卷子答案网-一个不只有答案的网站甘肃省庆阳市陇东学院附属中学2020届九年级上学期数学第一次月考试卷
一、选择题
1．（2019九上·庆阳月考）方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝0 B．x1＝4，x2＝0
C．x＝4 D．x＝2
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2＝4x，
x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x﹣4＝0，x＝0，
x1＝4，x2＝0，
故答案为：B.
【分析】移项后分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
2．（2019九上·庆阳月考）如图，已知DE//BC，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，故A选项正确，B、C选项错误，
∴ ，
∴ ，即 ，故D选项错误，
故答案为：A.
【分析】由DE//BC可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例及合比性质对各选项逐一判断即可得答案.
3．（2019九上·庆阳月考）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四条边都相等
【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A.正方形对角相等，菱形对角也相等，故该选项不符合题意；
B.正方形对角线互相平分，菱形对角线也互相平分，故该选项不符合题意；
C.正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，故该选项符合题意；
D.正方形四条边都相等，菱形四条边也都相等，故该选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质，对各选项逐一判断即可得答案.
4．（2019八下·金华期中）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+3＝0 B．x2+2x+1＝0
C．x2﹣2＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．方程x2+x+3＝0中△＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，此方程无实数根；
B．方程x2+2x+1＝0中△＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根；
C．方程x2﹣2＝0中△＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故答案为：A．
【分析】分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案．①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
5．（2017·临沂模拟）一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下：
红 红 红 绿 绿
红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，红）
红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红）
红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿）
绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣
得到所有可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，
则P两次红= = ．
故选A
【分析】列表得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率．
6．下列说法正确的是（ ）.
A．矩形都是相似图形
B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形
D．等边三角形都是相似三角形
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；矩形的性质；相似图形
【解析】【解答】A．正方形是特殊的矩形，所以矩形不都是相似图形，所以此选项错误；
B．菱形的内角度数不定，所以菱形不都是相似图形，所以此选项错误；
C．菱形和正方形可以满足边长对应成比例，但不是相似图形，所以此选项错误；
D．等边三角形都是相似三角形，所以此选项正确．
故选：D．
【分析】根据相似图形的三条特点①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况，结合选项进行判断得出答案．
7．（2019八下·瑞安期中）用配方法解一元二次方程，将 化成 的形式，则 、 的值分别是（ ）
A． 3,11 B．3,11 C． 3,7 D．3,7
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-6x+2=0，
x2-6x=-2，
x2-6x+9=-2+9，
（x-3）2=7，
则a=-3，b=7．
故答案为：C．
【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案．
8．（2019九上·庆阳月考）如图，下列四组条件中，不能判定 是正方形的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OB，四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BD，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，不是正方形，故A选项符合题意；
∵ ，
∴四边形ABCD是正方形，故B选项不符合题意，
∵ ，四边形ABCD是平行四边形，
∴AC⊥BD，∠BDC=∠DCA，
∴OC=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意，
∵BC=CD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形，故D选项不符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的判定定理逐个进行判断即可.
9．（2019九上·庆阳月考）如图，在一幅长 ，宽 的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使矩形树叶画面积占到整个矩形挂图的90%，设金边的宽为 ，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设金边的宽为 ，
∵矩形树叶画长 ，宽 ，
∴矩形挂图的长为（80+2x），宽为（50+2x），
∵矩形树叶画面积占到整个矩形挂图的90%，
∴（80+2x）（50+2x）×90%=80×50，
故答案为：B.
【分析】设金边的宽为 ，则矩形挂图的长为（80+2x），宽为（50+2x），根据矩形树叶画面积占到整个矩形挂图的90%，利用矩形面积公式列方程即可.
10．（2019九上·庆阳月考）如图，在 中， ，分别以 的边向外作正方形，连接EC、BF，过B作 于M，交AC于N，下列结论：
≌ ； ； ； ，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BE，AM.
∵AB=AE，AF=AC，∠EAB=∠CAF，
∴∠BAF=∠EAC，
∴△BAF≌△EAC（SAS），故①正确，
∵AE∥CD，
∴S△AEC=S△ABE，
∵S正方形ABDE=2S△ABE，
∴S四边形ABDE=2S△AEC；故②正确；
∵BM⊥FG，AF⊥FG，
∴AF∥BM，
∴S矩形AFMN=2S△AFM=2S△AFB，故③正确，
∵∠ABC=∠ANB=90°，∠BAN=∠BAC，
∴△ABN∽△ACB，
∴AB2=AN AC，
∵AF=AC，
∴AB2=AN AF，
∴S正方形ABDE=S四边形AFMN，故④正确，
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等高模型即可一一判断；
二、填空题
11．（2019九上·庆阳月考）已知 ，则 .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据和比的性质即可得答案.
12．（2019九上·庆阳月考）“剪刀石头布”比赛规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀.若双方出现相同手势，则算打平，若小刚和小明两人只比赛一局，那么两人打平的概率 .
【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两人出相同手势情况数是3种，
∴出相同手势情况数概率= = ，
故答案为： .
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出相同手势情况数，再利用概率公式即可求得答案.
13．（2018九上·太原期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设BG=x，
则BE= x，
∵BE=BC，
∴BC= x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x： x= ：2，
故答案为：
【分析】设BG=x，可得BE= x，BC= x，可得两个正方形的相似比.
14．（2019九上·庆阳月考）有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了 个人.
【答案】20
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
∵一个人患了流感，经过两轮传染后第二次被传染的有420人，
∴x(x+1)=420，
解得：x1=20，x2=-21（舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了20个人，
故答案为：20
【分析】设平均一人传染了x人，根据一个人患了流感，经过两轮传染第二次被传染的有420人患了流感，列方程求解即可；
15．（2019九上·庆阳月考）如图，将一矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点B、C分别在x轴、y轴上，点A（4，3），点D为线段OC上一动点，将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，连接CE，则CE的最小值为 .
【答案】1
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，
∴BE=OB，
∵CE+BE≥BC，
∴点C、E、B在一条直线上时CE值最小，
∵点A（4，3），点B、C分别在x轴、y轴上，
∴OB=4，OC=3，
∴BC= =5，
∴CE=BC-BE=BC-OB=1，
故答案为：1.
【分析】如图，由三角形三边关系可得点C、E、B在一条直线上时CE值最小，根据矩形性质及点A坐标可得OB、OC的长，利用勾股定理可求出BC的长，折叠性质可得BE=OB， 根据线段的和差关系即可得答案.
三、解答题
16．（2019九上·庆阳月考）解下列方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
∵a=1，b=-8，c=-2，
∴△=（-8）2-4×（-2）=72，
∴x= ，
∴x1=4+ ，x2=4- .
（2）解：
4x2-4x+1=6x-3
2x2-5x+2=0
(2x-1)(x-2)=0
x1= ，x2=2.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式即可直接得出方程的解；
（2）先将方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用十字相乘法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可.
17．（2019九上·庆阳月考）已知：如图，矩形 中，对角线 与 交于点 ， ， .连接 ，求证： .
【答案】证明：∵ ， ，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形 中，对角线 与 交于点 ，
∴OD=OC，
∴四边形OCED是菱形，
∴ .
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】由 ， 可证明四边形OCED是平行四边形，由矩形的性质可得OD=OC，即可证明四边形OCED是菱形，根据菱形的对角线互相平行即可证明 .
18．（2019九上·庆阳月考）“数学文化节”中，获得“数学之星”称号的小颖得到了 ， ， ， 四枚纪念章（除头像外完全相同）如图所示，四枚纪念章上分别印有四位数学家的头像她将纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给妹妹，求小颖送给妹妹的两枚纪念章中恰好有一枚印有华罗庚头像的概率.
【答案】解：
∵共有12种等可能的结果，恰好有一枚印有华罗庚头像的情况数是6种，
∴恰好有一枚印有华罗庚头像的概率= = ，
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好有一枚印有华罗庚头像的情况数，再利用概率公式即可求得答案.
19．（2019九上·庆阳月考）如图， 中， 是 的平分线， ， ， ，求 的长.
【答案】解：∵ 是 的平分线，
∴∠EBD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴DE=BE，
∵DE//BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ ，
∵AB=AE+BE=AE+DE，
∴ ，即 ，
解得：DE1= ，DE2= （舍去），
∴DE的长为 .
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由平行线的性质及角平分线的等于可得∠EBD=∠EDB，可证明BE=DE，由DE//BC可证明△AED∽△ABC，根据相似三角形的性质可得 ，根据AB=AE+BE=AE+DE，代入 即可求出DE的长.
20．（2019八下·全椒期末）某商店在今年2月底以每袋23元的成本价收购一批农产品准备向外销售，当此农产品售价为每袋36元时，3月份销售125袋，4、5月份该农产品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，5月份的销售量达到180袋．设4、5这两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求4、5这两个月销售量的月平均增长率；
（2）6月份起，该商店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元袋，销量就增加4袋，当农产品每袋降价多少元时，该商店6月份获利1920元？
【答案】（1）解：设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：125（1+x）2=180，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：4、5两个月销售量的平均增长率为20%．
（2）解：设每袋降价y元，则6月份的销售量为（180+4y）袋，
依题意，得：（36-y-23）（180+4y）=1920，
解得：y1=3，y2=-35（不合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价3元时，该商店6月份获利1920元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x，根据3月份及5月份的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每袋降价y元，则6月份的销售量为（180+4y）袋，根据总利润=每袋利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
21．（2019九上·庆阳月考）如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形 ，且菱形 菱形 ，连接 ，求证： .
【答案】解：∵菱形 菱形 ，
∴∠DAB=∠EAG，
∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，
∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，
∴AE=AG，AB=AD，
在△EAB和△GAD中 ，
∴△EAB≌△GAD，
∴GD=EB.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB.
22．（2019九上·庆阳月考）如图所示，菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=60°，∠EAF=60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F.
（1）如图1所示，当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE+CF的值；
（2）如图2所示，当点 、 分别在 、 的延长线时，请从 ， 两题中任选一题作答，我选_▲_题.
题：则 的值是_▲_.
题：则 与 的关系是_▲_.
【答案】（1）解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=∠ACE=∠D=60°，
∵EAF=60°，
∴∠EAC+∠FAC=∠FAD+∠FAC=60°，
∴∠EAC=∠FAD，
在△EAC和△FAD中， ，
∴△EAC≌△FAD，
∴CE=DF，
∵AB=5，
∴CE+CF=CF+DF=CD=AB=5，
（2）A题：5；B题：CE-CF=5.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（2）A题：如图，连接AC，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF，
∴∠EAB=∠CAF，
∵∠ABC=∠ACD=60°，
∴∠ABE=∠ACF=120°，
在△ABE和△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，
∴CE-CF=CE-BE=BC=5.
故答案为：5
B题：同A题解法可得CE-CF=5.
故答案为：CE-CF=5.
【分析】（1）如图，连接AC，由菱形的性质可得AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=60°，可得△ABC和△ADC都是等边三角形，即可证明AC=AD,∠CAD=60°,根据角的和差关系可得∠EAC=∠FAD，利用ASA可证明△EAC≌△FAD,可得CE=DF，即可得出CF+CE=CF+DF=CD，可得答案；
（2）A题：如图，连接AC，由角的和差关系可得∠EAB=∠FAC，利用平角定义可得∠ABE=∠ACF，利用ASA可证明△AEB≌△AFC，可得BE=CF，即可得出CE-CF=CE-BE=BC，可得答案；B题：同A题解法可得答案.
23．（2019九上·庆阳月考）综合与实践：
问题情境：矩形旋转中的数学
已知在矩形 中， ， ，以点 为旋转中心，逆时针旋转矩形 ，旋转角为 ，得到矩形 ，点 、点 、点 的对应点分别为点 、点 、点 .
（1）操作猜想：如图①，当点 落在 边上时，求线段 的长度；
（2）深入探究：如图②，当点 落在线段 上时， 与 相交于点 ，连接 ，求线段 的长度；
（3）请从 A ， B 两题中任选一题作答，我选 题.
A 题：如图③，设点 为边 的中点，连接 ， ， ，在矩形 旋转过程中， 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由.
B 题：如图④，设点 为矩形 对角线交点，连接 ， ，在矩形 旋转过程中， 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由.
【答案】（1）解：∵以点 为旋转中心，逆时针旋转矩形 ，得到矩形 ，
， ，
∴AE=AB=CD=2，AD=BC=1，
∴DE= = ，
∴CE=CD-DE=2- .
（2）解：以点 为旋转中心，逆时针旋转矩形 ，得到矩形 ， ， ，
∴AE=AB=CD=2，∠AEF
∵点 落在线段 上，
∴∠AEC=90°，
在Rt△ACD和Rt△CAE中， ，
∴Rt△ACD≌Rt△CAE，
∴∠CAH=∠ACH，
∴AH=CH，
在Rt△ADH中，AH2=DH2+AD2，
∴（CD-DH）2=DH2+AD2，即（2-DH）2=DH2+12，
解得：DH= .
（3）A题；解：如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M，
∵点P为GF中点， ∴PG=PF=1， ∴PA=PE= = ， ∴S△BEP= PE·BM= BM， ∴当BM最大时，△BEP的面积最大， ∵BM≤BP，BP≤AB+AP=2+ ， ∴BM≤2+ ，即BM的最大值为2+ ， ∴△BEP的面积的最大值为： BM= ×（2+ ）= +1.
B题；如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M，
∵AB=2，BC=1，矩形AEFG由矩形ABCD旋转所得， ∴AF= = ， ∴PF= AF= ， ∴S△BFP= PF·BM= BM， ∴当BM最大时，△BFP的面积最大， ∵BM≤AB， ∴BM的最大值为AB=2， ∴△BFP的面积的最大值为 BM= ×2= .
【知识点】三角形三边关系；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理的应用；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AB，利用勾股定理可求出DE的长，即可得CE的长；
（2）如图，由旋转的性质及矩形性质可得AE=CD，∠AEF=∠B=90°，根据点 落在线段 上可得AE⊥CF，利用HL可证明△ACD≌△CAE，可得∠CAH=∠ACH，即可证明AH=CH，在Rt△ADH中，利用勾股定理列方程求出DH的长即可；
（3）A题：如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M，由点P为FG中点可得PF=PG=1，利用勾股定理可得PA=PE= ，即可得出S△BEP= PE·BM= BM，可得当BM最大时，△BEP的面积最大，根据三角形的三边关系及直角三角形的性质求出BM的最大值即可得答案；
B题：如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M，利用勾股定理可求出AF的长，根据矩形性质可求出PF的长，可得出S△BFP= PF·BM，可得BM最大时△BFP的面积最大，利用三角形的三边关系得出BM的最大值即可得答案.
甘肃省庆阳市陇东学院附属中学2020届九年级上学期数学第一次月考试卷
一、选择题
1．（2019九上·庆阳月考）方程x2＝4x的解是（ ）
A．x＝0 B．x1＝4，x2＝0
C．x＝4 D．x＝2
2．（2019九上·庆阳月考）如图，已知DE//BC，那么下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019九上·庆阳月考）正方形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线互相平分
C．对角线相等 D．四条边都相等
4．（2019八下·金华期中）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．x2+x+3＝0 B．x2+2x+1＝0
C．x2﹣2＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
5．（2017·临沂模拟）一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球，随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀后再随机摸出一球．两次都摸到红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法正确的是（ ）.
A．矩形都是相似图形
B．菱形都是相似图形
C．各边对应成比例的多边形是相似多边形
D．等边三角形都是相似三角形
7．（2019八下·瑞安期中）用配方法解一元二次方程，将 化成 的形式，则 、 的值分别是（ ）
A． 3,11 B．3,11 C． 3,7 D．3,7
8．（2019九上·庆阳月考）如图，下列四组条件中，不能判定 是正方形的有（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019九上·庆阳月考）如图，在一幅长 ，宽 的矩形树叶画四周镶一条金色的纸边，制成一幅矩形挂图，若要使矩形树叶画面积占到整个矩形挂图的90%，设金边的宽为 ，则满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2019九上·庆阳月考）如图，在 中， ，分别以 的边向外作正方形，连接EC、BF，过B作 于M，交AC于N，下列结论：
≌ ； ； ； ，其中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2019九上·庆阳月考）已知 ，则 .
12．（2019九上·庆阳月考）“剪刀石头布”比赛规则为：剪刀胜布，布胜石头，石头胜剪刀.若双方出现相同手势，则算打平，若小刚和小明两人只比赛一局，那么两人打平的概率 .
13．（2018九上·太原期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ．
14．（2019九上·庆阳月考）有一个人患了流感，经过两轮传染后得知第二次被传染的有420人，如果每轮传染率都相同，那么每轮传染中平均一个人传染了 个人.
15．（2019九上·庆阳月考）如图，将一矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点B、C分别在x轴、y轴上，点A（4，3），点D为线段OC上一动点，将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，连接CE，则CE的最小值为 .
三、解答题
16．（2019九上·庆阳月考）解下列方程：
（1）
（2）
17．（2019九上·庆阳月考）已知：如图，矩形 中，对角线 与 交于点 ， ， .连接 ，求证： .
18．（2019九上·庆阳月考）“数学文化节”中，获得“数学之星”称号的小颖得到了 ， ， ， 四枚纪念章（除头像外完全相同）如图所示，四枚纪念章上分别印有四位数学家的头像她将纪念章背面朝上放在桌面上，然后从中随机选取两枚送给妹妹，求小颖送给妹妹的两枚纪念章中恰好有一枚印有华罗庚头像的概率.
19．（2019九上·庆阳月考）如图， 中， 是 的平分线， ， ， ，求 的长.
20．（2019八下·全椒期末）某商店在今年2月底以每袋23元的成本价收购一批农产品准备向外销售，当此农产品售价为每袋36元时，3月份销售125袋，4、5月份该农产品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，5月份的销售量达到180袋．设4、5这两个月销售量的月平均增长率不变．
（1）求4、5这两个月销售量的月平均增长率；
（2）6月份起，该商店采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该农产品每降价1元袋，销量就增加4袋，当农产品每袋降价多少元时，该商店6月份获利1920元？
21．（2019九上·庆阳月考）如图，点 是菱形 对角线 的延长线上任意一点，以线段 为边作一个菱形 ，且菱形 菱形 ，连接 ，求证： .
22．（2019九上·庆阳月考）如图所示，菱形ABCD中，AB=5，∠ABC=60°，∠EAF=60°，∠EAF的两边分别交BC、CD于E、F.
（1）如图1所示，当点E、F分别在边BC、CD上时，求CE+CF的值；
（2）如图2所示，当点 、 分别在 、 的延长线时，请从 ， 两题中任选一题作答，我选_▲_题.
题：则 的值是_▲_.
题：则 与 的关系是_▲_.
23．（2019九上·庆阳月考）综合与实践：
问题情境：矩形旋转中的数学
已知在矩形 中， ， ，以点 为旋转中心，逆时针旋转矩形 ，旋转角为 ，得到矩形 ，点 、点 、点 的对应点分别为点 、点 、点 .
（1）操作猜想：如图①，当点 落在 边上时，求线段 的长度；
（2）深入探究：如图②，当点 落在线段 上时， 与 相交于点 ，连接 ，求线段 的长度；
（3）请从 A ， B 两题中任选一题作答，我选 题.
A 题：如图③，设点 为边 的中点，连接 ， ， ，在矩形 旋转过程中， 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由.
B 题：如图④，设点 为矩形 对角线交点，连接 ， ，在矩形 旋转过程中， 的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2＝4x，
x2﹣4x＝0，
x（x﹣4）＝0，
x﹣4＝0，x＝0，
x1＝4，x2＝0，
故答案为：B.
【分析】移项后分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可.
2．【答案】A
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ACB，
∴ ，故A选项正确，B、C选项错误，
∴ ，
∴ ，即 ，故D选项错误，
故答案为：A.
【分析】由DE//BC可得△ADE∽△ACB，根据相似三角形对应边成比例及合比性质对各选项逐一判断即可得答案.
3．【答案】C
【知识点】菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A.正方形对角相等，菱形对角也相等，故该选项不符合题意；
B.正方形对角线互相平分，菱形对角线也互相平分，故该选项不符合题意；
C.正方形对角线相等，菱形对角线不一定相等，故该选项符合题意；
D.正方形四条边都相等，菱形四条边也都相等，故该选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据正方形的性质以及菱形的性质，对各选项逐一判断即可得答案.
4．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．方程x2+x+3＝0中△＝12﹣4×1×3＝﹣11＜0，此方程无实数根；
B．方程x2+2x+1＝0中△＝22﹣4×1×1＝0，此方程有两个相等的实数根；
C．方程x2﹣2＝0中△＝02﹣4×1×（﹣2）＝8＞0，此方程有两个不相等的实数根；
D．方程x2﹣2x﹣3＝0中△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣3）＝16＞0，此方程有两个不相等的实数根；
故答案为：A．
【分析】分别计算出每个方程中的判别式的值，从而得出答案．①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
5．【答案】A
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：列表如下：
红 红 红 绿 绿
红 ﹣﹣﹣ （红，红） （红，红） （绿，红） （绿，红）
红 （红，红） ﹣﹣﹣ （红，红） （绿，红） （绿，红）
红 （红，红） （红，红） ﹣﹣﹣ （绿，红） （绿，红）
绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） ﹣﹣﹣ （绿，绿）
绿 （红，绿） （红，绿） （红，绿） （绿，绿） ﹣﹣﹣
得到所有可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种，
则P两次红= = ．
故选A
【分析】列表得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率．
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；矩形的性质；相似图形
【解析】【解答】A．正方形是特殊的矩形，所以矩形不都是相似图形，所以此选项错误；
B．菱形的内角度数不定，所以菱形不都是相似图形，所以此选项错误；
C．菱形和正方形可以满足边长对应成比例，但不是相似图形，所以此选项错误；
D．等边三角形都是相似三角形，所以此选项正确．
故选：D．
【分析】根据相似图形的三条特点①相似图形的形状必须完全相同；②相似图形的大小不一定相同；③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况，结合选项进行判断得出答案．
7．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x2-6x+2=0，
x2-6x=-2，
x2-6x+9=-2+9，
（x-3）2=7，
则a=-3，b=7．
故答案为：C．
【分析】根据配方法的一般步骤先把常数项2移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方，即可得出答案．
8．【答案】A
【知识点】正方形的判定
【解析】【解答】解：∵OA=OB，四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=BD，
∵∠BAD=90°，
∴四边形ABCD是矩形，不是正方形，故A选项符合题意；
∵ ，
∴四边形ABCD是正方形，故B选项不符合题意，
∵ ，四边形ABCD是平行四边形，
∴AC⊥BD，∠BDC=∠DCA，
∴OC=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形，故C选项不符合题意，
∵BC=CD，四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形，
∵OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形，故D选项不符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据正方形的判定定理逐个进行判断即可.
9．【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设金边的宽为 ，
∵矩形树叶画长 ，宽 ，
∴矩形挂图的长为（80+2x），宽为（50+2x），
∵矩形树叶画面积占到整个矩形挂图的90%，
∴（80+2x）（50+2x）×90%=80×50，
故答案为：B.
【分析】设金边的宽为 ，则矩形挂图的长为（80+2x），宽为（50+2x），根据矩形树叶画面积占到整个矩形挂图的90%，利用矩形面积公式列方程即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：连接BE，AM.
∵AB=AE，AF=AC，∠EAB=∠CAF，
∴∠BAF=∠EAC，
∴△BAF≌△EAC（SAS），故①正确，
∵AE∥CD，
∴S△AEC=S△ABE，
∵S正方形ABDE=2S△ABE，
∴S四边形ABDE=2S△AEC；故②正确；
∵BM⊥FG，AF⊥FG，
∴AF∥BM，
∴S矩形AFMN=2S△AFM=2S△AFB，故③正确，
∵∠ABC=∠ANB=90°，∠BAN=∠BAC，
∴△ABN∽△ACB，
∴AB2=AN AC，
∵AF=AC，
∴AB2=AN AF，
∴S正方形ABDE=S四边形AFMN，故④正确，
故答案为：D.
【分析】利用全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等高模型即可一一判断；
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据和比的性质即可得答案.
12．【答案】
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【解答】解：画树状图得：
∵共有9种等可能的结果，两人出相同手势情况数是3种，
∴出相同手势情况数概率= = ，
故答案为： .
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与出相同手势情况数，再利用概率公式即可求得答案.
13．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设BG=x，
则BE= x，
∵BE=BC，
∴BC= x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x： x= ：2，
故答案为：
【分析】设BG=x，可得BE= x，BC= x，可得两个正方形的相似比.
14．【答案】20
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设平均一人传染了x人，
∵一个人患了流感，经过两轮传染后第二次被传染的有420人，
∴x(x+1)=420，
解得：x1=20，x2=-21（舍去），
∴每轮传染中平均一个人传染了20个人，
故答案为：20
【分析】设平均一人传染了x人，根据一个人患了流感，经过两轮传染第二次被传染的有420人患了流感，列方程求解即可；
15．【答案】1
【知识点】坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接BC，
∵将△BOD沿BD翻折，点O落在点E处，
∴BE=OB，
∵CE+BE≥BC，
∴点C、E、B在一条直线上时CE值最小，
∵点A（4，3），点B、C分别在x轴、y轴上，
∴OB=4，OC=3，
∴BC= =5，
∴CE=BC-BE=BC-OB=1，
故答案为：1.
【分析】如图，由三角形三边关系可得点C、E、B在一条直线上时CE值最小，根据矩形性质及点A坐标可得OB、OC的长，利用勾股定理可求出BC的长，折叠性质可得BE=OB， 根据线段的和差关系即可得答案.
16．【答案】（1）解：
∵a=1，b=-8，c=-2，
∴△=（-8）2-4×（-2）=72，
∴x= ，
∴x1=4+ ，x2=4- .
（2）解：
4x2-4x+1=6x-3
2x2-5x+2=0
(2x-1)(x-2)=0
x1= ，x2=2.
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）算出方程根的判别式的值，由判别式的值大于0可知方程有两个不相等的实数根，进而利用求根公式即可直接得出方程的解；
（2）先将方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用十字相乘法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可.
17．【答案】证明：∵ ， ，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵矩形 中，对角线 与 交于点 ，
∴OD=OC，
∴四边形OCED是菱形，
∴ .
【知识点】菱形的性质；菱形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】由 ， 可证明四边形OCED是平行四边形，由矩形的性质可得OD=OC，即可证明四边形OCED是菱形，根据菱形的对角线互相平行即可证明 .
18．【答案】解：
∵共有12种等可能的结果，恰好有一枚印有华罗庚头像的情况数是6种，
∴恰好有一枚印有华罗庚头像的概率= = ，
【知识点】列表法与树状图法；概率公式
【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好有一枚印有华罗庚头像的情况数，再利用概率公式即可求得答案.
19．【答案】解：∵ 是 的平分线，
∴∠EBD=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EBD=∠EDB，
∴DE=BE，
∵DE//BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ ，
∵AB=AE+BE=AE+DE，
∴ ，即 ，
解得：DE1= ，DE2= （舍去），
∴DE的长为 .
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】由平行线的性质及角平分线的等于可得∠EBD=∠EDB，可证明BE=DE，由DE//BC可证明△AED∽△ABC，根据相似三角形的性质可得 ，根据AB=AE+BE=AE+DE，代入 即可求出DE的长.
20．【答案】（1）解：设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x，
依题意，得：125（1+x）2=180，
解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．
答：4、5两个月销售量的平均增长率为20%．
（2）解：设每袋降价y元，则6月份的销售量为（180+4y）袋，
依题意，得：（36-y-23）（180+4y）=1920，
解得：y1=3，y2=-35（不合题意，舍去）．
答：当农产品每袋降价3元时，该商店6月份获利1920元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设4、5这两个月销售量的月平均增长率为x，根据3月份及5月份的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设每袋降价y元，则6月份的销售量为（180+4y）袋，根据总利润=每袋利润×销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
21．【答案】解：∵菱形 菱形 ，
∴∠DAB=∠EAG，
∴∠DAB+∠GAB=∠EAG+∠GAB，即∠EAB=∠GAD，
∵四边形ABCD、AEFG都是菱形，
∴AE=AG，AB=AD，
在△EAB和△GAD中 ，
∴△EAB≌△GAD，
∴GD=EB.
【知识点】三角形全等及其性质；菱形的性质；相似多边形的性质；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】由相似多边形的性质可得∠DAB=∠EAG，根据角的和差关系可得∠EAB=∠GAD，根据菱形的性质可得AE=AG，AB=AD，利用SAS可证明△EAB≌△GAD，即可证明GD=EB.
22．【答案】（1）解：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=60°，
∴△ABC和△ADC都是等边三角形，
∴AC=AD，∠CAD=∠ACE=∠D=60°，
∵EAF=60°，
∴∠EAC+∠FAC=∠FAD+∠FAC=60°，
∴∠EAC=∠FAD，
在△EAC和△FAD中， ，
∴△EAC≌△FAD，
∴CE=DF，
∵AB=5，
∴CE+CF=CF+DF=CD=AB=5，
（2）A题：5；B题：CE-CF=5.
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；菱形的性质；三角形全等的判定（ASA）
【解析】【解答】解：（2）A题：如图，连接AC，
∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠EAB+∠BAF=∠CAF+∠BAF，
∴∠EAB=∠CAF，
∵∠ABC=∠ACD=60°，
∴∠ABE=∠ACF=120°，
在△ABE和△ACF中， ，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE=CF，
∴CE-CF=CE-BE=BC=5.
故答案为：5
B题：同A题解法可得CE-CF=5.
故答案为：CE-CF=5.
【分析】（1）如图，连接AC，由菱形的性质可得AB=AD=BC=CD，∠D=∠ABC=60°，可得△ABC和△ADC都是等边三角形，即可证明AC=AD,∠CAD=60°,根据角的和差关系可得∠EAC=∠FAD，利用ASA可证明△EAC≌△FAD,可得CE=DF，即可得出CF+CE=CF+DF=CD，可得答案；
（2）A题：如图，连接AC，由角的和差关系可得∠EAB=∠FAC，利用平角定义可得∠ABE=∠ACF，利用ASA可证明△AEB≌△AFC，可得BE=CF，即可得出CE-CF=CE-BE=BC，可得答案；B题：同A题解法可得答案.
23．【答案】（1）解：∵以点 为旋转中心，逆时针旋转矩形 ，得到矩形 ，
， ，
∴AE=AB=CD=2，AD=BC=1，
∴DE= = ，
∴CE=CD-DE=2- .
（2）解：以点 为旋转中心，逆时针旋转矩形 ，得到矩形 ， ， ，
∴AE=AB=CD=2，∠AEF
∵点 落在线段 上，
∴∠AEC=90°，
在Rt△ACD和Rt△CAE中， ，
∴Rt△ACD≌Rt△CAE，
∴∠CAH=∠ACH，
∴AH=CH，
在Rt△ADH中，AH2=DH2+AD2，
∴（CD-DH）2=DH2+AD2，即（2-DH）2=DH2+12，
解得：DH= .
（3）A题；解：如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M，
∵点P为GF中点， ∴PG=PF=1， ∴PA=PE= = ， ∴S△BEP= PE·BM= BM， ∴当BM最大时，△BEP的面积最大， ∵BM≤BP，BP≤AB+AP=2+ ， ∴BM≤2+ ，即BM的最大值为2+ ， ∴△BEP的面积的最大值为： BM= ×（2+ ）= +1.
B题；如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M，
∵AB=2，BC=1，矩形AEFG由矩形ABCD旋转所得， ∴AF= = ， ∴PF= AF= ， ∴S△BFP= PF·BM= BM， ∴当BM最大时，△BFP的面积最大， ∵BM≤AB， ∴BM的最大值为AB=2， ∴△BFP的面积的最大值为 BM= ×2= .
【知识点】三角形三边关系；直角三角形全等的判定（HL）；勾股定理的应用；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质可得AE=AB，利用勾股定理可求出DE的长，即可得CE的长；
（2）如图，由旋转的性质及矩形性质可得AE=CD，∠AEF=∠B=90°，根据点 落在线段 上可得AE⊥CF，利用HL可证明△ACD≌△CAE，可得∠CAH=∠ACH，即可证明AH=CH，在Rt△ADH中，利用勾股定理列方程求出DH的长即可；
（3）A题：如图，连接PA，作BM⊥PE，交PE延长线于M，由点P为FG中点可得PF=PG=1，利用勾股定理可得PA=PE= ，即可得出S△BEP= PE·BM= BM，可得当BM最大时，△BEP的面积最大，根据三角形的三边关系及直角三角形的性质求出BM的最大值即可得答案；
B题：如图，过点B作BM⊥FA，交FA延长线于M，利用勾股定理可求出AF的长，根据矩形性质可求出PF的长，可得出S△BFP= PF·BM，可得BM最大时△BFP的面积最大，利用三角形的三边关系得出BM的最大值即可得答案.
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