卷子答案网-一个不只有答案的网站福建省福州市鼓楼区延安中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八下·海淀期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】
A： 是一元二次方程
B：，是二元二次方程
C：，是分式方程
D：，整理得x-2=0，是一元一次方程。
故选：A
【分析】了解一元二次方程的定义、一元一次方程和分式方程的定义。
2．（2023八下·海淀期末）将抛物线向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】 抛物线向下平移个单位，所得抛物线的表达式
故选：B
【分析】抛物线的平移，根据总结的口诀：左加右减，上加下减，来进行判断。
3．如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可以判定，A不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可以判定，B不符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定，C不符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，但必须是同一组边，选项中给定的是一组边平行，另一组边相等，不符合判定条件，不能判定平行四边形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题根据平行四边形的判定方法，给定具体的图形及条件判定平行，需要根据判定定理内容结合题目中给定的条件判定是否为平行四边形，A，B，C三个选项皆为判定定理的再现，D选项不满足一组对边平行且相等的条件，反例为等腰梯形.
4．某餐饮外卖平台规定，点单时除点餐费用外，需另付配送费5元．某学习小组收集了一段时间内该外卖平台的部分订单，统计了每单的消费总额和每单不计算配送费的消费额的两组数据，对于这两组数据，下列判断正确的是（ ）
A．众数相同 B．中位数相同 C．平均数相同 D．方差相同
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意知，统计了每单的消费总额是在原数据的基础上，每个数据增加5，
所以这两组数据的波动幅度相同，即方差相同；
而这两组数据的众数不同；中位数不同；平均数不同；
故答案为：D.
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.进行分析即可得出结论.
5．对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．当时，y随x增大而减小
C．当时，y有最大值2 D．对称轴为直线
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由题意得，该函数的顶点坐标是（1，2）；A不符合题意；
∵二次项系数a=3＞0，
故当x≥1时，y随x增大而增大，B不符合题意；
当x=1时，y有最小值2；C不符合题意；
∴其对称轴为x=1；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；当x=h时，y最大（小）值；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小；进行分析即可得出答案.
6．如图，在中、分别是、上的点，，且，若的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
故答案为：A.
【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质，利用平行线判定△AEF和△ABC相似，再利用面积比等于相似比的性质得到△ABC的面积，从而得到四边形EBCF的面积.
7．已知方程配方后是，那么方程配方后是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x+q=0，
x2-6x=-q，
配方，得x2-6x+9=-q+9，
即（x-3）2=-q+9，
∵方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=16，
∴p=3，-q+9=16，
∴q=-7，
∴x2+6x+q=0为x2+6x-7=0，
x2+6x=7，
x2+6x+9=7+9，
（x+3）2=16，
∵p=3，
∴（x+p）2=16，
故答案为：D.
【分析】根据配方，求出（x-3）2=-q+9，根据方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=16，得出p=3，-q+9=16，求出q，再代入x2+6x+q=0得出x2+6x-7=0，再移项后配方即可得出结论.
8．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据图像可知：在点A左侧（），的图像在的图像上方，此时，. 点A右侧（），的图像在的图像下方，此时，
故答案为：D.
【分析】本题考查了一次函数与不等式的综合应用，在同一平面坐标系，位于上方的函数图象的函数值大于位于下方的函数图象的函数值，根据图像的上下位置关系，找到对应的自变量的取值范围即可
9．如图，菱形对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∵AC=16，
∴，
∵，
∴∠DOC=90°，
∵CD=10，
在Rt△DOC中，
，
∵CD=CE，
∴CE=10，
∴EO=CE-CO=2，
在Rt△DOE中，.
故答案为：A.
【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理得应用，根据菱形的性质对角线互相垂直且平分，得到CO长度，利用勾股定理求出线段DO的长度，根据CE=CD这一数量关系求出线段EO的长度，最后利用勾股定理求出线段DE 的长度.
10．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2012·大连）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2023八下·北京市期中）如图，在中，，点是的中点，，则 ．
【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ∵，点是的中点，，
∴CD=AB=4；
故答案为：4.
【分析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，据此解答即可.
13．如图是甲、乙两人次足球点球测试每次点球个成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 填“”“”或“”．
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解： 根据图像可知，甲的五组数据波动比较小，相对甲来讲，乙的五组数据波动较大，所以甲的方差小于乙的方差.
故答案为：<.
【分析】方差是反映数据的波动情况，波动越大，方差越大，波动越小，方差越小，题目中甲数据的波动小于乙数据的波动，所以甲的方差较小.
14．关于的方程的两根分别为，，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：在方程中，
，根据韦达定理：.
故答案为：-2.
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，，代入已知系数计算即可得出答案.
15．如图，已知正方形，边长为，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，垂足为，连接在点从到的运动过程中，的最小值为 ．
【答案】
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：取AB的中点G，连接GH，GC，则BG＝AB＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC，BC＝AB＝4，
∴GC＝，
∵AH⊥BM，G为AB的中点，
∴GH＝AB＝＝2，
∵CH≥GC﹣GH（当且仅当点H在线段GC上时，等号成立），
∴CH≥，
即CH的最小值为，
故答案为：.
【分析】取AB的中点G，连接GH，GC，则BG＝AB＝2，由勾股定理求出CG＝，由直角三角形的性质可得出结论．
16．二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：
当时，与其对应的函数值有下列结论：；和是关于的方程的两个根；则所有正确结论的序号为 ．
【答案】①②
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝c＝﹣2，当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣2，
∴a+b＝0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①结论符合题意
∵x＝﹣2时，y＝t，
∴﹣2是关于x的程ax2+bx+c＝t的根．
∵对称轴为直线，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根．故②正确；
∵b＝﹣a，c＝﹣2，
∴二次函数解析式：y＝ax2﹣ax﹣2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x＝﹣1和x＝2时的函数值分别为m和n，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴；故③错误，
故答案为：①②.
【分析】用待定系数法将点（0，﹣2），（1，﹣2）代入解析式求出c＝﹣2，a+b＝0，再结合二次函数图象与已知信息当时，y＞0得出a＞0，进而判断①结论；根据表格数值x＝﹣2时，y＝t结合二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点（﹣1，m），（2，n）代入解析式得出m+n＝4（a﹣1），结合a的范围，判断③结论．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
或
，
（2）解：，，，
∴
∴
∴，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开方法解一元二次方程进行计算即可；
（2）根据公式法解一元二次方程进行计算即可.
18．如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且，若，，，求BC的长．
【答案】解：∵ ，
∴；
∴，
∵，，
∴
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，得到，即可求解得出答案.
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
【答案】（1）证明：∵．
∴，
∴．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程，
即
解得：，，
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴．
∴或．
综上所述，m的值是0或6．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）求一元二次方程根的判别式，证得判别式大于等于0，即可证明；
（2）根据因式分解法求得一元二次方程的解，结合题意即可列方程，求解即可得出答案.
20．校学生处为了了解全校名学生每天在上学路上所用的时间，随机调查了名学生下面是某一天这名学生上学所用时间单位：分钟：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
通过整理和分析数据，得到如下不完全的统计图．
根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）这名学生上学所用时间的中位数为 分钟，众数为 分钟；
（3）若随机问这名同学中其中一名学生的时间，最有可能得到的回答是 分钟；
（4）估计全校学生上学所用时间在分钟及以下的人数．
【答案】（1）解：补全条形统计图如图所示．
（2）20；20
（3）20
（4）解：人，
答：估计全校学生上学时间在分钟及以下的人数约为人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）这30名学生用时数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是20分钟，
因此中位数是20，即m＝20，
这30名学生用时数据出现次数最多的是20分钟，
因此众数是20，即n＝20，
故答案为：20，20；
（3）由于众数是20分钟，
因此用时为20分钟的学生最多，
所以最有可能得到的回答是20分钟；
故答案为：20；
【分析】（1）根据频数统计的方法可得“15分钟”和“40分钟”的频数，进而补全条形统计图；
（2）根据众数的意义，找出出现次数最多的数即可，根据中位数的意义，求出排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可；
（3）根据众数和可能性的大小即可得出答案；
（4）用1200乘以样本中“20分钟及以下”的学生所占比例即可．
21．如图，在菱形中，对角线，相交于点过点作，过点作交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
由可知，四边形是矩形，
矩形的面积．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOD＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝BC，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝8，则OA＝＝4，然后由勾股定理得OD＝OB＝，即可求解．
22．如图，在矩形ABCD中，，．
（1）尺规作图：在线段AB上确定一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接DE，若F是DE的中点，连接BF，求线段BF的长度．
【答案】（1）解：以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点M，再作线段BM的垂直平分线，交BM于点E，则点E即为所求，如图：
（2）解：过点F作于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵F是DE的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；作图-直线、射线、线段；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）先借助圆规在AB上确定点M，使得AM=AD=3，则BM=2，作BM的垂直平分线即可得到ME=1，即可求解；
（2）根据矩形的四个角是直角可得∠A=90°，根据平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例可求得EG=2，求得BG=3，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即可求解.
23．某公司生产的某种时令商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量件与天的关系如表：
时间天
日销售量件
未来天内，前天每天的价格且为整数，后天每天的价格且为整数．
（1）认真分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数的知识确定一个满足这些数据件与天之间的关系式，求出日销售量件与天之间的函数关系式；
（2）请预测示来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
【答案】（1）解：由题意可知，件与天满足一次函数关系．
设一次函数关系式为，
将，分别代入一次函数关系式中，得，
解得，
，
经检验，其他与的对应值均适合以上关系式，
日销售量件与天之间的函数关系式：；
（2）解：设前天日销售利润为元，后天日销售利润为元，
则，
，，
当时，有最大值，最大值为；
，
，此函数图象开口向上，对称轴是直线，
在内，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为．
，
答：第天的日销售利润最大为元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求得一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
24．如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，CG．
（1）写出AF和CG的数量关系，并证明．
（2）求证：．
（3）连接DF，若正方形ABCD的边长为6，求出DF的最小值．
【答案】（1）解：解：，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵四边形BGEF是正方形，
∴，，
∴，
∴（SAS），
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵四边形FBGE是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴F点在对角线AC上，
∴当DF垂直AF时，DF取得最小值，
即点F在BD中点位置，
∴DF的最小值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例即可证明；
（3）根据正方形的对角线平分对角，四个角是直角，四条边都相等；根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；求得，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，相似三角形的对应角相等可求得，即点F在正方形ABCD的对角线AC上，则当DF垂直AF时，DF取得最小值，即可得出结果.
25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求的面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵，，A在B的左侧，
∴
将，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴，
设直线BC的解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点D作轴交BC于点E，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为4，此时.
（3）解：延长AC到D，使得，存过D作DE垂直y轴并交y轴于点E
∵，，，
∴，，，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴设直线BD的解析式为；
联立得：，
，
解得，，
由题意知，
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）先根据题意求得点C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设，，求得DE的长，利用三角形面积公式得到S△CDB=-（t-2）2+4，然后根据二次函数的最值即可求解得到t=2，即可得出点E的坐标；
（3）根据点的坐标求出AC，AB，BC，根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形可得，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形对应角相等，对应边成比例可得，，求得点D的坐标，求得直线BD的解析式为，联立方程组求解即可得到点M的坐标.
福建省福州市鼓楼区延安中学2023-2024学年九年级上册数学开学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．（2023八下·海淀期末）下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023八下·海淀期末）将抛物线向下平移个单位，所得抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，四边形中，对角线、相交于点，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
4．某餐饮外卖平台规定，点单时除点餐费用外，需另付配送费5元．某学习小组收集了一段时间内该外卖平台的部分订单，统计了每单的消费总额和每单不计算配送费的消费额的两组数据，对于这两组数据，下列判断正确的是（ ）
A．众数相同 B．中位数相同 C．平均数相同 D．方差相同
5．对于的性质，下列叙述正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．当时，y随x增大而减小
C．当时，y有最大值2 D．对称轴为直线
6．如图，在中、分别是、上的点，，且，若的面积为，则四边形的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．已知方程配方后是，那么方程配方后是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，函数和的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，菱形对角线、相交于点，点在上，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知抛物线，，，是抛物线上三点，则，，由小到大序排列是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11．（2012·大连）若二次根式 有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2023八下·北京市期中）如图，在中，，点是的中点，，则 ．
13．如图是甲、乙两人次足球点球测试每次点球个成绩的统计图，甲、乙两人测试成绩的方差分别记作、，则 填“”“”或“”．
14．关于的方程的两根分别为，，则的值为 ．
15．如图，已知正方形，边长为，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，垂足为，连接在点从到的运动过程中，的最小值为 ．
16．二次函数是常数，的自变量与函数值的部分对应值如下表：
当时，与其对应的函数值有下列结论：；和是关于的方程的两个根；则所有正确结论的序号为 ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．解方程：
（1）；
（2）．
18．如图，D、E分别是AC、AB上的点，连接DE，且，若，，，求BC的长．
19．已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程两个实数根的差为3，求m的值．
20．校学生处为了了解全校名学生每天在上学路上所用的时间，随机调查了名学生下面是某一天这名学生上学所用时间单位：分钟：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
通过整理和分析数据，得到如下不完全的统计图．
根据所给信息，解答下列问题：
（1）补全条形统计图；
（2）这名学生上学所用时间的中位数为 分钟，众数为 分钟；
（3）若随机问这名同学中其中一名学生的时间，最有可能得到的回答是 分钟；
（4）估计全校学生上学所用时间在分钟及以下的人数．
21．如图，在菱形中，对角线，相交于点过点作，过点作交于点．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
22．如图，在矩形ABCD中，，．
（1）尺规作图：在线段AB上确定一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，连接DE，若F是DE的中点，连接BF，求线段BF的长度．
23．某公司生产的某种时令商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量件与天的关系如表：
时间天
日销售量件
未来天内，前天每天的价格且为整数，后天每天的价格且为整数．
（1）认真分析表中的数据，用所学过的一次函数，二次函数的知识确定一个满足这些数据件与天之间的关系式，求出日销售量件与天之间的函数关系式；
（2）请预测示来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？
24．如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连结BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连结AF，CG．
（1）写出AF和CG的数量关系，并证明．
（2）求证：．
（3）连接DF，若正方形ABCD的边长为6，求出DF的最小值．
25．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，已知，．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求的面积的最大值，并写出此时点D的坐标；
（3）在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】
A： 是一元二次方程
B：，是二元二次方程
C：，是分式方程
D：，整理得x-2=0，是一元一次方程。
故选：A
【分析】了解一元二次方程的定义、一元一次方程和分式方程的定义。
2．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】 抛物线向下平移个单位，所得抛物线的表达式
故选：B
【分析】抛物线的平移，根据总结的口诀：左加右减，上加下减，来进行判断。
3．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形，可以判定，A不符合题意；
B、根据两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可以判定，B不符合题意；
C、根据对角线互相平分的四边形为平行四边形，可以判定，C不符合题意；
D、根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，但必须是同一组边，选项中给定的是一组边平行，另一组边相等，不符合判定条件，不能判定平行四边形，D符合题意；
故答案为：D.
【分析】本题根据平行四边形的判定方法，给定具体的图形及条件判定平行，需要根据判定定理内容结合题目中给定的条件判定是否为平行四边形，A，B，C三个选项皆为判定定理的再现，D选项不满足一组对边平行且相等的条件，反例为等腰梯形.
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由题意知，统计了每单的消费总额是在原数据的基础上，每个数据增加5，
所以这两组数据的波动幅度相同，即方差相同；
而这两组数据的众数不同；中位数不同；平均数不同；
故答案为：D.
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好.进行分析即可得出结论.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：由题意得，该函数的顶点坐标是（1，2）；A不符合题意；
∵二次项系数a=3＞0，
故当x≥1时，y随x增大而增大，B不符合题意；
当x=1时，y有最小值2；C不符合题意；
∴其对称轴为x=1；D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；当x=h时，y最大（小）值；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小；进行分析即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴.
故答案为：A.
【分析】本题考查了相似三角形的判定及其性质，利用平行线判定△AEF和△ABC相似，再利用面积比等于相似比的性质得到△ABC的面积，从而得到四边形EBCF的面积.
7．【答案】D
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：x2-6x+q=0，
x2-6x=-q，
配方，得x2-6x+9=-q+9，
即（x-3）2=-q+9，
∵方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=16，
∴p=3，-q+9=16，
∴q=-7，
∴x2+6x+q=0为x2+6x-7=0，
x2+6x=7，
x2+6x+9=7+9，
（x+3）2=16，
∵p=3，
∴（x+p）2=16，
故答案为：D.
【分析】根据配方，求出（x-3）2=-q+9，根据方程x2-6x+q=0配方后是（x-p）2=16，得出p=3，-q+9=16，求出q，再代入x2+6x+q=0得出x2+6x-7=0，再移项后配方即可得出结论.
8．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：根据图像可知：在点A左侧（），的图像在的图像上方，此时，. 点A右侧（），的图像在的图像下方，此时，
故答案为：D.
【分析】本题考查了一次函数与不等式的综合应用，在同一平面坐标系，位于上方的函数图象的函数值大于位于下方的函数图象的函数值，根据图像的上下位置关系，找到对应的自变量的取值范围即可
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∵AC=16，
∴，
∵，
∴∠DOC=90°，
∵CD=10，
在Rt△DOC中，
，
∵CD=CE，
∴CE=10，
∴EO=CE-CO=2，
在Rt△DOE中，.
故答案为：A.
【分析】本题考查了菱形的性质及勾股定理得应用，根据菱形的性质对角线互相垂直且平分，得到CO长度，利用勾股定理求出线段DO的长度，根据CE=CD这一数量关系求出线段EO的长度，最后利用勾股定理求出线段DE 的长度.
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2-2ax+3=a（x-1）2-a+3，且a＞0，
∴该抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
即抛物线上的点到对称轴的距离越远，其函数值越大，
∵A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）是抛物线上三点，
其到坐标轴的距离分别是1-（-1）=2，2-1=1，4-1=3，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：B.
【分析】根据二次函数的性质：形如y=a(x-h)2+k的二次函数，其顶点坐标为（h，k)，对称轴为直线x=h，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；若a>0，当x≤h时，y随x的增大而减小；当x≥h时，y随x的增大而增大；若a＜0，当x≤h时，y随x的增大而增大；当x≥h时，y随x的增大而减小，分别求出点A，B，C到对称轴的距离，即可根据二次函数的性质推得函数值的大小.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】4
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解： ∵，点是的中点，，
∴CD=AB=4；
故答案为：4.
【分析】直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，据此解答即可.
13．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解： 根据图像可知，甲的五组数据波动比较小，相对甲来讲，乙的五组数据波动较大，所以甲的方差小于乙的方差.
故答案为：<.
【分析】方差是反映数据的波动情况，波动越大，方差越大，波动越小，方差越小，题目中甲数据的波动小于乙数据的波动，所以甲的方差较小.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：在方程中，
，根据韦达定理：.
故答案为：-2.
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，，代入已知系数计算即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】四边形的综合
【解析】【解答】解：取AB的中点G，连接GH，GC，则BG＝AB＝2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BC，BC＝AB＝4，
∴GC＝，
∵AH⊥BM，G为AB的中点，
∴GH＝AB＝＝2，
∵CH≥GC﹣GH（当且仅当点H在线段GC上时，等号成立），
∴CH≥，
即CH的最小值为，
故答案为：.
【分析】取AB的中点G，连接GH，GC，则BG＝AB＝2，由勾股定理求出CG＝，由直角三角形的性质可得出结论．
16．【答案】①②
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：当x＝0时，y＝c＝﹣2，当x＝1时，y＝a+b+c＝﹣2，
∴a+b＝0，抛物线对称轴为直线，
∵当时，其对应的函数值y＞0，
∴在对称轴左侧，y随x增大而减小，
∴二次函数开口向上
∴a＞0，b＜0．
∴abc＞0．①结论符合题意
∵x＝﹣2时，y＝t，
∴﹣2是关于x的程ax2+bx+c＝t的根．
∵对称轴为直线，
∴﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根．故②正确；
∵b＝﹣a，c＝﹣2，
∴二次函数解析式：y＝ax2﹣ax﹣2，
∵当时，与其对应的函数值y＞0．
∴，
∴；
∵当x＝﹣1和x＝2时的函数值分别为m和n，
∴m＝n＝2a﹣2，
∴；故③错误，
故答案为：①②.
【分析】用待定系数法将点（0，﹣2），（1，﹣2）代入解析式求出c＝﹣2，a+b＝0，再结合二次函数图象与已知信息当时，y＞0得出a＞0，进而判断①结论；根据表格数值x＝﹣2时，y＝t结合二次函数对称轴由二次函数的轴对称性进而判断②结论；利用待定系数法将点（﹣1，m），（2，n）代入解析式得出m+n＝4（a﹣1），结合a的范围，判断③结论．
17．【答案】（1）解：
或
，
（2）解：，，，
∴
∴
∴，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据直接开方法解一元二次方程进行计算即可；
（2）根据公式法解一元二次方程进行计算即可.
18．【答案】解：∵ ，
∴；
∴，
∵，，
∴
∴．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据有两个角相等的两个三角形是相似三角形，得到△ADE∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，得到，即可求解得出答案.
19．【答案】（1）证明：∵．
∴，
∴．
∴该方程总有两个实数根．
（2）解：∵一元二次方程，
即
解得：，，
∵该方程的两个实数根的差为3，
∴．
∴或．
综上所述，m的值是0或6．
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）求一元二次方程根的判别式，证得判别式大于等于0，即可证明；
（2）根据因式分解法求得一元二次方程的解，结合题意即可列方程，求解即可得出答案.
20．【答案】（1）解：补全条形统计图如图所示．
（2）20；20
（3）20
（4）解：人，
答：估计全校学生上学时间在分钟及以下的人数约为人．
【知识点】用样本估计总体；条形统计图；中位数；众数
【解析】【解答】解：（2）这30名学生用时数据从小到大排列，处在中间位置的两个数都是20分钟，
因此中位数是20，即m＝20，
这30名学生用时数据出现次数最多的是20分钟，
因此众数是20，即n＝20，
故答案为：20，20；
（3）由于众数是20分钟，
因此用时为20分钟的学生最多，
所以最有可能得到的回答是20分钟；
故答案为：20；
【分析】（1）根据频数统计的方法可得“15分钟”和“40分钟”的频数，进而补全条形统计图；
（2）根据众数的意义，找出出现次数最多的数即可，根据中位数的意义，求出排列后处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可；
（3）根据众数和可能性的大小即可得出答案；
（4）用1200乘以样本中“20分钟及以下”的学生所占比例即可．
21．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
由可知，四边形是矩形，
矩形的面积．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠AOD＝90°，即可得出结论；
（2）由菱形的性质得OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，AB＝BC，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝8，则OA＝＝4，然后由勾股定理得OD＝OB＝，即可求解．
22．【答案】（1）解：以点A为圆心，AD的长为半径画弧，交AB于点M，再作线段BM的垂直平分线，交BM于点E，则点E即为所求，如图：
（2）解：过点F作于点G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴，
∴，
∴，
∵F是DE的中点，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；平行线分线段成比例；作图-直线、射线、线段；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）先借助圆规在AB上确定点M，使得AM=AD=3，则BM=2，作BM的垂直平分线即可得到ME=1，即可求解；
（2）根据矩形的四个角是直角可得∠A=90°，根据平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例可求得EG=2，求得BG=3，根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即可求解.
23．【答案】（1）解：由题意可知，件与天满足一次函数关系．
设一次函数关系式为，
将，分别代入一次函数关系式中，得，
解得，
，
经检验，其他与的对应值均适合以上关系式，
日销售量件与天之间的函数关系式：；
（2）解：设前天日销售利润为元，后天日销售利润为元，
则，
，，
当时，有最大值，最大值为；
，
，此函数图象开口向上，对称轴是直线，
在内，随的增大而减小，
当时，有最大值，最大值为．
，
答：第天的日销售利润最大为元．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求得一次函数关系式；
（2）日利润=日销售量×每件利润，据此分别表示前20天和后20天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
24．【答案】（1）解：解：，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴，，
∵四边形BGEF是正方形，
∴，，
∴，
∴（SAS），
∴；
（2）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴，
∵四边形FBGE是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴F点在对角线AC上，
∴当DF垂直AF时，DF取得最小值，
即点F在BD中点位置，
∴DF的最小值为．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）根据正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应边相等即可证明；
（2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形的对应边成比例即可证明；
（3）根据正方形的对角线平分对角，四个角是直角，四条边都相等；根据勾股定理：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方；求得，，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，相似三角形的对应角相等可求得，即点F在正方形ABCD的对角线AC上，则当DF垂直AF时，DF取得最小值，即可得出结果.
25．【答案】（1）解：∵，，A在B的左侧，
∴
将，代入，
∴，
解得，
∴；
（2）解：令，则，
∴，
设直线BC的解析式为，
∴，
解得，
∴，
过点D作轴交BC于点E，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积最大，最大值为4，此时.
（3）解：延长AC到D，使得，存过D作DE垂直y轴并交y轴于点E
∵，，，
∴，，，
∵，
∴
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴设直线BD的解析式为；
联立得：，
，
解得，，
由题意知，
∴.
【知识点】勾股定理的逆定理；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）根据题意求得点B的坐标，待定系数法求得抛物线的解析式即可；
（2）先根据题意求得点C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式为，设，，求得DE的长，利用三角形面积公式得到S△CDB=-（t-2）2+4，然后根据二次函数的最值即可求解得到t=2，即可得出点E的坐标；
（3）根据点的坐标求出AC，AB，BC，根据勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形可得，根据两角分别对应相等的两个三角形相似，相似三角形对应角相等，对应边成比例可得，，求得点D的坐标，求得直线BD的解析式为，联立方程组求解即可得到点M的坐标.