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2023-2024学年浙教版九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
2．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
3．（3分）二次函数y＝x2﹣kx+k﹣2的图象与x轴交点的情况，下面判断正确的是（ ）
A．有两个交点 B．有且只有一个交点
C．没有交点 D．无法确定
4．（3分）在函数y＝﹣2x2+4x+a（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
5．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c，当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．（3分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为（ ）
A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．
7．（3分）如图四个图中，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（3分）如图，在 ABCD中，点M，N分别是AD、BC上的点，且AM＝2DM，BN＝2CN，点O是CM，DN的交点，直线AB分别与CM，DN的延长线交于点P、Q．若 ABCD的面积为144，则△POQ的面积为（ ）
A．72 B．216 C．268 D．300
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和点B，顶点P坐标为（1，n），与y轴的交点C在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：
（1）当x＞3时，y＜0；
（2）3a+b＞0；
（3）﹣1≤a；
（4）3≤n≤4．
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（ ）
A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2
C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）写出一个开口向上，顶点坐标为（0，﹣4）的抛物线的解析式 ．
12．（3分）二次函数y＝﹣x2+4x﹣1的图象不经过第 象限．
13．（3分）已知y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 ．
14．（3分）如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 ．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝ 时，△ADP与△BCP相似．
16．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高CE为，则的值是 ．
三、解答题：本大题有7个小题，共52分.
17．（4分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．
（1）在图①中，的值为 ；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
18．（6分）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．
19．（6分）小颖和小琴想用所学知识测量一个路灯的高度AB，首先，小颖在地面上平放一个小平面镜，并在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BD上的对应位置为点E，平面镜不动，然后小琴看着镜面上的标记沿直线BD来回走动，当她走到点D处时，恰好在镜子中看到路灯顶端A的像与镜面上的标记重合，此时，小颖测得DE＝2m，小琴眼睛到地面的距离CD＝1.5m，接着，小颖在距离点E处2m的点F处测得∠AFB＝45°，已知CD⊥BD，AB⊥BD，点D，E，F，B在同一水平直线上，请你根据以上信息，求出路灯的高度AB．
20．（8分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
21．（8分）如图，△ABC中边BC＝50，高AD＝40，点E、F在AB、AC上，且EF∥BC交中线AM和高AD于点N和点G．
（1）若点N是△ABC的重心，求△EDF的面积；
（2）求当EF长度为多少时，△EDF的面积最大．
22．（10分）平面直角坐标系中有函数y1、y2、y3，y1＝ax2+bx+c（a≠0），y2＝﹣x2+2x，y3＝kx+b（k≠0），y1的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后与y2的图象重合，y3经过y1与y轴的交点以及y2的顶点．
（1）求y1和y3的表达式；
（2）当x≥0时，试比较y2与y3的大小；
（3）当x＜m时，y1，y2，y3均随着x的增大而增大，求实数m的最大值．
23．（10分）已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．
（1）如图1，如果点D是线段AB的中点，求CE：CF的值．
（2）如图2，如果AD：DB＝1：2，
①求证：△ADE∽△BFD；
②求CE：CF的值．
（3）如果AD：DB＝1：n，求CE：CF的值．
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.
1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）x
C．y＝（x﹣1）2 D．y＝ax2+bx+c
【解答】解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．y＝x2+（3﹣x）x
＝x2+3x﹣x2
＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；
D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
2．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（其中a，b，c是常数，a≠0）的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0 D．b＜0，c＞0
【解答】解：∵开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴左侧，
∴0，
∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
故选：D．
3．（3分）二次函数y＝x2﹣kx+k﹣2的图象与x轴交点的情况，下面判断正确的是（ ）
A．有两个交点 B．有且只有一个交点
C．没有交点 D．无法确定
【解答】解：令y＝0，则x2﹣kx+k﹣2＝0，
∴Δ＝（﹣k）2﹣4（k﹣2）＝k2﹣4k+8＝（k﹣2）2+4＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，
故选：A．
4．（3分）在函数y＝﹣2x2+4x+a（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y2＜y3 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3
【解答】解：∵函数y＝﹣2x2+4x+a（a为常数），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x1，
在函数y＝﹣2x2+4x+a（a为常数）的图象上有三点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（2，y3），且|2﹣1|＜|1﹣（﹣1）|＜|1﹣（﹣3）|，
则y1、y2、y3的大小关系为y1＜y2＜y3．
故选：B．
5．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+c，当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+c＝﹣（x﹣1）2+c+1，
∴该抛物线的对称轴为x＝1，且a＝﹣1＜0，
∴当x＝1时，二次函数有最大值为c+1，
∵|﹣1﹣1|＞|2﹣1|，
∴当x＝﹣1时，二次函数有最小值为：﹣（﹣1）2+2×（﹣1）+c＝﹣3+c，
∴函数的最大值与最小值的差为c+1﹣（﹣3+c）＝4．
故选：D．
6．（3分）如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，要使△ABC∽△ADE，需加一个条件，则以下所添加条件不正确的为（ ）
A．∠B＝∠ADE B．∠C＝∠AED C． D．
【解答】解：A、由∠A＝∠A，∠B＝∠ADE，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
B、由∠A＝∠A，∠C＝∠AED，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
C、由∠A＝∠A，可以推出，△ABC∽△ADE，故本选项不符合题意；
D、由，推不出，△ABC∽△ADE，故本选不符合题意；
故选：D．
7．（3分）如图四个图中，△ABC均与△A′B′C′相似，且对应点交于一点，则△ABC与△A′B′C′成位似图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：图1、图3、图4是位似图形，
图2的对应边不平行，不是位似图形，
故选：C．
8．（3分）如图，在 ABCD中，点M，N分别是AD、BC上的点，且AM＝2DM，BN＝2CN，点O是CM，DN的交点，直线AB分别与CM，DN的延长线交于点P、Q．若 ABCD的面积为144，则△POQ的面积为（ ）
A．72 B．216 C．268 D．300
【解答】解：连接MN，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AD∥BC，AD＝BC，
∵AM＝2DM，BN＝2CN，
∴DMAD，CNBC，
∴DM＝CN，
∴四边形CDMN是平行四边形，AM＝BN，
∵AM∥BN，
∴四边形AMNB是平行四边形，
设S△OMN＝x，则S四边形CDMN＝4x，
∴S四边形ABNM＝8x，
∵ ABCD的面积为144，
∴4x+8x＝144，
∴x＝12，
∴S△MCD＝2x＝24，
∵CD∥PA，
∴△CDM∽△PAM，
∴，
∴S△PAM＝24×4＝96，
同理S△BQN＝96，
∵S四边形ABNM＝8x＝96，
∴△POQ的面积＝S△OMN+S△PAM+S△BQN+S四边形ABNM＝12+96+96+96＝300．
故选：D．
9．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和点B，顶点P坐标为（1，n），与y轴的交点C在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：
（1）当x＞3时，y＜0；
（2）3a+b＞0；
（3）﹣1≤a；
（4）3≤n≤4．
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴抛物线的对称轴为x＝1．
∵A（﹣1，0），
∴B（3，0），
∴当x＞3时，y＜0，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为x1，
∴b＝﹣2a．
∴3a+b＝3a+（﹣2a）＝a，
有图象可知，a＜0，
∴3a+b＜0．
故②不正确；
∵当x＝﹣1时，y＝0，
即a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＝0，
∴c＝﹣3a．
∵抛物线与y轴的交点C在（0，2），（0，3）之间（包含端点），
∴2≤c≤3，
∴2≤﹣3a≤3，
解得﹣1≤a．
故③正确；
将顶点P（1，n）代入y＝ax2+bx+c，
得n＝a+b+c＝a+（﹣2a）+（﹣3a）＝﹣4ac．
∵2≤c≤3，
∴c≤4，即n≤4．
故④不正确；
故选：B．
10．（3分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连接BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2，（ ）
A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2 B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2
C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2 D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2
【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2，
∴若2AD＞AB，即时，，
此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，
故选项A不符合题意，选项B不符合题意．
若2AD＜AB，即时，，
此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，
故选项C不符合题意，选项D符合题意．
故选：D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分.
11．（3分）写出一个开口向上，顶点坐标为（0，﹣4）的抛物线的解析式 y＝x2﹣4（答案不唯一） ．
【解答】解：∵开口向上，
∴a＞0，
∵顶点坐标为（0，﹣4），
∴解析式为y＝x2﹣4，
故答案为：y＝x2﹣4（答案不唯一）．
12．（3分）二次函数y＝﹣x2+4x﹣1的图象不经过第 二 象限．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3，
∴该函数图象的顶点坐标为（2，3）且经过点（0，﹣1），函数图象开口向下，
∴该函数图象不经过第二象限，
故答案为：二．
13．（3分）已知y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为 2 ．
【解答】解：∵y＝（m+2）x|m|+2是y关于x的二次函数，
∴|m|＝2且m+2≠0．
解得m＝2．
故答案为：2．
14．（3分）如图，点D是△ABC边BC上的一点，且，点E是AD的中点，连接BE并延长交AC于点F，则的值为 ．
【解答】解：作DH∥AC交BF于H，如图，
∵DH∥AF，
∴∠EDH＝∠EAF，∠EHD＝∠EFA，
∵DE＝AE，
∴△EDH≌△EAF（AAS），
∴DH＝AF，
∵，DH∥CF，
∴，
∴，
故答案为：．
15．（3分）如图，矩形ABCD中，AD＝4，AB＝10，P为CD边上的动点，当DP＝ 2或8或5 时，△ADP与△BCP相似．
【解答】解：①当△APD∽△PBC时，
，
即，
解得：PD＝2或PD＝8；
②当△PAD∽△PBC时，
，
即，
解得：DP＝5．
综上所述，DP的长度是2或8或5．
故答案为：2或8或5．
16．（3分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB边上的高CE为，则的值是 ．
【解答】解：∵∠AEC＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△AEC∽△ACB，
∴，
∴AC2＝AE AB，
同理，BC2＝BE AB，EC2＝AE EB，
∴，
故答案为：．
三、解答题：本大题有7个小题，共52分.
17．（4分）以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，A，B，C，D均在格点上．
（1）在图①中，的值为 1：3 ；
（2）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．
①如图②，在AB上找一点P，使AP＝3；
②如图③，在BD上找一点P，使△APB∽△CPD．
【解答】解：（1）如图①中，
∵AB∥CD，
∴△PCD∽△PBA．
∴，
故答案为：1：3；
（2）
①取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点．
由勾股定理知：AB5．
∵AP＝3，
∴BP＝2．
∵BE∥FA，
∴△EPB∽△FPA．
∵AP：BP＝AF：BE＝3：2．
∴取格点E，F，连接EF交AB于点P，点P即为所求的点；
②如图③所示，作点A的对称点A′，
连接A′C，交BD于点P，
点P即为所要找的点，
∵AB∥CD，
∴△APB∽△CPD．
18．（6分）已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），点C（0，5），抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求△MCB的面积．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（0，5），（1，8），（﹣1，0），
∴c＝5，
把（1，8），（﹣1，0）分别代入二次函数，得
，
解得a＝﹣1，b＝4，
∴抛物线的解析式：y＝﹣x2+4x+5；
（2）过点M作ME⊥x轴，交BC于D，如图所示：
∵y＝﹣x2+4x+5
＝﹣（x﹣2）2+9；
∴M（2，9），B（5，0），
设直线BC：y＝kx+b，
把B（5，0），C（0，5），分别代入一次函数，得
，
解得k＝﹣1，
∴直线BC：y＝﹣x+5，
∵ME⊥x轴，
∴MD∥y轴，
∴把x＝2代入y＝﹣x+5，
得y＝3，
∴D（2，3），
∴MD＝6，
∴△MCB的面积
5
＝15．
19．（6分）小颖和小琴想用所学知识测量一个路灯的高度AB，首先，小颖在地面上平放一个小平面镜，并在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BD上的对应位置为点E，平面镜不动，然后小琴看着镜面上的标记沿直线BD来回走动，当她走到点D处时，恰好在镜子中看到路灯顶端A的像与镜面上的标记重合，此时，小颖测得DE＝2m，小琴眼睛到地面的距离CD＝1.5m，接着，小颖在距离点E处2m的点F处测得∠AFB＝45°，已知CD⊥BD，AB⊥BD，点D，E，F，B在同一水平直线上，请你根据以上信息，求出路灯的高度AB．
【解答】解：在Rt△ABF中，∵∠ABF＝90°，∠AFB＝45°，
∴AB＝BF，
由题意得，∠CED＝∠AEB，
∵∠CDE＝∠ABE﹣90°，
∴△CDE∽△ABE，
∴，
∵CD＝1.5m，DE＝EF＝2m，
∴，
∴AB＝6，
答：路灯的高度AB为6m．
20．（8分）根据对某市相关的市场物价调研，预计进入夏季后的某一段时间，某批发市场内的甲种蔬菜的销售利润y1（千元）与进货量x（吨）之间的函数y1＝kx的图象如图①所示，乙种蔬菜的销售利润y2（千元）与进货量x（吨）之间的函数y2＝ax2+bx的图象如图②所示．
（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式；
（2）如果该市场准备进甲、乙两种蔬菜共10吨，设乙种蔬菜的进货量为t吨．
①写出这两种蔬菜所获得的销售利润之和W（千元）与t（吨）之间的函数关系式．并求当这两种蔬菜各进多少吨时获得的销售利润之和最大，最大利润是多少元？
②为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在什么范围内合适？
【解答】解：（1）由题意得：5k＝3，
解得k＝0.6，
∴y1＝0.6x；
由，
解得：，
∴y2＝﹣0.2x2+2.2x；
（2）①W＝0.6（10﹣t）+（﹣0.2t2+2.2t）＝﹣0.2t2+1.6t+6＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
当t＝4时，W有最大值9.2，
答：甲种蔬菜进货量为6吨，乙种蔬菜进货量为4吨时，获得的销售利润之和最大，最大利润是9200元；
②当W＝8.4＝﹣0.2（t﹣4）2+9.2，
∴t1＝2，t2＝6，
∵a＝﹣2＜0，
∴当2≤t≤6时，W≥8.4，
答：为了获得两种蔬菜的利润之和不少于8400元，则乙种蔬菜进货量应在2≤t≤6范围内合适．
21．（8分）如图，△ABC中边BC＝50，高AD＝40，点E、F在AB、AC上，且EF∥BC交中线AM和高AD于点N和点G．
（1）若点N是△ABC的重心，求△EDF的面积；
（2）求当EF长度为多少时，△EDF的面积最大．
【解答】解：（1）∵N是三角形的重心，
∴．
∵EF∥BC，
∴，．
∴EF，．
∴△EDF的面积．
（2）设EF＝x．
∵EF∥BC，
∴，即．
∴AG．
∴GD＝40﹣AG＝40．
∴．
∴x25．
∴当EF＝25时，△EDF的面积最大．
22．（10分）平面直角坐标系中有函数y1、y2、y3，y1＝ax2+bx+c（a≠0），y2＝﹣x2+2x，y3＝kx+b（k≠0），y1的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位后与y2的图象重合，y3经过y1与y轴的交点以及y2的顶点．
（1）求y1和y3的表达式；
（2）当x≥0时，试比较y2与y3的大小；
（3）当x＜m时，y1，y2，y3均随着x的增大而增大，求实数m的最大值．
【解答】解：（1）∵y1向右平移2个单位，向上平移1个单位得到y2，
∴y2向左平移2个单位，向下平移1个单位得到y1，
∵y2＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，
∴y2的顶点坐标为（1，1），
∴y1的顶点坐标为（1﹣2，1﹣1），即（﹣1，0），
∴y1的表达式为y1＝﹣（x+1）2＝﹣x2﹣2x﹣1．
当x＝0时，y1＝﹣1，
∴y1与y轴的交点为（0，﹣1）．
∵y3经过（0，﹣1）、（1，1），
∴，解得：，
∴y3的表达式为y3＝2x﹣1．
（2）（方法一）依照题意，画出函数y2、y3的图象，如图所示．
观察函数图象，可得：
当0≤x＜1时，y2＞y3；
当x＝1时，y2＝y3；
当x＞1时，y2＜y3；
（方法二）令w＝y2﹣y3＝﹣x2+2x﹣（2x﹣1）＝﹣x2+1．
当w＞0时，1﹣x2＞0，
解得：﹣1＜x＜1，
又∵x≥0，
∴当0≤x＜1时，y2＞y3；
当w＝0时，1﹣x2＝0，
解得：x＝±1，
又∵x≥0，
∴当x＝1时，y2＝y3；
当w＜0时，1﹣x2＜0，
解得：x＜﹣1或x＞1，
又∵x≥0，
∴当x＞1时，y2＜y3．
（3）∵y1＝﹣x2﹣2x﹣1＝﹣（x+1）2，y2＝﹣（x﹣1）2+1，y3＝2x﹣1，
∴y1在x≤﹣1时随x的增大而增大，y2在x≤1时随x的增大而增大，y3一直都随x的增大而增大，
∴m≤﹣1时，y1，y2，y3均随着x的增大而增大，
∴m的最大值为﹣1．
23．（10分）已知D是等边△ABC边AB上的一点，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E、F分别在AC和BC上．
（1）如图1，如果点D是线段AB的中点，求CE：CF的值．
（2）如图2，如果AD：DB＝1：2，
①求证：△ADE∽△BFD；
②求CE：CF的值．
（3）如果AD：DB＝1：n，求CE：CF的值．
【解答】解：（1）∵D是AB的中点，△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，
∵EF⊥CD，
∴EF∥AB，
∴△CEF是等边三角形，
∴CE＝CF，
∴CE：CF＝1：1；
（2）如图，
连接DE，DF，
①∵△EFC与△EFD关于EF对称，
∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，
∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，
∵∠EDF＝∠A＝60°，
∴∠BDF＝∠DEA，
∴△ADE∽△BFD，
②设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，
∵AD：BD＝1：2，
∴DB＝2x，
∴AB＝3x＝AC＝BC，
∴AE＝3x﹣a，BF＝3x﹣b，
由①知，△ADE∽△BFD，
∴，
∴，
由前两项得，2ax＝b（3x﹣a），
由后两项得，（3x﹣a）（3x﹣b）＝2x2，
即：3x（3x﹣a）﹣b（3x﹣a）＝2x2，
∴3x（3x﹣a）﹣2ax＝2x2，
∴ax，
∴，
∴CE：CF＝4：5；
（3）设AD＝x，CE＝DE＝a，CF＝DF＝b，
∵AD：DB＝1：n，
∴AB＝（n+1）x＝AC＝BC，
∴AE＝（n+1）x﹣a，BF＝（n+1）x﹣b，
同①的方法得，△ADE∽△BFD，
∴，
∴，
由前两项得，nax＝b[（n+1）x﹣a]，
由后两项得，[（n+1）x﹣a][（n+1）x﹣b]＝nx2，
∴（n+1）[（n+1）x﹣a]﹣b[（n+a）﹣b]＝nx2，
∴（n+1）[（n+1）x﹣a]﹣nax＝nx2，
解得，ax，
∴，
∴CE：CF＝（n+2）：（2n+1）．
解法2：（1）∵D是AB的中点，△ABC是等边三角形，
∴CD⊥AB，
∵EF⊥CD，
∴EF∥AB，
∴△CEF是等边三角形，
∴CE＝CF，
∴CE：CF＝1：1；
（2）如图，①∵△EFC与△EFD关于EF对称，
∴∠EDF＝∠ECF＝60°，EC＝ED，FC＝FD，
∵∠BDF+∠EDF＝∠BDE＝∠A+∠DEA，
∵∠EDF＝∠A＝60°，
∴∠BDF＝∠DEA，
∴△ADE∽△BFD，
②∵AD：DB＝1：2，
∴ADAB，BDAB
由①知，EC＝ED，FC＝FD，△ADE∽△BFD，
∴，
∴，
即：，
（3）∵AD：DB＝1：n，
∴ADAB，BDAB，
由（2）②知，
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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