卷子答案网-一个不只有答案的网站2022学年第一学期宁波五校联盟期中联考
高二数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将姓名、座号、准考证号、班级和科类填写在答题卡和答题纸规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
3.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。
4.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第I卷（共60分）
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.直线的一个方向向量是（ ）
A. B. C. D.
2.设是空间一定点，为空间内任一非零向量，满足条件的点构成的图形是（ ）
A.圆 B.线段 C.直线 D.平面
3.在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
4.圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5.以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程是（ ）
A. B. C. D.
5.如右图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点是的中点，若记，，，则（ ）
A. B.
C. D.
7.已知点在直线上运动，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是（ ）
A.13 B.16 C.17 D.18
8.如右图，在长方体中，，，.一质点从顶点射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将第次到第次反射点之间的线段记为，，将线段，，，竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9.已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A.当时，
B.当时，
C.直线过定点，直线过定点
D.当，平行时，两直线的距离为
10.下面四个结论正确的是（ ）
A.若，，三点不共线，面外的任一点，有，则，，，四点共面
B.有两个不同的平面，的法向量分别为，，且，，则
C.已知为平面的一个法向量，为直线的一个方向向量，若，则与所成角为
D.已知向量，，若，则为钝角
11.有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体。如右图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ）
A.该半正多面体的外接球与原正方体的外接球半径相等
B.与所成的角是的棱共有18条
C.与平面所成的角
D.直线与直线所成角的余弦值的取值范围为
12.已知双曲线：与直线交于，两点，点为上一动点，记直线，的斜率分别为，，曲线的左、右焦点分别为，.若，且的焦点到渐近线的距离为1，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.的离心率为
C.若，则的面积为2
D.若的面积为，则为钝角三角形
第II卷（非选择题，共90分）
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第15、16题有一空正确得3分.把正确答案填在答题卡相应题的横线上）
13.在空间直角坐标系中，已知，，则的中点到坐标原点的距离为______.
14.经过点，且在轴上的截距是在轴上的截距的2倍的直线的方程是______.
15.已知圆：，若圆：与圆内切，则______；若点是圆上一动点，满足“点到直线的距离等于2”的点，在圆上有且仅有三个，则______.
16.如右图，已知、分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若，，则______，椭圆的离心率为______.
四、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知点，及点.
（1）若直线经过点且，求直线的方程；
（2）求的面积.
18.（本小题满分12分）
已知向量，，.
（1）求；
（2）求在方向上的投影向量；
（3）若，求，的值.
19.（本小题满分12分）
如图，在五面体中，四边形是矩形，，，，平面.
（1）若点是的中点，求证：平面；
（2）求点到平面的距离.
20.（本小题满分12分）
已知点，为坐标原点，圆：.
（1）若直线过点，且被圆截得的弦长为，求直线的方程；
（2）已知点在圆上运动，线段的中点为，设动点的轨迹为曲线；若直线：上存在点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，且，求实数的取值范围.
21.（本小题满分12分）
如图，已知矩形中，，，为的中点，将沿折起，使得平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）若点是线段上的一动点，且，当二面角的余弦值为时，求的值.
22.（本小题满分12分）
椭圆：的右焦点是，且经过点；直线与椭圆交于，两点，以为直径的圆过原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若过原点的直线与椭圆交于，两点，且，求四边形面积的范围.
2022学年第一学期宁波五校联盟期中联考
高二数学参考答案
一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B C D A B A
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AD AC CD ABD
三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.其中第15、16题有一空正确得3分）
13. 14.和；
15.18，7； 16.，
四、解答题：（共70分，其中第17题10分，第18-22题每题12分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.解：（1）由题意可得：，
∴直线的方程为，即
则直线的方程为
（2）由题意可得直线的方程为：，即，
∴点到直线的距离为，
，
∴的面积
18.（1）∵，，，
（2）
或采用求得
（3）∵，∴存在实数，使得，
，，
19.（1）方法一：∵平面，，∴，，两两垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系
∵，，∴
面的一个法向量，
故，
∴
又∵面，∴平面
（2），，
设面的一个法向量为
，故
方法二：（1）取中点，连接，
因为，分别为，的中点，
所以，且，
因为四边形是矩形，，
所以，且，
所以，且，
所以四边形是平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
（2）证明：平面.
因为，平面，平面，
所以平面
所以到平面的距离为到平面的距离，
所以，
设到平面的距离，
所以，
因为，，，
所以，
所以，
所以
所以点到平面的距离为
20.（1）解：由题意，圆：，可得圆心，半径，
因为直线被圆截得的弦长为，
则圆心到直线的距离为，
当直线的斜率不存在时，此时直线的方程为，满足题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，即，
综上可得，所求直线的方程为或.
（2）设点，
因为点，线段的中点为，
可得，解得，
又因为在圆上，可得，
即，
∴点的轨迹即曲线的方程为圆：.
易得，
在中，，
∴到直线距离
∴
21.证明：（1）因为在矩形中，，，为的中点，
所以，
因为，所以，
因为平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
（2）解：取中点，连接，则平面，过做的垂线，
交于点，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
平面的一个法向量为，
由且，所以，
，
设平面的一个法向量为则
即
取，得，
所以，
解得，所以
22.（1）解：焦点为，则，
点在椭圆：上，即，
解得，
所以椭圆的方程为；
（2）解：当直线斜率存在时，设其方程为，，，
联立，可得，
则①，
②，③
以为直径的圆过原点即，
化简可得，
代入②③两式，整理得，
即④，
将④式代入①式，得恒成立，则，
设线段中点为，由，，，
又由，则点坐标为，
化简可得，
代回椭圆方程可得，即，
则，
当直线斜率不存在时，方程为，直线过中点，即为轴，易得，，，
综上，四边形面积的取值范围为.
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