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2024人教版高中物理选择性必修第二册同步
专题强化练2 磁场中的多解性和周期性问题
一、选择题
1.(2022山西吕梁期末改编)如图所示,直线ab与水平面成30°角,ab的右上方存在垂直纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于a点,能水平向右发射不同速率、比荷为k的带正电粒子。已知a、b两点间的距离为L,不计带电粒子受到的重力,若所有带电粒子均能通过b点,则粒子的速度可能为 ( )
A. B. C. D.
2.【多选题】(2023重庆巴蜀中学检测)如图所示,A点的离子源沿纸面垂直OQ方向向上射出一束负离子,离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域,可加垂直纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s,负离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间的夹角为30°,则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是 ( )
A.B>,垂直纸面向里
B.B>,垂直纸面向里
C.B>,垂直纸面向外
D.B>,垂直纸面向外
3.【多选题】(2023湖北宜昌检测)平面OM和平面ON之间的夹角为35°,其横截面(纸面)如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量绝对值为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场,速度方向与OM成20°角,运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计重力。则下列几种情形可能出现的是 ( )
A.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点,在磁场中运动的时间是
B.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个公共点,在磁场中运动的时间是
C.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点,在磁场中运动的时间是
D.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个公共点,在磁场中运动的时间是
4.【经典题】【多选题】(2023重庆西南大学附中阶段测试)如图甲所示的平行金属极板M、N之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场,取垂直纸面向外为磁场正方向,磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图乙所示,取垂直极板向上为电场正方向,电场强度E随时间t周期性变化的规律如图丙所示。t=0.5t0时,一不计重力、带正电的粒子从极板左端以大小为v的速度沿板间中线平行极板射入板间,最终平行于极板中线射出,已知粒子在t=1.5t0时速度为零,且整个运动过程中始终未与两极板接触,则下列说法正确的是 ( )
A.粒子可能在2.5t0时刻射出极板
B.极板间距不小于+
C.极板长度为(n=1,2,3,…)
D.=
二、非选择题
5.(2022江苏南通海门实验学校期中)如图所示,空间充满了磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。在平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L的刚性等边三角形框架DEF,DE边中点S处有一带正电的粒子,电荷量为q,质量为m,现给粒子一个垂直于DE边向下的速度,若粒子每一次与三角形框架碰撞时,速度方向都垂直于被碰的边,且碰撞均为弹性碰撞,当速度的大小取某些特殊数值时可使由S点发出的粒子最终又回到S点。求:
(1)若要粒子不与三角形框架发生碰撞,直接击中E点,粒子的速度大小;
(2)若粒子只与三角形框架碰撞两次就回到S点,粒子的速度大小;
(3)若S点不在DE边的中点,而是距D点的距离DS=,仍然使粒子能回到S点,满足条件的粒子的速度大小。
6.【经典题】(2023湖南长沙阶段测试)如图所示,真空中竖直放置的圆柱体底面圆半径为R=0.4 m,高h=0.4 m,圆柱体上表面放有一个荧光屏,底面中心处有一点状放射源S,仅在底面圆所在平面内向各个方向均匀发射α粒子,所有α粒子的速率均为v=5.0×106 m/s,已知α粒子的比荷为=5.0×107 C/kg,α粒子重力忽略不计。
(1)现给圆柱体内只施加竖直向上的匀强磁场B,使所有α粒子恰好能束缚在圆柱体区域内,求匀强磁场的磁感应强度B的大小;
(2)现给圆柱体内只施加竖直向上的匀强电场E,使所有α粒子均能打到荧光屏上,则所加匀强电场的场强至少需要多大;
(3)现在圆柱体内加上与(1)相同的匀强磁场,同时施加竖直向上的匀强电场,要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开,求所加匀强电场的电场强度的大小。(结果中取π2=10)
答案与分层梯度式解析
专题强化练2 磁场中的多解性和周期性问题
1.B 2.BD 3.ABD 4.ABD
1.B 粒子可能多次穿过边界ab,画出可能的两种情况如图,所有圆弧对应的圆心角都是60°,根据几何关系可得粒子运动的半径为r=(n=1,2,3,…),根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=,带电粒子比荷为k,联立解得v===(n=1,2,3,…),选项A、C、D错误,B正确。
导师点睛 解答本题,关键是明确所有圆弧对应的圆心角都是60°。ab是两磁场的边界,粒子从同一直线边界射入和射出磁场时,速度方向与边界的夹角相等,速度方向的偏转角等于其轨迹对应的圆心角。
2.BD 当所加匀强磁场方向垂直纸面向里时,由左手定则知,负离子向右偏转,约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切,如图(大圆弧),由几何知识知R2= sin 30°=,而=s+R2,所以R2=s,所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件,由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出qvB=m,所以得B>,故A错误,B正确;当所加匀强磁场方向垂直纸面向外时,由左手定则知,负离子向左偏转,约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切,如图(小圆弧),由几何知识知R1=,所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件,由牛顿第二定律及洛伦兹力公式列出qvB=m,所以得B>,故C错误,D正确。
3.ABD
思路点拨 粒子电性不确定,造成多解,轨迹图如下
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,周期T=,若粒子带负电,将做逆时针方向的匀速圆周运动,粒子回到OM平面时,由圆周运动的对称性,速度方向必与OM成20°角,若粒子轨迹与平面ON有公共点,由于35°>20°,则粒子轨迹与ON只可能有一个公共点,粒子偏转角只可能为40°,运动时间t=×=,A正确,C错误。若粒子带正电,将做顺时针方向的匀速圆周运动,若粒子轨迹与平面ON有公共点,则轨迹与平面ON可能有一个公共点,也可能有两个公共点,无论轨迹与ON有几个公共点,粒子回到OM时,由圆周运动的对称性,速度方向必与OM成20°角,粒子偏转角为360°-40°=320°,则粒子运动时间为t=×=,B、D正确。
4.ABD
模型构建 带电粒子在交替出现的磁场和电场中运动,根据题意先得到1个运动周期的情况。
在0.5t0~t0内,粒子只受洛伦兹力,在磁场中做匀速圆周运动,且转了周;
在t0~1.5t0内,粒子在电场中向下做减速运动到速度为零;
在1.5t0~2t0内,粒子在电场中向上做加速运动到速度大小为v;
在2t0~2.5t0内,粒子在磁场中做匀速圆周运动,转了周,2.5t0时,粒子回到极板中线,速度平行于极板中线,接下来粒子周期性地重复以上运动,粒子在一个运动周期内的轨迹如图所示:
粒子一个运动周期为T=2.5t0-0.5t0=2t0。
粒子射出极板的时刻可能为t=0.5t0+nT=(0.5+2n)t0(n=1,2,3,…),当n=1时,t=2.5t0,A正确;粒子在磁场中,设粒子的轨迹半径为r,则有T磁==2t0,解得r=,粒子在电场中向下减速的位移大小为y=×0.5t0=,极板间距应满足d≥2(r+y)=+,B正确;极板长度可能为L=n·2r=(n=1,2,3,…),C错误;粒子在磁场中,有T磁==2t0,解得B0=,粒子在电场中,有v=a×0.5t0=×0.5t0,解得E0=,可得=,D正确。故选A、B、D。
5.答案 (1) (2) (3)(n=1,2,3,…)
解析 (1)粒子不与三角形框架发生碰撞,直接击中E点,此时由几何关系知R=
又qvB=m
得v==
(2)粒子只与三角形框架碰撞两次就回到S点,如图,此时由几何关系知R=
又qvB=m
得v==
(3)要使粒子能回到S点,要求粒子每次与三角形框架DEF碰撞时,v都垂直于被碰的边,且离开某边撞向另一条边时,圆心必为两条边的交点,由几何关系知
=(2n-1)R(n=1,2,3,…)
即R=(n=1,2,3,…)
又qvB=m
得v=(n=1,2,3,…)
6.答案 (1)0.5 T (2)2.5×106 V/m
(3) V/m(n=1,2,3,…)
模型构建 第(3)问,需构建螺旋线模型。
沿水平方向,只受洛伦兹力,α粒子做匀速圆周运动;
沿竖直方向,只受电场力,α粒子做初速度为0的匀加速直线运动。
α粒子实际做螺旋线运动,轨迹竖直间距越来越大。如图所示
解析 (1)所有α粒子恰好能束缚在圆柱体区域内,由几何关系可知,α粒子的轨迹半径为r==0.2 m
α粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m
解得匀强磁场的磁感应强度的大小为B== T=0.5 T
(2)α粒子在电场力作用下做类平抛运动,
使所有α粒子均能打到荧光屏上,水平运动距离最大为R=0.4 m
此时粒子在圆柱体内运动时间为t=
竖直方向有h=at2,a=
联立解得匀强电场场强的最小值为Emin=
代入数据解得Emin=2.5×106 V/m
(3)α粒子做圆周运动的周期为T==8π×10-8 s
要使所有粒子刚好都能从上表面中心P离开,所用时间一定为周期的整数倍,
在竖直方向,由运动学公式可得h=·(nT)2(n=1,2,3,…)
解得E== V/m(n=1,2,3…)
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