卷子答案网-一个不只有答案的网站初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 练习题 (1)
一、选择题
1．（2017八下·重庆期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=8，则四边形CODE的周长（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
2．下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为（ ）
①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
4．（2017八下·邗江期中）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行
5．菱形ABCD的对角线AC=24，BD=10，则菱形的周长为（ ）
A．20 B．48 C．52 D．60
6．（2017·玉林模拟）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠C=90°时，测得AC=2 ，当∠C=120°时，如图2，AC=（ ）
A．2 B． C． D．
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，则下列结论：①若AB=BC，则四边形ABCD一定是菱形；②若AC⊥BD，则四边形ABCD一定是矩形；③若∠ABC=90°，则四边形ABCD一定是菱形；④若AC=BD，则四边形ABCD一定是正方形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2017八下·钦州期末）如图所示，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列判断中，不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90° B．OA=OB=OC=OD
C．AB∥CD且AB=CD，AC=BD D．AB∥CD且AB=CD，OA=OC，OB=OD
9．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
10．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等
C．矩形的对角线互相平分
D．有一个角是直角的平行四边形是矩形
11．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（ ）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
12．（2017八下·重庆期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB=2，△DOE的面积为 ，则AE的长为（ ）
A． B．2 C．1.5 D．
13．下列对正方形的描述错误的是（ ）
A．正方形的四个角都是直角
B．正方形的对角线互相垂直
C．邻边相等的矩形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
14．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对边相等
15．下列命题正确的是（ ）
A．邻角相等的四边形是菱形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
二、填空题
16．用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出什么图形 ．
17．如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O．点E是OC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，交OD于点G．若正方形的边长为4 ，则DF= ．
18．如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF= PC；④PE+PF=PC．其中正确的是 ．
19．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，如果矩形的面积为1，那么阴影部分的面积是 ．
20．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是 cm．
21．如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连结FC，则∠DCF的度数为 度．
22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
求证：平行四边形ADBE是矩形．
23．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框 （填“合格”或“不合格”）
24．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）．
25．两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD（不完全重合），则四边形ABCD面积的最大值为 ．
26．如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB= ，AC=2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是 ．
27．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；
①∠CDH=30°；②EF=4；③四边形EFCH是菱形；④S△EFC=3S△BEC．
你认为结论正确的有 ．（填写正确的序号）
28．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则需要添加一个条件是 ．（填一个即可）
29．在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
30．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是 ．
三、解答题
31．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论．
32．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC=EC．
33．如图所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形．
34．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
35．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE∥AB，DF∥AC，求证：四边形AFDE是菱形．
36．如图， ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．
（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；
（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．
37．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
38．在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC．
（1）如图1，当∠BAD=90°时，连接PE，交CD于点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
（2）如图2，当∠BAD=60°时，连接PE，PC交AE于点F，若∠CPE=60°，设AC=CE=4，求BP的长．
39．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．
40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．如果点E是AB的中点，AC=4，EC=2.5，写出求四边形ABCD的面积的思路．
41．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
42．在 ABCD中，AB=2BC=4，E、F分别为AB、CD的中点
①求证：△ADE≌△CBF；
②若四边形DEBF为菱形，求四边形ABCD的面积．
43．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
44．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．
45．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：四边形CEDF是正方形．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴EC∥DO，DE∥OC，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=OD= BD，OA=OC= AC，
∴OC=OD，
∴ DOCE是菱形，
∴OC=OD=DE=CE，
∵AC=8，
∴OC=OD=DE=CE= AC=4，
∴四边形CODE的周长=4×4=16．
故选C．
【分析】先由两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断四边形DOCE是平行四边形，然后根据矩形的对角线相等且互相平分可得：OC=OD，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断四边形DOCE是菱形，然后根据菱形的四条边相等即可求出菱形的性质．
2．【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴①错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴②正确；
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴③错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴④正确；
即正确的有②④．
故选B．
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定判断即可．
3．【答案】C
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得： ×4×3= ×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选C．
【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：A、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；
B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；
C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；
D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；
故选A．
【分析】根据菱形、平行四边形的性质一一判断即可．
5．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：
设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如图，
则AO= AC=12，BO= BD=5，且AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=13，
∴菱形的周长=4AB=52，
故选C．
【分析】根据菱形的性质结合菱形的对角线的长可求得菱形的边长，则可求得菱形的周长．
6．【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB=BC=CD=DA，∠C=90°，
∴四边形ABCD是正方形
∵AC=2 ，
∴AB=AC=2，
∵∠C=120°时，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=2；
故选A．
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据∠C=120°，得出△ABC是等边三角形，从而求出AC．
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故②不正确；
③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③不正确；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④不正确；
故正确的有1个．
故选：A．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断②不正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③不正确；根据
对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④不正确．
8．【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、由“AB=CD，AD=BC”可以判定四边形ABCD是平行四边形，又∠BAD=90°，则根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
C、由“AB∥CD且AB=CD”可以判定四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，则根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、由“AB∥CD且AB=CD”可以判定四边形ABCD是平行四边形，又OA=OC，OB=OD，则根据“对角线互相平分的平行四边形是菱形”可以判定平行四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
9．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴①②③能使四边形ABCD是菱形；
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴①③⑤能使四边形ABCD是菱形；
∵AD=BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴③④⑤能使四边形ABCD是菱形；
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴②③④能使四边形ABCD是菱形；
∴能使四边形ABCD是菱形的选法有4种．
故选：D．
【分析】由平行四边形的判定方法和菱形的判定方法得出能使四边形ABCD是菱形的选法有4种，即可得出结论．
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此选项错误；
B、矩形的对角线相等，所以此选项正确；
C、矩形的对角线互相平分，所以此选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此选项正确；
因为本题选择说法错误的，故选A．
【分析】根据矩形的定义和性质及判定进行判断．
11．【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR BC=AS CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA=3，OB=4，
∴AB= =5，
故选A．
【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．
12．【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE=DE，S△BOE=S△DOE= ，
∴S△BDE=2S△BOE= ．
∴ DE AB= ，
又∵AB=2，
∴DE= ，
∴BE=
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE= = =1.5．
故选：C．
【分析】首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S△BOE=S△DOE= ，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．
13．【答案】D
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形的四个角都是直角，所以选项A描述正确；
B、正方形的对角线互相垂直，所以选项B描述正确；
C、邻边相等的矩形是正方形，所以选项C描述正确；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项D描述错误；
本题选择描述错误的，故选D．
【分析】根据正方形的性质和矩形的判定进行判断．
14．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；
平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选B．
【分析】举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可．
15．【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、错误，直角梯形中有邻角相等，但不是菱形；
B、错误，只有一组邻边相等的平行四边形才是菱形；
C、错误，筝形的对角线互相垂直，但不是菱形；
D，正确，故选D．
【分析】菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
16．【答案】平行四边形或菱形
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；矩形的判定
17．【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
18．【答案】①②③
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
19．【答案】
【知识点】矩形的性质
20．【答案】10
【知识点】菱形的性质
21．【答案】45
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
22．【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴平行四边形ADBE是矩形
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，再根据矩形的定义即可证得．
23．【答案】合格
【知识点】矩形的判定
24．【答案】①③
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的判定
25．【答案】15
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
26．【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质
27．【答案】①②③
【知识点】菱形的判定与性质
28．【答案】∠ABC=90°
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
29．【答案】
【知识点】垂线段最短；矩形的判定与性质
30．【答案】6
【知识点】矩形的性质
31．【答案】证明：∵CE⊥BF，垂足为M，
∴∠MBC+∠MCB=∠BEC+∠MCB，
∴∠MBC=∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠MBC=∠AFB
∴∠AFB=∠BEC，
∵在Rt△BAF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△CBE（AAS），
∴AF=BE
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】在Rt△BAF和Rt△EBC中，两直角相等，AB=BC，我们只要证明出另外有一组对应角相等就能够知道这两个三角形全等，从而得出结论．
32．【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴DB=CE，
∴AC=CE
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】先由矩形的对角线相等得出AC=DB，再证明四边形CDBE是平行四边形，得出对边相等DB=CE，即可得出AC=CE．
33．【答案】证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线，
∴∠ABD+∠ABE= （∠ABC+∠ABP）=90°．
即∠EBD=90°．
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和平角定义，得到∠EBD=90°，再进行判断并证明．
34．【答案】（1）解：结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2
（2）解：过点A作AH⊥BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠GBF=45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF=45°，
∵∠AGF=105°，
∴∠AGB=∠AGF﹣∠BGF=105°﹣45°=60°，
在Rt△ABH中，∵AB=1，
∴AH=BH= ，
在Rt△AGH中，∵AH= ，∠GAH=30°，
∴HG=AH tan30°= ，
∴BG=BH+HG= + ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题．
35．【答案】证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵D是BC的中点，
∴E，F分别是AC，AB的中点，
∴AE= AC，AF= AB，
∵等腰△ABC中，AB=AC，
∴AE=AF，
∴四边形AFDE是菱形
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】由DE∥AB，DF∥AC，可得四边形AFDE是平行四边形，又由等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，易得AE=AF，继而证得结论．
36．【答案】（1）解：四边形ACFD为矩形，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠DAF=∠CFE，
∵∠DAF=∠DCF，
∴∠DCF=∠CFE，
∴EF=EC，
同理可求得DE=EA，
∵E为CD的中点，
∴CE=DE=AE=FE，
∴四边形ACFD为矩形
（2）解：作EG⊥CF于点G，如图，
在矩形ACFD和 ABCD中，
则有CF=AD=BC=4，且FE=FC，
∴CG= CF=2，BG=6，
∵AE=EF，
∴EG= AC= ，
∴Rt△EBG中，BE= =
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质，结合条件可求得EF=EC=ED=AE，可证得四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，由矩形和平行四边形的性质可求得EG和BG的长，在Rt△BEG中可求得BE的长．
37．【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACB，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= =10，
∴OC=OE= EF=5
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
38．【答案】（1）证明：如图1中，连接PA．
在正方形ABCD中，AD=DC，
∠ADP=∠CDP=45°，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
∵∠CPF=∠EDF=90°，∠PFC=∠EFD，
∴∠PCF=∠E，
∴∠PAD=∠E
∴PA=PE，
∴PC=PE
（2）①如图2中，设AC交BD于O，连接CE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADO=∠CDO，
∴∠ADP=∠CDP，
∵DA=DC，DP=DP，
∴△ADP≌△CDP，
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∵∠CPE=∠CDF=60°，∠DFC=∠PFE，
∴∠E=∠PCD=∠PAD，
∴PA=PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴AC=CE=PE=PA=PC=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴BP=PO+OB=2 + =
②如图3中，
利用①中方法可知PB=2 ﹣ =
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）先证出△ADP≌△CDP，得PA=PC，再证明PA=PE，得PC=PE；（2）①如图2中，设AC交BD于O．首先证明PC=PE=PA，由∠CPE=60°推出PC=PE=CE=AC=4，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，根据BP=PO+OB计算即可；②如图3中，利用①中方法计算即可；
39．【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，
∵DE⊥AB．BF⊥DC，
∴∠E=90°，∠F=90°，
∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，
∴四边形BEDF是矩形
（2）证明：∵平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，
∴∠NBF+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，
∴∠ADC=∠BCF，
∴∠NBF=∠MDE，
∵M、N分别为AD、BC的中点，
∴BN=DM，
在△BNF与△DME中
∴△BNF≌△DME（SAS），
∴EM=FN，
同理可得：EN=MF，
∴四边形EMFN是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质和矩形的性质得出BN=DM，BF=DE，∠NBF=∠MDE，进而证明△BNF≌△DME，得出EM=FN，同理得出EN=MF，进而证明四边形EMFN是平行四边形．
40．【答案】解：①由AD∥CE，AE∥CD，可得四边形AECD为平行四边形，
②由AC平分∠BAD，AD∥CE，可得AE=CE，
综合①②可得四边形AECD是菱形，
③由∠ACE=∠EAC，∠ECB=∠B和△ABC内角和180°，可得△ABC是直角三角形，
④由菱形AECD和E为中点，可得S△AEC=S△ACD=S△BEC=3，
∴四边形ABCD的面积为9
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】由条件可证明四边形AECD为平行四边形，结合角平分线的定义可求得AE=CE，可证得四边形AECD为菱形，进一步可证得△ABC为直角三角形，则可求得△AEC、△ADC和△BEC的面积，可求得四边形ABCD的面积．
41．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2 ，
∴OB= BD= ，
∵BD⊥EF，
∴EO= = ，
∴EF=2EO=
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
42．【答案】①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∵AE=EB，DF=FC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
②连接BD，
由①有AE=EB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=EB=AE，
∴△ADB是直角三角形，
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，AD=BC=2，AB=4，
∴BD= =2 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD=2 S△ADB=2× ×2×2 =4 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】①欲证明△ADE≌△CBF，只要证明AD=BC，∠A=∠C，AE=CF即可．②连接BD，根据S四边形ABCD=2S△ABD，只要证明△ADB是直角三角形，求出AD、BD即可解决问题．
43．【答案】（1）解：当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t，
解得t=4．
答：当t=4时，四边形ABQP是矩形
（2）解：设t秒后，四边形AQCP是菱形
当AQ=CQ，即 =8﹣t时，四边形AQCP为菱形．
解得：t=3．
答：当t=3时，四边形AQCP是菱形
（3）解：当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，
面积为：4×8﹣2× ×3×4=20（cm2）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积﹣2个直角三角形的面积．
44．【答案】（1）证明：∵在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，
∴AO= AC=3，BO= BD=4，
∵AB=5，且32+42=52，
∴AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形
（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∵S△ABC= AC BO= BC AH，
∴ ×6×4= ×5×AH，
解得：AH= ．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质结合勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而得出四边形ABCD是菱形；（2）利用菱形的面积求法得出AH的长．
45．【答案】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵DE=DF，
∴矩形DECF是正方形
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形．
初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形3 练习题 (1)
一、选择题
1．（2017八下·重庆期中）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=8，则四边形CODE的周长（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴EC∥DO，DE∥OC，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OB=OD= BD，OA=OC= AC，
∴OC=OD，
∴ DOCE是菱形，
∴OC=OD=DE=CE，
∵AC=8，
∴OC=OD=DE=CE= AC=4，
∴四边形CODE的周长=4×4=16．
故选C．
【分析】先由两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断四边形DOCE是平行四边形，然后根据矩形的对角线相等且互相平分可得：OC=OD，然后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形判断四边形DOCE是菱形，然后根据菱形的四条边相等即可求出菱形的性质．
2．下列条件之一能使平行四边形ABCD是矩形的为（ ）
①AC⊥BD ②∠BAD=90° ③AB=BC ④AC=BD．
A．①③ B．②④ C．③④ D．①②③
【答案】B
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：
∵AC⊥BD，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴①错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴②正确；
∵AB=BC，四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形，不能推出四边形ABCD是矩形，∴③错误；
∵四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形，∴④正确；
即正确的有②④．
故选B．
【分析】根据矩形的判定和菱形的判定判断即可．
3．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（ ）
A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5
【答案】C
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠A=∠AEP=∠AFP=90°，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
要使EF最小，只要AP最小即可，
过A作AP⊥BC于P，此时AP最小，
在Rt△BAC中，∠A=90°，AC=4，AB=3，由勾股定理得：BC=5，
由三角形面积公式得： ×4×3= ×5×AP，
∴AP=2.4，
即EF=2.4，
故选C．
【分析】根据已知得出四边形AEPF是矩形，得出EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，根据垂线段最短得出即可．
4．（2017八下·邗江期中）菱形具有而平行四边形不具有的性质是（ ）
A．对角线互相垂直 B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分 D．两组对边分别平行
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：A、正确．对角线互相垂直是菱形具有而平行四边形不具有的性质；
B、错误．两组对角分别相等，是菱形和平行四边形都具有的性质；
C、错误．对角线互相平分，是菱形和平行四边形都具有的性质；
D、错误．两组对边分别平行，是菱形和平行四边形都具有的性质；
故选A．
【分析】根据菱形、平行四边形的性质一一判断即可．
5．菱形ABCD的对角线AC=24，BD=10，则菱形的周长为（ ）
A．20 B．48 C．52 D．60
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：
设菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如图，
则AO= AC=12，BO= BD=5，且AC⊥BD，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得AB=13，
∴菱形的周长=4AB=52，
故选C．
【分析】根据菱形的性质结合菱形的对角线的长可求得菱形的边长，则可求得菱形的周长．
6．（2017·玉林模拟）将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠C=90°时，测得AC=2 ，当∠C=120°时，如图2，AC=（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB=BC=CD=DA，∠C=90°，
∴四边形ABCD是正方形
∵AC=2 ，
∴AB=AC=2，
∵∠C=120°时，
∴∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=BC=2；
故选A．
【分析】图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据∠C=120°，得出△ABC是等边三角形，从而求出AC．
7．如图，四边形ABCD是平行四边形，则下列结论：①若AB=BC，则四边形ABCD一定是菱形；②若AC⊥BD，则四边形ABCD一定是矩形；③若∠ABC=90°，则四边形ABCD一定是菱形；④若AC=BD，则四边形ABCD一定是正方形．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：①根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形ABCD是平行四边形，当AB=BC时，它是菱形，故①正确；
②∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，
故②不正确；
③根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知③不正确；
④根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当AC=BD时，它是矩形，不是正方形，故④不正确；
故正确的有1个．
故选：A．
【分析】根据邻边相等的平行四边形是菱形可判断①正确；根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可判断②不正确；根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可判断③不正确；根据
对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出④不正确．
8．（2017八下·钦州期末）如图所示，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列判断中，不能判断四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．AB=CD，AD=BC，∠BAD=90° B．OA=OB=OC=OD
C．AB∥CD且AB=CD，AC=BD D．AB∥CD且AB=CD，OA=OC，OB=OD
【答案】D
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：A、由“AB=CD，AD=BC”可以判定四边形ABCD是平行四边形，又∠BAD=90°，则根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
B、根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
C、由“AB∥CD且AB=CD”可以判定四边形ABCD是平行四边形，又AC=BD，则根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可以判定平行四边形ABCD是矩形，故本选项不符合题意；
D、由“AB∥CD且AB=CD”可以判定四边形ABCD是平行四边形，又OA=OC，OB=OD，则根据“对角线互相平分的平行四边形是菱形”可以判定平行四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．据此判断．
9．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD=BC；⑤AD∥BC，这五个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴①②③能使四边形ABCD是菱形；
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴①③⑤能使四边形ABCD是菱形；
∵AD=BC，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴③④⑤能使四边形ABCD是菱形；
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
∴②③④能使四边形ABCD是菱形；
∴能使四边形ABCD是菱形的选法有4种．
故选：D．
【分析】由平行四边形的判定方法和菱形的判定方法得出能使四边形ABCD是菱形的选法有4种，即可得出结论．
10．下列说法错误的是（ ）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．矩形的对角线相等
C．矩形的对角线互相平分
D．有一个角是直角的平行四边形是矩形
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此选项错误；
B、矩形的对角线相等，所以此选项正确；
C、矩形的对角线互相平分，所以此选项正确；
D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以此选项正确；
因为本题选择说法错误的，故选A．
【分析】根据矩形的定义和性质及判定进行判断．
11．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得点A，C之间的距离为6cm，点B，D之间的距离为8cm，则线段AB的长为（ ）
A．5cm B．4.8cm C．4.6cm D．4cm
【答案】A
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．
由题意知：AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵两个矩形等宽，
∴AR=AS，
∵AR BC=AS CD，
∴BC=CD，
∴平行四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOB中，∵OA=3，OB=4，
∴AB= =5，
故选A．
【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR=AS得平行四边形ABCD是菱形，再根据根据勾股定理求出AB即可．
12．（2017八下·重庆期中）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE⊥BD交AD于点E．已知AB=2，△DOE的面积为 ，则AE的长为（ ）
A． B．2 C．1.5 D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：连接BE，如图所示：
由题意可得，OE为对角线BD的垂直平分线，
∴BE=DE，S△BOE=S△DOE= ，
∴S△BDE=2S△BOE= ．
∴ DE AB= ，
又∵AB=2，
∴DE= ，
∴BE=
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE= = =1.5．
故选：C．
【分析】首先连接BE，由题意可得OE为对角线BD的垂直平分线，可得BE=DE，S△BOE=S△DOE= ，由三角形的面积则可求得DE的长，得出BE的长，然后由勾股定理求得答案．
13．下列对正方形的描述错误的是（ ）
A．正方形的四个角都是直角
B．正方形的对角线互相垂直
C．邻边相等的矩形是正方形
D．对角线相等的平行四边形是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、正方形的四个角都是直角，所以选项A描述正确；
B、正方形的对角线互相垂直，所以选项B描述正确；
C、邻边相等的矩形是正方形，所以选项C描述正确；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项D描述错误；
本题选择描述错误的，故选D．
【分析】根据正方形的性质和矩形的判定进行判断．
14．矩形具有而一般的平行四边形不一定具有的特征（ ）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．对边相等
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：矩形的性质有：①矩形的对边相等且平行，②矩形的对角相等，且都是直角，③矩形的对角线互相平分、相等；
平行四边形的性质有：①平行四边形的对边分别相等且平行，②平行四边形的对角分别相等，③平行四边形的对角线互相平分；
∴矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是对角线相等，
故选B．
【分析】举出矩形和平行四边形的所有性质，找出矩形具有而平行四边形不具有的性质即可．
15．下列命题正确的是（ ）
A．邻角相等的四边形是菱形
B．有一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
【答案】D
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：A、错误，直角梯形中有邻角相等，但不是菱形；
B、错误，只有一组邻边相等的平行四边形才是菱形；
C、错误，筝形的对角线互相垂直，但不是菱形；
D，正确，故选D．
【分析】菱形的判定方法有三种：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
二、填空题
16．用两块完全重合的等腰三角形纸片能拼出什么图形 ．
【答案】平行四边形或菱形
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定；矩形的判定
17．如图，正方形ABCD的两条对角线相交于点O．点E是OC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE于点F，交OD于点G．若正方形的边长为4 ，则DF= ．
【答案】
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
18．如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：①AF⊥DE；②AD=BP；③PE+PF= PC；④PE+PF=PC．其中正确的是 ．
【答案】①②③
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
19．如图所示，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于点E，F，如果矩形的面积为1，那么阴影部分的面积是 ．
【答案】
【知识点】矩形的性质
20．已知菱形两邻角的比是1：2，周长是40cm，则较短对角线长是 cm．
【答案】10
【知识点】菱形的性质
21．如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，DF⊥AB于点E，且DF=DC，连结FC，则∠DCF的度数为 度．
【答案】45
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质
22．已知在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．
求证：平行四边形ADBE是矩形．
【答案】证明：∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵四边形ADBE是平行四边形，
∴平行四边形ADBE是矩形
【知识点】等腰三角形的性质；平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】利用三线合一定理可以证得∠ADB=90°，再根据矩形的定义即可证得．
23．木匠做一个矩形木框，长为80cm，宽为60cm，对角线的长为100cm，则这个木框 （填“合格”或“不合格”）
【答案】合格
【知识点】矩形的判定
24．如图，分别以直角△ABC的斜边AB，直角边AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，F为AB的中点，DE与AB交于点G，EF与AC交于点H，∠ACB=90°，∠BAC=30°．给出如下结论：①EF⊥AC；②四边形ADFE为菱形；③AD=4AG；其中正确结论的为 （请将所有正确的序号都填上）．
【答案】①③
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；菱形的判定
25．两个长为9，宽为3的全等矩形叠合而得到四边形ABCD（不完全重合），则四边形ABCD面积的最大值为 ．
【答案】15
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
26．如图，Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB= ，AC=2，D为斜边AB上一动点（不与点A，B重合），DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，连接EF，则EF的最小值是 ．
【答案】
【知识点】垂线段最短；勾股定理；矩形的判定与性质
27．如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=6，CD=8，E，F分别是边AB、CD的中点，DH⊥BC于H，现有下列结论；
①∠CDH=30°；②EF=4；③四边形EFCH是菱形；④S△EFC=3S△BEC．
你认为结论正确的有 ．（填写正确的序号）
【答案】①②③
【知识点】菱形的判定与性质
28．如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则需要添加一个条件是 ．（填一个即可）
【答案】∠ABC=90°
【知识点】菱形的性质；正方形的判定
29．在△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为 cm．
【答案】
【知识点】垂线段最短；矩形的判定与性质
30．如图，在矩形ABCD中，AD=4，AB=3，MN∥BC分别交AB、CD于点M、N，在MN上任取两点P、Q，那么图中阴影部分的面积是 ．
【答案】6
【知识点】矩形的性质
三、解答题
31．如图，正方形ABCD中，E、F分别是AB和AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M，请找出和BE相等的线段，并证明你的结论．
【答案】证明：∵CE⊥BF，垂足为M，
∴∠MBC+∠MCB=∠BEC+∠MCB，
∴∠MBC=∠BEC，
又∵AD∥BC，
∴∠MBC=∠AFB
∴∠AFB=∠BEC，
∵在Rt△BAF和Rt△CBE中，
，
∴Rt△BAF≌Rt△CBE（AAS），
∴AF=BE
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】在Rt△BAF和Rt△EBC中，两直角相等，AB=BC，我们只要证明出另外有一组对应角相等就能够知道这两个三角形全等，从而得出结论．
32．已知：如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．求证：AC=EC．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=DB，AB∥DC，
∴DC∥BE，
又∵CE∥DB，
∴四边形CDBE是平行四边形，
∴DB=CE，
∴AC=CE
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【分析】先由矩形的对角线相等得出AC=DB，再证明四边形CDBE是平行四边形，得出对边相等DB=CE，即可得出AC=CE．
33．如图所示，BD，BE分别是∠ABC与它的邻补角∠ABP的平分线．AE⊥BE，AD⊥BD，E，D为垂足，求证：四边形AEBD是矩形．
【答案】证明：∵BD，BE分别是∠ABC，∠ABP的平分线，
∴∠ABD+∠ABE= （∠ABC+∠ABP）=90°．
即∠EBD=90°．
又∵AE⊥BE，AD⊥BD，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∴四边形AEBD是矩形
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【分析】根据角平分线的性质和平角定义，得到∠EBD=90°，再进行判断并证明．
34．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；
（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．
【答案】（1）解：结论：AG2=GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA=GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF=GE，
在Rt△GFC中，∵CG2=GF2+CF2，
∴AG2=GF2+GE2
（2）解：过点A作AH⊥BG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=∠GBF=45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF=45°，
∵∠AGF=105°，
∴∠AGB=∠AGF﹣∠BGF=105°﹣45°=60°，
在Rt△ABH中，∵AB=1，
∴AH=BH= ，
在Rt△AGH中，∵AH= ，∠GAH=30°，
∴HG=AH tan30°= ，
∴BG=BH+HG= + ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）结论：AG2=GE2+GF2．只要证明GA=GC，四边形EGFC是矩形，推出GE=CF，在Rt△GFC中，利用勾股定理即可证明；（2）过点A作AH⊥BG，在Rt△ABH、Rt△AHG中，求出AH、HG即可解决问题．
35．已知：如图，等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE∥AB，DF∥AC，求证：四边形AFDE是菱形．
【答案】证明：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴四边形AFDE是平行四边形，
∵D是BC的中点，
∴E，F分别是AC，AB的中点，
∴AE= AC，AF= AB，
∵等腰△ABC中，AB=AC，
∴AE=AF，
∴四边形AFDE是菱形
【知识点】等腰三角形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】由DE∥AB，DF∥AC，可得四边形AFDE是平行四边形，又由等腰△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，易得AE=AF，继而证得结论．
36．如图， ABCD中，点E是CD边中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F，∠DAF=∠DCF．
（1）判断四边形ACFD是什么特殊的四边形，并证明；
（2）若AC=5，BC=4，连接BE，求线段BE的长．
【答案】（1）解：四边形ACFD为矩形，
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BF，
∴∠DAF=∠CFE，
∵∠DAF=∠DCF，
∴∠DCF=∠CFE，
∴EF=EC，
同理可求得DE=EA，
∵E为CD的中点，
∴CE=DE=AE=FE，
∴四边形ACFD为矩形
（2）解：作EG⊥CF于点G，如图，
在矩形ACFD和 ABCD中，
则有CF=AD=BC=4，且FE=FC，
∴CG= CF=2，BG=6，
∵AE=EF，
∴EG= AC= ，
∴Rt△EBG中，BE= =
【知识点】平行四边形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质，结合条件可求得EF=EC=ED=AE，可证得四边形ACFD为矩形；（2）作EG⊥CF于点G，由矩形和平行四边形的性质可求得EG和BG的长，在Rt△BEG中可求得BE的长．
37．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．
（1）若CE=8，CF=6，求OC的长；
（2）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
【答案】（1）证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACB，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠DCF，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠DCF，
∴∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，
∴OE=OC，OF=OC，
∴OE=OF；
∵∠OCE+∠BCE+∠OCF+∠DCF=180°，
∴∠ECF=90°，
在Rt△CEF中，由勾股定理得：EF= =10，
∴OC=OE= EF=5
（2）解：当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：
连接AE、AF，如图所示：
当O为AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF=90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，证出OE=OC=OF，∠ECF=90°，由勾股定理求出EF，即可得出答案；（2）根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可．
38．在菱形ABCD中，P是直线BD上一点，点E在射线AD上，连接PC．
（1）如图1，当∠BAD=90°时，连接PE，交CD于点F，若∠CPE=90°，求证：PC=PE；
（2）如图2，当∠BAD=60°时，连接PE，PC交AE于点F，若∠CPE=60°，设AC=CE=4，求BP的长．
【答案】（1）证明：如图1中，连接PA．
在正方形ABCD中，AD=DC，
∠ADP=∠CDP=45°，
在△ADP和△CDP中，
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA=PC，∠DAP=∠DCP，
∵∠CPF=∠EDF=90°，∠PFC=∠EFD，
∴∠PCF=∠E，
∴∠PAD=∠E
∴PA=PE，
∴PC=PE
（2）①如图2中，设AC交BD于O，连接CE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ADO=∠CDO，
∴∠ADP=∠CDP，
∵DA=DC，DP=DP，
∴△ADP≌△CDP，
∴PA=PC，∠PAD=∠PCD，
∵∠CPE=∠CDF=60°，∠DFC=∠PFE，
∴∠E=∠PCD=∠PAD，
∴PA=PE=PC，
∴△PCE是等边三角形，
∴AC=CE=PE=PA=PC=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴BP=PO+OB=2 + =
②如图3中，
利用①中方法可知PB=2 ﹣ =
【知识点】全等三角形的判定与性质；菱形的性质
【解析】【分析】（1）先证出△ADP≌△CDP，得PA=PC，再证明PA=PE，得PC=PE；（2）①如图2中，设AC交BD于O．首先证明PC=PE=PA，由∠CPE=60°推出PC=PE=CE=AC=4，由四边形ABCD是菱形，推出AC⊥BD，根据BP=PO+OB计算即可；②如图3中，利用①中方法计算即可；
39．如图1，平行四边形ABCD，DE⊥AB．垂足E在BA的延长线上，BF⊥DC，垂足F在DC的延长线上．
（1）求证：四边形BEDF是矩形；
（2）如图2，若M、N分别为AD、BC的中点，连接EM、EN、FM、FN，求证：四边形EMFN是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠ABF+∠F=180°，∠FDE+∠E=180°，
∵DE⊥AB．BF⊥DC，
∴∠E=90°，∠F=90°，
∴∠ABF=90°，∠FDE=90°，
∴四边形BEDF是矩形
（2）证明：∵平行四边形ABCD，四边形BEDF是矩形，
∴∠NBF+∠BCF=90°，∠EDM+∠ADC=90°，AD∥BC，AD=BC，BF=DE，
∴∠ADC=∠BCF，
∴∠NBF=∠MDE，
∵M、N分别为AD、BC的中点，
∴BN=DM，
在△BNF与△DME中
∴△BNF≌△DME（SAS），
∴EM=FN，
同理可得：EN=MF，
∴四边形EMFN是平行四边形
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和矩形的判定证明即可；（2）利用平行四边形的性质和矩形的性质得出BN=DM，BF=DE，∠NBF=∠MDE，进而证明△BNF≌△DME，得出EM=FN，同理得出EN=MF，进而证明四边形EMFN是平行四边形．
40．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．如果点E是AB的中点，AC=4，EC=2.5，写出求四边形ABCD的面积的思路．
【答案】解：①由AD∥CE，AE∥CD，可得四边形AECD为平行四边形，
②由AC平分∠BAD，AD∥CE，可得AE=CE，
综合①②可得四边形AECD是菱形，
③由∠ACE=∠EAC，∠ECB=∠B和△ABC内角和180°，可得△ABC是直角三角形，
④由菱形AECD和E为中点，可得S△AEC=S△ACD=S△BEC=3，
∴四边形ABCD的面积为9
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】由条件可证明四边形AECD为平行四边形，结合角平分线的定义可求得AE=CE，可证得四边形AECD为菱形，进一步可证得△ABC为直角三角形，则可求得△AEC、△ADC和△BEC的面积，可求得四边形ABCD的面积．
41．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A=90°，AD=BC=4，AB∥DC，OB=OD，
∴∠OBE=∠ODF，
在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形BEDF是平行四边形
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE=x，则 DE=x，AE=6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2=AD2+AE2，
∴x2=42+（6﹣x）2，
解得：x= ，
∵BD= =2 ，
∴OB= BD= ，
∵BD⊥EF，
∴EO= = ，
∴EF=2EO=
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在Rt△ADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长．
42．在 ABCD中，AB=2BC=4，E、F分别为AB、CD的中点
①求证：△ADE≌△CBF；
②若四边形DEBF为菱形，求四边形ABCD的面积．
【答案】①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∵AE=EB，DF=FC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF，
②连接BD，
由①有AE=EB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=EB=AE，
∴△ADB是直角三角形，
在Rt△ADB中，∵∠ADB=90°，AD=BC=2，AB=4，
∴BD= =2 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD=2 S△ADB=2× ×2×2 =4 ．
【知识点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的性质
【解析】【分析】①欲证明△ADE≌△CBF，只要证明AD=BC，∠A=∠C，AE=CF即可．②连接BD，根据S四边形ABCD=2S△ABD，只要证明△ADB是直角三角形，求出AD、BD即可解决问题．
43．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度的速度都是1cm/s，连结PQ，AQ，CP，设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t为何值时，四边形ABQP是矩形？
（2）当t为何值时，四边形AQCP是菱形？
（3）分别求出（2）中菱形AQCP的周长和面积．
【答案】（1）解：当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，即：t=8﹣t，
解得t=4．
答：当t=4时，四边形ABQP是矩形
（2）解：设t秒后，四边形AQCP是菱形
当AQ=CQ，即 =8﹣t时，四边形AQCP为菱形．
解得：t=3．
答：当t=3时，四边形AQCP是菱形
（3）解：当t=3时，CQ=5，则周长为：4CQ=20cm，
面积为：4×8﹣2× ×3×4=20（cm2）
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）当四边形ABQP是矩形时，BQ=AP，据此求得t的值；（2）当四边形AQCP是菱形时，AQ=AC，列方程求得运动的时间t；（3）菱形的四条边相等，则菱形的周长=4t，面积=矩形的面积﹣2个直角三角形的面积．
44．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）过点A作AH⊥BC于点H，求AH的长．
【答案】（1）证明：∵在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB=5，AC=6，BD=8，
∴AO= AC=3，BO= BD=4，
∵AB=5，且32+42=52，
∴AO2+BO2=AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB=90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形
（2）解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=5，
∵S△ABC= AC BO= BC AH，
∴ ×6×4= ×5×AH，
解得：AH= ．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质结合勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而得出四边形ABCD是菱形；（2）利用菱形的面积求法得出AH的长．
45．已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．
求证：四边形CEDF是正方形．
【答案】证明：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵DE=DF，
∴矩形DECF是正方形
【知识点】角平分线的性质；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【分析】要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形．