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浙教版2023年九年级上册第1章 二次函数 章末检测卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．下列函数中，表示y是x的二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是（ ）
A．x＝1 B．x＝﹣1 C．x＝2 D．x＝﹣2
3．抛物线y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标是（ ）
A．（﹣1，2） B．（2，1） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
4．如图，正方形ABCD和⊙O的周长之和为a（a为常数）cm，设圆的半径为xcm，正方形的边长为ycm，阴影部分的面积为Scm2，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x．S与x满足的函数关系分别是（ ）
A．二次函数关系，二次函数关系 B．二次函数关系，一次函数关系
C．一次函数关系，一次函数关系 D．一次函数关系，二次函数关系
5．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 …
当y＜5时，自变量x的取值范围是（ ）
A．x＜﹣2 B．﹣1＜x＜5 C．x＞4 D．﹣2＜x＜4
6．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣4x+c2（a≠0）与一次函数y＝4x﹣c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数y＝ax2+4x+1（a为实数，且a＜0），对于满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有﹣2≤y≤2，则m的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．
8．已知二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，若点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（5，y3）都在该函数图象上，则y1，y2，y3三者之间的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
9．如表给出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为（ ）
x … 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 …
y … ﹣1.16 ﹣0.71 ﹣0.24 0.25 0.76 …
A．1.2＜x1＜1.3 B．1.3＜x1＜1.4 C．1.4＜x1＜1.5 D．1.5＜x1＜1.6
10．长方形的周长为24cm，其中一边长为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A．y＝x2 B．y＝12﹣x2 C．y＝（12﹣x） x D．y＝2（12﹣x）
11．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m．水面上升1.5m，水面宽度为（ ）
A．1m B．2m C．m D．m
12．抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＞0）经过（0，0），（4，0）两点．则下列四个结论正确的有（ ）
①4a+b＝0；
②5a+3b+2c＞0；
③若该抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有交点，则a的取值范围是a≥；
④对于a的每一个确定值，如果一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0（t 为常数，t≤0）的根为整数，则t的值只有3个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．如果函数+3是二次函数，则m的值为 ．
14．二次函数y＝﹣x2+9的最大值是 ．
15．将抛物线y＝x2+2x+3化为y＝a（x﹣h）2+k的形式是 ．
16．将抛物线y＝x2向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是 ．
17．2022年9月29日，C919大型客机取得中国民用航空局型号合格证，这标志着我国具备按照国际通行适航标准研制大型客机的能力，是我国大飞机事业征程上的重要里程碑．如果某型号飞机降落后滑行的距离s（单位：米）关于滑行的时间t（单位：秒）的函数解析式是，则该飞机着陆后滑行最长时间为 秒．
18．已知函数y＝x2﹣6x+2，当﹣1＜x＜4时，则y的取值范围为 ．
三．解答题（共7小题，满分60分）
19．（6分）已知二次函数y＝ax2，当x＝3时，y＝3．
（1）求当x＝﹣2时，y的值．
（2）写出它的图象的对称轴、顶点坐标和开口方向．
20．（6分）已知二次函数y＝﹣（x+4）2，将此函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度．
（1）请写出平移后图象所对应的函数解析式；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中，画出平移后的图象；
（3）根据所画的函数图象，写出当y＜0时x的取值范围．
21．（8分）电商平台销售某款儿童组装玩具，进价为每件100元，在销售过程中发现，每周的销售量y（件）与每件玩具售价x（元）之间满足一次函数关系（其中100≤x≤160，且x为整数），当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）当每件玩具售价为多少元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大？最大周利润是多少元？
22．（8分）设二次函数y＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．
（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求该二次函数的表达式及图象的对称轴．
（2）若二次函数y的表达式可以写成y＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，当h为何值时，b+c有最小值，并求出b+c的最小值．
23．（10分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上有一点P，过点P作x轴的垂线交x轴于点Q，若△APQ是等腰直角三角形，求点P的坐标．
24．（10分）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．
（1）设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是 m2，花卉B的种植面积是 m2，花卉C的种植面积是 m2．
（2）育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？
（3）若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值．
25．（12分）如图，抛物线与x轴交于A（4，0），B两点，与y轴正半轴交于点C（0，4），点P为直线AC上方抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式：
（2）如图1，若PQ⊥AC，垂足为Q，当PQ的长度为最大值时，求此时点P的坐标；
（3）如图2，若PQ⊥AC，垂足为Q，且AQ＝3PQ，求此时点P的坐标．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．【解答】解：A、y＝﹣+x，不是二次函数，故A不符合题意；
B、y＝x2+x，是二次函数，故B符合题意；
C、y＝，不是二次函数，故C不符合题意；
D、y＝，不是二次函数，故D不符合题意；
故选：B．
2．【解答】解：抛物线y＝﹣（x+1）2﹣2的对称轴是直线x＝﹣1．
故选：B．
3．【解答】解：y＝（x﹣2）2+1的顶点坐标为（2，1），
故选：B．
4．【解答】解：由题意可得y＝＝﹣+，S＝y2﹣πx2＝（﹣+）2﹣πx2，
则y是x的一次函数关系，S是x的二次函数关系，
故选：D．
5．【解答】解：由表格可知，
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝1，该函数开口向上，
则当y＝5对应的x的值是x＝﹣2或x＝4，
故当y＜5时，x的取值范围是﹣2＜x＜4．
故选：D．
6．【解答】解：当抛物线开口向上，则a＞0，对称轴为直线x＝﹣＝＞0，故A选项不合题意；
当抛物线开口向下，则a＜0，对称轴为直线x＝﹣＝＜0，故D选项不合题意；
由二次函数y＝ax2﹣4x+c2（a≠0）可知，抛物线与y轴的正半轴相交，故B选项不合题意；
当抛物线开口向下，对称轴为直线在y轴的左侧，与y轴的正半轴相交，当c＜0时，一次函数y＝4x﹣c的图象经过一、三、四选项，故选项C符合题意．
故选：C．
7．【解答】解：∵函数，且a＜0，
∴该函数图象的开口方向向下，对称轴为，该函数有最大值，其最大值为，
若要满足0≤x≤m的任意一个x的值，都有﹣2≤y≤2，
则有，解得a≤﹣4，
对于该函数图象的对称轴，a的值越小，其对称轴越靠左，
a的值越小，满足y≥﹣2的x的值越小，
∴当取a的最大值，即a＝﹣4时，令y＝﹣4x2+4x+1＝﹣2，
解得，，
∴满足y≥﹣2的x的最大值为，
即m的最大值为．
故选：D．
8．【解答】解：当x＝﹣2时，y1＝9a+4；
当x＝﹣1时，y2＝4a+4；
当x＝5时，y3＝16a+4；
∵二次函数y＝a（x﹣1）2+4的图象开口向上，
∴a＞0，
∴4a+4＜9a+4＜16a+4
∴y2＜y1＜y3．
故选：C．
9．【解答】解：当x＝1.4时，y＝﹣0.24；当x＝1.5时，y＝0.25．
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围为1.4＜x1＜1.5．
故选：C．
10．【解答】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为x（其中x＞0），
∴长方形的另一边长为12﹣x，
∴y＝（12﹣x） x．
故选：C．
11．【解答】解：如右图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y＝ax2，
由已知可得，点（2，﹣2）在此抛物线上，
则﹣2＝a×22，
解得a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
当y＝﹣0.5时，﹣x2＝﹣0.5，
解得x＝±1，
此时水面的宽度为2m，
故选：B．
12．【解答】解：∵抛物线经过（0，0），（4，0），
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，①正确．
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
当x＜0或x＞4时y＞0，当0＜x＜4时，y＜0，
∴x＝1时，y＝a+b+c＜0，x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，
∴5a+3b+2c＜0，②错误．
∵抛物线开口向上，函数值最小值为y＝﹣4a，
∴﹣4a≤﹣3时，抛物线与直线y＝﹣3有交点，
解得a≥，③正确．
∵抛物线经过原点，
∴c＝0，
∵b＝﹣4a，
∴y＝ax2﹣4ax，
将x＝2代入y＝ax2﹣4ax得y＝4a﹣8a＝﹣4a，
∴函数最小值为﹣4a，④正确．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）
13．【解答】解：∵是二次函数，
∴，
解得：，
∴m＝2；
故答案为：2．
14．【解答】解：∵x2≥0，
∴﹣x2≤0，
∴﹣x2+9≤9．
∴﹣x2+9的最大值为9．
故答案为：9．
15．【解答】解：y＝x2+2x+3＝（x2+2x+1）﹣1+3＝（x+1）2+2．
故答案为y＝（x+1）2+2．
16．【解答】解：抛物线y＝x2向上平移3个单位，向左移动1个单位，所得抛物线的解析式是：y＝（x+1）2+3．
故答案为：y＝（x+1）2+3．
17．【解答】解：，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当t＝18时，s有最大值，
∵飞机滑行到最大距离停下来，此时滑行的时间最长，
∴该飞机着陆后滑行最长时间为18秒．
故答案为：18．
18．【解答】解：∵y＝x2﹣6x+2＝（x﹣3）2﹣7，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣7），
将x＝﹣1代入y＝x2﹣6x+2得y＝1+6+2＝9，
∴当﹣1＜x＜4时，y的取值范围是﹣7≤y＜9，
故答案为：﹣7≤y＜9．
三．解答题（共7小题，满分60分）
19．【解答】解：（1）把x＝3，y＝3代入y＝ax2得，
a 32＝3，解得a＝，
所以这个二次函数的表达式为y＝x2；
当x＝﹣2时，y＝×（﹣2）2＝；
（2）∵y＝x2，a＝＞0，
∴图象开口向上；
对称轴是直线x＝0，顶点坐标是（0，0）．
20．【解答】解：（1）抛物线y＝﹣（x+4）2的顶点坐标是（﹣4，0），
此函数的图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后的顶点坐标是（﹣1，2），
则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+2；
（2）平移后的抛物线如图所示：
（3）由（2）中的图示知，当y＜0时，x＞1或x＜﹣3．
21．【解答】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，
∵当每件玩具售价为120元时，每周的销量为80件；当每件玩具售价为140元时，每周的销量为40件，
∴，
解得，
即y与x之间的函数关系式为y＝﹣2x+320；
（2）设利润为w元，
由题意可得：w＝（x﹣100）（﹣2x+320）＝﹣2（x﹣130）2+1800，
∴当x＝130时，w取得最大值，此时w＝1800，
答：当每件玩具售价为130元时，电商平台每周销售这款玩具所获的利润最大，最大周利润是1800元．
22．【解答】解：（1）把点A（1，0）、B（2，0）代入二次函数y＝2x2+bx+c，得：
∴，
解得：，
∴y＝2x2﹣6x+4，
∴抛物线的对称轴为：x＝；
（2）把y＝2（x﹣h）2﹣2化成一般式得，
y＝2x2﹣4hx+2h2﹣2，
∴b＝﹣4h，c＝2h2﹣2，
∴b+c＝2h2﹣4h﹣2，
＝2（h﹣1）2﹣4，
∵2＞0，
∴b+c有最小值，
∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4．
23．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B（2，0）．
∴，
解得，，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
（2）如图，∵PQ⊥x轴于Q，
∴∠PQA＝90°，
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ，
∵点P在抛物线y＝x2﹣x﹣2上，
∴设点Q的坐标为（m，0）则点P（m，m2﹣m﹣2），
∴AQ＝|m﹣（﹣1）|＝|m+1|，PQ＝|m2﹣m﹣2|，
∴|m+1|＝|m2﹣m﹣2|，
∴m+1＝m2﹣m﹣2或m+1＝﹣（m2﹣m﹣2），
即m2﹣2m﹣3＝0或m2＝1，
当m2﹣2m﹣3＝0时，
解得，m＝3或m＝﹣1（舍去），
此时P（3，4），
当m2＝1时，
解得，m＝1或m＝﹣1（舍去），
此时P（1，﹣2），
综上得，点P的坐标为P（3，4）或（1，2）．
24．【解答】解：（1）∵育苗区的边长为x m，活动区的边长为10m，
∴花卉A的面积为：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，
花卉B的面积为：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，
花卉C的面积为：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，
故答案为：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，
∴A，B两种花卉的总产值分别为2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B两种花卉的总产值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得x＝32（舍去）或x＝10，
∴当育苗区的边长为10m时，A，B两种花卉的总产值相等；
（3）∵花卉A与B的种植面积之和为：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴当x≥8时，y随x的增加而减小，
∴当x＝8时，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．
25．【解答】解：（1）将点A（4，0），C（0，4）代入，
∴，
解得，
∴；
（2）如图1，连接PC，PA，
当PQ的长度最大时，△PAC的面积最大，
作PD∥y轴，交直线AC于点D，
设直线AC的解析式为y＝kx+b′，
代入点A（4，0），C（0，4），
可得：，解得：，
得到直线AC的解析式为y＝﹣x+4，
设点，则D（t，﹣t+4），
∴，
∴，
∴当t＝2时，△PAC面积最大，
∵A（4，0），C（0，4），
∴利用勾股定理可得，
又∵，
∴△PAC面积最大时，PQ也最大，
即t＝2，
此时，点P的坐标为（2，4）；
（3）过点P作PH⊥x轴，垂足为H，交AC于点G，
∵OC＝OA＝4，
∴∠OCA＝∠OAC＝45°，
∵PQ⊥AC，PH⊥x轴，
∴∠HGA＝∠OAC＝45°，
∴∠HGA＝∠PGQ＝45°＝∠QPG，
∴GQ＝PQ，GH＝AH，
∴，，
∵AQ＝3PQ，GQ＝PQ，
∴AG＝2PQ，
∴，即，
∴GH＝PG，
∴G点是PH的中点，
设，G（t，﹣t+4），
∴，
解得t＝2或t＝4（舍），
∴P点坐标为：（2，4）．
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