卷子答案网-一个不只有答案的网站第1章空间向量与立体几何基础复习卷
一．选择题（共8小题）
1．三棱锥O﹣ABC中，M，N分别是AB，OC的中点，且＝，＝，＝，用，，表示，则等于（ ）
A．（﹣++） B．（+﹣） C．（﹣+） D．（﹣﹣+）
2．已知＝（1，﹣2，1），+＝（﹣1，2，﹣1），则等于（ ）
A．（2，﹣4，2） B．（﹣2，4，﹣2） C．（﹣2，0，﹣2） D．（2，1，﹣3）
3．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为B1C1的中点，那么直线CP与B1D1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．x＝1，y＝﹣1
5．平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，若＝，则x+y+z＝（ ）
A．1 B． C． D．
6．直线l的方向向量为，平面α与β的法向量分别为，，则下列选项正确的是（ ）
A．若l⊥α，则 B．若l∥β，则
C．若α⊥β，则 D．若α∥β，则
7．已知向量，，且，则m＝（ ）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
8．已知向量，则＝（ ）
A．（﹣4，2，3） B．（4，﹣2，﹣3） C．（0，﹣2，﹣5） D．（0，2，5）
二．多选题（共4小题）
9．已知平面α＝{P|＝0}，其中点P0是平面α内的一定点，是平面α的一个法向量，若P0坐标为（2，3，4），，则下列各点中在平面α内的是（ ）
A．（1，3，5） B．（4，3，2） C．（﹣2，3，8） D．（2，﹣3，8）
10．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，体对角线AC1与BD1，相交于点O，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，则（ ）
A．直线AB1与CD1所成的角为90°
B．直线AD1与CA1所成的角为90°
C．直线AD1与平面BB1D1D所成的角为45°
D．直线AD1与平面ABCD所成的角为45°
12．下列说法正确的是（ ）
A．若向量，共线，则向量，所在的直线平行
B．已知空间任意两向量，，则向量，共面
C．已知空间的三个向量，，，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x，y，z，使得
D．若A，B，C，D是空间任意四点，则有
三．填空题（共4小题）
13．平面α的法向量为，，那么直线AB与平面α的关系是 ．
14．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则异面直线EB1与AD1所成角的余弦值为 ．
15．若直线x+2y﹣5＝0的一个方向向量是，则实数k的值为 ．
16．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC＝CC1＝1，AB＝，则异面直线BC1，AB1所成的角的余弦值为 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知＝（1，4，﹣2），＝（﹣2，2，4）．
（1）若＝，求cos＜，＞的值；
（2）若（k+）⊥（﹣3），求实数k的值．
18．如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．
（1）求AC1的长；
（2）求DA1与AC夹角的正弦值．
19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝BC＝2，且二面角为A1﹣BC﹣A为45°．
（1）求棱AC的长；
（2）若D为棱A1B1的中点，求平面CC1D与平面A1BC夹角的正切值．
20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝120°，BC＝2AB＝2AD＝2，且直线CD与直线PB垂直．
（1）证明：△PCD为直角三角形；
（2）若PB＝PD，四棱锥P﹣ABCD的体积为，E为棱PA上一点，且二面角A﹣BD﹣E的大小为60°，求线段AE的长度．
21．已知空间三点A（﹣2，0，2），B（t﹣2，4，3），C（﹣4，s，1），设，．
（1）若t＝2时，当A，B，C三点共线时，求s的值；
（2）若s＝2时，与垂直，求t的值．
22．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝AA1＝4，BC＝2，∠ACB＝90°，A1B⊥AC1．
（1）求证：平面A1ACC1⊥平面ABC；
（2）若∠A1AC＝60°，在线段AC上是否存在一点P使平面BA1P和平面A1ACC1所成角的余弦值为？若存在，确定点P的位置；若不存在，说明理由．
参考答案
一．选择题（共8小题）
1--8BBBBB CAD
二．多选题（共4小题）
9．ABC
10．AC
11．ABD
12．BD
三．填空题（共4小题）
13．AB α或AB∥α．
14．．
15．﹣1．
16．．
四．解答题（共6小题）
17．解：∵已知＝（1，4，﹣2），＝（﹣2，2，4），
（1）若＝＝（﹣1，1，2），
则cos＜，＞＝＝＝﹣．
（2）（k+） （﹣3）＝k2+（1﹣3k） ﹣32＝21k+（1﹣3k）×（﹣2+8﹣8）﹣3×24＝0，
求得实数k＝．
18．解：（1）记，则＝1，
，
所以，
由于，
故＝＝＝．
故，即AC1的长为；
（2）由于，，
所以，
，，
故，
由于DA1与AC夹角的范围为，故DA1与AC夹角的余弦值为．
19．解：（1）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝BC＝2，且二面角为A1﹣BC﹣A为45°，
∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥BC，
又AC⊥BC，AA1∩AC＝A，∴BC⊥平面AA1C，
∵A1C 平面AA1C，∴BC⊥A1C，
∴∠A1CA是二面角A1﹣BC﹣A的平面角，则∠A1CA＝45°，
∵AA1⊥AC，∴AC＝AA1＝2，
则棱AC的长为2；
（2）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AA1＝BC＝2，且二面角为A1﹣BC﹣A为45°，
以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0），A1（0，2，2），
可得，，
设平面A1BC的法向量为，则，取y＝1，得，
易证是平面CC1D的一个法向量，
由，得平面CC1D与平面A1BC的夹角为60°，
故平面CC1D与平面A1BC的夹角的正切值为．
20．解：（1）证明：因为AD∥BC，∠ABC＝120°，BC＝2AB＝2AD＝2，
所以△ABD为等边三角形，
所以BD＝1，
又∠CBD＝60°，
所以CD2＝BD2+BC2﹣2BD BCcos60°＝1+4﹣2×1×2×＝3，
所以CD＝，
所以CD2+BD2＝BC2，
所以BD⊥CD，
因为直线CD⊥PB，
又PB∩BD＝B，
所以CD⊥平面PBD，
因为PD 面PBD，
所以CD⊥PD，
所以△PCD为直角三角形．
（2）取BD的中点O，连接PO，AO，
因为PB＝PD，
所以PO⊥BD，
由（1）可知，平面PBD⊥平面ABCD，
又平面PBD∩平面ABCD＝BD，PO 平面PBD，
所以PO⊥平面ABCD，
又OA 平面ABCD，
所以PO⊥OA，
又△ABD为等边三角形，
所以AO⊥BD，
S梯形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AD ABsin60°+BD CD＝，
所以V四棱锥P﹣ABCD＝S梯形ABCD PO＝PO＝，
所以PO＝3，
由上可知，OA，OD，OP两两垂直，以O为原点，分别以OA，OD，OP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系：
所以A（，0，0），B（0，﹣，0），D（0，，0），P（0，0，3），
则＝（0，1，0），＝（，，0），＝（﹣，0，3），＝（0，0，3），
设＝λ（0＜λ≤1），则＝（﹣λ，0，3λ），
所以＝+＝（，，3λ），
设平面BDE的一个法向量＝（x，y，z），
则，
取x＝﹣2，则y＝0，z＝，
所以＝（﹣2，0，），
又＝（0，0，3）为平面ABCD的一个法向量，记为＝，
所以|cos＜，＞|＝||＝＝，
令t＝（t≥0），整理得4t2＝t2+36，
解得t＝2或t＝﹣2（舍），
则＝2，解得λ＝，
所以AE＝AP＝＝．
21．解：（1）因为A（﹣2，0，2），B（t﹣2，4，3），C（﹣4，s，1），
所以，，
当t＝2时，，
因为A，B，C三点共线，所以与共线，
所以存在实数λ，使，即（2，4，1）＝（﹣2λ，sλ，﹣λ），
所以，
解得λ＝﹣1，s＝﹣4，所以s＝﹣4，
（2）由s＝2得，，
因为与垂直，
所以，解得t＝8．
22.（1）证明：在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形A1ACC1是平行四边形，
而AC＝AA1，则平行四边形A1ACC1是菱形，连接A1C，如图，
则有A1C⊥AC1，因A1B⊥AC1，A1B∩A1C＝A1，A1B，A1C 平面A1BC，
于是得AC1⊥平面A1BC，
而BC 平面A1BC，则AC1⊥BC，由∠ACB＝90°，
得AC⊥BC，AC∩AC1＝A，AC，AC1 平面A1ACC1，
从而得BC⊥平面A1ACC1，又BC 平面ABC，
所以平面A1ACC1⊥平面ABC．
（2）解：在平面A1ACC1内过C作Cz⊥AC，由（1）知平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，
则Cz⊥平面ABC，以C为原点，射线CA，CB，Cz分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，
因∠A1AC＝60°，AC＝AA1＝4，BC＝2，则，
假设在线段AC上存在符合要求的点P，设其坐标为P（λ，0，0），（0≤λ≤4），
则有，设平面BA1P的一个法向量，
则有，
令x＝2得，而平面A1ACC1的一个法向量，
依题意，，化简整理得：3λ2+λ﹣4＝0
而0≤λ≤4，解得λ＝1，
所以在线段AC上存在一点P，且P是靠近C的四等分点，使平面BA1P和平面A1ACC1所成角的余弦值为
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