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【压轴攻略】2023-2024年高一数学上学期期中期末常考压轴题专练
专题01 集合
一、单选题
1．已知全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知集合，，，则的子集共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．64个
3．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
5．设集合，，，若，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
6．已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
7．若集合，，则集合，之间的关系表示最准确的为（ ）
A． B． C． D．与互不包含
8．集合或，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．当一个非空数集满足：如果，，则，，，且时，时，我们称就是一个数域以下关于数域的说法：是任何数域的元素若数域有非零元素，则集合是一个数域．有理数集是一个数域其中正确的选项是（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合A的元素满足条件:若a∈A，则∈A(a≠1)，当∈A时，则集合A中元素的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
12．设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．已知集合，，，且，，，若，则．
A． B．
C． D．且
14．对集合的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减加后面的数所得的结果.例如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为6，则集合所有非空子集的“交替和”的和为（ ）
A． B． C． D．
15．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：
①若，则；
②若，则中至少有8个元素；
③若，则中元素的个数一定为偶数；
④若，则.
其中正确命题的个数是
A．1 B．2 C．3 D．4
16．设集合S，T，SN*，TN*，S，T中至少有两个元素，且S，T满足：
①对于任意x，yS，若x≠y，都有xyT
②对于任意x，yT，若x
A．若S有4个元素，则S∪T有7个元素
B．若S有4个元素，则S∪T有6个元素
C．若S有3个元素，则S∪T有5个元素
D．若S有3个元素，则S∪T有4个元素
17．用C(A)表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1，2}，B＝{x|(x2＋ax)·(x2＋ax＋2)＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值组成的集合是S，则C(S)等于（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多选题
18．对于集合，给出如下结论，其中正确的结论是（ ）
A．如果，那么
B．若，则存在，满足
C．如果，那么
D．如果，那么
19．已知集合，，若使成立的实数a的取值集合为M，则M的一个真子集可以是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
20．已知，.若，则 .
21．已知集合，且，则实数m的取值范围是 .
22．已知集合，，若，则实数的取值集合为 ．
23．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 .
24．“生命在于运动”，某学校教师在普及程度比较高的三个体育项目——乒乓球、羽毛球、篮球中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若会至少其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为 ．
25．已知集合．
（1）若，则实数a的取值范围是 ．
（2）若，则实数a的取值范围是 ．
（3）若，则实数a的取值范围是 ．
26．已知集合，．若，则实数m的取值范围为
27．已知集合，，则集合B中的元素个数为 ．
28．已知集合，若，则实数的值构成的集合为 ．
四、解答题
29．给定正整数，设集合．对于集合M的子集A，若任取A中两个不同元素，，有，且，，…，中有且只有一个为2，则称A具有性质P．
(1)当时，判断是否具有性质P；（结论无需证明）
(2)当时，写出一个具有性质P的集合A；
(3)当时，求证：若A中的元素个数为4，则A不具有性质P．
30．若集合．
(1)若，全集，试求．
(2)若，求实数的取值范围．
31．已知集合，，.
(1)命题：“，都有”，若命题为真命题，求实数的值；
(2)若，求实数的取值范围.
32．已知.
(1)若，求a的值；
(2)若，求实数a的取值范围.
33．已知集合U为全体实数，或，.
(1)若，求；
(2)若，求实数a的取值范围.
34．已知集合，集合.
(1)若，求和；
(2)若，求实数的取值范围.
35．集合，集合.
(1)当时，求，；
(2)若，求实数m的取值范围.
36．已知集合.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若且，求实数的取值范围.
37．已知集合，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
参考答案：
1．A
【分析】根据韦恩图表达的集合和之间的关系，求解阴影部分所表达的集合即可．
【详解】根据韦恩图，阴影部分表达的是集合中不属于集合的元素组成的集合，即.
故选：A.
2．D
【分析】先求出集合，再求出集合，从而可求出其子集的个数.
【详解】因为，，
所以，
所以，则的子集共有个，
故选：D
3．D
【分析】解出集合，利用交集含义即可得到答案.
【详解】，，
所以，
故选：D.
4．C
【分析】直接利用交集的定义即可求解.
【详解】因为，，所以
故选：C.
5．C
【分析】根据，，由且求解.
【详解】解：由，，
得且，
当时，无解；
当时，解得.
经检验，满足题意.
故选：C.
6．D
【分析】根据集合的相等的意义得到x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,由此求得p,q的值，进而求得集合B.
【详解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即有且只有一个实数解,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故选：.
7．C
【分析】对分奇偶进行讨论，即可判断集合，之间的关系.
【详解】对于集合，当时，，当时，，所以.
故选：C.
8．A
【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．
【详解】，
①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，
当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．
故选：A．
9．A
【分析】根据数域的定义代入数值分析即可得解.
【详解】对于①，当且时，
所以是任何数域的元素，①正确；
对于②，当时，且时，由数域定义知，
所以1+1=2，1+2=3,...1+2018=2019，故选项②正确；
对于③，当时，,故选项③错误；
对于④，如果，，则则，，,且时，,所以有理数集是一个数域.
故选：A
10．D
【分析】列举出满足集合描述的元素，即可得答案.
【详解】∵∈A，∴=2∈A.∵2∈A，∴∈A.∵∈A，∴∈A.
∵∈A，∴∈A.∴集合A中有四个元素.
故选：D
11．D
【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生.
【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人，
因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，
参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名，
只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，
所以单独参加数学的有人，
单独参加物理的有人，单独参加化学的有，
故参赛人数共有人，
没有参加任何竞赛的学生共有人.
故选：D.
12．A
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为即可.
【详解】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则或，选项D错误；
故选：A.
13．B
【分析】设，得到，结合集合的表示，即可求解，得到答案．
【详解】由题意，设，，，，，，
则，
令，则，且，，
则，故选B．
【点睛】本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中根据集合的元素形式，合理运算，结合集合表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．
14．B
【分析】将此集合分成两类，并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.
【详解】解：由题意得：
集合的非空子集中，除去集合，还有个非空集合，将这个子集分成两类：
第一类: 包含的子集；第二类：不包含的子集；
在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系：，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射
设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于 ，所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为
故选：B
15．C
【分析】中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.
所以当，则有，，，
进而有：，，，
①若，则，正确；
②若，则，，，能确定4个元素，不正确；
③根据题意可知，，若能确定4个元素，当也能确定四个，当也能确定8个所以，则中元素的个数一定为偶数正确；
④若，由中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称可知，，，，即，故正确，
综上：①③④正确.
故选C.
点睛：图象的变换：（1）平移：左加右减，上加下减；
（2）对称：①变为，则图象关于y轴对称；
②变成，则图象关于x轴对称；
③变成，则图象关于原点对称；
④变成，则将x轴正方向的图象关于y轴对称；
⑤变成，则将x轴下方的图象关于x轴对称.
【详解】
16．A
【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取，则，此时，包含4个元素，排除选项 C；
若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D；
若取，则，此时，包含7个元素，排除选项B；
下面来说明选项A的正确性：
设集合，且，，
则，且，则，
同理，，，，，
若，则，则，故即，
又，故，所以，
故，此时，故，矛盾，舍.
若，则，故即，
又，故，所以，
故，此时.
若， 则，故，故，
即，故，
此时即中有7个元素.
故A正确.
故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
17．B
【分析】根据题意可得或，进而讨论a的范围，确定出，最后得到答案.
【详解】因为，，所以或，
由，得，
关于x的方程，
当时，即时，易知，符合题意；
当时，即或时，易知0， -a不是方程的根，故，不符合题意；
当时，即时，方程 无实根，
若a=0，则B={0}，，符合题意，
若或，则，不符合题意.
所以，故.
故选：B.
【点睛】对于新定义的问题，一定要读懂题意，一般理解起来不难，它一般和平常所学知识和方法有很大关联；另外当时，容易遗漏a=0时的情况，注意仔细分析题目.
18．ABC
【分析】A选项：令，，得，即可得；
B选项：分别分析和同奇和同偶两种情况，去判断；
C选项：设，，求出，即可得到；
D选项：求出，得到.
【详解】A选项：当，时，，又，，所以，故A正确；
B选项：，和同奇或同偶，
当同奇时，为奇数，为偶数；
当同偶时，能被4整除，但不一定能被4整除，所以存在，满足，故B正确；
C选项：设，，则，故C正确；
D选项：，故D错.
故选：ABC.
19．BC
【分析】根据题意讨论和情况，求得实数a的取值范围，可得集合M,即可得答案.
【详解】由题意集合，，
因为，所以当时，，即 ；
当时，有 ，解得，
故,则M的一个真子集可以是或，
故选：BC.
20．
【分析】根据集合与集合相等列式即可求解
【详解】因为
所以解之得：
故答案为：
21．.
【分析】根据集合间的包含关系，分和，两种情况讨论，即可求解.
【详解】由集合，
若时，可得，此时满足；
若时，要是得到，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：.
22．
【分析】先求得集合，根据题意转化为，分和，两种情况讨论，列出方程，即可求解.
【详解】由集合，
因为，所以，
当时，集合，此时满足；
当时，可得集合，
要使得，可得或，解得或.
综上可得，实数的取值集合为.
故答案为：.
23．
【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解.
【详解】解：由题意，若，则或，
检验可知不满足集合中元素的互异性，
所以，则，
所以，则，
故.
故答案为：.
24．20
【分析】由三元容斥原理求解即可.
【详解】首先设是会打乒乓球的教师，是会打羽毛球球的教师，
是会打蓝球的教师，
根据题意得，，，，，
再使用三元容斥原理得：
，
有，
而中把的区域计算了3次，
于是要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数.
因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为.
故答案为：20.
25．
【分析】利用集合间的关系，即可得出答案.
【详解】（1）若，得，
所以实数a的取值范围是.
（2），即，所以，
所以实数a的取值范围是.
（3）若，即，所以，
则实数a的取值范围是.
故答案为：；；.
26．或
【分析】解不等式可得，然后分以及，分别计算，即可得出答案.
【详解】解可得，，所以.
因为，所以.
当时，有，解得，满足题意；
当时，由可得，
，解得.
综上所述，或.
故答案为：或.
27．13
【分析】由题列举出集合B，即得.
【详解】将x，y及的值列表如下，去掉重复的值，可知集合中的元素个数为13．
1 2 3 4 6
1 1 2 3 4 6
2 1 2 3
3 1 2
4 1
6 1
故答案为：13
28．/
【分析】依题意分两种情况，或讨论，分别计算可得；
【详解】因为集合，且
所以或
（1）当时，此时，符合题意.
（2）当时，解得或
当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；
当时，符合题意.
综上可知实数的值构成的集合为
故答案为：
29．(1)A不具有性质P；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据题设新定义即可判断；
（2）根据定义即可写出；
（3）若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，设，然后根据条件推出矛盾，进而即得.
【详解】（1）根据题设定义可知不具有性质P；
（2）当时，，，且，，中有且只有一个为2，满足性质P；
（3）当时，若A中的元素个数为4，假设A具有性质P，
即任取A中两个不同元素，，
有，①
，，，中有且只有一个为2．②
设；则．
当时，由①得，不满足②，矛盾．
当时，由①得，
由②得与不同时在A中；与不同时在A中；与不同时在A中，所以A中元素个数至多为3，矛盾．
当时，由①得，不满足②，矛盾．
当或时，不满足A中的元素个数为4，矛盾．
所以假设不成立，即A不具有性质P．
【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移.
30．(1)
(2)
【分析】（1）当时，求得，得到和，结合集合的交并补运算即可得解.
（2）求得，结合题意得到，结合集合的包含关系，即可求解.
【详解】（1）当时，可得，
因为，可得，
则，所以．
（2）因为，
由，可得，所以，
即实数的取值范围是.
31．(1)或.
(2)或.
【分析】（1）由题设有、，讨论、分别判断是否符合题设，并确定的值；
（2）由题设有，讨论集合，并利用一元二次方程根与系数关系、判别式求的取值范围.
【详解】（1），
因为命题：“，都有”是真命题，所以，
因为，
所以当时，，则，即；
当时，，显然是的真子集.
综上，或.
（2）由可得，
当时，，即；
当时，，无解；
当时，，无解；
当时，，解得；
综上，的取值范围或.
32．(1)
(2)或或.
【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值；
（2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围；
【详解】（1）由方程，解得或
所以，又，，
所以，即方程的两根为或，
利用韦达定理得到：，即；
（2）由已知得，又，
所以时，则，即，解得或；
当时，
若B中仅有一个元素，则，即，解得，
当时，，满足条件；当时，，不满足条件；
若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件.
综上，实数a的取值范围是或或.
33．(1)；
(2).
【分析】（1）把代入，利用补集、交集的定义求解作答.
（2）根据给定条件，结合集合的包含关系分类求解作答.
【详解】（1）当时，，而，
所以.
（2）由，得，
当时，，解得，满足；
当时，，即，则有或，解得或，
因此，
所以实数的取值范围是.
34．(1)，
(2)
【分析】（1）先化简集合A，B，再利用集合的交集和并集运算求解；
（2）由，得到，分和求解.
【详解】（1）解：，，
∴，；
（2）∵，
∴，
若，则，
∴，
若，则，
∴，
综上.
35．(1)，
(2)
【分析】（1）分别求解两个集合，再求集合的交，并集；
（2）由条件可知，，再分和两种情况，求实数的取值范围.
【详解】（1）解不等式，得，
所以，
当时，则，
所以，；
（2）因为，所以
当时，，即，此时；
当时，，则，解得:，
综上所述，实数m的取值范围是.
36．（1）；（2）.
【分析】（1）由题意得方程有实数解，再根据一元二次方程有解的条件即可求出；（2）先求出集合N，分类讨论成立时的情况，最后把满足题意的值并起来即可．
【详解】（1）由题意得方程有实数解，
，得，
实数的取值范围是.
（2），且，
当，，得；
当时，
当时，，此时，满足，符合题意.
当时，，中有两个元素，
若，则，从而，无解.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查一元二次方程有解的条件以及解法，子集的定义应用，意在考查学生的分类讨论意识．
37．（1）；（2）或.
【分析】（1）由题，集合最多两个元素，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，即可求解；
（2）分类讨论：为空集，单元素集合，两个元素的集合三种情况分别求解即可.
【详解】（1）由题集合最多两个元素，，，则，所以集合中的方程两根为-4,0，，即，由根与系数的关系，，解得：；
（2）由题，中最多两个元素，对于方程
当集合时：
，即时，方程无解，，符合题意；
当集合中只有一个元素时：
，即时，方程的解为，，符合题意；
当中有两个元素时：
，即时，方程有两个不同实根，集合有两个元素，
此时则，所以集合中的方程两根为，由根与系数的关系，，解得：；
综上所述：或.
【点睛】此题考查通过集合的包含关系求参数的取值，集合是方程的解集，在进行分类讨论时应以集合中元素个数为分类标准方可做到不重不漏.
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