卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年福建省莆田市涵江区锦江中学高三（上）第一次开学数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共45.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，或，则( )
A. B. C. D.
2.设，是实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
4.若曲线是自然对数的底数在点处的切线与轴垂直，则( )
A. B. C. D.
5.设，，向量，，，且，，则．( )
A. B. C. D.
6.一袋中装有个盲盒，已知其中个是玩具盲盒，个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，则乙取到的是玩具盲盒的概率为( )
A. B. C. D.
7.我国古代数学名著九章算术中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数对于任意的满足其中是函数的导函数，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
9.如果，，，，则正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，，则 D. 若，，则
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
10.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别用事件，和表示从甲罐中取出的球是红球，白球和黑球；再从乙罐中随机取出一球，用事件表示从乙罐中取出的球是红球，则下列结论正确的是( )
A. B.
C. 事件与事件相互独立 D. ，，是两两互斥的事件
11.已知关于的不等式的解集为或，则下列结论中，正确结论的序号是( )
A.
B. 不等式的解集为
C. 不等式的解集为或
D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
12.已知若正数、满足，则的最小值为______．
13.件产品中有件正品，件次品，则在第一次抽到次品条件下，第二次抽到次品的概率______ ．
14.已知随机变量服从二项分布，则 ______ ．
15.某厂生产某种产品的固定成本固定投入为元，已知每生产件这样的产品而要再增加可变成本元，若生产出的产品都能以每件元售出，则该厂生产______ 件这种产品时，可获得最大利润______ 元
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
已知函数．
若，求函数在区间上的最大值；
若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点．
求直线与平面所成角的正弦值；
求到平面的距离．
18.本小题分
甲、乙两名运动员进行五局三胜制的乒乓球比赛，先赢得局的运动员获胜，并结束比赛．设各局比赛的结果相互独立，每局比赛甲赢的概率为，乙赢的概率为．
求甲获胜的概率；
设为结束比赛所需要的局数，求随机变量的分布列及数学期望．
19.本小题分
如图，在三棱台中，若平面，，，，为中点，为棱上一动点不包含端点．
若为的中点，求证：平面；
是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出长度；若不存在，请说明理由．
20.本小题分
为了了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班人进行了问卷调查，得到了如下的列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生
女生
合计
已知在全班人中随机抽取人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．
请将上面的列联表补充完整不用写计算过程；
试根据小概率值的独立性检验，分析喜爱打篮球与性别的关系；
现从女生中抽取人进一步调查，设其中喜爱打篮球的女生人数为，求的分布列与均值附：，其中．
21.本小题分
已知函数．
求的单调区间；
若有两个零点，记较小零点为，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：或，，
，
故选：．
先由求出集合，再利用集合的交集运算求解．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：若，则，，
若，则，即，当时，推不出，
所以“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
根据对数函数的单调性以及充分不必要条件的定义可得答案．
本题考查了充分必要条件的定义，考查不等式问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误；
对于，，故B错误；
对于，，故C错误；
对于，，故D正确．
故选：．
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查了导数的计算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，得，
根据题意有，解得．
故选：．
根据导数的几何意义与直线垂直的关系求解即可．
本题考查导数的几何意义及应用，考查两直线垂直与斜率的关系，是基础题．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查向量的模的求法，考查向量平行、向量垂直、平面向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
利用向量平行和向量垂直的性质列出方程组，求出，，再由平面向量坐标运算法则求出，由此能求出
【解答】
解：设，，向量，，，
且，，
，解得
，．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：一袋中装有个盲盒，已知其中个是玩具盲盒，个是文具盲盒，甲、乙两个小孩从中先后任取一个盲盒，记事件，分别表示甲、乙取到的是玩具盲盒，
则由题意得，，，，
所以．
故选：．
根据全概率公式结合已知条件求解即可．
本题考查全概率公式相关知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图，四棱锥为阳马，
平面，且，，
因为，所以，
所以
，
又，所以，则．
故选：．
根据空间向量线性运算法则计算可得．
本题考查空间向量线性运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：令，，
因为对于任意的满足，
则，
所以在上单调递增，
，即，
所以，A错误；
，即，
所以，B错误，
，即，
所以，C正确；
，即，
所以，D错误．
故选：．
结合已知选项可考虑构造函数，，结合导数可判断函数单调性，进而可比较函数值大小．
本题主要考查了利用导数判断函数单调性，比较函数值大小，解题的关键是函数的构造，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于，令，，满足，但，故A错误，
对于，当时，，故B错误，
对于，，，
由不等式的可加性可得，，故C正确，
对于，令，，，，满足，，但，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的性质，以及特殊值法，即可求解．
本题主要考查不等式的性质，以及特殊值法，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：依题意得，，，
则，故B正确；
，，
所以
，故A不正确；
因为，，，
所以事件与事件不相互独立，故C不正确；
根据互斥事件的定义可知，，是两两互斥的事件，故D正确．
故选：．
根据条件概率公式计算可知B正确；根据全概率公式计算可知不正确；根据计算可知，故C不正确；根据互斥事件的定义可知D正确．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：不等式的解集为或，
所以，且和是方程的两根，选项A正确；
由根与系数的关系知，，所以，，
所以不等式可化为，解集为，选项B错误；
不等式可化为，解集为或，选项C错误；
因为不等式的解集为或，所以满足不等式，即，选项D正确．
故选：．
根据不等式的解集得出，且和是方程的两根，由根与系数的关系得出、与的关系，再判断选项中的命题是否正确．
本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了转化思想，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：因为正实数、满足，
所以，当且仅当时，等号成立；
又，
当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：．
根据题中条件，由，展开后，利用基本不等式，即可求出结果．
本题考查了基本不等式的应用，难点在于将原式子变化成，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，在第一次抽到次品后，有件次品，件正品；
则第二次抽到次品的概率为；
故答案为．
根据题意，易得在第一次抽到次品后，有件次品，件正品，由概率计算公式，计算可得答案．
本题考查概率的计算，解题时注意题干“在第一次抽到次品条件下”的限制．
14.【答案】
【解析】解：表示做了次独立实验，每次试验成功概率为，
．
故答案为：．
根据二项分布的概率公直接求解即可．
本题考查二项分布相关知识，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设该厂生产件这种产品的利润为元，
由题意可得生产件的收入为元，总成本为元，
则，，
则，令，得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
可得是函数的极大值点，也是最大值点，
则当时，利润最大为元．
故答案为：；．
设该厂生产件这种产品的利润为元，由利润等于收入减去成本，可得的解析式，运用导数可得的最大值和对应的的值．
本题考查函数在实际问题中的应用，以及导数的运用，考查运算能力，属于中档题．
16.【答案】解：，因为，所以，所以，
，在上恒成立，所以函数在区间上单调递增，
所以；
因为函数在区间上为增函数，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，所以．
实数的取值范围为
【解析】先对函数求导，根据求出，根据函数的单调性即可得；
根据题意知，分离参数即可得．
本题考查利用导数研究函数单调性求最值，属于基础题．
17.【答案】解：以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，
，设平面的法向量为，
，，
则，取，得，
，
直线与平面所成角的正弦值为；
由可知平面的法向量为，，
，到平面的距离为．
【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可；
利用空间点到直线距离公式进行求解即可．
本题考查线面角、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.【答案】解：由已知可得，比赛三局且甲获胜的概率为，
比赛四局且甲获胜的概率为，
比赛五局且甲获胜的概率为，
所以甲获胜的概率为．
随机变量的取值为，，，
则，
，
，
所以随机变量的分布列为：
则随机变量的数学期望为．
【解析】由题意分别求得三局、四局、五局比赛甲获胜的概率，然后相加可得甲获胜的概率；
由题意可知的取值为，，，计算相应的概率值可得分布列，进一步计算数学期望即可．
本题主要考查事件的独立性，离散型随机变量及其分布列，分布列的均值的计算等知识，属于基础题．
19.【答案】解：证明：分别取中点，连接，
则为的中位线，
，，
又，，
，，
四边形为平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
以为坐标原点，正方向为，，轴，建系如图，
则，，，，
，，，
设，则，
，
令平面的法向量为，
则，取；
又易知平面的一个法向量，
，
解得或舍，
，，
即的长为．
【解析】取中点，易证得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可证得结论；
以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，根据面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果．
本题考查线面平行的证明，向量法求解面面角问题，化归转化思想，方程思想，属中档题．
20.【答案】解：由题意得，喜爱打篮球的人有人，则喜爱打篮球的男生人，男生共人，
则女生人，不喜爱打篮球的女生人，
可得如下列联表：
喜爱打篮球 不喜爱打篮球 合计
男生
女生
合计
，
根据小概率值的独立性检验，认为喜爱打篮球与性别有关．
的可能取值为，，，
，，，
的分布列为：
．
【解析】根据题中所给数据完成列联表即可；
求得，即可得出结论；
求得的可能取值及对应概率，完成分布列，根据期望公式求解即可．
本题考查独立性检验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是中档题．
21.【答案】解：的定义域为，
，
当时，有，即在上单调递增；
当时，令，可得，令，可得，
函数在上单调递减，在上单调递增．
证明：函数有两个零点，由第一问可知，且较小的零点满足：，
则要证，即证，即证，
而可得易检验，代换上式中，
即证，即证，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，而，
，即，得证．
【解析】求出导函数，根据导函数的结构对分类讨论，利用导数与单调性的关系可求解；
分析要证的，利用可得代换，即证，令函数，利用导数证明，进而证明结论．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值、转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
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