卷子答案网-一个不只有答案的网站
专题4 《三角形的初步认识》经典压轴题型专训
【三角形的初步认识40道经典压轴题型专训】
1．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A．的值不变 B．
C．的长不变 D．四边形的面积不变
2．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2023春·全国·七年级期末）如图，中，，、是边的中线，有；垂足为点E交于点D．且平分交于N．交于H．连接．则下列结论：
①；②；③；④；错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．3 D．4
6．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．
正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
7．（2023秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，在与中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
8．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
9．（2023春·陕西西安·七年级西安益新中学校考阶段练习）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与交于点E．下列结论：①∠；②；③；④其中正确结论有 （ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
11．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图， 中，，，， 平分 ，如果 、 分别为 、 上的动点，那么 的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
12．（2023春·八年级课时练习）如图，点是的中点，，，平分，下列结论：
①②③④．
四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
13．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形中，于点D，若、、都是“斜等边三角形”，则______．
14．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为______．
15．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）在中，，点D是下方一点，连接，，过点D作，连接，分别过点B、D作直线、，使得，平分，平分，则______．
16．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）在中，点是的平分线上一点（不包括与的交点及点），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．
（1）如图1，点在外部，若，，则______；
（2）如图2，点在内部，直线交于点，若，则 ______（用含的代数式表示）．
17．（2023秋·广东茂名·八年级统考期末）如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有______．
18．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，，点D，点P分别是上的定点，，点E，点F分别是上的动点，当的值最小时，______．
19．（2023·全国·九年级专题练习）如图，、是四边形的对角线，平分，，已知，则__．
20．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接．下列结论：；；平分；．其中正确结论的个数______________
21．（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，，、为边上两点，为边上的一点，连接，，，，．则______________．
22．（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为．
（1）如上图，当__________时，的面积等于面积的一半；
（2）如图，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是__________．
23．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，点在线段上，且，点在上，若，，，则的度数为________．
24．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为___________．
25．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，将沿方向平移得到，点A，B，C分别对应点D，E，F，连接，点G为下方一个点，且．
(1)线段与的位置关系为：______；
(2)猜想：，，之间的数量关系，并证明；
(3)若，，求的度数．
26．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知，，点是的延长线上动点，在线段上取点，使得平分．
(1)若，试求出的度数；
(2)若，试求出的度数；
(3)当的角平分线与的延长线相交于点，且时．试写出与的位置关系，并请说明理由．
27．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）【初步探索】
(1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
28．（2021春·广东广州·七年级广州四十七中校考期中）（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______．
（2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．
29．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，直线分别交、于点G、H，点M在直线、之间，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若平分，在上取点，使得，求证：；
(3)如图3，若平分，在为上一点，连接，且，，求的度数．
30．（2023春·全国·七年级期末）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为之间一点，连接，得到．请猜想与之间的数量关系，并证明；
猜想： ；
证明：
（2）如图2所示，已知，点E为之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出之间的数量关系 ．
31．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使
请根据小明的方法思考：
（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，，为的中点．
（2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；
（3）如图2，若，，不共线，求证：；
（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．
32．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
33．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）（1）已知等腰和，连接，若直线交于点O，则 ；
（2）如图所示，，连接和，过点A作交于点G，垂足为F，若，求的面积．
34．（2023春·辽宁大连·七年级校联考期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜所夹的锐角．
(1)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则 ______ ， ______ ；
(2)图中，当被反射出的光线与光线平行时，不论如何变化，与总具有一定的数量关系，请你探究和的数量关系，并说明理由；
(3)图中，由（1）、（2），请你探究：当任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行，求两平面镜、的夹角的度数，并说明理由．
(4)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线垂直，则等于多少度？（友情提示：三角形内角和等于 ）
35．（2023春·山东济南·七年级统考期中）如图，已知中，，点D为的中点．
(1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度
(2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出：
①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？
②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？
36．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）如图，，定点E，F分别在直线上，在平行线之间有一动点P，满足．
(1)试问满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：
如图1，当P点在的左侧时，满足数量关系为 ，
如图2，当P点在的右侧时，满足数量关系为 ．
(2)如图3，分别平分和，且点P在左侧．
①若，则 ．
②猜想与的数量关系，并说明理由；
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
(3)【拓展应用】如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的角平分线与的角平分线所在直线交于点Q，则＝ °．
37．（2023春·广东深圳·七年级校联考期中）在中，，点是射线上一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，与有何数量关系，请说明理由；
(2)在（1）的条件下，当时，那么___________度；
(3)设，．
①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系．
38．（2023春·江西抚州·七年级统考期中）在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题：
探究结论：（1）如图1，，，则 ：
如图2，，，则
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或
应用结论：（2）①若两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍少60°，则角的度数为 ；
②在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，求的度数．
拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，直接写出的度数．
39．（2023春·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）图1，线段相交于点O，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于．试解答下列问题：
(1)在图1中，请直接写出与之间的数量关系为 ；
(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
(3)图2中，和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系？说明理由
(4)应用：如图2，当时，直接说出的度数．
40．（2023春·上海·七年级假期作业）已知在四边形中，，．
(1)如图1．连接，若线段平分，求的度数；
(2)如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：；
(3)如图3，若将P、Q改在、的延长线上，且仍然满足，其余条件不变，请你直接写出、、之间的数量关系．
专题04 三角形的初步认识经典压轴题型专训
【三角形的初步认识40道经典压轴题型专训】
1．（2023春·四川达州·八年级统考期末）如图，点P为定角平分线上的一个定点，且与互补．若在绕点P旋转的过程中，其两边分别与、相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是（ ）
A．的值不变 B．
C．的长不变 D．四边形的面积不变
【答案】C
【分析】如图作于E，于F，于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，推出，进一步得到，，所以，故B正确；因为，故A正确；由三角形全等可知，所以定值，故D正确；M，N的位置变化，所以的长度是变化的，故C错误．
【详解】解：如图作于E，于F．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，于E，于F，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴定值，故D正确，
∵，故A正确，
∵M，N的位置变化，
∴的长度是变化的，故C错误．
∵，
∴，
∵与互补，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴
∴，故B正确，
故选：C
【点睛】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键．
2．（2023春·重庆沙坪坝·七年级重庆市第七中学校校考阶段练习）如图，在中，延长至点F，使得，延长至点D，使得，延长至点E，使得，连接、、，若，则为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先设的面积为，再根据底共线，高相等，面积的比等于底边的比，将其余各个三角形的面积表示出来，总面积为，解得的面积．
【详解】解：如图，连接、，设的面积为，
，
的面积为，的面积为，
的面积为，
,
的面积为，的面积为，的面积为，
，
，即的面积为2
故选：B
【点睛】本题考查了三角形的面积问题，等高且共底的三角形面积比是底边的比这个性质是解题的关键．
3．（2023春·山东济南·七年级济南育英中学校考阶段练习）如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案．
【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，
∵，
∴，
∴，
∵，，
且，，
∴，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键．
4．（2023·江苏·七年级假期作业）如图，在中，平分，于点D，的角平分线所在直线与射线相交于点G，若，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意推出，设，设，用含x和y的代数式表示和即可解决．
【详解】解：如图：
∵平分，平分，
∴，
设，
由外角的性质得：，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
5．（2023春·全国·七年级期末）如图，中，，、是边的中线，有；垂足为点E交于点D．且平分交于N．交于H．连接．则下列结论：
①；②；③；④；错误的有（ ）个．
A．0 B．1 C．3 D．4
【答案】A
【分析】如图，过点C作交的延长线于K，首先根据等腰直角三角形的性质证明，得到，，，可判断②③正确，然后利用同角的余角相等得到，进而证明，得到，，然后证明，得到，，等量代换可得，，可判断①④正确．
【详解】如图，过点C作交的延长线于K．
，，平分，
∴，，
，
，
，
，
，
（ASA），
，，，故②③正确，
，
，
，
，
（ASA），
，，
，，
（SAS），
，，
，，故①④正确．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．（2022秋·河北唐山·八年级统考期中）如图，在中，，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①；②；③；④若，则．
正确的结论序号是（ ）
A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【分析】根据垂直定义可得，再利用，得到，从而可证明，进而得到，即可判断①；根据，，即可判断②，根据三角形面积公式和它们有一条公共边可得，即可判断③，若，根据可以得到，从而可得是的中点，然后可以推出是的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质即可判断④．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，故②不正确；
，
，故③正确；
，
，
，
为的中点，
，
为线段的垂直平分线，
，故④正确，
所以，正确结论的序号是：①③④，
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握手拉手模型旋转型全等是解题的关键．
7．（2023秋·陕西延安·八年级校考期末）如图，在与中，，，，，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ）
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【答案】C
【分析】由“”可证≌，由全等三角形的性质依次判断可求解．
【详解】解：在和中，
，
，
，，，故②正确，
，故①正确，
，
，故③正确，
若，则，
，
，显然与题目条件不符故④错误，
故选：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．（2023春·七年级课时练习）如图，在中，，和的平分线、相交于点，交于点，交于点，若已知周长为，，，则长为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【分析】证明得出，证明得出，进而即可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接
平分，平分，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
周长为，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
9．（2023春·陕西西安·七年级西安益新中学校考阶段练习）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N，与交于点E．下列结论：①∠；②；③；④其中正确结论有 （ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由，，可得，从而得出，判断①正确与否；通过证明，得出，判断②正确与否；先证明是等腰直角三角形，从而得到，判断③正确与否；先证明，再证明，得出，判断④正确与否．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
由①②知，，
∴，
∴，
由②知，，
∴，
∴，
故④正确；
∴正确的有①②③④，
故选D．
【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，证明三角形全等是解题的关键．
10．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）如图，在中，是边上的高，，，．连接，交的延长线于点E，连接，．则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②③⑤ D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】先证得，从而推得①正确；利用及三角形内角和与对顶角，可判断②正确；证明，得出，同理，得出，，则，证明，得出．则可得出④正确，由可得出结论③正确，根据全等三角形的性质即可得到⑤正确．
【详解】解：∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，
又∵与所交的对顶角相等，
∴与所交角等于，即等于，
∴，故②正确；
过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故④正确，
∵，
∴．
故③正确．
∵，，，
∴，故⑤正确．
故选：D．
【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的三线合一性质与互余、对顶角，三角形内角和等几何基础知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
11．（2022秋·广东惠州·八年级校考阶段练习）如图， 中，，，， 平分 ，如果 、 分别为 、 上的动点，那么 的最小值是（ ）
A．2.4 B．3 C．4 D．4.8
【答案】A
【分析】过点作于，交于点，过点作于点，根据角平分线的性质定理得到，进而得到，利用面积法求出，由此得到的最小值
【详解】过点作于，交于点，过点作于点，
∵平分，
∴，
∴，
∵中，，，，，，
∵，
∴，
∴，即的最小值是
故选A．
【点睛】此题考查了角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，还考查了最短路线问题，解题的关键是找到使最小时的动点和
12．（2023春·八年级课时练习）如图，点是的中点，，，平分，下列结论：
①②③④．
四个结论中成立的是（ ）
A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③
【答案】B
【分析】过作于，易证得，得到；而点是的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，即可判断出正确的结论．
【详解】解：过作于，如图，
∵，平分，
∴，
∴
∴；
而点是的中点，
∴，所以④错误；
∵，
∴，
∴，所以②正确；
∴，所以③正确；
∴，所以①正确，
综上：①②③正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，也考查了三角形全等的判定与性质．
13．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期末）如果三角形中任意两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“斜等边三角形”．在锐角三角形中，于点D，若、、都是“斜等边三角形”，则______．
【答案】
【分析】根据新定义的“斜等边三角形”的特点分情况分析，然后利用三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：是“斜等边三角形”， ，
∴
（1），
∵，
∴解得：，；
（2），
∴解得：，；
（3），
∵，
∴解得：，；
（4），
∴解得：，；
是“斜等边三角形”，
①，
∵，
∴解得：，；
②，
∴解得：，；
③，
∵，
∴解得：，；
④，
∴解得：，；
当（1）①成立时，，，，，
∴，
∴三个角中不满足“斜等边三角形”的定义，不符合题意；
当（1）②成立时，，，，，
∴，
∵，
∴是“斜等边三角形”，符合题意；
同理得：符合题意的只有，
故答案为：
【点睛】题目主要考查三角形内角和定理，理解题意，进行分情况分析是解题关键．
14．（2023春·广西南宁·七年级南宁二中校考期末）如图，在中，D为中点，，，于点F，，，则的长为______．
【答案】
【分析】连接，过点E作，交的延长线于N，由，可得；由D为中点，，则可得；证明，再证明即可求得结果．
【详解】解：连接，过点E作，交的延长线于N，如图，
∵，，
∴；
∵D为中点，，
∴；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，，，
∴，
∴，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这两个性质是关键．
15．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考阶段练习）在中，，点D是下方一点，连接，，过点D作，连接，分别过点B、D作直线、，使得，平分，平分，则______．
【答案】
【分析】过点作，根据角平分线的定义，设，则，，再根据平行线的性质及三角形的内角和定理，即可得出结果．
【详解】解：过点作，
平分，平分，
设，则， ，
，
，，，，
，，
在中，，
，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质及三角形的内角和定理，作出正确的辅助线是本题的关键．
16．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）在中，点是的平分线上一点（不包括与的交点及点），过点作交射线于点，的平分线所在直线与射线交于点．
（1）如图1，点在外部，若，，则______；
（2）如图2，点在内部，直线交于点，若，则 ______（用含的代数式表示）．
【答案】
【分析】（1）根据角平分线的定义、平行线的性质以及三角形内角和定理即可得出答案；
（2）根据平行线的性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可．
【详解】（1）平分，
，
∵，
，，
又平分，
，
；
故答案为：；
（2）平分，
，
又平分，
，
∵，
，
，
又，
故答案为：
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及平行线的性质，掌握三角形的内角和定理，角平分线的定义，以及平行线的性质是正确解答的关键．
17．（2023秋·广东茂名·八年级统考期末）如图中，，分别作的两个内角平分线和，、相交于点，连接，有以下结论：①；②平分；③；④，其中正确的结论有______．
【答案】①②③④
【分析】由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数，①正确；过点P作，由角平分线的性质可知是的平分线，②正确；，故，由四边形内角和定理可得出，故，由全等三角形的判定定理可得出，故可得出，③正确；由三角形全等的判定定理可得出，故可得出，再由可得出，④正确；即可得出结论．
【详解】解：∵、分别是与的角平分线，，
∴，
∴，①正确；
过点P作，
∵、分别是与的角平分线，
∴，
∴，
∴是的平分线，②正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在与中，，
∴，
∴，③正确；
在与中，，
∴，
同理，，
∴，
两式相加得，，
∵，
∴，④正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键．
18．（2023秋·湖北孝感·八年级统考期末）如图，，点D，点P分别是上的定点，，点E，点F分别是上的动点，当的值最小时，______．
【答案】/76度
【分析】作点关于的对称点，点关于的对称点，如图，由此可知，可得当，，，在同一直线上时，的值最小，根据轴对称的性质及三角形内角和定理可得，，进而得，即可得答案．
【详解】解：作点关于的对称点，点关于的对称点，如图，
则：，，
∴，
∴当，，，在同一直线上时，的值最小，如图，连接，
由轴对称可知，，即：，
，，
由三角形的内角和可得：，
则：，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称的性质，三角形的内角和定理，利用轴对称的性质，结合图形找最短路径是解决问题的关键．
19．（2023·全国·九年级专题练习）如图，、是四边形的对角线，平分，，已知，则__．
【答案】47°
【分析】过D作于E，于F，于G，依据平分，平分，利用角平分线的性质，即可得到，进而得出平分．再根据三角形外角的性质，即可得到，进而得出结论．
【详解】如图所示，过D作于E，于F，于G，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴平分，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，，
∴平分，
∵，
∴，，
∵是的外角，是的外角，
∴
故答案为：47°．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
20．（2021秋·内蒙古鄂尔多斯·八年级统考期末）如图，已知和都是等腰三角形，，，交于点F，连接．下列结论：；；平分；．其中正确结论的个数______________
【答案】3/3个
【分析】作于M，于N，设交于O．证明，利用全等三角形的性质一一判断即可．
【详解】解：如图，作于M，于N，设交于O．
∵，
∴，
在与中，
，
（），
∴，，故①正确，
∵，
∴，
∴，故②正确，
∵，，，
∴，
∴，
∴平分，
∴，故④正确，
若③平分成立，则，
∵，
∴，推出，由题意知，不一定等于，
∴不一定平分，故③错误，
即正确的有3个，
故答案为：3．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是利用面积证明，属于中考常考题型．
21．（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，，、为边上两点，为边上的一点，连接，，，，．则______________．
【答案】22
【分析】如图，在右侧作，交延长线于点K,过点D作,交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J；由根据平行线和角的数量关系得到,，从而得到，将转到，利用角的关系和角平分线的性质可再证明，然后利用线段的关系计算从而得出结果．
【详解】如图，在右侧作，交延长线于点K,过点D作,交于G，交于L，过L分别作、、的高，分别相交于H、I、J；
,
，
是的平分线；
又
在与中，
；
又角平分线、交于L，
，，
在与中，
，
在与中，
，，
．
故答案为22．
【点睛】本题主要考查了与三角形有关的角的计算、角平分线的性质、三角形全等的判定和性质，重点是利用三角形全等，对线段进行转换，从而进行求解，难点是通过辅助线构造全等三角形．
22．（2022秋·安徽合肥·八年级合肥市第四十五中学校考阶段练习）如图，在中，，，，，现有一动点，从点出发沿着三角形的边运动回到点停止，速度为，设运动时间为．
（1）如上图，当__________时，的面积等于面积的一半；
（2）如图，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点出发，沿着边运动回到点A停止，在两点运动过程中的某一时刻，恰好与全等，则点Q的运动速度是__________．
【答案】 或 或或或
【分析】（1）根据三角形中线的性质，分点运动到边上时和点运动到边上时两种情况分别讨论即可；
（2）根据题意分四种情况进行分析，利用全等三角形的性质得出点所走的路程，进而可求出的运动时间，即的运动时间，再利用速度=路程÷时间求解即可．
【详解】解：∵的面积等于面积的一半，
∴P点运动到BC的中点，
此时，
当P点运动到AC边上时，
此时，
∴此时P点在AC边的中点，
此时，
综上所述，当或时，的面积等于面积的一半；
（2）设点的运动速度为，
①当点在上，点在上，时，
，
∴
解得；
②当点在上，点在上，时，
，
∴，
解得；
③当点P在上，点在上，时，
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
④当点P在上，点Q在上，时
，
∴点P的路程为，点Q的路程为，
∴
解得；
∴运动的速度为或或或．
故答案为：或或或．
【点睛】本题主要考查全等三角形的性质及三角形面积，分类讨论思想，掌握全等三角形的性质及分情况讨论是解题的关键．
23．（2023春·江苏南京·七年级南京外国语学校校考期中）如图，点在线段上，且，点在上，若，，，则的度数为________．
【答案】
【分析】根据题意，设，则，在中，，证，由，得，从而有，解得，最后由，求得的值．
【详解】解：∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∵在中，
，
又∵，，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，，
又∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，与相交线相关的角度计算，综合运用题设条件是解题的关键．
24．（2023春·江苏盐城·七年级校联考阶段练习）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．在三角形纸片中，，，将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处．设，则能使和同时成为“准直角三角形”的值为___________．
【答案】
【分析】先由三角形内角和定理求得，再由折叠性质求得，最后由“准直角三角形”定义求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵将纸片沿着折叠，使得点落在边上的点处，
∴，
当为“准直角三角形”时，或，
∴或，
∴或，
①当时，即，
∴，
∴，
∴，
此时，
∴不是“准直角三角形”；
②当时，即，
∴，
∴，
∴，
此时，
∴是“准直角三角形”；
综上所述，能使和同时成为“准直角三角形”的值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义，折叠的性质，三角形内角和定理．理解新定义，掌握折叠的性质和三角形内角和定理是解题的关键．
25．（2023春·福建福州·七年级统考期末）如图，将沿方向平移得到，点A，B，C分别对应点D，E，F，连接，点G为下方一个点，且．
(1)线段与的位置关系为：______；
(2)猜想：，，之间的数量关系，并证明；
(3)若，，求的度数．
【答案】(1)平行
(2)，见解析
(3)
【分析】（1）根据平移的性质可得答案；
（2）过点C作，证明，证明，可得，结合，从而可得结论；
（3）过点G作，可得，证明，可得，则，证明，结合，可得，再结合三角形的内角和定理可得答案．
【详解】（1）解：∵将沿方向平移得到，
∴；
（2）过点C作，
∴，
∵是由沿BC方向平移得到
∴，∴，
∴，
∵
∴
（3）过点G作，∴，
∵，∴，
∴∠DGK=∠GDE，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴．
【点睛】本题考查的是平移的性质，平行线的性质，平行公理的应用，三角形的内角和定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键．
26．（2023春·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知，，点是的延长线上动点，在线段上取点，使得平分．
(1)若，试求出的度数；
(2)若，试求出的度数；
(3)当的角平分线与的延长线相交于点，且时．试写出与的位置关系，并请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据可得，即可得出结论；
（2）判定，可得，再根据，可得出结论；
（3），理由如下：
方法一：延长并在的延长线上取点，根据平行的性质和角的和差可得，根据角平分线的定义可得，，得出，继而推出，在中，，可推出，从而得出，即可得证；
方法二：延长并在的延长线上取点，设，，根据角平分线的定义可得，，根据，可得，在中，由推出，然后在中，由可得出，即可得证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数为；
（3），理由如下：
方法一：
延长并在的延长线上取点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵平分，平分，
∴，，
∴，
∵，
∴，
又∵在中，，
∴，
∴
，
即，
∵，
∴，
∴，
∴；
方法二：
延长并在的延长线上取点，设，，
∵平分，平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，垂直的定义．运用分类讨论思想是解题的关键．
27．（2023秋·湖北襄阳·八年级统考期末）【初步探索】
(1)如图1，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．
小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ；
【灵活运用】
(2)如图2，若在四边形中，，．、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，已知在四边形中，，，若点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程．
【答案】(1)
(2)仍成立，理由见解析
(3)，证明见解析
【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论；
（2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出；
（3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论．
【详解】（1）解：结论：．
理由：如图1，延长到点，使，连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
故答案为：；
（2）仍成立，理由：
如图2，延长到点，使，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
；
（3）．
证明：如图3，在延长线上取一点，使得，连接，
，，
，
又，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．
28．（2021春·广东广州·七年级广州四十七中校考期中）（1）如图1，中，，，，、分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系是______．
（2）如图2，若在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由．
（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以80海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O之间夹角，试求此时两舰艇之间的距离．
【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3）210海里
【分析】（1）如图1，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（2）如图2，延长到点．使．连接，证明，根据全等三角形的性质得到，证明，得，证明结论；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，根据题意得到，，，根据图2的结论计算．
【详解】解：（1）如图1，，
理由如下：在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）如图2，（1）中的结论仍然成立，即．
理由：延长到点．使．连接，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，连接，延长、相交于点，
，，
，
，，
符合（2）中的条件，
结论成立，
即（海里）．
此时两舰艇之间的距离为210海里．
【点睛】本题是三角形与四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，直角三角形性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
29．（2023春·湖北武汉·七年级校考阶段练习）如图，直线分别交、于点G、H，点M在直线、之间，连接，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，若平分，在上取点，使得，求证：；
(3)如图3，若平分，在为上一点，连接，且，，求的度数．
【答案】(1)见详解
(2)见详解
(3)的度数为
【分析】（1）过点作，利用平行线的猪脚模型，即可解答；
（2）根据角平分线的定义可得，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后利用三角形内角和定理进行计算即可解答；
（3）设，，从而可得，再利用（1）的结论可得，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，再利用三角形的外角可得，最后利用平行线的性质可得，从而可得，再利用角的和差关系进行计算即可解答．
【详解】（1）证明：过点作，
，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：平分，
，
，，
，
，
；
（3）解：设，，
∵，
，
，
，
，
，
平分，
，
是的一个外角，
，
，
，
，
，
，
，
的度数为．
【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握猪脚模型是解题的关键．
30．（2023春·全国·七年级期末）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题：
（1）如图1所示，已知，点E为之间一点，连接，得到．请猜想与之间的数量关系，并证明；
猜想： ；
证明：
（2）如图2所示，已知，点E为之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数；
【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ；
【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题：
已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出之间的数量关系 ．
【答案】（1），证明见解析
（2）；，理由见解析； ，理由见解析
【分析】（1）过点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可；
（2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
如图3，过作，过作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论；
延长，，交于点，根据角平分线的定义和四边形的内角和定理，平角的定义即可得到结论．
【详解】（1），
证明：过点作，
，
，
，，
，
故答案为：；
（2）如图2，作，，
，
，
，，，，
，
，
和的角平分线相交于，
，
；
【类比迁移】；
理由：如图3，过作，过作，
，
，
，，
由（1）知，
平分与的平分线相交于点，
，，
，，
，
即；
故答案为：；
【变式挑战】，理由如下：
如图4，延长，，交于点，
同时平分和，
，，
，
，，
，
四边形中，
，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键．
31．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，中，，，求边上的中线的取值范围，经过组内合作交流．小明得到了如下的解决方法：延长到点，使
请根据小明的方法思考：
（1）求得的取值范围是___________；
【问题解决】请利用上述方法（倍长中线）解决下列三个问题
如图，已知，，，为的中点．
（2）如图1，若，，共线，求证：平分 ；
（3）如图2，若，，不共线，求证：；
（4）如图3，若点在上，记锐角，且，则的度数是___________（用含的代数式表示）．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析；（4）
【分析】（1）根据三角形三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可进行解答；
（2）延长交延长线于点，证即可；
（3）延长至点，使得，连接、、，证即可；
（4）过点作交于点，由（3）可得，证，用含的代数式表示出即可．
【详解】（1）为边上的中线，
，
在和中
，
，
，
，
即，
，
，
，
故答案为：
（2）如下图，交延长线于点
，
（同旁内角互补，两直线平行），
，，
为的中点
，
，
，，
又，
，即，
在和中
，
（全等三角形的对应角相等），即平分
（3）延长至点，使得，连接、、
由（1）同理易知，
，，
，且，
，
，，
，
，
，
，
（4）过点作交于点，由（3）可得，，，，
，
，
和互余，，
，
，
，
，
又，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定和性质，画出辅助线推理论证是解题的关键．
32．（2023春·广东佛山·七年级校考期中）在中，，，直线经过点C，且于D，于E．
(1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
(2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
(3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）①由，得，而于，于，则，根据等角的余角相等得到，证明；
②由，所以，，即可得到；
（2）根据等角的余角相等得到，证明，得到，，所以；
（3）、、具有的等量关系为：．证明的方法与（2）相同．
【详解】（1）解：证明：①，
，
而于，于，
，，
．
在和中，
，
．
②由①可知：，
，，
；
（2）证明：，
，
而，，
，，
．
在和中，
，
，
，，
；
（3）解：，理由是：
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握三角形全等的判定与性质是解题的关键．
33．（2023春·陕西西安·七年级西安市铁一中学校考阶段练习）（1）已知等腰和，连接，若直线交于点O，则 ；
（2）如图所示，，连接和，过点A作交于点G，垂足为F，若，求的面积．
【答案】（1）或．（2）231
【分析】（1）根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）作于M，于N，证明，，进而利用全等三角形的性质和三角形面积公式解答即可．
【详解】解：如图：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴；
故答案为：或．
（2）作于M，于N，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
同理，，
∴，
∵，
∴，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题关键是恰当作辅助线，构建全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．
34．（2023春·辽宁大连·七年级校联考期中）实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜所夹的锐角．
(1)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线平行，且，则 ______ ， ______ ；
(2)图中，当被反射出的光线与光线平行时，不论如何变化，与总具有一定的数量关系，请你探究和的数量关系，并说明理由；
(3)图中，由（1）、（2），请你探究：当任何射到平面镜上的光线，经过平面镜、的两次反射后，入射光线与反射光线平行，求两平面镜、的夹角的度数，并说明理由．
(4)如图，一束光线射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射，若被反射出的光线与光线垂直，则等于多少度？（友情提示：三角形内角和等于 ）
【答案】(1)；
(2)，理由见解析
(3)，理由见解析
(4)
【分析】（1）根据平面镜反射光线的规律得，再利用平角的定义得，然后利用平行线的性质计算出，则，再利用三角形内角和定理计算；
（2）根据平面镜反射光线的规律和平行线的性质即可得到结论；
（3）根据平面镜反射光线的规律和平行线的性质即可得到结论；
（4）根据平面镜反射光线的规律和平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：，
，
，
，
，
，
；
（2），
理由：，
，
，
，
；
（3），
理由：，
，
，，
；
（4）如图，由（1）可得，，，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质以及三角形内角和定理，解题时注意：同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
35．（2023春·山东济南·七年级统考期中）如图，已知中，，点D为的中点．
(1)如果点P在线段上以的速度由A点向B点运动，同时，点Q在线段上由点B向C点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过后，与是否全等？说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当时间t为何值时，与全等？求出此时点Q的运动速度
(2)若点Q以②中的运动速度从点B出发，点P以原来的运动速度从点A同时出发，都逆时针沿三边运动，请直接写出：
①经过多少秒，点P与点Q第一次相遇？
②点P与点Q第2023次相遇在哪条边上？
【答案】(1)①全等，见解析；②7.5厘米/秒
(2)①秒；②点P与点Q第2023次在AC边上相遇
【分析】（1）①先求得，，然后根据等边对等角求得，最后根据即可证明；
②因为，所以，又，要使与全等，只能，根据全等得出，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和的长即可求得的运动速度；
（2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得结果；②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，据此列出方程，解这个方程即可求得结果.
【详解】（1）①全等，
因为（秒，
所以（厘米），
（厘米），为中点，
（厘米），
（厘米），
，
，
在与中，
，
；
②因为，
所以，
因为，
要使与全等，只能，
即，
故，
所以点、的运动时间：（秒，
此时（厘米秒）；
（2）①因为，只能是点追上点，即点比点多走的路程，
设经过秒后与第一次相遇，依题意得，
解得（秒，
此时运动了（厘米），
又因为的周长为56厘米，，
所以点、在边上相遇，即经过了秒，点与点第一次在边上相遇；
②设第一次相遇经过秒之后，第2023次相遇，
，
解得：，
，
，
，
，
点在边上．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．
36．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）如图，，定点E，F分别在直线上，在平行线之间有一动点P，满足．
(1)试问满足怎样的数量关系？
解：由于点P是平行线之间有一动点，因此需要对点P的位置进行分类讨论：
如图1，当P点在的左侧时，满足数量关系为 ，
如图2，当P点在的右侧时，满足数量关系为 ．
(2)如图3，分别平分和，且点P在左侧．
①若，则 ．
②猜想与的数量关系，并说明理由；
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点；此次类推，则与满足怎样的数量关系？（直接写出结果）
(3)【拓展应用】如图5，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接，的角平分线与的角平分线所在直线交于点Q，则＝ °．
【答案】(1)，
(2)①；②；见解析；③
(3)
【分析】（1）如图1，过点P作，则，根据平行线的性质证明即可．
如图2，过点P作，则，根据平行线的性质证明即可．
（2）①过点P作，则，根据平行线的性质证明即可．
②过点P作，则，根据平行线的性质证明即可．
③过点P作，则，根据平行线的性质，探索出遵循的变化规律，计算即可．
（3）延长，交于点H，根据平行线的性质证明即可．
【详解】（1）如图1，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
如图2，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①如图3，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可证，，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
②两个角的关系为．理由如下：
如图3，过点P作，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
同理可证，，
∵分别平分和，
∴，，
∴，
∵，
∴，
③，理由如下：连接，并延长到点G，根据前面的证明，得到，
∵，，，
∴，
∵与的角平分线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
……
∴与的关系为．
（3）如图5，延长，交于点H，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵的角平分线与的角平分线所在直线交于点Q，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，四边形内角和定理，角的平分线的意义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
37．（2023春·广东深圳·七年级校联考期中）在中，，点是射线上一动点（不与点，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．
(1)如图1，当点在线段上时，与有何数量关系，请说明理由；
(2)在（1）的条件下，当时，那么___________度；
(3)设，．
①如图2，当点在线段上，时，请探究与之间的数量关系，并证明你的结论；
②如图3，当点在线段的延长线上，时，请将图3补充完整并直接写出此时与之间的数量关系．
【答案】(1)，理由见解析
(2)90
(3)①，理由见解析；②图见解析，
【分析】（1）由题意易证，即可利用“”证明，即得出；
（2）由全等三角形的性质得出．再根据，即得出，即；
（3）①根据（1）同理可证，即得出．再根据，即得出，即；②根据题意补全图形，再同理可证，即得出．最后结合三角形外角的性质，即可求证出，即．
【详解】（1）解：，理由如下：
，
，即．
在和中，，
，
；
（2）解：∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
故答案为：90；
（3）①，理由如下：
由（1）同理可证，
．
，
，
；
②补全图形，如图所示，
同理可证，
．
∵，，
∴，即．
【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．
38．（2023春·江西抚州·七年级统考期中）在数学综合与实践课上，老师给出了下列问题：
探究结论：（1）如图1，，，则 ：
如图2，，，则
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角 或
应用结论：（2）①若两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍少60°，则角的度数为 ；
②在图3中，五边形，点G、F分别在、上，将∠A沿翻折得到，，，，，求的度数．
拓展应用：（3）在图4中，，，，，平分，G点是线段上的一个动点，若中有两个相等的角，，，直接写出的度数．
【答案】（1）=；180°；相等；互补；（2）①60°或；②134°；（3）70°或10°或40°
【分析】（1）利用平行线的性质可得答案；
（2）①利用（1）的结论列方程求解即可；②证明，结合，由（1）的结论可得：，从而可得答案；
（3）过B作，再证明，，结合平分，可得，由中有两个相等的角，再分三种情况讨论即可．
【详解】解：（1）如图1，∵，，
∴，，
则；
如图2，∵，，
∴，，
则，
结论：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补
应用结论
（2）①∵一个角是另一个角的2倍少60°，
∴另一个角为，
由（1）可得：这两个角相等或互补；
当这两个角相等时，则，解得；
当这两个角互补时，则，
解得：；
则角的度数为60°或．
② ∵ ，，
∴，
∵ ，
由（1）的结论可得：
，
∵ ，
∴ ．
（3）过B作，
∵ ，
∴，
∵
同理可得：，
∴，
∵，
同理可得：，
∵平分，
∴ ，
∵
∴ ，
∵中有两个相等的角，
当时，则，
∴；
当时，则，
当时，．
【点睛】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的利用推导的结论解题，清晰的分类讨论都是解本题的关键．
39．（2023春·辽宁铁岭·七年级校考阶段练习）图1，线段相交于点O，连接，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点P，并且与分别相交于．试解答下列问题：
(1)在图1中，请直接写出与之间的数量关系为 ；
(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数： 个；
(3)图2中，和为任意角时，其他条件不变，试问与之间存在着怎样的数量关系？说明理由
(4)应用：如图2，当时，直接说出的度数．
【答案】(1)
(2)6
(3)，理由见详解；
(4)
【分析】（1）由三角形内角和定理可得，进而可求解；
（2）根据“8字形”的定义即可求解；
（3）由，，和平分和，可得，即可求解；
（4）由（3）中关系式即可求解；
【详解】（1）解：由三角形内角和定理可知，
∵，
∴，
故答案为：；
（2）与与与与与与，共六个；
故答案为：6；
（3）∵，
∴，
∵，
∴，
∵和平分和，
∴、，
∴，
∴．
（4）∵，
由（3）知，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理、角平分线的定义，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
40．（2023春·上海·七年级假期作业）已知在四边形中，，．
(1)如图1．连接，若线段平分，求的度数；
(2)如图2，点P，Q分别在线段，上，满足，求证：；
(3)如图3，若将P、Q改在、的延长线上，且仍然满足，其余条件不变，请你直接写出、、之间的数量关系．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)；理由见解析
【分析】（1）证明，得出，根据，求出即可；
（2）延长，在的延长线上截取，连接，证明，得出，，求出，证明，得出，根据，即可证明结论；
（3）在上截取，连接，证明，得出，，求出，证明，得出，即可证明．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）证明：延长，在的延长线上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：；理由如下：
在上截取，连接，如图所示：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "()
" ()
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 浙教版第1章《三角形的初步认识》专题4 三角形的初步认识经典压轴题型专训（解析版）