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八年级数学试题
时间：100分钟 总分：150分
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．在中，，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．若以下列各组数作为三角形的三边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，4，5 B．3，4，6 C．5，12，13 D．8，15，18
4．下列说法错误的是（ ）
A．角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴
B．直角三角形一边上的中线和这条边上的高重合
C．三角形三条边上的垂直平分线的交点到角的三个顶点的距离相等
D．有两个角是60°的三角形是等边三角形
5．如图，若，点D在BC边上，则下列结论中不一定成立的是（ ）
第5题图
A． B．
C． D．
6．四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度随四边形的形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线AC的长为（ ）
第6题图
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
7．在中，、，，用尺规作图的方法在BC上确定一点P，设，下列作图方法中，不能求出PC的长的作图是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，，，，点P在线段AB上以1 cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们运动的时间为，当点Q的运动速度为（ ）cm/s时，在某一时刻，A、C、P三点构成的三角形与B、P、Q三点构成的三角形全等．
第8题图
A．1或 B．1或 C．2或 D．1
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分．不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．如图，，，，则的度数为______．
第9题图
10．如图，在中，，BD平分，，，则点D到BC的距离为______cm．
第10题图
11．如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、P是网格线交点，且点P在的边AC上，则______°．
第11题图
12．如图，把长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm至点D，则橡皮筋被拉长了______cm．
第12题图
13．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、C的面积依次为2、4、3，则正方形D的面积为______．
第13题图
14．如图，在中，DE垂直平分AB．若，，则BC的长为______．
第14题图
15．如图，，且，，且，请按照图中所标注的数据，求______．
第15题图
16．如图，射线射线OB于点O，线段，，且于点C，当线段CD的两个端点分别在射线OB和射线OA上滑动时，点E到点O的最大距离为______．
第16题图
三、解答题（本大题共10小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）如图，在边长为1的方格纸上，直线AB和直线AC交于点A，点A、B、C都是格点，用无刻度的直尺作图，在网格中找到点D，使点D到直线AB和直线AC的距离相等，且点D到点B、C的距离相等．
18．（10分）如图所示，A、D、F、B在同一直线上，，，．求证：．
19．（10分）如图，，．求证：．
20．（10分）如图，在中，，点D在AC上，过点C作，且，连接AE．求证：．
21．（10分）如图，、均为等边三角形，连接BD、AE交进出于点O，BC与AE交于于点P．
（1）求证：．
（2）求的度数．
22．（10分）已知a，b，c是的三边长，且．
（1）求a，b，c的值．
（2）判断的形状．
23．（10分）如图，中，，，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）求的度数；
（2）若的周长为20，求BC的长．
24．（10分）如图，中，AD是边BC上的高，CF是边AB上的中线，，点E是CF的中点．
（1）求证：；
（2）求证：．
25．（12分）在中，AD是的角平分线，E是BC的中点，过E作交CA延长线于P，交AB于F，求证：
（1）是等腰三角形；
（2）；
（3）若，，试求出PA的长．
26．（12分）若一个三角形存在两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形．现在，我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．例如图1，在中，，则为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，CD是AB边上的高．
图1
（1）特例感知
等腰直角三角形______勾股高三角形（请填写“是”或者“不是” ）；
（2）深入探究
如图2，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点且，CD是AB边上的高．试探究线段AD与CB的数量关系，并给予证明．
图2
（3）推广应用
如图3，等腰为勾股高三角形，其中，CD是AB边上的高，过点D作交AC于点E．若，试求线段DE的长度．
图3
2023～2024学年度第一学期期中学业水平检测
八年级数学试题答案
选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 D A C B B B D A
二．填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分．)
9. 38° 10. 3 11. 45 12. 2
13. 9 14. 6 15. 16 16. 8
三、解答题(本大题共10小题，共102分．)
17.（8分）
........... ...................8分 （每个4分）
(10分)证明：在与中
........................................................10分
19. (10分) 证明：∵在△ADB和△ADC中
∴△ADB≌△ADC（AAS）........................................................8分
∴AB＝AC........................................................10分
20.(10分) 解：∵
∴........................................................2分
在和中
∴........................................................8分
∴........................................................10分
21. (10分)解：（1）∵和都是等边三角形
∴，，
∴
即........................................................2分
在和中
∴........................................................5分
（2）∵
∴........................................................7分
∵∴
即........................................................10分
22. (10分)（1）解：根据题意可得：
........................................................1分
........................................................3分
∴
解得：........................................................5分
（2）解：∵
∴
∴是直角三角形........................................................10分
23. (10分)（1）解：∵
∴.......................................................1分
∵是线段的垂直平分线
∴.
∴.......................................................3分
同理可得，........................................................4分
∴.............................................6分
（2）解：∵的周长为20
∴.......................................................7分
由（1）可知，，
∴........................................................10分
(10分) （1）证明：连接DF
∵是边上的高
∴........................................................1分
∵是边上的中线
∴点是的中点
∴.......................................................2分
∵
∴........................................................3分
∵是的中点
∴........................................................5分
（2）证明：由（1）可知，
∴，........................................................7分
∵
∴........................................................10分
25.（12分）解：∵AD是∠BAC的角平分线，
∴........................................................1分
∵EFAD
∴........................................................2分
∴........................................................3分
∴
∴△APF是等腰三角形........................................................4分
（2）证明：如图，延长至，使得，连接
∵为的中点
∴
又
∴........................................................6分
∴，
又∵，
∴
∴
∴........................................................8分
（3）∵是等腰三角形
∴
又
∴........................................9分
即
∵AB=12，AC=8
∴........................................................11分
∴........................................................12分
26.（12分）（1）解：如图，是等腰直角三角形，
∵，且是边上的高
∴等腰直角三角形是勾股高三角形；
故答案为：是........................................................3分
（2）解：，证明如下：
∵为勾股高三角形，是边上的高，
∴
∵
∴
即
∴........................................................7分
（3）解：如图，过点A作于点G
∵为勾股高三角形，是边上的高，
∴
由（2）得：
∵
∴
∵
∴
∴........................................................9分
∵
∴
∵
∴
∴
∴........................................................11分
∴
∴........................................................12分
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