卷子答案网-一个不只有答案的网站第一章 空间向量与立体几何
1．3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1．3.2 空间向量运算的坐标表示
一．选择题
1.已知O为坐标原点，在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量在基底{i，j，k}下的坐标为( )
A．(7,3,12) B．(3,7,12)
C．(2,4,6) D．(8,3,12)
2．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则( )
A．点B1的坐标为(4,5,3)
B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则a－b＋2c＝( )
A．(－9，－3,0) B．(0,2，－1)
C．(9,3,0) D．(9,0,0)
4．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若＝2，则点P的坐标是________．
5. 已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．0 B．6
C．－6 D．±6
6．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B．
C． D．
7．已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.
8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为( )
A． B．
C． D．
9．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________.
10．下列说法中不正确的是( )
A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底
B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面
C．纵坐标为0的向量都共面
D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直
11．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
12．已知向量a＝(1,2,3)，点A(0,1,0)，若＝－2a，则点B的坐标是( )
A．(－2，－4，－6) B．(2,4,6)
C．(2,3,6) D．(－2，－3，－6)
13．若△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B．
C．4 D．2
14．(多选)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(3,0，－1)，c＝(－1,5，－3)，则下列等式中正确的是( )
A．(a·b)·c＝b·c
B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D．|a＋b＋c|＝|a－b－c|
二、填空题
15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
16．已知空间中的点A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，若|c|＝3，c∥，则c＝________.
17．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________，|＋|＝________.
三、解答题
18．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求分别以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，均垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
19．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量；
(3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
第一章 空间向量与立体几何
1．3 空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1 空间直角坐标系
1．3.2 空间向量运算的坐标表示
一．选择题
1.已知O为坐标原点，在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1,3)，其中a＝4i＋2j，b＝2j＋3k，c＝3k－j，则向量在基底{i，j，k}下的坐标为( )
A．(7,3,12) B．(3,7,12)
C．(2,4,6) D．(8,3,12)
答案 D
解析 ＝2a＋b＋3c＝8i＋4j＋2j＋3k＋9k－3j＝8i＋3j＋12k，∴向量O在基底{i，j，k}下的坐标为(8,3,12)．
2．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则( )
A．点B1的坐标为(4,5,3)
B．点C1关于点B对称的点为(5,8，－3)
C．点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3)
D．点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)
答案 ACD
解析 由图形及已知可得，点B1的坐标为(4,5,3)，点C1(0,5,3)关于点B对称的点为(8,5，－3)，点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3)，点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0)，因此A，C，D正确，故选ACD．
3．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，则a－b＋2c＝( )
A．(－9，－3,0) B．(0,2，－1)
C．(9,3,0) D．(9,0,0)
答案 C
解析 a－b＋2c＝(1,0,1)－(－2，－1,1)＋(6,2,0)＝(3,1,0)＋(6,2,0)＝(9,3,0)．故选C．
4．已知点A(－1,3,1)，B(－1,3,4)，若＝2，则点P的坐标是________．
答案 (－1,3,3)
解析 解法一：设点P(x，y，z)，则由A＝2，得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x,3－y,4－z)，
则解得即P(－1,3,3)．
解法二：设点O为坐标原点，
∵＝2，
∴－＝2(－)，
∴3＝＋2，
∴＝＋＝(－1,3,1)＋(－1,3,4)＝＋＝(－1,3,3)，
即P(－1,3,3).
5. 已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为( )
A．0 B．6
C．－6 D．±6
答案 B
解析 因为a⊥b，所以1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.
6．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是( )
A．1 B．
C． D．
答案 D
解析 ∵ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，
∴3(k－1)＋2k－4＝0.∴k＝.故选D．
7．已知点A(λ＋1，μ－1,3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3,9)三点共线，则实数λ＋μ＝________.
答案 0
解析 因为＝(λ－1,1，λ－2μ－3)，＝(2，－2,6)，若A，B，C三点共线，则∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.
8．已知a＝(1－t,1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|a－b|的最小值为( )
A． B．
C． D．
答案 C
解析 ∵a－b＝(1－t,1－t，t)－(2，t，t)＝(－1－t，1－2t,0)，
∴|a－b|2＝(－1－t)2＋(1－2t)2＝5t2－2t＋2.
当t＝时，|a－b|2取最小值为－＋2＝，
∴|a－b|的最小值为.故选C．
9．已知2a＋b＝(0，－5,10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则〈b，c〉＝________.
答案 120°
解析 (2a＋b)·c＝0×1＋(－5)×(－2)＋10×(－2)＝－10，即2a·c＋b·c＝－10.
又a·c＝4，∴b·c＝－18，又|c|＝3，|b|＝12，
∴cos〈b，c〉＝＝－.
∵〈b，c〉∈[0,180°]，∴〈b，c〉＝120°.
10．下列说法中不正确的是( )
A．只要空间的三个向量的模为1，那么它们就能构成空间的一个单位正交基底
B．竖坐标为0的向量平行于x轴与y轴所确定的平面
C．纵坐标为0的向量都共面
D．横坐标为0的向量都与x轴上的基向量垂直
答案 A
解析 单位正交基底除要求模为1外，还要求三个向量两两垂直．故选A．
11．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，如果a与b为共线向量，则( )
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
答案 C
解析 因为a与b共线，所以＝＝，所以x＝，y＝－.
12．已知向量a＝(1,2,3)，点A(0,1,0)，若＝－2a，则点B的坐标是( )
A．(－2，－4，－6) B．(2,4,6)
C．(2,3,6) D．(－2，－3，－6)
答案 D
解析 设O为坐标原点，由＝－2a，得－＝－2a，所以＝－2a＝(0,1,0)－2(1,2,3)＝(－2，－3，－6)．故选D．
13．若△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD等于( )
A．5 B．
C．4 D．2
答案 A
解析 设＝λ，又＝(0,4，－3)，则＝(0,4λ，－3λ)．又＝(－4,5,0)，∴＝＋＝(－4,4λ＋5，－3λ)．由·＝0，得4(4λ＋5)＋9λ＝0，解得λ＝－，∴＝，∴||＝5.故选A．
14．(多选)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(3,0，－1)，c＝(－1,5，－3)，则下列等式中正确的是( )
A．(a·b)·c＝b·c
B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)
C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2
D．|a＋b＋c|＝|a－b－c|
答案 BCD
解析 A项，左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B项，左边＝(4,2,2)·(－1,5，－3)＝0，右边＝(1,2,3)·(2,5，－4)＝2＋10－12＝0，∴左边＝右边，正确；C项，a＋b＋c＝(3,7，－1)，左边＝32＋72＋(－1)2＝59，右边＝12＋22＋32＋32＋0＋(－1)2＋(－1)2＋52＋(－3)2＝59，∴左边＝右边，正确；D项，由C可得左边＝，∵a－b－c＝(－1，－3,7)，∴|a－b－c|＝，∴左边＝右边，正确．故选BCD．
二、填空题
15．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为________．
答案
解析 由条件，知p＝2a＋b－c．设p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，∵a，b，c不共面，
∴解得即p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.
16．已知空间中的点A(－1,1,2)，B(－3,0,4)，若|c|＝3，c∥，则c＝________.
答案 (－2，－1,2)或(2,1，－2)
解析 ∵＝(－2，－1,2)，且c∥，
∴设c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)(λ∈R)，
∴|c|＝＝3|λ|＝3，
解得λ＝±1，∴c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)．
17．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是________，|＋|＝________.
答案 120°
解析 因为＝(－2，－1,3)，＝(－1,3，－2)，
所以cos〈，〉＝
＝
＝＝－.又0°≤〈，〉≤180°，
所以θ＝〈，〉＝120°.
|＋|＝
＝
＝.
三、解答题
18．已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．
(1)求分别以向量，为一组邻边的平行四边形的面积S；
(2)若向量a与向量，均垂直，且|a|＝，求向量a的坐标．
解 (1)∵＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)，
∴||＝＝，
||＝＝，
∴cos∠BAC＝＝，
∴∠BAC＝60°，
∴S＝||||sin60°＝7.
(2)设a＝(x，y，z)，
则a⊥ －2x－y＋3z＝0，
a⊥ x－3y＋2z＝0，
|a|＝ x2＋y2＋z2＝3，
解得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－1，
∴a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)．
19．已知正三棱柱ABC－A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)M为BC1的中点，试用基向量，，表示向量；
(3)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
解 (1)设侧棱长为b(b>0)，则
A(0，－1,0)，B1(，0，b)，B(，0,0)，C1(0,1，b)，
所以＝(，1，b)，＝(－，1，b)．
因为AB1⊥BC1，
所以·＝(，1，b)·(－，1，b)
＝－()2＋12＋b2＝0，得b2＝2.
又因为b>0，所以b＝，则正三棱柱的侧棱长为.
(2)因为M为BC1的中点，
所以＝(＋)＝(＋＋)．
(3)由(1)知＝(，1，)，＝(－，1,0)，
因为||＝ ＝，
||＝＝2，
·＝(，1，)·(－，1,0)
＝－()2＋1×1＝－2，
所以|cos〈，〉|＝＝＝.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
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