卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年广东省深圳市龙岗区平安里学校九年级（上）月考数学试卷（10月份）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.用配方法解方程，则配方正确的是( )
A. B. C. D.
2.如图，公路、互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则、两点间的距离为( )
A. B. C. D.
3.如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为( )
A. B. C. D.
4.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. D. 且
5.如图，菱形的对角线交于原点，若点的坐标为，点的坐标为，则的值为( )
A. B. C. D.
6.关于的方程的两个根，满足，且，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，菱形中对角线相交于点，且，若，，则的长是( )
A. B. C. D. 不确定
8.在“双减政策”的推动下，我县某中学学生每天书面作业时长明显减少年上学期每天书面作业平均时长为，经过年下学期和年上学期两次调整后，年上学期平均每天书面作业时长为设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为( )
A. B. C. D.
9.对于一元二次方程，下列说法．
若，则；
若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
若是方程的一个根，则一定有成立；
若是一元二次方程的根，则
其中正确的( )
A. 只有 B. 只有 C. D. 只有
10.如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，连接，，点，分别为，的中点，连接，则的长为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11.若一个菱形的周长为，一条对角线长为，则它的面积为______ ．
12.如图，已知：正方形的边长为，点、分别在、上，，与相交于点，点为的中点，连接，则的长为______．
13.若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是______．
14.方程的两根为，，且，则______．
15.如图，矩形中，，点为边上的一个动点，与关于直线对称，当为直角三角形时，的长为______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.本小题分
用配方法解方程：．
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
解下列方程：
； ．
19.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个实数根．
求实数的取值范围；
若，是该方程的两个根，且满足，求的值．
20.本小题分
关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若方程有一个根小于，求的取值范围．
21.本小题分
我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克元，按每千克元出售，平均每周可售出千克，后来经过市场调查发现，单价每降低元，则平均每周的销售量可增加千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利元，请回答：
每千克茶叶应降价多少元？
在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？
22.本小题分
如图，在中，分别是，的中点，，延长到点，使得，连
求证：四边形是菱形；
若，，求菱形的面积．
23.本小题分
如图，在四边形中，、相交于点，，，．
如图，求证：四边形为矩形；
如图，是边上任意一点，，，、分别是垂足，若，，求的值．
24.本小题分
如图，已知四边形为正方形，，点为对角线上一动点，连接，过点作交射线于点，以、为邻边作矩形，连接．
求证：矩形是正方形；
探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题可以用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好是方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
【解答】
解：，
，
，
．
故选A．
2.【答案】
【解析】解：公路、互相垂直，
，
为的中点，
，
，
，即，两点间的距离为，
故选：．
根据直角三角形斜边上的中线性质得出，再求出答案即可．
本题考查了直角三角形斜边上的中线，能熟记知识点是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，
，
点是的中点，，
，
故选：．
根据矩形的性质可得为中点，进而根据中位线定理可得结果．
本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形对角线互相平分的性质和中位线定理是解题关键．
4.【答案】
【解析】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
即：，
解得：，
关于的一元二次方程中，
则的取值范围是且．
故选：．
根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解得即可，同时还应注意二次项系数不能为．
本题考查了根的判别式，解题的关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
5.【答案】
【解析】解：菱形的对角线交于原点，点的坐标为，点的坐标为，
，，
解得，，
，
故选：．
根据题意可知，原点为对角线的中点，然后即可求得、的值，从而可以求得的值．
本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出、的值．
6.【答案】
【解析】解：，
，
或，
，
，，
，
，
解得．
故选：．
因式分解法可求，，再根据，可得关于的方程，解方程可求的值．
本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得，．
7.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，，
，，，
，，
，
，
，
故选：．
根据菱形的性质可得，，，然后利用勾股定理计算出长，再根据菱形的面积公式得到，进而得到的长，然后根据直角三角形的面积计算出长即可．
此题主要考查了菱形的性质、面积，以及勾股定理，关键是掌握菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
8.【答案】
【解析】解：设根据题意得：．
故选：．
利用年上学期平均每天书面作业时长年上学期每天书面作业平均时长该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：若，则是方程的解，
由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知，故正确；
方程有两个不相等的实根，
则方程的判别式
方程必有两个不相等的实根，故正确；
是方程的一个根，
则，
，
若，等式仍然成立，
但不一定成立，故不正确；
若是一元二次方程的根，
则由求根公式可得：
或
或
故正确．
故选：．
按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．
本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：连接并延长交于，连接，
四边形是正方形，
，，，
，，
为的中点，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点为的中点，
，
为的中点，
，
，
，
故选：．
连接并延长交于，连接，由正方形推出，，，证得≌，得到，，根据三角形中位线定理得到，由勾股定理求出即可得到．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形的中位线定理，正确作出辅助线且证出是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：已知，菱形对角线互相垂直平分，
，
又菱形周长为，
，
，
，
菱形的面积为
故答案为：．
根据菱形四条边都相等求出边长，再根据菱形的对角线互相垂直平分，利用勾股定理列式求出另一对角线的一半，从而得到另一对角线的长度，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解．
本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，考查了菱形各边长相等的性质，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中根据勾股定理求的值是解题的关键，难度一般．
12.【答案】
【解析】解：四边形为正方形，
，，
在和中，
≌，
，
，
，
，
点为的中点，
，
，
故答案为：
根据正方形的四条边都相等可得，每一个角都是直角可得，然后利用“边角边”证明≌得，进一步得，从而知，利用勾股定理求出的长即可得出答案．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形两锐角互余等知识，掌握三角形全等的判定方法与正方形的性质是解题的关键．
13.【答案】且
【解析】解：根据题意得且，
解得且．
故答案为且．
利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
14.【答案】
【解析】解：方程的两根为，，
，
，
由题意得：；，
，
，
，，
故答案为：．
根据根与系数的关系得出及的值，代入所求代数式得出的值，再看的值是否满足中的取值范围即可．
本题考查的是根与系数的关系及根的判别式，在解答此题时要熟知熟知一元二次方程中，
当时，方程有两个不相等的两个实数根；
，．
15.【答案】或
【解析】解：当时，如图，
，
根据轴对称的性质得，
，
是等腰直角三角形，
；
当时，如图，
根据轴对称的性质得，，，
、、在同一直线上，
四边形是矩形，
，
根据勾股定理得，
，
设，则，
在中，，
即，
解得，
即；
综上所述：的长为或；
故答案为：或．
本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，划出图形是解题关键．
16.【答案】解：，
，
，
，
，
，
或，
，．
【解析】利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
或，
，．
【解析】利用直接开平方法解一元二次方程即可．
本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．
18.【答案】解：，，，
，
则，
即，；
，
，
则或，
解得，．
【解析】利用公式法求解即可；
利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
19.【答案】解：有两个实数根，
，
，
；
，是该方程的两个根，
，，
，
，
或．
，
．
【解析】利用根的判别式，即可求出答案；
先将足转化成，再运用根与系数的关系即可求出答案．
本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键．
20.【答案】证明：在方程中，
，
方程总有两个实数根；
解：，
即，
即，
，．
方程有一根小于，
，
解得：，
的取值范围为．
【解析】本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程解答本题的关键是正确求出该方程的两个根．
根据方程的系数结合根的判别式，可得，由此可证出方程总有两个实数根；
利用因式分解法解一元二次方程，可得出、，根据方程有一根小于，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围．
21.【答案】解：设每千克茶叶应降价元，则平均每周可售出千克，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答：每千克茶叶应降价元或元．
为尽可能让利于顾客，
，
．
答：该店应按原售价的折出售．
【解析】设每千克茶叶应降价元，则平均每周可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论；
结合可得出，再由现售价及原价可求出打的折扣数．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22.【答案】证明：、分别是、的中点，
且，
又，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是菱形；
解：，
，
是等边三角形，
，
过点作于点，
，
．
【解析】从所给的条件可知，是中位线，所以且，所以和平行且相等，所以四边形是平行四边形，又因为，所以是菱形；
由是，可得为，即可得是等边三角形，求得，再过点作于点，求的高的长，即可求得答案．
本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．注意证得是等边三角形是关键．
23.【答案】证明：，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形；
如图，连接，
，，
，
，
，
，
，
．
【解析】先证四边形是平行四边形，得出，，再证出，即可得出结论；
由勾股定理可求，由面积法可求解．
本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质，属于中考常考题型．
24.【答案】证明：过作于点，过作于点，如图所示：
正方形，
，，
，且，
四边形为正方形，，
，
，
又，
在和中，
≌，
，
矩形为正方形；
解：的值为定值，理由如下：
矩形为正方形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
≌，
，
，
是定值．
【解析】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质，矩形的判定，三角形的全等的性质和判定，解本题的关键是作出辅助线，判断三角形全等．
作出辅助线，得到，然后判断，得到≌，则有，即可证得结论；
利用证出≌，得到，得出即可．
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