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24.3锐角三角函数华东师大版初中数学九年级上册同步练习
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.如图，在边长为的方格纸中，与交于点，其中、均为所在正方形小方格一边的中点，则( )
A.
B.
C.
D.
2.在中，若，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.在中，为最大角，下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图，是某大桥主塔的正面示意图，，，则桥面宽度单位：是( )
A. B. C. D.
5.的倒数为( )
A. B. C. D.
6.如图，的顶点均在正方形网格的格点上，则的值为( )
A. B. C. D.
7.等腰三角形一腰上的高与腰长之比为，则等腰三角形顶角的度数为
( )
A. ； B. ； C. 或； D. 或
8.比较，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
9.如图，等边三角形的边长为，为延长线上一点，过点作于点，交于点，若，则的值为
( )
A. B. C. D.
10.在中，，已知，若将各边都扩大倍，则的值为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
11.已知，如果，那么 ______ ．
12.如图，点、、为正方形网格纸中的个格点，则的值是 ．
13.在中、均为锐角，且有，则的形状为______．
14.在中，若，则是______三角形．
三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.本小题分
计算：．
16.本小题分
计算：；
解不等式组：，并写出所有整数解．
17.本小题分
问题背景：
一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证小慧的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明．
尝试证明：请参照小慧提供的思路，利用图证明；
应用拓展：如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．
若，，求的长；
若，，求的长用含，的式子表示．
18.本小题分
如图，直线分别交轴、轴于点，，点在线段上，连结，交于点，是的中线，设．
求的长．
当为中点时，求的值．
点关于直线的对称点为点，
若四边形是菱形，求的值；
当取到最小值时，请直接写出的长．
19.本小题分
如图，已知正方形的边长为，点是边的动点，将三角板的直角顶点与点重合，直角边分别与线段交于点，与射线相交于点，联结．
图 图 图
求证：∽；
点为线段的中点．
如图，当点在线段上运动时，点不与点重合，设，四边形的周长是否随的变化而变化？如果变化，试用含有的代数式表示四边形的周长，如果不发生变化，请说明理由．
如图，联结，交于点，交于点，当与相似时，求的值．
20.本小题分
已知点在内，，，，．
当时如图，
判断的形状，并说明理由；
求证：；
当时如图，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如图所示，过点作于点，
依题意，，，
，
故选：．
过点作于点，根据题意得出，，根据正切的定义即可求解．
本题考查了求正切，熟练掌握正切的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：在中，，，，
由勾股定理可知，
则．
故选：．
依据勾股定理求出的长，根据三角函数的定义就可以解决．
本题考查勾股定理，锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
3.【答案】
【解析】解：依题意，，如图所示，
，故A选项错误，
，故B选项正确，
，故C选项错误，
，故D选项错误，
故选：．
根据题意可得，画出图形，根据三角函数的定义即可求解．
本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是等腰三角形的性质，解直角三角形的应用的有关知识，过点作，根据等腰三角形的性质得到，然后解直角三角形求出，进而求出．
【解答】
解：如图，过点作，
，
，
在中，，，
，
，
5.【答案】
【解析】解：，的倒数是
的倒数为，
故选：．
根据特殊角的三角函数值以及倒数的定义即可求解．
本题考查了特殊角的三角函数值以及倒数的定义，熟练掌握特殊角的三角函数值以及倒数的定义是解题的关键．
6.【答案】
【解析】略
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键，注意要分情况讨论，避免漏解而导致出错．
分三角形是锐角三角形与三角形是钝角三角形两种情况进行讨论，根据高与腰的比可得高所对的角的正弦值，即可求出高所对的角的度数，进而求解即可．
【解答】
解：如图，当三角形为锐角三角形时，，为腰的高，
，
，
如图，当为钝角三角形时，，为腰的高，
，
，
，
综上所述，顶角的度数为或．
8.【答案】
【解析】【分析】
根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．
本题主要考查了三角函数的增减性熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键．
【解答】
解：
又，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等边三角形的性质、含角的直角三角形、特殊角的三角函数值等知识．
先根据已知条件，利用等边三角形的性质求出，，再由角所对的直角边等于斜边的一半，得出，根据角的三角函数值计算得出、的长，最后求出与的比值．
【解答】
解：是等边三角形，且于点，
，，
，，
等边三角形的边长为，，
，
，，
，
，
，
．
故选B．
10.【答案】
【解析】解：设，，，
则扩大倍后三边长是，，，
，
扩大后．
故选：．
设，，，则扩大倍后三边长是，，，根据的定义代入求出即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，关键是掌握：若在中，，的对边是，的对边是，的对边是，则，，．
11.【答案】
【解析】解：如图：
在中，，，
，
设，，
则，
，
故答案为：．
由设出直角三角形的邻边和斜边长，由勾股定理求出另一直角边的长，再根据正切定义求值即可．
此题考查了锐角三角函数的求值，掌握定义是解答此题的关键．
12.【答案】
【解析】作辅助线，取得中点，连接，利用格点三角形的性质求出各边边长，证明是等腰三角形，再利用三线合一性质证明直角三角形，最后运用正切值等于对边比邻边即可解题．
解：取得中点，连接，设相邻两点之间的距离为，
利用格点三角形特征可得：，，，
是等腰三角形，，
，三线合一
，
．
本题考查了解直角三角形，中等难度，作辅助线证明直角三角形，利用边长之间的关系求正切值是解题关键．
13.【答案】等边三角形
【解析】解：由题意得，，，
则，，
．
故为等边三角形．
故答案为：等边三角形．
根据非负数的性质求出和的值，然后求出、的度数，即可判断的形状．
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值以及非负数的性质．
14.【答案】等边
【解析】【分析】
此题主要考查了特殊角的锐角三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
根据绝对值的性质以及偶次方的性质得出，，再利用特殊角的锐角三角函数值求出答案．
【解答】
解：，
，，
，，
，，
是等边三角形．
故答案为：等边．
15.【答案】解：原式，
．
【解析】根据绝对值的性质，零指数幂的性质，特殊锐角三角函数的值进行计算即可．
本题主要考查了实数的运算，解题关键是熟练掌握绝对值的性质，零指数幂的性质，特殊锐角三角函数的值
16.【答案】解：
；
解第一个不等式得：，
解第二个不等式得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的整数解为：、．
【解析】先求出绝对值、三角函数值、负整数次幂、和二次根式，再算加减；
先解不等式组，再找出整数解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握不等式的解法和有理数的运算是解题的关键．
17.【答案】解： ，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
即 ，
；
由折叠可知，平分，，
由得， ，
，，
，
，
解得： ，
；
由折叠可知 ，
，
由可知 ，
，
，
即： ．
【解析】【分析】
本题主要考查的是相似三角形的综合运用，灵活转化比例关系是解题的关键．
先证明，再证明，列出比例式，即可证明结论；
先利用勾股定理求出，再利用中的结论列式，求出，即可得出答案；
根据 以及 ，求出即可得出答案．
18.【答案】解：当时，，即．
当时，，解得：，即．
．
如图，作轴于点．
则轴，
是的中点，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，∽，
，
，即．
解得：，；
如图，
四边形是菱形时，．
，是的中点，
．
是等边三角形．
．
．
如图，交于点，于点，
当时，取到最小值．
设，，
，，，
由得：
解得：．
，
，
．
【解析】本题考查了一次函数的综合，涉及一次函数与坐标轴的交点，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，轴对称的性质，垂线段最短，等边三角形的判定和性质等知识，关键是知识的综合应用，属于难题．
求出一次函数与坐标轴的交点，即可求出答案；
利用锐角三角函数求出，表示出，再由∽得到比例式，进一步解方程即可求解；
利用菱形的性质得到是等边三角形，再由等边三角形的性质及锐角三角函数得到答案；
利用垂线段最短得到：当时，取到最小值然后进一步求出的长，最后利用轴对称的性质得到答案．
19.【答案】证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
∽；
解：四边形的周长不随的变化而变化．
∽，
，
点为线段的中点，
，
，
，
过点作于点，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形的周长，
四边形的周长不随的变化而变化，它的值为；
若∽，如图，
则，，
，
，
，
．
当，如图，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
∽，
，
得，
解得负值舍去，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
则；
∽，
．
综上所述，的值为或．
【解析】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，锐角三角函数定义以及分类讨论的思想等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
根据“一线三等角”基本模型可得，从而证明结论；
过点作于点，根据∽，表示出的长，再利用勾股定理得出，表示出四边形的周长即可；
分情况讨论：，，分别利用相似的判定和性质解答即可．
20.【答案】解：判断：是等边三角形．
理由：，
，
是等边三角形；
证明：同理也是等边三角形，
如图连接，
则，，，
≌，
，，
，，
在中，，
，即；
如图连接，
，，
∽，
，即，
又，
∽，，
，
，，
设，在中，，
在中，
，即．
【解析】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，中知道三角形中有两个角即证，利用的结论并证得≌，在中很容易证得，连接，证得∽，设在中由相似比即得到比值．
由三角形中有两个而求得它为等边三角形；由也是等边三角形，连接，证得≌，在直角三角形中很容易证得结论；
连接，证得∽，设，在中，由相似比即得到比值．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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