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9.2 库仑定律
（总分：100分，建议时间：30分钟）
一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
1．就字面上理解，“点电荷”就是带电体，是一个没有大小和形状的几何点。下列有关点电荷和库仑定律的说法，正确的是（ ）
A．点电荷是一个实际模型，真正的点电荷是存在的
B．体积和带电荷量都很小的带电体在任何情况下都可视为点电荷
C．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状、大小及电荷分布对所研究问题的影响是否可以忽略
D．两带电荷量分别为的球体间的作用力在任何情况下都可用公式来计算
【答案】C
【详解】ABC．点电荷不是客观存在的，是理想模型，一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计，A错误，B错误，C正确；
D．库仑定律适用于真空中的点电荷之间的相互作用，选项D错误。
故选C。
2．场是物质的一种存在形式。两个静止的电荷之间存在静电力，静止的电荷在其周围产生静电场；同样地，两个有质量的物体之间存在万有引力，有质量的物体在其周围产生引力场。场的强弱可以用场强度来描述，例如电场强度E是描述电场强弱的物理量，其定义为检验电荷在电场中某点受到的电场力F与其所带电荷量q之比，即。在前人研究的基础上，有一位物理学家利用图所示的扭秤装置进行研究，提出真空中两个静止点电荷之间相互作用的规律，这位物理学家是（ ）
A．牛顿 B．伽利略 C．库仑 D．焦耳
【答案】C
【详解】真空中两个静止点电荷之间相互作用的规律，即库仑定律，是库仑提出的。
故选C。
3．两个用相同材料制成的半径相等的带异种电荷的金属小球，其中一个球的带电量的是另一个的5倍，它们间的库仑力大小是F，现将两球接触后再放回原处，它们间库仑力的大小是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】两金属小球带异种电荷，设一个球的带电量为Q，则另一个球的带电量为-5Q，它们间的库仑力大小F为
接触后再分开，带电量各为-2Q，则两球的库仑力大小为
故选A。
4．如图所示，半径均为r的两个金属球，其球心相距为3r，现使两球带上等量的同种电荷，电荷量都为q，设静电力常量为k。则对两球间的静电力F的判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】带同种电荷的两金属球，由于同种电荷相互排斥，所带电量集中在两球的外侧，两带电金属球等效的点电荷间距离大于3r，故由库仑定律可知，库仑力一定小于距离是3r时的库仑力，即
故选D。
5．某同学探究接触带电现象，所用实验装置如图所示。两个完全相同、有绝缘底座的带电金属小球A、B（均可看成点电荷），分别带有和的电荷量，两球间静电力大小为。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，接着再使A、B间距离增大为原来的2倍，则此时A、B间的静电力大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据库仑定律知
用不带电的小球C与A接触，则A、C的电荷量为
C与B再接触，则B的电荷量为
根据库仑定律知此时静电力大小
故选A。
6．可视为点电荷的a、b两个带电小球所带的电荷量分别为6q和－q，质量分别为m和3m，两球间球间用一长为L的绝缘细线连接，用长度也为L的另一绝缘细线将a悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时两细线都被拉紧，则平衡时两球的位置可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】a带正电，受到的电场力水平向左，b带负电，受到的电场力水平向右，以整体为研究对象，整体所受电场力大小为5Eq，方向水平向左，则上面悬挂a的绳子应向左偏转，设上面的绳子与竖直方向的夹角为，则由平衡条件可得
以b球为研究对象，设a、b间绳子与竖直方向的夹角为，则由平衡条件可得
可得
由几何关系可知，b球在悬点偏左的位置。
故选B。
7．如图所示，直角三角形中，、两处的点电荷所带电荷量分别为、，测得在处的某正点电荷所受静电力方向平行于向左，则下列说法正确的是（ ）
A．处电荷带正电，处电荷带正电
B．处电荷带负电，处电荷带正电
C．处电荷带负电，处电荷带负电
D．处电荷带正电，处电荷带负电
【答案】B
【详解】测得在处的某正点电荷所受静电力方向平行于向左，可知处的某正点电荷受到处电荷的库仑引力，受到处电荷的库仑斥力，如图所示
可知处电荷带负电，处电荷带正电。
故选B。
8．如图，光滑绝缘的水平面上固定两个带有等量正电荷的小球A、B。将一带电小球C放在A、B连线的中点O处，C恰好处于静止状态。若将B缓慢向右移动，则C将（ ）
A．静止不动
B．向左运动
C．向右运动
D．可能向左，也可能向右运动
【答案】D
【详解】A、B两个固定的点电荷电荷，两者连线中点场强为零，电荷B十分缓慢地远离A点移动，导致原来的位置场强不为零，根据场强叠加的原理，可知场强向右，由于不清楚小球C的电性，所以小球C可能受到靠近A的力，也有可能受靠近B的力，所以小球C的运动情况是可能向左，也可能向右运动，故ABC错误，D正确。
故选D。
二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分，多选或错选不得分，少选得3分）
9．如图所示，可视为点电荷的小球A、B分别带负电和正电，B球固定，其正下方的A球静止在绝缘斜面上，则A球受力个数可能为（ ）
A．可能受到2个力作用 B．可能受到3个力作用
C．可能受到4个力作用 D．可能受到5个力作用
【答案】AC
【详解】首先A受重力和B给的吸引力，若重力和吸引力恰好相等，则可以满足受力平衡的条件，所以A球可能受到2个力的作用；
若向上的吸引力小于重力，则A对斜面有压力，会受到斜面的支持力，若要合力为0处于平衡状态，必须还要受沿斜面向上的摩擦力才可以，所以A有可能受四个力的作用，故AC正确，BD错误。
故选AC。
10．如图所示，为边长为L的正方形，O点为正方形的中心，在A、C两处分别固定两个等量异种点电荷、，竖直绝缘细杆固定在处，一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）套在杆上。现将小球从B点由静止释放，小球通过O点时的速度大小为v。静电力常量为k，小球与杆各处间的动摩擦因数相同。下列说法正确的是（ ）
A．小球在B处时受到的电场力大小为
B．小球通过O点时所受杆的弹力大小为
C．小球通过O点时受到的滑动摩擦力最大
D．小球通过D点时的速度大小为
【答案】ACD
【详解】A．小球在B处时受到的电场力为A，C两处点电荷对小球的库仑力的合力，其大小
故A正确；
BC．小球水平方向受力平衡，小球通过O点时所受电场力最大，此时小球所受杆的弹力最大，最大弹力
根据滑动摩擦定律可知，此时小球受到的滑动摩擦力最大，故B错误，C正确；
D．根据对称性可知，小球从B点运动到O点与从O点运动到D点克服摩擦力做的功相等，根据动能定理有
解得
故D正确。
故选ACD。
11．质量为m、电荷量为的带电小球A固定在绝缘天花板上、带电小球B质量也为m，A和B都可以视为点电荷，B在空中水平面内绕O点做半径为R的匀速圆周运动，如图所示。已知小球A、B间的距离为2R，重力加速度为g，静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A．B球受到重力、库仑力、向心力三个力作用
B．天花板对A球的作用力大小为
C．B球电量绝对值大小为
D．B球转动的角速度为
【答案】BD
【详解】A．B球受到重力、库仑力两个力作用，两个力的合力提供向心力，A错误；
D．由几何关系可知，AB连线与竖直方向夹角为30°，根据力的合成可得B球做圆周运动的向心力大小为
设B球转动的角速度为ω，根据向心力公式有
联立解得
D正确；
C．A、B间库仑力大小可表示为
解得
C错误；
B．将A、B视为一个整体，天花板对A球的作用力在竖直方向的分力大小等于整体的重力大小，在水平方向的分力提供B球做匀速圆周运动的向心力，则天花板对A球的作用力大小为
B正确。
故选BD。
12．水平放置的光滑绝缘环上套有三个带电小球，小球可在环上自由移动。如图所示是小球平衡后的可能位置。图甲中三个小球构成一个钝角三角形，A点是钝角的顶点。图乙中三个小球构成一个锐角三角形，其中三角形边长。下列说法正确的是（ ）
A．图甲中A、B两个小球一定带异种电荷 B．图甲中三个小球一定带等量电荷
C．图乙中三个小球一定带同种电荷 D．图乙中三个小球带电荷量的大小为
【答案】AC
【详解】AB．由于圆环光滑，因此圆环对小球的弹力一定沿半径方向指向圆心或背离圆心，因而每个小球受其他两个小球的库仑力的合力必须沿半径方向背离圆心或指向圆心。对题图甲中的C球受力分析，若A、B两球带同种电荷，则A、B两球对C球产生的库仑力的合力不可能沿半径方向背离圆心或指向圆心，因此A、B两球一定带异种电荷，钝角三角形ABC的角度大小未知，三小球不一定带等量电荷，A正确，B错误；
C．对E、D、F三小球分别进行受力分析，要保持平衡，三小球必须带同种电荷，C正确；
D．对D球受力分析如图所示，为计算方便，设
则有
由几何知识可知
所以有
同理对F球受力分析可得
对E球受力分析可得
综上所述有
D错误。
故选AC。
三、解答题
13．（8分）如图，把质量m=0.2kg、带正电的小球A用绝缘细绳悬挂起来，若将电荷的带负电小球B靠近小球A，当两个带电小球在同一高度相距r=30cm时，绳与竖直方向恰成45°角且小球A处于平衡状态，静电力常量，。（小球A、B可看成点电荷）求：
（1）B球受到的库仑力大小；
（2）A球所带电荷量。
【答案】（1）2N；（2）
【详解】（1）对A进行受力分析，如图所示
根据共点力平衡条件，结合几何关系得
解得
根据牛顿第三定律可知，B球受到的库仑力大小为2N。
（2）由库仑定律得
其中
解得
14．（10分）如图所示，绝缘水平面上静止着两个质量均为m、电荷量均为＋Q的物体A和B（均可视为点电荷），它们间的距离为r，物体A和B与水平面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，静电力常量为k。
（1）A所受的摩擦力为多大？
（2）如果将A的电荷量增至＋4Q，两物体开始运动，当它们的速度达到最大时，求A、B之间的距离。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）物体A水平方向受库仑力和静摩擦力平衡，结合库仑定律则有
（2）当A、B的速度达到最大时，则A、B加速度为0，此时滑动摩擦力与库仑力等大反向
解得
15．（12分）如图所示，绝缘直杆长为L=2m，与水平面成30°角放置，一端固定一个电荷量为Q=＋2.0×10-5C的点电荷，中间有孔的两个滑块A、B（可看做质点）套在绝缘杆上，两滑块与绝缘杆间的动摩擦因数相等。滑块B所带电荷量为q=＋4.0×10-5C，滑块A不带电，A、B之间绝缘，A、B的质量分别为0.80 kg、0.64 kg。开始时两滑块靠在一起保持静止状态，且此时A、B与直杆间恰无摩擦力作用。为使A沿直杆始终做加速度为a=1.5m/s2的匀加速直线运动，现给A施加一沿直杆向上的力F，当A向上滑动0.2 m后，力F的大小不再发生变化。A运动到绝缘杆顶端时，撤去外力F。（静电力常量k=9.0×109N·m2/C2，g取10 m/s2）求：
（1）开始时未施加力F，滑块B与直杆底端点电荷之间的距离；
（2）滑块与直杆间的动摩擦因数；
（3）若A向上滑动0.2 m的过程中库仑力做的功为1.2J，在A由静止开始到运动至绝缘杆顶端的过程中，力F对A做的总功？
【答案】（1）1.0m；（2）；（3）6.05J
【详解】(1)A、B处于静止状态时，与杆之间无摩擦力作用．设B与点电荷间距离为L1，则库仑斥力为
以A、B整体为研究对象，根据平衡条件得
F0=（mA+mB）gsin 30°
代入数据联立解得
L1=1.0 m
(2)给A施加力F后，A、B沿直杆向上做匀加速直线运动，库仑斥力逐渐减小，A、B之间的弹力也逐渐减小．当点电荷与B间距离为L2时，A、B两者间弹力减小到零，此后两者分离，力F变为恒力，则分离时刻的库仑斥力为
B与点电荷间的距离为
L2=L1+△L=1.0 m+0.2 m=1.2 m
以B为研究对象，由牛顿第二定律有
F0′-mBgsin 30°-μmBgcos 30°=mBa
代入数据联立解得
(3) 设A、B整体做匀加速运动过程末速度为v1，力F做的功为W1，由动能定理有
由题意知
W0=1.2 J
重力做负功为
WG=-（mA+mB）g△Lsin 30°
摩擦力做负功为
Wf=-μ（mA+mB）g△Lcos 30°
已知A做匀加速直线运动，根据运动学公式得
v12=2a△L
代入数据联立解得
W1=1.05J
A、B分离后，A继续做匀加速直线运动，以A为研究对象，由牛顿第二定律得
F-mAgsin 30°-μmAgcos 30°=mAa
代入数据解得
F=6.25N
分离后A上滑0.8 m才能到达绝缘杆顶端，这个过程F做的功为
W2=F（L-L2）=5J
解得
W=W1+W2=6.05J
机械能增加为
16．（14分）如图甲所示，将质量为、电荷量为的带电小球锁定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置质量为的带电小球，现给小球一个垂直A、B连线的速度，使其绕小球做半径为的匀速圆周运动；如图乙所示，解除对小球的锁定，使小球和在水平桌面内绕其连线上的点做匀速圆周运动，小球A、B间的距离仍为。静电力常量为，忽略小球和之间的万有引力作用，带电小球A、B可视为质点。求：
（1）小球的带电量大小；
（2）图乙中小球做圆周运动的轨道半径及角速度大小。
【答案】（1）；（2），
【详解】（1）根据题意，对小球，库仑力提供向心力，则有
解得
（2）根据题意，由库仑力提供向心力得
又有
解得
，
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9.2 库仑定律
（总分：100分，建议时间：30分钟）
一、单选题（本题共8小题，每小题4分，共32分）
1．就字面上理解，“点电荷”就是带电体，是一个没有大小和形状的几何点。下列有关点电荷和库仑定律的说法，正确的是（ ）
A．点电荷是一个实际模型，真正的点电荷是存在的
B．体积和带电荷量都很小的带电体在任何情况下都可视为点电荷
C．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状、大小及电荷分布对所研究问题的影响是否可以忽略
D．两带电荷量分别为的球体间的作用力在任何情况下都可用公式来计算
2．场是物质的一种存在形式。两个静止的电荷之间存在静电力，静止的电荷在其周围产生静电场；同样地，两个有质量的物体之间存在万有引力，有质量的物体在其周围产生引力场。场的强弱可以用场强度来描述，例如电场强度E是描述电场强弱的物理量，其定义为检验电荷在电场中某点受到的电场力F与其所带电荷量q之比，即。在前人研究的基础上，有一位物理学家利用图所示的扭秤装置进行研究，提出真空中两个静止点电荷之间相互作用的规律，这位物理学家是（ ）
A．牛顿 B．伽利略 C．库仑 D．焦耳
3．两个用相同材料制成的半径相等的带异种电荷的金属小球，其中一个球的带电量的是另一个的5倍，它们间的库仑力大小是F，现将两球接触后再放回原处，它们间库仑力的大小是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图所示，半径均为r的两个金属球，其球心相距为3r，现使两球带上等量的同种电荷，电荷量都为q，设静电力常量为k。则对两球间的静电力F的判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．某同学探究接触带电现象，所用实验装置如图所示。两个完全相同、有绝缘底座的带电金属小球A、B（均可看成点电荷），分别带有和的电荷量，两球间静电力大小为。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，接着再使A、B间距离增大为原来的2倍，则此时A、B间的静电力大小为（ ）
A． B． C． D．
6．可视为点电荷的a、b两个带电小球所带的电荷量分别为6q和－q，质量分别为m和3m，两球间球间用一长为L的绝缘细线连接，用长度也为L的另一绝缘细线将a悬挂在天花板上，在两球所在的空间有方向向左的匀强电场，电场强度为E，平衡时两细线都被拉紧，则平衡时两球的位置可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
7．如图所示，直角三角形中，、两处的点电荷所带电荷量分别为、，测得在处的某正点电荷所受静电力方向平行于向左，则下列说法正确的是（ ）
A．处电荷带正电，处电荷带正电
B．处电荷带负电，处电荷带正电
C．处电荷带负电，处电荷带负电
D．处电荷带正电，处电荷带负电
8．如图，光滑绝缘的水平面上固定两个带有等量正电荷的小球A、B。将一带电小球C放在A、B连线的中点O处，C恰好处于静止状态。若将B缓慢向右移动，则C将（ ）
A．静止不动
B．向左运动
C．向右运动
D．可能向左，也可能向右运动
二、多选题（本题共4小题，每小题6分，共24分，多选或错选不得分，少选得3分）
9．如图所示，可视为点电荷的小球A、B分别带负电和正电，B球固定，其正下方的A球静止在绝缘斜面上，则A球受力个数可能为（ ）
A．可能受到2个力作用 B．可能受到3个力作用
C．可能受到4个力作用 D．可能受到5个力作用
10．如图所示，为边长为L的正方形，O点为正方形的中心，在A、C两处分别固定两个等量异种点电荷、，竖直绝缘细杆固定在处，一质量为m、电荷量为q的带正电小球（视为质点）套在杆上。现将小球从B点由静止释放，小球通过O点时的速度大小为v。静电力常量为k，小球与杆各处间的动摩擦因数相同。下列说法正确的是（ ）
A．小球在B处时受到的电场力大小为
B．小球通过O点时所受杆的弹力大小为
C．小球通过O点时受到的滑动摩擦力最大
D．小球通过D点时的速度大小为
11．质量为m、电荷量为的带电小球A固定在绝缘天花板上、带电小球B质量也为m，A和B都可以视为点电荷，B在空中水平面内绕O点做半径为R的匀速圆周运动，如图所示。已知小球A、B间的距离为2R，重力加速度为g，静电力常量为k，则下列说法正确的是（ ）
A．B球受到重力、库仑力、向心力三个力作用
B．天花板对A球的作用力大小为
C．B球电量绝对值大小为
D．B球转动的角速度为
12．水平放置的光滑绝缘环上套有三个带电小球，小球可在环上自由移动。如图所示是小球平衡后的可能位置。图甲中三个小球构成一个钝角三角形，A点是钝角的顶点。图乙中三个小球构成一个锐角三角形，其中三角形边长。下列说法正确的是（ ）
A．图甲中A、B两个小球一定带异种电荷 B．图甲中三个小球一定带等量电荷
C．图乙中三个小球一定带同种电荷 D．图乙中三个小球带电荷量的大小为
三、解答题
13．（8分）如图，把质量m=0.2kg、带正电的小球A用绝缘细绳悬挂起来，若将电荷的带负电小球B靠近小球A，当两个带电小球在同一高度相距r=30cm时，绳与竖直方向恰成45°角且小球A处于平衡状态，静电力常量，。（小球A、B可看成点电荷）求：
（1）B球受到的库仑力大小；
（2）A球所带电荷量。
14．（10分）如图所示，绝缘水平面上静止着两个质量均为m、电荷量均为＋Q的物体A和B（均可视为点电荷），它们间的距离为r，物体A和B与水平面间的动摩擦因数均为，重力加速度为g，静电力常量为k。
（1）A所受的摩擦力为多大？
（2）如果将A的电荷量增至＋4Q，两物体开始运动，当它们的速度达到最大时，求A、B之间的距离。
15．（12分）如图所示，绝缘直杆长为L=2m，与水平面成30°角放置，一端固定一个电荷量为Q=＋2.0×10-5C的点电荷，中间有孔的两个滑块A、B（可看做质点）套在绝缘杆上，两滑块与绝缘杆间的动摩擦因数相等。滑块B所带电荷量为q=＋4.0×10-5C，滑块A不带电，A、B之间绝缘，A、B的质量分别为0.80 kg、0.64 kg。开始时两滑块靠在一起保持静止状态，且此时A、B与直杆间恰无摩擦力作用。为使A沿直杆始终做加速度为a=1.5m/s2的匀加速直线运动，现给A施加一沿直杆向上的力F，当A向上滑动0.2 m后，力F的大小不再发生变化。A运动到绝缘杆顶端时，撤去外力F。（静电力常量k=9.0×109N·m2/C2，g取10 m/s2）求：
（1）开始时未施加力F，滑块B与直杆底端点电荷之间的距离；
（2）滑块与直杆间的动摩擦因数；
（3）若A向上滑动0.2 m的过程中库仑力做的功为1.2J，在A由静止开始到运动至绝缘杆顶端的过程中，力F对A做的总功？
16．（14分）如图甲所示，将质量为、电荷量为的带电小球锁定在光滑的绝缘水平桌面上，在桌面的另一处放置质量为的带电小球，现给小球一个垂直A、B连线的速度，使其绕小球做半径为的匀速圆周运动；如图乙所示，解除对小球的锁定，使小球和在水平桌面内绕其连线上的点做匀速圆周运动，小球A、B间的距离仍为。静电力常量为，忽略小球和之间的万有引力作用，带电小球A、B可视为质点。求：
（1）小球的带电量大小；
（2）图乙中小球做圆周运动的轨道半径及角速度大小。
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