卷子答案网-一个不只有答案的网站姓名 座位号
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
安徽省示范高中培优联盟2023年秋季联赛（高二）
数 学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页。全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：
1.答题前﹐务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号﹐并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后﹐用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写﹐要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷﹑草稿纸上答题无效。
4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合，，若，则a的取值范围是
A． B． C． D．
2.已知复数z满足，则
A．1 B． C． D．
3.第19届亚运会将在杭州举办，本届亚运会主题口号为“心心相融，@未来”，“@”符号它既代表了万物互联，也契合了杭州互联网之城的特征。已知有杭州奥体中心体育馆，黄龙体育中心体育馆，大运河亚运公园体育馆，萧山区体育中心体育馆这4个场馆，小王和小李每人选择3个场馆去观看比赛，则他们的选择中，恰有2个场馆相同的概率为
A． B． C． D．
4.下列不等式可以作为方程有两个大于1的不等实根的一个必要不充分条件的是
A． B． C． D．
5.已知两条异面直线a，b所成角为70°，若过空间内一定点的直线l和a，b所成角均为60°，则这样的直线l有
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
6.已知函数图像关于原点对称，其中，，而且在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是
A． B． C． D．
7.已知正方形ABCD的边长为2，点P是以线段EC为直径的圆周上一动点，若，则的最小值为
A． B． C． D．
8.已知函数的定义域为I，任取x，，当时恒有成立，且存在正数m使得，则
A． B．0 C．1 D．2
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9.下列命题是真命题的是
A．若，则 B．若，，则
C．若，则 D．若，则
10.已知函数，则下列说法正确的是
A．的定义域为 B．在区间上单调递减
C．的值域为 D．图像关于点中心对称
11.下列说法中正确的是
A．互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．已知，，若，则
D．若，，则事件A，B相互独立与A，B对立可以同时成立
12.在三棱锥S-ABC中，是边长为2的等边三角形，且，，，下列说法中正确的是
A．三棱锥S-ABC为正三棱锥 B．三棱锥S-ABC的体积为
C．二面角S-AB-C的大小为 D．三棱锥S-ABC的外接球表面积为
（在此卷上答题无效）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。其中第16题为选考题，考生任选一空作答。）
13.已知，则 .
14.已知圆O的圆心在原点，半径为1，点A，B，C是圆O上的三个点，且满足，则 .
15.投掷一枚质地均匀且四个面标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面上，记下朝下面的数字.投掷一次，样本空间为，随机事件，若随机事件B满足，请给出一个满足条件的随机事件 .
16.抛掷两枚质地均匀的骰子，记这两枚骰子出现的点数分别为a，b.请计算以下事件M的概率.【选考—空间向量与立体几何】已知直三棱柱中，，，点D在棱上，，，“异面直线和AD垂直”，则 .
【选考—直线和圆的方程】已知圆C：，直线l：，“圆C上至少有3个点到直线l的距离为2”，则 .
四、解答题（本题共6小题，共70分。其中第21题为选考题，请考生从给出的两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.（10分）
已知树人中学三个年级一共有2000名学生，其中高一年级有600人，高二年级有700人，高三年级有700人，现在想了解全校学生的每天睡眠的平均时间，按照年级人数进行分层随机抽样抽取20人，计算得到高一年级样本数据的平均数（单位：小时），高二年级样本数据的平均数（单位：小时），高三年级抽取的样本数据（单位：小时）如下：
6.4 6.6 6.9 7.1 7.2 7.2 7.6
（1）请计算出高三年级样本数据的平均数（单位：小时），用总样本的平均数估计树人中学全体学生的平均数（单位：小时）请计算；
（2）在高三年级抽取的样本数据中用简单随机抽样的方法抽取2个数据，求这2个数据都在平均数以上的概率.
18.（12分）
已知.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对，不等式都成立，求实数a的取值范围.
19.（12分）
已知①，②，③，从上述三个条件中任选一个补充到下面问题中，并解答问题.
在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且满足 .
（1）求角B；
（2）若点D满足，且的面积为，求CD的最小值.
20.（12分）
在直三棱柱中，，，.
第20题图
（1）求异面直线与所成角的余弦值；
（2）若点P是线段上的动点，求的最小值.
21.（12分，本题为选考题，请考生从21-1，21-2两题中任选一题作答，若两题都答﹐则以所做的第一题计分。）
21-1.【选考—空间向量与立体几何】
如图，现有三棱锥A-BCD和E-BCD，其中三棱锥A-BCD的棱长均为2，三棱锥E-BCD有三个面是全等的等腰直角三角形，一个面是等边三角形，现将这两个三棱锥的一个面完全重合组成一个组合体ABCDE.
（1）求这个组合体ABCDE的体积；
（2）若点F为AC的中点，求二面角E-BC-F的余弦值.
21-2.【选考—直线和圆的方程】
已知圆O的圆心在坐标原点，且与直线相切.
（1）求圆O的标准方程；
（2）已知点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B，若点Q是线段AB上的一个动点，直线PQ交圆C于M，N两点，求的最小值.
22.（12分）
已知函数，
（1）当时，求函数的最小值；
（2）讨论函数，，的零点个数.
安徽省示范高中培优联盟2023年秋季联赛
高二数学参考答案
一、选择题：本大题共8个题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8
A A D A C B B C
1.【答案】，由题意，，画出数轴，可得.选A.
2.【答案】，∴，∴.选A.
3.【答案】可以列举，不妨记这四个不同的体育场馆分别为A，B，C，D，那么当小王的选择是ABC时，小李的选择可以是ABC，ABD，ACD，BCD.所以在以上四种情况中他们恰有2个场馆相同的概率为.故选D.
4.【答案】方程有两个大于1的不等实根的一个充要条件是.故选A.
5.【答案】通过平移过点P作a∥a＇，b∥b＇，直线a＇，b＇确定平面，若直线l在平面的射影l＇平分a＇与b＇所成的角，根据三余弦公式可知，故在70°角方向和110°角方向各有两条，且关于平面对称，故共4条.故选C.
6.【答案】因为函数图像关于原点对称，所以，故，当时，，有且只有一个最大值和一个最小值，即，即，即.故选B.
7.【答案】如图所示，设，则，设，则M，N，D三点共线，，连接A与线段BC的中点分别交线段DM，圆于点N，P，计算可得，故选B.
8.【答案】令，则，故
即为定义域内的奇函数，令，得，解得，所以，故，即函数周期为4m，所以，，故答案为C.
二、选择题：本大题共4个题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分。
9 10 11 12
ACD BC BC CD
9.【答案】当时，，即，故答案A正确；由得，再由易得，故答案B错误；当时，，因为，所以不能取等，即，故答案C正确；构造函数，易知函数在区间上单调递增，则当时，，即，又因为，故，即，故答案D正确，因此本题答案为ACD.
10.【答案】易知定义域为，答案A错误；，令，可得该函数在单调递减，又由于函数单调递增，所以复合函数在单调递减，故答案B正确；因为在单调递减，所以容易得到值域为，故答案C正确；由定义域为，不难判断答案D错误；因此本题答案为BC.
11.【答案】不能同时发生但必有一个要发生的两个事件为对立事件，所以对立事件一定时互斥事件，故答案A错误；答案B正确；因为，所以，故，故答案C正确；当事件A与事件B对立时，，则，即事件A与事件B不独立，故答案D错误，因此本题答案为BC.
12.【答案】显然三棱锥S-ABC不是正三棱锥，故A错误；
分别作线段AB，AC的中点D，E，连接SD，SE，DE，因为是边长为2的等边三角形，所以SD⊥AB且，底面为直角三角形，所以DE⊥AB且，根据二面角的定义可知，二面角S-AB-C的平面角即∠SDE，根据余弦定理计算可知，即二面角S-AB-C的大小为，C正确；
根据可知，，其中S＇是点S在底面的射影.，所以B错误；
作出的外心点F，不难知道的外心是点E，计算得出，所以，所以三棱锥S-ABC的外接球表面积为，D正确.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。其中16题为选考题，考生任选一空作答。
13．1 14． 15．或或或 16．
13.【答案】
14.【答案】由得，，则，即，因为，所以解得，故
.
15.【答案】令，则，因为，，，所以满足，答案不唯一，也可取或或
16.【答案】【选考—空间向量与立体几何】
由题意知，可建立空间直角坐标系B-xyz，则异面直线和AD垂直当且仅当，（或由三垂线定理亦可得到），样本空间的样本点个数为，，，由古典概型概率公式可知，.
【选考—直线和圆的方程】
由题意知，圆心，，要满足圆C上至少有3个点到直线l的距离为2即满足圆心C到直线l的距离小于等于2，即，样本空间的样本点个数为，，，由古典概型概率公式可知，.
四、解答题：本题共6小题，共70分。其中21题为选考题，请考生从给出的两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
【答案】
（1）由题意，按照年级人数进行分层随机抽样抽取20人，高一、高二和高三年级分别抽取6人、7人和7人，所以
所以高三年级样本数据的平均数（单位：小时），
，
所以用总样本的平均数估计树人中学全体学生的平均数（单位：小时）
（2）在高三年级抽取的7个样本数据中，数据在平均数以上的有4个，分别设为，，，，数据在平均数z以下的有3个，分别设为，，，用简单随机抽样的方法抽取2个数据，样本空间，，
设事件“这2个数据都在平均数以上”，则，，根据古典概型计算公式可得.
所以这2个数据都在平均数以上的概率是.
18．（12分）
【答案】
（1）
由，
得
由
得
故函数的单调递增区间为
单调递减区间为，
（2）由得，
故原不等式为
即
令，，
则在上恒成立，
令，，则
，
故
当时，以求得
故.
19．（12分）
【答案】
（1）
选①：由得
即，
解得
∵
∴
选②：由得
即，即
由余弦定理得
∵
∴
选③：由得
则
即
则，
解得，
即
∵，
∴，
∴，故
（2）由的面积为，，得，
解得
因为，
所以
在三角形BCD中利用余弦定理得
即
当且仅当即，时取等号
故CD的最小值为.
20．（12分）
【答案】
（1）．
（法一）分别作出线段，，BC的中点D，E，F，由三角形中位线知识可知异面直线与所成角即直线DE和DF所成角，即∠EDF或其补角．
在底面中，，，
由余弦定理计算可得，
在中，计算可得，
∴，
在中，计算可得，
∴，
∴，
因为异面直线与所成角不大于90°，所以异面直线与所成角的余弦值是
（法二）作点D，使得四边形ACBD为平行四边形，连接，CD，可得，故与所成角等于与所成角，即.
由余弦定理，，解得，
故，.
又，故.
由余弦定理可得，即与所成角的余弦值为；
（2）．
由（1）计算可知，，，，因为，所以，将和沿着翻折到同一平面上，如图所示，所以
由余弦定理计算得，
所以的最小值为
21．（12分）
21-1【选考—空间向量与立体几何】
【答案】
（1）
（2）如图所示，以E为坐标原点，EC，ED，EB为轴建立空间直角坐标系E-xyz，
则，，，，，，
设平面EBC的法向量为，易得，
设平面BCF的法向量为，
因为，得，取，可得
设二面角E-BC-F的平面角大小为，则
由图易知，二面角E-BC-F为钝角，
故二面角E-BC-F的余弦值为.
另解：不建立坐标系，直接作出棱BC的中点M，则二面角E-BC-F的平面角为∠EMA.
21-2【选考—直线和圆的方程】
【答案】
（1）：；
（2）如图所示，切线长，根据圆的性质可知，在等腰三角形PAB中，
设，，，
因为，所以，
即直线PA的方程为，即，
同理可得直线PB的方程为，
又因为点P在直线PA上，同时也在直线PB上，
所以，
即，满足方程，
即直线AB方程为，
点Q在线段AB上，所以.
设线段AB的中点为D，则在等腰三角形PAB中，
，
原式
当时，原式最小值为.
另解：原式最小值即为的最小值，即为点P到直线AB距离的平方.
另解：∵
∴，当且仅当时取等.
∴.
22．（12分）
【答案】
（1）由得
令，则，
开口向上，对称轴为的抛物线，显然函数y的最小值为.
（2）由，得
（法一）令即
即，则
则函数y的零点问题转化为方程根的问题
构造函数，则讨论方程根的个数
易知当时单调递增，故问题可转化为方程根的问题
可转化为根的问题
令，，容易知道函数h单调递增，
故，则当时，方程只有一根，
当时，方程没有根，即
当时，函数y有且只有一个零点，当时，函数y没有零点.
（法二）令
当时，，∴，无解；
当时，，且单增，无解；
当时，，一解，即一个零点；
当时，，且单增，
由零点存在性定理可知，存在，使得；
综上得，当时，函数y有且只有一个零点，当时，函数y没有零点.
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 安徽省示范高中培优联盟2023-2024高二上学期秋季联赛数学试题（含解析）