．随机事件（共1小题）
30．（2023 盘锦）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意画一个三角形，其内角和是180°
B．任意买一张电影票，座位号是单号
C．掷一次骰子，向上一面的点数是3
D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】A
【解答】解：A、任意画一个三角形，其内角和是180°，是必然事件，故A不符合题意；
B、任意买一张电影票，座位号是单号，是随机事件，故B符合题意；
C、掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，故C不符合题意；
D、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
HYPERLINK "()
" ()
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2021 盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023 盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023 盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022 盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
5．（2021 盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
6．（2023 盘锦）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM⊥x轴于点N，若QM＝BM，且tan∠MBN＝，请直接写出点Q的坐标．
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2022 盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2021 盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作 ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当 ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
七．几何变换综合题（共1小题）
9．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F．
（1）线段AM与线段AN的关系是 ．
（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．
（3）求证：FH＝2BM．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2022 盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β β＝31°
测角仪到地面的距离 AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离 BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
11．（2021 盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
九．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2022 盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
13．（2021 盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝ ，b＝ ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．反比例函数与一次函数的交点问题（共1小题）
1．（2021 盘锦）如图，直线y＝x﹣交x轴于点M，四边形OMAE是矩形，S矩形OMAE＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，EA的延长线交直线y＝x﹣于点D．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点B在x轴上，且AB＝AD，求点B的坐标．
【答案】（1）y＝；
（2）（﹣2，0）或（4，0）．
【解答】解：（1）∵S矩形OMAE＝4，即|k|＝4，
又∵k＞0，
∴k＝4，
∴反比例函数的关系式为y＝；
（2）当y＝4时，即4＝x﹣，
解得x＝6，
即D（6，4），而A（1，4），
∴AD＝DE﹣AE＝6﹣1＝5，
由于AB＝AD＝5，AM＝4，点B在x轴上，
在Rt△AMB中，由勾股定理得，
MB＝＝3，
①当点B在点M的左侧时，
点B的横坐标为1﹣3＝﹣2，
∴点B（﹣2，0），
②当点B在点M的右侧时，
点B的横坐标为1+3＝4，
∴点B（4，0），
因此点B的坐标为（﹣2，0）或（4，0）．
二．反比例函数综合题（共1小题）
2．（2023 盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．
（1）求反比例函数的解析式．
（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．
【答案】（1）y＝；
（2）F（2+，2）．
【解答】解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：
∴∠AMC＝∠BNC＝90°，
设C（m，），
∵B（0，3），A（1，0）
则CM＝，M（m，0），N（m，3），
∵AN＝m﹣1，CN＝3﹣，BN＝m，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BCN+∠ACM＝90°，
∵∠ACM+∠MAC＝90°，
∴∠BCN＝∠MAC，
又∵AC＝BC，
∠BCN＝∠MAC，
∠AMC＝∠BNC＝90°
∴△ACM≌△CBN（AAS），
∴CN＝AM，BN＝CM，
∴3﹣＝m﹣1，m＝，
∴k＝m2，
∴3﹣m＝m﹣1，
m＝2，
∴k＝4，
∴反比例函数的解析式：y＝；
（2）由（1）可得C（2，2），
∵A（1，0），
∴AC＝＝，
∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，
∴F点纵坐标为2，∠CAF＝DAF＝∠CFA，
∴CF＝AC＝，
∴F点横坐标为2+，
∴F（2+，2）．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023 盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每件售价x/万元 … 24 26 28 30 32 …
月销售量y/件 … 52 48 44 40 36 …
（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．
（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
①求：三月份每件产品的成本是多少万元？
②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
【答案】（1）y＝﹣2x+100；
（2）①三月份每件产品的成本是20万元；②四月份最少利润是500万元．
【解答】解：（1）在表格取点（30，40）、（32，36），
设一次函数的表达式为：y＝kx+b，
则，解得：，
则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+100；
（2）①设三月的成本为m万元，
当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，
由题意得：450＝30（35﹣m），
解得：m＝20，
即三月份每件产品的成本是20万元；
②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6，
由题意得：w＝y（x﹣6）﹣450＝（﹣2x+100）（x﹣6）﹣450＝﹣2x2+112x﹣1050（25≤x≤30），
则抛物线的对称轴为x＝28，
则x＝25时，w取得最小值，
此时，w＝500，
即四月份最少利润是500万元．
四．二次函数综合题（共3小题）
4．（2022 盘锦）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B（4，0）两点（A在B的左侧），与y轴交于点C（0，﹣4）．点P在抛物线上，连接BC，BP．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，若点P在第四象限，点D在线段BC上，连接PD并延长交x轴于点E，连接CE，记△DCE的面积为S1，△DBP的面积为S2，当S1＝S2时，求点P的坐标；
（3）如图2，若点P在第二象限，点F为抛物线的顶点，抛物线的对称轴l与线段BC交于点G，当∠PBC+∠CFG＝90°时，求点P的横坐标．
【答案】（1）y＝x2﹣3x﹣4；
（2）P（3，﹣4）；
（3）点P的横坐标为．
【解答】解：（1）将B（4，0）、C（0，﹣4）两点代入y＝x2+bx+c得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣3x﹣4；
（2）方法一：由y＝x2﹣3x﹣4可得，A（﹣1，0），
设点P（m，m2﹣3m﹣4），
则，，
∵S△BCE＝S1+S△BDE，S△BPE＝S2+S△BDE，S1＝S2，
∴S△BCE＝S△BPE，
∴，
解得：m1＝3，m2＝0（舍去），
∴P（3，﹣4）；
方法二：∵S1＝S2，
∴S△PBE＝S△CBE，
∴PC∥x轴，
∴点P与C关于对称轴x＝对称，
∴P（3，﹣4）；
（3）如图，作CE⊥l于E，PQ⊥BC于Q，PN⊥x轴于N，连接PC交x轴于点H，
设P（n，n2﹣3n﹣4），PC的表达式为：y＝kx+d（k≠0），
将P，C代入y＝kx+d（k≠0）得，
，
解得：，
∴PC的表达式为：y＝（n﹣3）x﹣4，
将y＝0代入y＝（n﹣3）x﹣4得，
0＝（n﹣3）x﹣4，
即，
∴，
∵S△PCB＝S△PHB+S△HCB，
∴PQ BC＝PN HB+OC HB，
∵BC＝＝，
∴，
∵，
由题可知，，
∴，
将代入y＝x2﹣3x﹣4得，，
∴，
∴，
∵∠PBC+∠CFG＝90°，PQ⊥BC，CE⊥l，
∴∠PBQ＝∠FCE，∠CEF＝∠PQB，
∴△CEF∽△PQB，
∴，
∴，
解得：（舍去）．
∴点P的横坐标为﹣，
方法二：将CF绕点F顺时针旋转90°得C'，连接CC'，作CE⊥l于E，
求出点C'（），
从而求出直线CC'的解析式，
∴∠ECF＝∠BCC'＝∠PBC，
∴BP∥CC'，
求出直线BP的解析式与抛物线求交点即可．
5．（2021 盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．
（1）点F的坐标为 （4，2） ；
（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；
（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．
【答案】（1）（4，2）；（2）（1，）或（3，）；（3）2s．
【解答】解：（1）在抛物线y＝﹣x2+2x+6中，
令y＝0，则﹣x2+2x+6＝0，
∴x＝﹣2或x＝6，
∴A（﹣2，0），B（6，0），
令x＝0，则y＝6，
∴C（0，6），
在直线y＝x﹣2，令y＝0，则x＝2，
∴E（2，0），
令x＝0，则y＝﹣2，
∴D（0，﹣2），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，
∴，
∴y＝﹣x+6，
联立，
解得，
∴F（4，2），
故答案为（4，2）；
（2）如图1，过点P作PG⊥x轴于点G，过点F作FH⊥x轴交于点H，
∵PM⊥BC，QN⊥BC，
∴∠PMF＝∠QNF，
∴△PMF∽△QNF，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵FH∥PG，
∴＝＝，
∵FH＝2，
∴PG＝，
∴P点纵坐标为，
∴﹣x2+2x+6＝，
∴x＝1或x＝3，
∴P（1，）或P（3，）；
（3）如图2，过点S作SK⊥EG于点K，SH⊥x轴于点H，交EG于点L，
由题意得，EG＝4t，
∵SE＝SG，
∴EK＝GK＝EG＝2t，
在Rt△SEK中，tan∠SEG＝＝，
∴SK＝t，
∵E（2，0），D（0，﹣2），
∴OE＝OD，
∴△ODE是等腰直角三角形，
∴∠OED＝45°，
∴∠KEH＝∠OED＝45°，
∴△EHL为等腰直角三角形，
∴LK＝SK＝t，SL＝SK＝2t，
∴EL＝EK﹣LK＝t，
∴EH＝LH＝t，
∴OH＝OE+EH＝t+2，SH＝SL+LH＝3t，
∴S（t+2，3t），
∴﹣（t+2）2+2（t+2）+6＝3t，
∴t＝2或t＝﹣8（舍），
∴点G的运动时间为2s．
6．（2023 盘锦）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，点Q是x轴上方抛物线上一点，射线QM⊥x轴于点N，若QM＝BM，且tan∠MBN＝，请直接写出点Q的坐标．
（3）如图2，点E是第一象限内一点，连接AE交y轴于点D，AE的延长线交抛物线于点P，点F在线段CD上，且CF＝OD，连接FA，FE，BE，BP，若S△AFE＝S△ABE，求△PAB的面积．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）点Q（2，3）；
（3）．
【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），
则﹣3a＝3，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；
（2）∵tan∠MBN＝，
故设MN＝4m，NB＝3m，则BM＝5m，
则点N、M的坐标分别为：（3﹣3m，0）、（3﹣3m，4m），
当x＝3﹣3m时，y＝﹣x2+2x+3＝﹣9m2+12m，
则点Q（3﹣3m，﹣9m2+12m），
∵QM＝BM，
即﹣9m2+12m﹣4m＝5m，
解得：m＝0（舍去）或，
则点Q（2，3）；
（3）设点P（m，﹣m2+2m+3），
由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为：y＝﹣（m﹣3）（x+1），
则点D（0，3﹣m），
则OD＝CF＝3﹣m，
则DF＝3﹣OD﹣CF＝2m﹣3，
设点E的坐标为：（t，（3﹣m）（t+1）），
∵S△AFE＝S△ABE，
即DF×（xE﹣xA）＝AB×yE，
即（2m﹣3）（t+1）＝4×（3﹣m）（t+1），
解得：m＝2.5，
即点P的坐标为：（，），
则△PAB的面积＝AB×yP＝4×＝．
五．三角形综合题（共1小题）
7．（2022 盘锦）在△ABC中，AC＝BC，点D在线段AB上，连接CD并延长至点E，使DE＝CD，过点E作EF⊥AB，交直线AB于点F．
（1）如图1，若∠ACB＝120°，请用等式表示AC与EF的数量关系： EF＝AC ．
（2）如图2．若∠ACB＝90°，完成以下问题：
①当点D，点F位于点A的异侧时，请用等式表示AC，AD，DF之间的数量关系，并说明理由；
②当点D，点F位于点A的同侧时，若DF＝1，AD＝3，请直接写出AC的长．
【答案】（1）；
（2）①；②或．
【解答】解：（1）过点C作CG⊥AB于G，如图1，
∵EF⊥AB，
∴∠EFD＝∠CGD＝90°，
∵∠EDF＝∠CDG，DE＝CD，
∴△EDF≌△CDG（AAS），
∴EF＝CG；
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①过点C作CH⊥AB于H，如图2，
与（1）同理，可证△EDF≌△CDH，
∴DF＝DH，
∴AD+DF＝AD+DH＝AH，
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAH＝45°，
∴△ACH是等腰直角三角形，
∴，
∴；
②如图3，过点C作CG⊥AB于G，
与（1）同理可证，△EDF≌△CDG，
∴DF＝DG＝1，
∵AD＝3，
当点F在点A、D之间时，有
∴AG＝1+3＝4，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
当点D在点A、F之间时，如图4：
∴AG＝AD﹣DG＝3﹣1＝2，
与①同理，可证△ACG是等腰直角三角形，
∴；
综合上述，线段AC的长为或．
六．四边形综合题（共1小题）
8．（2021 盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF为等腰直角三角形，∠ECF＝90°，点E在BC上，点F在CD上，N为EF的中点，连接NA，以NA，NF为邻边作 ANFG，连接DG，DN，将Rt△ECF绕点C顺时针旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．
（1）如图1，当α＝0°时，DG与DN的关系为 DG⊥DN，DG＝DN ．
（2）如图2，当0°＜α＜45°时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）在Rt△ECF的旋转过程中，当 ANFG的顶点G落在正方形ABCD的边上，且AB＝12，EC＝5时，连接GN，请直接写出GN的长．
【答案】（1）DG⊥DN，DG＝DN；
（2）结论成立，证明见解析部分．
（3）GN的值为7或13．
【解答】解：（1）如图1中，连接AE，AF，CN．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝CB＝CD，∠B＝∠ADF＝90°，
∵CE＝CF，
∴BE＝DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
∵EN＝NF，
∴AN⊥EF，CN＝NF＝EN，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN⊥EF，
∴A，N，C共线，
∵四边形ANFG是平行四边形，∠ANF＝90°，
∴四边形ANFG是矩形，
∴AG＝FN＝CN，∠GAN＝90°，
∵∠DCA＝∠DAC＝45°，
∴∠GAD＝∠NCD＝45°，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN．
故答案为：DG⊥DN，DG＝DN；
（2）结论成立．
理由：如图2中，作直线EF交AD于J，交BC于K，连接CN．
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG∥KJ，AG＝NF，
∴∠DAG＝∠J，
∵AJ∥BC，
∴∠J＝∠CKE，
∵CE＝CF，EN＝NF，
∴CN＝NE＝NF＝AG，CN⊥EF，
∴∠ECN＝∠CEN＝45°，
∴∠EKC+∠ECK＝∠ECK+∠DCN，
∴∠DCN＝∠CKE，
∴∠GAD＝∠DCN，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
解法二：连接CN并延长与直线AG 交于点M，与AD交于点P，
∵△AMP与△CDP都是直角三角形，
∴∠AMP＝∠DCP＝90°，
∵∠APM＝∠DPC，
∴∠GAD＝∠DCP，
∵GA＝CN，AD＝CD，
∴△GAD≌△NCD（SAS），
∴DG＝DN，∠ADG＝∠CDN，
∴∠GDN＝∠ADC＝90°，
∴DG⊥DN，DG＝DN；
（3）如图3﹣1中，当点G落在AD上时，
∵△ECN是等腰直角三角形，EC＝5，
∴EN＝CN＝NF＝5，
∵四边形ANFG是平行四边形，
∴AG＝NF＝5，
∵AD＝CD＝12，
∴DG＝DN＝7，
∴GN＝7．
如图3﹣2中，当点G落在AB上时，
同法可证，CN＝5，
∵△DAG≌△DCN，
∴AG＝CN＝5，
∴BG＝AB﹣AG＝7，BN＝BC+CN＝17，
∴GN＝＝＝13．
综上所述，满足条件的GN的值为7或13．
七．几何变换综合题（共1小题）
9．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG交AH于点F．
（1）线段AM与线段AN的关系是 垂直且相等 ．
（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．
（3）求证：FH＝2BM．
【答案】（1）垂直且相等；
（2）；
（3）证明过程详见解答．
【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADN＝∠ADC＝∠B＝90°，AD＝AB，
∵BM＝DN，
∴△ADN≌△ABM（SAS），
∴BM＝CN，∠DAN＝∠BAM，
∴∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°，
∴∠MAN＝90°，
∴AM⊥AN，
故答案为：垂直且相等；
（2）解：∵∠H＝∠H，∠HEG＝∠MAH，
∴△HEF∽△HAM，
∴，
∵线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，
∴EH＝EG＝EF+FG＝9，
∴AM＝HE＝9，
∴，
∴AH＝；
（3）证明：如图，
延长MB至X，使BX＝BM，作∠AMB＝∠H，交AX于R，
∴XM＝2BM，
∵AB⊥XM，
∴AX＝AM，
∴∠XAB＝∠BAM，∠X＝∠AMB，
设∠XBA＝∠BAM＝α，
∴∠MAH＝∠XAM＝∠HEF＝2α，∠X＝∠AMB＝90°﹣α，
∴∠AMR＝∠H＝90°﹣∠BAH＝90°﹣3α，
∴∠MRX＝∠XAM+∠AMR＝2α+（90°﹣3α）＝90°﹣α，
∴∠X＝∠MRX，
∴RM＝XM，
∵∠XAM＝∠HEF＝2α，∠AMR＝∠H，EH＝AM，
∴△HEF≌△MAR（ASA），
∴FH＝RM＝XM＝2BM．
八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共2小题）
10．（2022 盘锦）某数学小组要测量学校路灯P﹣M﹣N的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从A处测得路灯顶部P的仰角α α＝58°
从D处测得路灯顶部P的仰角β β＝31°
测角仪到地面的距离 AB＝DC＝1.6m
两次测量时测角仪之间的水平距离 BC＝2m
计算路灯顶部到地面的距离PE约为多少米？（结果精确到0.1米．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【答案】路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
【解答】解：如图：延长DA，交PE于点F，
则DF⊥PE，AD＝BC＝2m，AB＝CD＝EF＝1.6m，
设AF＝xm，
∴DF＝AF+AD＝（x+2）m，
在Rt△PFA中，∠PAF＝58°，
∴PF＝AF tan58°≈1.6x（m），
在Rt△PDF中，∠PDF＝31°，
∴tan31°＝＝≈0.6，
∴x＝1.2，
经检验：x＝1.2是原方程的根，
∴PF＝1.6x＝1.92（m），
∴PE＝PF+EF＝1.92+1.6≈3.5（m），
∴路灯顶部到地面的距离PE约为3.5米．
11．（2021 盘锦）如图，小华遥控无人机从A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在A点测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6m，且＝，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【答案】约是38m．
【解答】解：过A作AC⊥MN于C，如图所示：
则CN＝AB，AC＝BN，
∵＝，
∴＝，
由题意得：EF＝6m，AB⊥BN，EF⊥BN，
∴AB∥EF，
∴△EFN∽△ABN，
∴＝＝，
∴AB＝3EF＝18（m），
∴CN＝18m，
在Rt△ACN中，tan∠CAN＝＝tan31°≈0.60＝，
∴AC≈CN＝×18＝30（m），
在Rt△ACM中，cos∠MAC＝＝cos37°≈0.80＝，
∴AM＝AC＝×30≈38（m），
即无人机飞行的距离AM约是38m．
九．列表法与树状图法（共2小题）
12．（2022 盘锦）某学校为丰富课后服务内容，计划开设经典诵读，花样跳绳、电脑编程、国画鉴赏、民族舞蹈五门兴趣课程．为了解学生对这五门兴趣课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）本次调查共抽取了 300 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）计算扇形统计图中“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数；
（4）若全校共有1200名学生，请估计选择“民族舞蹈”课程的学生人数；
（5）在经典诵读课前展示中，甲同学从标有A《出师表》、B《观沧海》、C《行路难》的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲乙两人至少有一人抽到A《出师表》的概率．
【答案】（1）300；
（2）见详解；
（3）120°；
（4）200；
（5）．
【解答】解：（1）本次调查共抽取的学生人数为：30÷10%＝300（人）；
故答案为：300；
（2）根据题意可知：
花样跳绳的人数为：300﹣40﹣100﹣30﹣50＝80（人）；
补全条形图如下：
（3）根据题意可知：
“电脑编程”所对应扇形的圆心角度数为：；
（4）全校选择“民族舞蹈”课程的学生人数估计为：（人）；
（5）列表如下：
A B C
A A，A B，A C，A
B A，B B，B C，B
C A，C B，C C，C
共有9种等可能的结果，其中甲乙两人至少有一人抽到A有5种，
所以两人至少有一人抽到A《出师表》的概率为．
13．（2021 盘锦）某校七、八年级各有500名学生，为了解该校七、八年级学生对党史知识的掌握情况，从七、八年级学生中各随机抽取15人进行党史知识测试，统计这部分学生的测试成绩（成绩均为整数，满分10分，8分及8分以上为优秀），相关数据统计整理如下：
七年级抽取学生的成绩：6，6，6，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，10．
七、八年级抽取学生的测试成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8 8
众数 a 7
中位数 8 b
优秀率 80% 60%
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8 ．
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级的学生党史知识掌握得较好？请说明理由（写出一条即可）．
（3）请估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数；
（4）现从七、八年级获得10分的4名学生中随机抽取2人参加市党史知识竞赛，请用列表法或画树状图法，求出被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率．
【答案】（1）8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由见解析；
（3）700人；
（4）．
【解答】解：（1）由众数的定义得：a＝8，
八年级抽取学生的测试成绩的中位数为8（分），
故答案为：8，8；
（2）七年级的学生党史知识掌握得较好，理由如下：
∵七年级的优秀率大于八年级的优秀率，
∴七年级的学生党史知识掌握得较好；
（3）500×80%+500×60%＝700（人），
即估计七、八年级学生对党史知识掌握能够达到优秀的总人数为700人；
（4）把七年级获得10分的学生记为A，八年级获得10分的学生记为B，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，被选中的2人恰好是七、八年级各1人的结果有6种，
∴被选中的2人恰好是七、八年级各1人的概率为＝．
HYPERLINK "()
" ()
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023 盘锦）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝+（）0﹣（）﹣1．
2．（2022 盘锦）先化简，再求值：，其中．
3．（2021 盘锦）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝+4．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
4．（2022 盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
三．二次函数的应用（共2小题）
5．（2021 盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型 B型
车床数量/台 x
每台车床获利/万元 10
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
6．（2022 盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
四．三角形的外接圆与外心（共1小题）
7．（2023 盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长AC到点G，使得CG＝CB，连接GB．过点C作CD∥GB，交AB于点F，交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交GB的延长线于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切．
（2）若AC＝4，BC＝2，求BE的长．
五．切线的判定与性质（共2小题）
8．（2022 盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
9．（2021 盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023 盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：≈1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）
七．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2023 盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
0＜x≤20 20
20＜x≤40 a
40＜x≤60 25
60＜x≤80 15
x＞80 10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，统计表中a＝ ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（基础题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．分式的化简求值（共3小题）
1．（2023 盘锦）先化简，再求值：（+）÷，其中x＝+（）0﹣（）﹣1．
【答案】．
【解答】解：：（+）÷
＝：（+）×
＝×+×
＝+
＝
＝，
当x＝+（）0﹣（）﹣1
＝+1﹣2
＝﹣1时，
原式＝
＝．
2．（2022 盘锦）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解答】解：原式＝
＝
＝
＝，
∵＝，
∴原式＝＝＝
3．（2021 盘锦）先化简，再求值：÷﹣，其中x＝+4．
【答案】；2．
【解答】解：原式＝ ﹣
＝﹣
＝．
把x＝+4代入，原式＝＝2．
二．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题）
4．（2022 盘锦）如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是（﹣4，8），反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边CO上，且，过点D作DE∥x轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
【答案】（1）；
（2）（﹣7，）．
【解答】解：（1）根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形OABC是菱形，
设点A为（0，m），
∴OA＝BC＝AB＝m，
∵点B的坐标为（﹣4，8），
∴BF＝4，AF＝8﹣m，
在直角△ABF中，由勾股定理，则AB2＝BF2+AF2，即m2＝42+（8﹣m）2，
解得：m＝5，
∴OA＝BC＝AB＝5，
∴点C的坐标为（﹣4，3），
把点C代入，得k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为；
（2）作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为（﹣4，3），
∴OH＝4，CH＝3，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵DE∥x轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得x＝﹣7，
∴点E的坐标为（﹣7，）．
三．二次函数的应用（共2小题）
5．（2021 盘锦）某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床x台．
（1）当x＞4时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：
A型 B型
车床数量/台 14﹣x x
每台车床获利/万元 10 21﹣x
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜x≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
【答案】（1）①14﹣x，21﹣x；②生产并销售B型车床10台；
（2）当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元．
【解答】解：（1）①由题意得，生产并销售B型车床x台时，生产并销售A型车床（14﹣x）台，当x＞4时，每台B型车床可以获利[17﹣（x﹣4）]＝（21﹣x）万元．
故答案应为：14﹣x，21﹣x；
②由题意得方程10（14﹣x）+70＝[17﹣（x﹣4）]x，
解得x1＝10，x2＝21（舍去），
答：生产并销售B型车床10台；
（2）当0＜x≤4时，总利润W＝10（14﹣x）+17x，
整理得，W＝7x+140，
∵7＞0，
∴当x＝4时总利润W最大为7×4+140＝168（万元）；
当x＞4时，总利润
W＝10（14﹣x）+[17﹣（x﹣4）]x，
整理得W＝﹣x2+11x+140，
∵﹣1＜0，
∴当x＝﹣＝5.5时总利润W最大，
又由题意x只能取整数，
∴当x＝5或x＝6时，
∴当x＝5时，总利润W最大为﹣52+11×5+140＝170（万元）
又∵168＜170，
∴当x＝5或x＝6时，总利润W最大为170万元，
而14﹣5＝9，
14﹣6＝8，
答：当生产并销售A，B两种车床各为9台、5台或8台、6台时，使获得的总利润W最大；最大利润为170万元．
6．（2022 盘锦）某商场新进一批拼装玩具，进价为每个10元，在销售过程中发现，日销售量y（个）与销售单价x（元）之间满足如图所示的一次函数关系．
（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若该玩具某天的销售利润是600元，则当天玩具的销售单价是多少元？
（3）设该玩具日销售利润为w元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y＝﹣2x+100；
（2）40元或20元；
（3）当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元；
【解答】解：（1）设一次函数的关系式为y＝kx+b，
由题图可知，函数图象过点（25，50）和点（35，30）．
把这两点的坐标代入一次函数y＝kx+b，
得，
解得，
∴一次函数的关系式为y＝﹣2x+100；
（2）根据题意，设当天玩具的销售单价是x元，
由题意得，
（x﹣10）×（﹣2x+100）＝600，
解得：x1＝40，x2＝20，
∴当天玩具的销售单价是40元或20元；
（3）根据题意，则w＝（x﹣10）×（﹣2x+100），
整理得：w＝﹣2（x﹣30）2+800；
∵﹣2＜0，
∴当x＝30时，w有最大值，最大值为800；
∴当玩具的销售单价定为30元时，日销售利润最大；最大利润是800元．
四．三角形的外接圆与外心（共1小题）
7．（2023 盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长AC到点G，使得CG＝CB，连接GB．过点C作CD∥GB，交AB于点F，交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交GB的延长线于点E．
（1）求证：DE与⊙O相切．
（2）若AC＝4，BC＝2，求BE的长．
【答案】（1）答案见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OD，如图：
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ABC＝∠BCG＝90°，
∵CG＝CB，
∴△BCG为等腰直角三角形，
∴∠G＝∠CBG＝45°，
∵CD∥GB，
∴∠ACD＝∠C＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，
∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，
∵DE∥AB，
∴∠ODE＝∠AOD＝90°，
即：OD⊥DE，
又点D在⊙O上，
∴OD为⊙O的半径，
∴DE为⊙O的切线，
即：DE与⊙O相切．
（2）解：由（1）可知：∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠AOD＝90°，
在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，
由勾股定理得：，
∴，
∵CD∥GB，AC＝4，BC＝CG＝2，
∴BF：AF＝AC：CG＝4：2＝2：1，
设BF＝k，AF＝2k，
∴，
∴，
∴，
∴，
在Rt△ODF中，，，
由勾股定理得：，
∵CD∥GB，DE∥AB，
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴．
五．切线的判定与性质（共2小题）
8．（2022 盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点A，点B在⊙O上，边DA的延长线交⊙O于点E，对角线DB的延长线交⊙O于点F，连接EF并延长至点G，使∠FBG＝∠FAB．
（1）求证：BG与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为1，求AF的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：连接BE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝90°，
∴BE是圆O的直径，
∵∠BAF+∠EAF＝90°，∠EAF＝∠EBF，∠FBG＝∠FAB，
∴∠FBG+∠EBF＝90°，
∴∠OBG＝90°，
故BG是圆O的切线；
（2）解：如图，连接OA，OF，
∵四边形ABCD是正方形，BE是圆的直径，
∴∠EFD＝90°，∠FDE＝45°，
∴∠FED＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵OA＝OF＝1，
∴AF2＝AO2+FO2＝1+1＝2，
∴AF＝，AF＝﹣（舍去）．
9．（2021 盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点D作DG∥BC，DG交线段AC于点G，交AB于点E，交⊙O于点F，连接DB，CF，∠A＝∠D．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）若AE＝OE，CF平分∠ACB，BD＝12，求DE的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）DE＝6．
【解答】（1）证明：如图1，延长DB至H，
∵DG∥BC，
∴∠CBH＝∠D，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠CBH，
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝90°，
∴∠A+∠ABC＝90°，
∴∠CBH+∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴BD与⊙O相切；
（2）解：解法一：如图2，连接OF，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠BCF，
∴，
∴OF⊥AB，
∵BD⊥AB，
∴OF∥BD，
∴△EFO∽△EDB，
∴，
∵AE＝OE，
∴，
∴＝，
∴OF＝4，
∴BE＝OE+OB＝2+4＝6，
∴DE＝＝＝6．
解法二：如图2，连接OF，
∵AE＝OE，
∴OA＝OF＝2OE，
Rt△OEF中，tan∠OEF＝＝2，
Rt△BED中，tan∠OEF＝＝＝2，
∴BE＝6，
由勾股定理得：DE＝＝＝6．
六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）
10．（2023 盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：≈1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）
【答案】CE的长约为62m．
【解答】解：如图：延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，
由题意得：BG＝HE，CM∥AH，
∴∠CAH＝∠MCA＝30°，∠CBH＝∠MCB＝45°，
设BH＝xm，
∵AB＝40m，
∴AH＝AB+BH＝（x+40）m，
在Rt△ACH中，CH＝AH tan30°＝（x+40）m，
在Rt△CBH中，CH＝BH tan45°＝x（m），
∴x＝（x+40），
解得：x＝20+20，
∴CH＝（20+20）m，
∵∠BDF＝159°，
∴∠BDG＝180°﹣∠BDF＝21°，
在Rt△BDG中，BD＝20m，
∴BG＝BD sin21°≈20×0.36＝7.2（m），
∴BG＝EH＝7.2m，
∴CE＝CH+HE＝20+20+7.2≈62（m），
∴CE的长约为62m．
七．列表法与树状图法（共1小题）
11．（2023 盘锦）某校为了解学生平均每天阅读时长情况，随机抽取了部分学生进行抽样调查，将调查结果整理后绘制了以下不完整的统计图表（如图所示）．
学生平均每天阅读时长情况统计表
平均每天阅读时长x/min 人数
0＜x≤20 20
20＜x≤40 a
40＜x≤60 25
60＜x≤80 15
x＞80 10
根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 100 名学生，统计表中a＝ 30 ．
（2）求扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数．
（3）若全校共有1400名学生，请估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数．
（4）该校某同学从《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》四本书中选择两本进行阅读，这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，先随机抽取一张卡片后不放回，再随机抽取一张卡片，请用列表法或画树状图法，求该同学恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的概率．
【答案】（1）100，30；
（2）54°；
（3）140名；
（4）．
【解答】解：（1）∵40＜x≤60组的人数为25，占比为25%，且25÷25%＝100，
∴本次调查共抽取了100名学生；
∵20＜x≤40组占比30%，30%×100＝30，
∴a＝30，
故答案为：100，30；
（2）∵样本中平均每天阅读时长为“60＜x≤80”有15名，
且15÷100×360°＝54°，
∴扇形统计图中学生平均每天阅读时长为“60＜x≤80”所对应的圆心角度数为54°；
（3）∵样本中平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为10人，
且10÷100×1400＝140（名），
∴估计平均每天阅读时长为“x＞80”的学生人数为140名；
（4）《朝花夕拾》《红岩》《骆驼祥子》《西游记》这四本书分别用相同的卡片A，B，C，D标记，画树状图如下：
一共有12种等可能的情况，其中恰好抽到《朝花夕拾》即A和《西游记》即D有2种可能的情况，
∴P（恰好抽到《朝花夕拾》和《西游记》的）＝．
HYPERLINK "()
" ()
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
1．（2022 盘锦）目前，我国基本医疗保险覆盖已超过13.5亿人，数据13.5亿用科学记数法表示为 ．
2．（2021 盘锦）建党100周年期间，我市人社系统不断提升服务能力和水平，让我市约1300000参保人员获得更高质量的社会保障福祉，数据1300000用科学记数法表示为 ．
二．实数的性质（共1小题）
3．（2021 盘锦）计算：|﹣2|+＝ ．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
4．（2022 盘锦）分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝ ．
5．（2021 盘锦）分解因式：2m2﹣2＝ ．
6．（2023 盘锦）分解因式：4a2b﹣b＝ ．
四．二次根式的加减法（共1小题）
7．（2023 盘锦）计算：﹣＝ ．
五．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
8．（2023 盘锦）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔，根据题意，可列方程组为 ．
六．解一元一次不等式（共1小题）
9．（2023 盘锦）不等式≥的解集是 ．
七．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
10．（2023 盘锦）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2022 盘锦）点A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函数y＝（a﹣2）x+1的图象上，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是 ．
九．圆周角定理（共1小题）
12．（2021 盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 ．
一十．弧长的计算（共1小题）
13．（2022 盘锦）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O交边BC，AC于D，E两点，AC＝2，则的长是 ．
一十一．扇形面积的计算（共1小题）
14．（2021 盘锦）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 ．（结果保留π）
一十二．作图—基本作图（共1小题）
15．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则＝ ．
一十三．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2021 盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为 ．
一十四．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
17．（2022 盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD的三等分点，则FG的长是 ．
18．（2021 盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，AD＝2，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是 ．
19．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝6，点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，过点B′作B′H⊥BC于点H，若B′H＝2，则FD的长是 ．
一十五．旋转的性质（共1小题）
20．（2022 盘锦）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A'B'C'，当点A的对应点A'落在边AB上时，点C'在BA的延长线上，连接BB'，若AA'＝1，则△BB'D的面积是 ．
一十六．位似变换（共1小题）
21．（2023 盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 ．
一十七．折线统计图（共1小题）
22．（2022 盘锦）如图是根据甲、乙两城市一周的日均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本周的日平均气温较稳定的城市是 ．（选填“甲”或“乙”）
一十八．概率公式（共2小题）
23．（2022 盘锦）若关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，且m≥﹣3，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ．
24．（2021 盘锦）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是 ．
辽宁省盘锦市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-02填空题知识点分类
参考答案与试题解析
一．科学记数法—表示较大的数（共2小题）
1．（2022 盘锦）目前，我国基本医疗保险覆盖已超过13.5亿人，数据13.5亿用科学记数法表示为 1.35×109 ．
【答案】1.35×109．
【解答】解：13.5亿＝1350000000＝1.35×109．
故答案为：1.35×109．
2．（2021 盘锦）建党100周年期间，我市人社系统不断提升服务能力和水平，让我市约1300000参保人员获得更高质量的社会保障福祉，数据1300000用科学记数法表示为 1.3×106 ．
【答案】1.3×106．
【解答】解：数据1300000用科学记数法表示为1.3×106．
故答案为：1.3×106．
二．实数的性质（共1小题）
3．（2021 盘锦）计算：|﹣2|+＝ 2+ ．
【答案】2+．
【解答】解：原式＝2﹣+2
＝2+．
故答案为：2+．
三．提公因式法与公式法的综合运用（共3小题）
4．（2022 盘锦）分解因式：x2y﹣2xy2+y3＝ y（x﹣y）2 ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵x2y﹣2xy2+y3＝y（x2﹣2xy+y2）＝y（x﹣y）2．
故答案为：y（x﹣y）2．
5．（2021 盘锦）分解因式：2m2﹣2＝ 2（m+1）（m﹣1） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：2m2﹣2＝2（m2﹣1）＝2（m+1）（m﹣1）．
故答案为：2（m+1）（m﹣1）．
6．（2023 盘锦）分解因式：4a2b﹣b＝ b（2a+1）（2a﹣1） ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：原式＝b（4a2﹣1）＝b（2a+1）（2a﹣1），
故答案为：b（2a+1）（2a﹣1）
四．二次根式的加减法（共1小题）
7．（2023 盘锦）计算：﹣＝ 1 ．
【答案】1．
【解答】解：﹣＝3﹣2＝1．
故答案为：1．
五．由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题）
8．（2023 盘锦）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔，根据题意，可列方程组为 ．
【答案】．
【解答】解：由题意可得，．
故答案为：．
六．解一元一次不等式（共1小题）
9．（2023 盘锦）不等式≥的解集是 x≥﹣3 ．
【答案】x≥﹣3．
【解答】解：去分母得，3（x+1）≥2x，
去括号得，3x+3≥2x，
移项合并同类项得，x≥﹣3．
故答案为：x≥﹣3．
七．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
10．（2023 盘锦）关于x的一次函数y＝（2a+1）x+a﹣2，若y随x的增大而增大，且图象与y轴的交点在原点下方，则实数a的取值范围是 ﹣＜a＜2 ．
【答案】﹣＜a＜2．
【解答】解：根据题意得，
解得：﹣＜a＜2．
故答案为：﹣＜a＜2．
八．一次函数图象上点的坐标特征（共1小题）
11．（2022 盘锦）点A（x1，y1），B（x2，y2）在一次函数y＝（a﹣2）x+1的图象上，当x1＞x2时，y1＜y2，则a的取值范围是 a＜2 ．
【答案】a＜2．
【解答】解：∵当x1＞x2时，y1＜y2，
∴a﹣2＜0，
∴a＜2，
故答案为：a＜2．
九．圆周角定理（共1小题）
12．（2021 盘锦）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是 （﹣，1） ．
【答案】（﹣，1）．
【解答】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形，
∴∠ABO+∠ACO＝180°，
∴∠ABO＝180°﹣120°＝60°，
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙D的直径，
∴D点为AB的中点，
在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°，
∴OB＝AB＝2，
∴OA＝OB＝2，
∴A（﹣2，0），B（0，2），
∴D点坐标为（﹣，1）．
故答案为（﹣，1）．
一十．弧长的计算（共1小题）
13．（2022 盘锦）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，以AB为直径的⊙O交边BC，AC于D，E两点，AC＝2，则的长是 ．
【答案】．
【解答】解：连接OE，OD，
∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠B＝∠C＝＝65°，
又∵OB＝OD，OA＝OE，
∴∠B＝∠ODB＝65°，∠A＝∠OEA＝50°，
∴∠BOD＝50°，∠AOE＝80°，
∴∠DOE＝50°，
由于半径为1，
∴的长是＝．
故答案为：．
一十一．扇形面积的计算（共1小题）
14．（2021 盘锦）如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形（即阴影部分）的面积之和为 2π ．（结果保留π）
【答案】2π．
【解答】解：∵三个扇形的半径都是2，三个圆心角的和是180°，
∴图中的三个扇形（即三个阴影部分）的面积之和为＝2π．
故答案为：2π．
一十二．作图—基本作图（共1小题）
15．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，任意长为半径画弧分别交AB和BC于点P，Q，以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧交于点H，作射线BH交边AD于点E；分别以点A，E为圆心，大于AE的长为半径画弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交边AD于点F，连接CF，交BE于点G，连接GD，若CD＝4，DE＝1，则＝ ．
【答案】．
【解答】解：由作图得：BE平分∠ABC，MN垂直平分AE，
∴∠ABE＝∠EBC，AF＝EF，
在 ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD＝4，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠AEB＝∠ABE，
∴AE＝AB＝CD＝4，
∴AF＝EF＝2，
∴FD＝3DE，BC＝AD＝5，
S△DEG＝x，则S△EFG＝2x，S△FDG＝3x，
∵AD∥BC，
∴△EFG∽△BCG，
∴＝（）2＝（）2＝，
S△BCG＝12.5x，
∴＝＝，
故答案为：．
一十三．作图—复杂作图（共1小题）
16．（2021 盘锦）如图，四边形ABCD是平行四边形，以点B为圆心，BC的长为半径作弧交AD于点E，分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线BP交AD的延长线于点F，∠CBE＝60°，BC＝6，则BF的长为 6 ．
【答案】6．
【解答】解：由作法得BE＝BC＝6，BF平分∠CBE，
∴∠CBF＝∠EBF＝∠CBE＝30°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠F＝∠CBF，
∴∠F＝∠EBF＝30°，
∴BE＝FE，
过E点作EH⊥BF于H，如图，则BH＝FH，
在Rt△BEH中，∵EH＝BE＝3，
∴BH＝EH＝3，
∴BF＝2BH＝6．
故答案为6．
一十四．翻折变换（折叠问题）（共3小题）
17．（2022 盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，，点E为边BC上一点，将△DCE沿DE翻折，点C的对应点为点F，过点F作DE的平行线交AD于点G，交直线BC于点H．若点G是边AD的三等分点，则FG的长是 或 ．
【答案】或．
【解答】解：①如图，过点E作EM⊥GH于点M，
∵DE∥GH，AD∥BC，
∴四边形HEDG是平行四边形，
∴，
∵折叠，
∴∠FED＝∠CED，
∵∠MED＝90°，
即∠FEM+∠FED＝90°，
∴∠CED+∠HEM＝90°，
∴∠HEM＝∠FEM，
∵∠EMF＝∠EMH＝90°，ME＝ME，
∴△HEM≌△FEM（ASA），
∴HM＝MF，EF＝HE＝1，
∴EF＝EC＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
Rt△EDC中，，
∴，
∵ME⊥HG，HG∥DE，
∴，
∴，
Rt△HME中，，
∴，
②如图，当时，
同理可得HE＝GD＝AD﹣AG＝3﹣1＝2，EC＝EF＝HE＝2，
∴，
∴，
Rt△HME中，，
∴，
故答案为：或．
18．（2021 盘锦）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝2，AD＝2，点P为边AB上一点，以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A′，连接AA′，AA′交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连接AQ，MQ，则AQ+MQ的最小值是 4 ．
【答案】4．
【解答】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM，MT．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，
∴RT＝＝＝5，
∵A，A′关于DP对称，
∴AA′⊥DP，
∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，
∴RM＝AD＝，
∵MT≥RT﹣RM，
∴MT≥4，
∴MT的最小值为4，
∵QA+QM＝QT+QM≥MT，
∴QA+QM≥4
∴QA+QM的最小值为4．
故答案为：4．
19．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝，BC＝6，点E为边BC的中点，点F为边AD上一点，将四边形ABEF沿EF折叠，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，过点B′作B′H⊥BC于点H，若B′H＝2，则FD的长是 ．
【答案】．
【解答】解：如图，设B′E交AD于点G，过点E作EM⊥AD于点M，
则∠AME＝90°，
∵点E为边BC的中点，
∴BE＝CE＝BC＝3，
∵四边形ABCD为矩形，BC＝6，
∴AD＝BC＝6，∠A＝∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AME＝∠A＝∠B＝90°，
∴四边形ABEM为矩形，
∴AB＝ME＝，AM＝BE＝3，
由折叠可知，BE＝B′E＝3，∠BEF＝∠B′EF，
∵AD∥BC，
∴∠GFE＝∠BEF，
∴∠GFE＝∠B′EF，即∠GFE＝∠GEF，
∴FG＝EG，
∵B′H⊥BC，
∴∠B′HE＝90°，
在Rt△B′HE中，EH＝＝＝1，
∵ME⊥BC，B′H⊥BC，
∴∠EMG＝∠B′HE＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠EGM＝∠B′EH，
∴△EMG∽△B′HE，
∴，即＝，
∴EG＝＝FG，MG＝，
∴FM＝FG﹣MG＝＝，
∴AF＝AM﹣FM＝，
∴FD＝AD﹣AF＝6﹣（3﹣）＝．
故答案为：．
一十五．旋转的性质（共1小题）
20．（2022 盘锦）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，点D为BC的中点，将△ABC绕点D逆时针旋转得到△A'B'C'，当点A的对应点A'落在边AB上时，点C'在BA的延长线上，连接BB'，若AA'＝1，则△BB'D的面积是 ．
【答案】．
【解答】解：如图所示，设A'B'与BD交于点O，连接A'D和AD，
∵点D为BC的中点，AB＝AC，∠ABC＝30°，
∴AD⊥BC，A'D⊥B'C'，A'D是∠B′A′C′的角平分线，AD是∠BAC的角平分线，
∴∠B'A'C'＝120°，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠B'A'D＝60°，
∵A'D＝AD，
∴△A'AD是等边三角形，
∴A'A＝AD＝A'D＝1，
∵∠BA'B'＝180°﹣∠B'A'C'＝60°，
∴∠BA'B'＝∠A'AD，
∴A'B'∥AD，
∴A′O⊥BC，
∴，
∴，
∵A'B'＝2A'D＝2，
∵∠A'BD＝∠A'DO＝30°，
∴BO＝OD，
∴，，
∴．
一十六．位似变换（共1小题）
21．（2023 盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，将△ABO缩小为原来的，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 （，2）或（﹣，﹣2） ．
【答案】（，2）或（﹣，﹣2）．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的，可以得到△A'B'O，点A的坐标为（2，6），
∴点A'的坐标是（2×，6×）或（2×（﹣），6×（﹣）），即（，2）或（﹣，﹣2）．
故答案为：（，2）或（﹣，﹣2）．
一十七．折线统计图（共1小题）
22．（2022 盘锦）如图是根据甲、乙两城市一周的日均气温绘制的折线统计图，根据统计图判断本周的日平均气温较稳定的城市是 乙 ．（选填“甲”或“乙”）
【答案】乙．
【解答】解：由图知，乙的气温波动较小，故本周的日平均气温稳定的是乙城市．
故答案为：乙．
一十八．概率公式（共2小题）
23．（2022 盘锦）若关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，且m≥﹣3，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：根据题意，关于x的方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，
故该一元二次方程的根的判别式Δ＞0，即Δ＝（﹣3）2﹣4×1×m＞0，
解得，
又∵m≥﹣3，
∴，
∴满足条件的所有整数为﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2共计6个，其中负数有﹣3、﹣2、﹣1共计3个，
∴满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率是．
故答案为：．
24．（2021 盘锦）从不等式组的所有整数解中任取一个数，它是偶数的概率是 ．
【答案】．
【解答】解：∵，
由①得：x≥1，
由②得：x≤5，
∴不等式组的解集为：1≤x≤5，
∴整数解有：1，2，3，4，5；
∴它是偶数的概率是．
故答案为．
HYPERLINK "()
" ()