卷子答案网-一个不只有答案的网站承德市部分名校2023-2024学年高二上学期10月月考
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第一册第一章～第二章第4节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在棱柱中，（ ）
A. B. C. D.
2.直线，，，的图象如图所示，则斜率最小的直线是（ ）
A. B. C. D.
3.若，，则（ ）
A.22 B. C. D.29
4.已知是空间的一个基底，，，若，则（ ）
A.6 B. C.0 D.5
5.已知点在圆C：外，则实数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
6.点到直线（m为任意实数）的距离的最大值是（ ）
A.5 B. C.4 D.
7.在长方体中，，，E为的中点，则点A到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知，直线与y轴的交点为A，与x轴的交点为B，与的交点为C，则四边形的面积的最小值为（ ）
A. B.16 C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.在空间直角坐标系中，点P的坐标为，则下列说法正确的是（ ）
A.点P关于原点对称的点是 B.点P关于x轴对称的点是
C.点P关于平面对称的点是 D.点P关于点对称的点是
10.已知直线，直线，则下列命题正确的有（ ）
A.直线恒过点 B.存在m使得直线的倾斜角为90°
C.若，则或 D.存在实数m使得
11.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分.唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是，军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（ ）
A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是
B.将军在河边饮马的地点的坐标为
C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是
D. “将军饮马”走过的总路程为
12.如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是，，，的中点，则下列说法正确的有（ ）
A.E，F，G，H四点共面
B.与所成角的大小为
C.在线段上存在点M，使得平面
D.在线段上任取一点N，三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知是平面α的一个法向量，点，在平面α内，则______.
14.在梯形中，，且和所在直线的方程分别是与，则梯形的面积为______.
15.已知圆C经过点，，且圆心C在直线上，若P为圆C上的动点，则线段（O为坐标原点）长度的最大值为______.
16.如图，在四棱锥中，平面平面，底面是矩形，，，，点O是的中点，则线段上的动点E到直线的距离的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知，，.
（1）求点A到直线的距离；
（2）求的外接圆的方程.
18.（本小题满分12分）
如图，已知三棱柱中，，，，设，，.
（1）若D为的中点，求证：；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.
19.（本小题满分12分）
已知直线经过，两点，直线在x轴上的截距为，且.
（1）求直线和直线的方程；
（2）已知直线经过直线与直线的交点，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的3倍，求直线的方程.
20.（本小题满分12分）
在四棱锥中，平面，底面是正方形，E，F分别在棱，上且，.
（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知的顶点B的坐标为，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在的直线方程为.
（1）求点A的坐标；
（2）求直线的方程
22.（本小题满分12分）
如图，在三棱柱中，四边形为正方形，四边形为菱形，且，平面平面，M为棱的中点.
（1）求证：；
（2）棱（除两端点外）上是否存在点N，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，请求出点N的位置；若不存在，请说明理由.
数学
参考答案、提示及评分细则
1.D .故选D.
2.B设直线，，，的斜率分别为，，，，由图可得直线，的斜率为负值，直线，的斜率为正值，因为直线越陡峭，斜率的绝对值越大，所以，，所以，所以斜率最小的直线是.故选B.
3.C 由，，得，，所以.故选C.
4.A ，因为，所以存在实数，使得，所以，所以解得所以.故选A.
5.C 由题意得解得.故选C.
6.B 将直线方程变形为，所以解得由此可得直线恒过点，所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于.又，所以到直线的距离的最大值为.故选B.
7.D 如图，以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，所以，，，，则，，设是平面的一个法向量，则令，则，又，所以点到平面的距离为.故选D.
8.A 直线，都过点，即点的坐标是.在中，令，得，所以，同理可得，所以，当且仅当，即时等号成立.所以当时，四边形的面积取最小值为.故选A.
9.ACD 点关于原点对称的点是，A正确；点关于轴对称的点是，B错误；点关于平面对称的点是，C正确；点关于点对称的点是，D正确.故选ACD.
10.ABD 将点代入直线中，等号成立，所以直线恒过点，故A正确；当时，直线的斜率不存在，即倾斜角为90°，故B正确；当时，解得，故C错误；当时，，，此时，故D正确.故选ABD.
11.BD 由题可知，在的同侧，设点关于直线的对称点为，则解得即.将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，故A错误；设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，所以，故B正确；将军从河边回军营的路线所在直线为，又，所以直线的方程为，故C错误；总路程，所以“将军饮马”的总路程为，故D正确.故选BD.
12.AD 以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，，，设，则，所以解得故，即E，F，G，H四点共面，故A正确；因为，，所以，所以与所成角的大小为，故B错误；假设在线段上存在点，符合题意.设，则，若平面，则，.因为，，所以此方程组无解，所以在线段上不存在点，使得平面，故C错误；因为，所以，又平面，平面，所以平面，故上的所有点到平面的距离即为到平面的距离，是定值，又的面积是定值，所以在线段上任取一点，三棱锥的体积为定值，故D正确.故选AD.
13.9 由，，得，因为是平面的一个法向量，点，在平面内，所以，所以，解得.
14. 由，知，所以梯形的高即为直线和间的距离，所以梯形的面积为.
15. 线段中点的坐标为，，所以线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线的方程为，又圆心在直线上，所以解得所以圆心为，，.
16. 取的中点为，连接，，，因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以，又底面是矩形，所以，以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，由，，，得，所以，，，则，设，则，，，，因此点到直线的距离，当时，取最小值，即线段上的动点到直线的距离的最小值为.
17.解：（1）直线的方程为，化简，得，
所以点到直线的距离.
（2）设的外接圆的方程为，
将A，B，C的坐标代入，得即解得
故所求圆的方程为.
18.（1）证明：由题意知，，，，因为为的中点，所以，
，
所以，即.
（2）解：，，，，，
设与所成角为，则，即异面直线与所成角的余弦值为.
19.解：（1）直线的斜率为，所以直线的方程为，即.
设直线的斜率为，因为，所以，所以，所以直线的方程为，即.
（2）联立得所以直线与的交点坐标为.
当直线过原点时，直线的方程为.
当直线不过原点时，设直线的方程为，
又直线经过与的交点，所以，得，
所以直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
20.（1）证明：如图，在棱上取点，使得，连接，，
因为，所以且，
由正方形，，得且，所以且，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）解：若，则可设，所以.
以为原点，，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则点，，，，，
则，，，
设平面的法向量为，则
由得
令，得平面的一个法向是为，
设直线与平面所成角的大小为，
则，
即直线与平面所成角的正弦值为.
21.解：（1）设点，则中点的坐标为，
由题意知点在直线上，点在直线上，
所以解得
即点的坐标为.
（2）设点关于直线的对称点为，则由角的对称性知点在直线上，
设点的坐标为，则点的中点坐标为，
则解得即点的坐标为.
直线的斜率为，
所以直线即的方程为，即.
22.（1）证明：取棱的中点，连接，.
因为四边形是菱形，所以，又，所以为等边三角形，所以.
因为四边形为正方形且，分别是，的中点，所以，
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）解：因为平面平面，平面平面，且，平面，所以平面.
以为坐标原点，以，，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的间直角坐标系.
不妨设，则点，，，.
，，设为平面的一个法向量，
则由及，得不妨取，则.
假设棱上（除端点外）存在点满足题意，令，得，，，设为平面的一个法向量，
则由及，得
不妨取，得.
设平面与平面的夹角为，则
，解得或.
因为，，所以在棱（除两端点外）上不存在点，使得平面与平面夹角的余弦值为.
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