卷子答案网-一个不只有答案的网站必修一 数学建模 建立函数模型解决实际问题 练习卷
一、单选题
1．甲港和乙港之间新辟了一航线，每天正午分别从甲、乙两港相对开出船.若所有船的航速相同，且从甲港到乙港需航行7昼夜，则通航的第4天（通航日为第1天），从甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇）共有（ ）
A．4只 B．7只 C．10只 D．11只
2．某市家庭煤气的使用量和煤气费(元)满足关系 已知某家庭2019年前三个月的煤气费如下表：
月份 用气量 煤气费
一月份 4 4元
二月份 25 14元
三月份 35 19元
若四月份该家庭使用了20的煤气，则其煤气费为（ ）
A．11.5元 B．11元
C．10.5元 D．10元
3．根据宁波市物价局、宁波市交通委的相关规定，出租汽车起步价由现行3.5公里（千米，以下同）10元调整为3公里11元，超过起步里程后，由现行每公里2元调整为2.4元，跨区行程空驶费规定为，单程载客10公里内不收取空驶费，单程载客10～20公里部分，空驶费标准为车公里价格40%（每公里0.96元）；20公里以上部分，为车公里价格60%（每公里1.44元）．学生李某乘坐出租车由镇海中学出发，跨区参加科学中学的活动，此次行程票据显示李某共需支付出租车费268.76元（没有高速、停车等其他费用），据此推算两校区之间的距离为（ ）公里．
A．110.4 B．117.4 C．79.4 D．74
4．我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c（t）（单位：mg/L）随着时间t（单位：h）的变化用指数模型描述，假定某药物的消除速率常数（单位：），刚注射这种新药后的初始血药含量，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（ ）（参考数据：）
A．5.32h B．6.23h C．6.93h D．7.52h
5．2021年，郑州大学考古科学队在荥阳官庄遗址发现了一处大型青铜铸造作坊．利用碳14测年确认是世界上最古老的铸币作坊．已知样本中碳14的质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）．经过测定，官庄遗址青铜布币样本中碳14的质量约是原来的至，据此推测青铜布币生产的时期距今约多少年？（ ）（参考数据：）
A．2600年 B．3100年 C．3200年 D．3300年
6．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图象如图，那么图象所对应的函数模型是( )
A．分段函数 B．二次函数
C．指数函数 D．对数函数
7．基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间，在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与，T近似满足．有学者基于已有数据估计出．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为（ ）
A．3.6天 B．3.0天 C．2.4天 D．1.8天
8．2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ）
A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙
C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙
9．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套（ ）
A．2000双 B．4000双 C．6000双 D．8000双
10．血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数.人体的血氧饱和度正常范围是，当血氧饱和度低于时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：描述血氧饱和度随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中为初始血氧饱和度，K为参数.已知，给氧1小时后，血氧饱和度为.若使得血氧饱和度达到，则至少还需要给氧时间（单位：时）为（ ）
（精确到0.1，参考数据：）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
11．某工厂生产某产品2019年每月生产量基本保持稳定，2020年由于防疫需要2、3、4、5月份停产，6月份恢复生产时月产量仅为去年同期的一半，随着疫情缓解月产量逐步提高．该工厂如果想8月份产量恢复到去年同期水平，那么该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点？（ ）
A．25 B．35 C．42 D．50
12．某市的房价(均价)经过6年时间从1200元/m2增加到了4800元/m2，则这6年间平均每年的增长率是（ ）
A．600元 B．50%
C． D．
二、填空题
13．已测得的两组值为，，现有两个拟合模型，甲：，乙：.若又测得的一组对应值为，则选用 作为拟合模型较好．
14．《算法统宗》中有如下问题：“哑子来买肉，难言钱数目，一斤少三十，八两多十八，试问能算者，合与多少肉”，意思是一个哑子来买肉，说不出钱的数目，买一斤（两）还差文钱，买八两多十八文钱，求肉数和肉价，则该问题中，肉价是每两 文．
15．我们知道，提出问题比解决问题更重要，提出关于现实世界问题是创新的起点.作为中学生我们应该自觉地观察现实世界并提出实际问题，以便养成面对实际情景提出实际问题的习惯，为成为创新型人才打下坚实的基础.生活中，我们经常经过熟悉的十字路口，面对“熟悉的十字路口”这一现实世界情景，请你就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，作为自己学习数学建模的第一步.你提出的实际问题是 .（答案不唯一）
16．一支长为的队伍，以速率匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，往返的速率不变．若传令兵回到排尾时，全队正好前进了，传令兵行走的路程为 ．
三、解答题
17．节约资源和保护环境是中国的基本国策.某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为.设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为，则第次改良后所排放的废气中的污染物数量，可由函数模型给出，其中是指改良工艺的次数.
（1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.（参考数据：取）
18．早在1798年，英国经济学家马尔萨斯（T.R. Malthus，1766-1834）就提出了自然状态下的人口增长模型，其中表示经过的时间，表示时的人口数，表示人口的年平均增长率.已知1650年世界人口为5亿，当时人口的年增长率为；1970年世界人口为36亿，当时人口的年增长率为 .
（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？
（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿你对同样的模型得出的两个结果有何看法？
19．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响，在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．某公司为了激励业务员的积极性，对业绩在60万到200万的业务员进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y（单位：万元）随着业绩值x（单位：万元）的增加而增加，但不超过业绩值得5%．
（1）若某业务员的业绩为100万，核定可得4万元奖金，若该公司用函数（k为常数）作为奖励函数模型，则业绩200万元的业务员可以得到多少奖励？（已知，）
（2）若采用函数，求a的范围．
20．某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数(且)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于80时听课效果最佳．
(1)试求的函数关系式；
(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
21．6月1日上午，国务院总理李克强在山东烟台考察时表示，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间烟火，和“高大上”一样，是中国的生机．英雄的武汉在解封两个月之后，“地摊经济”重回视线，武汉回归繁华．市民“武汗”先生在经营中以每件50元的进价出售某商品，据市场调查，当销售价格（每件元）在时，每天售出的件数为，每天获得的利润为（元）．
（1）写出关于的函数表达式；
（2）若想每天获得的利润最多，售价应为每件多少元？
22．上海高新企业联盟足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
奖励（元/每人） 1500 700 0
假定当比赛进行到12轮结束（每队均要比赛12场）时，队共积19分.
(1)试判断队胜、平、负各几场？
(2)若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为（元），试求的最大值.
答案：
1．C
【分析】由题意作出图形，要使甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇），可得交点个数，就是相遇的船只.
【详解】由题意作出图形：
从甲港到乙港需航行7昼夜，
顺次连接乙港1、甲港8两点，乙港2、甲港9两点、的线段分别表示从乙港开出的船在相应时间内的航行路线，
又甲港第四条开出的船也要经过7天到达乙港，
连接甲港4、乙港11两点的线段表示甲港船的航行路线，
由图形可得该线与乙港开出船的航行路线有11个交点，
这些点分表表示从甲港开出的船遇到乙港开出船的次数，
又不包括在港口相遇，
除去在乙港口相遇的点一共有10个，
故从甲港开出的那只船在海上遇到了乙港开来的船（不包括在港口相遇）共有10只，
故选：.
2．A
【分析】由表知一月份用气量4，煤气费4元，结合分段函数解析式可得，结合二三月份用气量及煤气费代入分段函数中求出,即可得答案.
【详解】根据一月份用气量4，煤气费4元,可知，
解得，所以所以
故选A.
3．D
【分析】有分析可得两校区之间的距离超过20公里，设两校区之间的距离为，根据题意列出方程求解即可.
【详解】分析可得两校区之间的距离超过20公里，设两校区之间的距离为，
则
解得
故选：D
4．C
【分析】利用已知条件，该药在机体内的血药浓度变为1000mg/L时需要的时间为，转化求解即可.
【详解】解：由题意得：
设该要在机体内的血药浓度变为1000mg/L需要的时间为
故，
故该新药对病人有疗效的时长大约为
故选：C
5．A
【分析】根据题意列出不等式，求出，从而求出正确答案.
【详解】由题意得：，解得：，故选A.
故选：A
6．A
【分析】根据函数图象是不同的直线段构成的可知，图象不是B,C,D,可知答案.
【详解】根据函数图象由不同的直线段构成可知,函数是分段函数，在每一段上函数是一次函数，故选A.
7．A
【分析】由已知先确定系数,即可确定函数解析式，再利用解析式及提供数据即可求解累计感染病例数增加3倍需要的时间
【详解】因为，，且，则，于是得
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间为，则有
即，所以，
而，解得
所以在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加3倍需要的时间约为3.6天
故选：A．
8．A
【分析】根据题意，分别计算出提价后的价格，结合基本不等式，分析即可得答案.
【详解】设提价前价格为1，
则甲提价后的价格为：，
乙提价后价格为：，
丙提价后价格为：，
因为，
所以，
所以，即乙>甲>丙.
故选：A
9．D
【分析】本题先建立不等式，再解不等式即可
【详解】解：根据题意：，
解得：，
所以日产手套至少8000双才不亏本.
故选：D.
10．B
【分析】依据题给条件列出关于时间t的方程，解之即可求得给氧时间至少还需要的小时数.
【详解】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要小时，
由题意可得，，两边同时取自然对数并整理，
得，，
则，则给氧时间至少还需要小时
故选： B
11．C
【解析】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达，8月份产量去年同期水平为，则．由此能求出该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达多少个百分点．
【详解】设该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达，8月份产量去年同期水平为，
则．
解得．
该工厂从6月开始月产量平均增长率至少需到达42个百分点．
故选：C．
12．C
【分析】设增长率为x列方程求解，需要注意：房价按年是指数型增长，其中6年为指数，(1 + x)为底数，即有1200(1＋x)6＝4800
【详解】解：设6年间平均增长率为x，则
有1200(1＋x)6＝4800
解得：x＝
故选：C
13．甲
【分析】将分别代入甲乙两个拟合模型计算，即可判断.
【详解】对于甲：时，，对于乙：时，，因此用甲作为拟合模型较好．
故答案为：甲
14．6
【分析】设肉价是每两文，根据题意列出方程可解得答案.
【详解】设肉价是每两文，由题意得，解得，即肉价是每两文.
15．如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？（答案不唯一）
【分析】根据数学建模的知识即得.
【详解】就“熟悉的十字路口”提出关于现实世界的问题，可以是如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？
故答案为：如何设置红绿灯的间隔时间才能使浦北县金浦大道教育路口的十字路口不堵车？
16．
【分析】分析已知条件知，队伍与传令兵进行的时间相等，由，可得队伍与传令兵进行的距离之比等于他们速度之比，由此解题可得答案
【详解】设队伍与传令兵进行速度分别为，则传令兵从排尾到排头的时间为，从排头到排尾的时间为，由题意可得方程：，解得，所以传令兵所走的路程为：.
故答案为：.
17．（1）；（2）至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
【分析】（1）由题设可得方程，求出，进而写出函数模型；
（2）由（1）所得模型，结合题设，并应用对数的运算性质求解不等式，即可知要使该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标至少要改良的次数.
【详解】（1）由题意得：，，
∴当时，，即，解得，
∴，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为.
（2）由题意得，，整理得：，即，
两边同时取常用对数，得：，整理得：，
将代入，得，又，
∴，
综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.
18．（1）2003年世界人口约为1970年的2倍,1881年世界人口约为1650平的2倍；（2）此模型不太适合估计时间跨度非常大的人口增长情况.
【解析】（1）利用人口模型可求得当人口数翻倍时所需的时间，从而可求相应的年份.
（2）根据实际情况和模型计算出的结果可知此模型不太适合估计时间跨度非常大的人口增长情况.
【详解】（1）已知人口模型为，
其中表示时的人口数，表示人口的年平均增长率.
若按1650年世界人口为5亿，年增长率为估计，有.
当时，解得.
所以1881年世界人口约为1650平的2倍.
同理可知，2003年世界人口约为1970年的2倍.
（2）由此看出，此模型不太适合估计时间跨度非常大的人口增长情况.
19．（1）5.3万元；（2）．
【分析】（1）将题中的条件代入，可以求出具体的函数解析式，即可解决.
（2）根据题意列出关于的不等式，然后把问题转化为研究函数的恒成立问题，进而确定参数的取值范围.
【详解】（1）对于函数模型（k为常数），
当时，，代入解得，即，
当时，是增函数，
当时，，
所以业绩200万元的业务员可以得到5.3万元奖励．
（2）对于函数模型，
因为函数在递增，所以，即；
又由奖金不超过业绩值得5%，得
恒成立，
即对恒成立．
记，
因为二次函数图象开口向上且，所以函数图象的对称轴，
所以只需，即
解得．
综上可知，实数a的取值范围是：．
20．(1)
(2)老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳，理由见解析
【分析】（1）利用二次函数的顶点式求得在上的解析式，再利用点代入求得在上的解析式，从而得解；
（2）分，，由求解即可.
【详解】（1）由题意知，当时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为，且曲线过点，
设二次函数为，则，解得，
则可得，．
又当时，曲线是函数(且)图象的一部分，
且曲线过点，则，即，解得，
则，．
则.
（2）由题意知，注意力指数p大于80时听课效果最佳，
当时，令，
解得：.
当时，令，
解得：.
综上可得，.
故老师在这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳．
21．（1）；（2）每件商品售价为60元时，每天获得的利润最多．
【解析】（1）每天利润等于销售量与每件利润的积，根据题意列出函数表达式；
（2）整理变换函数表达式后用基本不等式求最值.
【详解】（1）设每件售价为元，则每件利润为元
（2）由（1）得
当时，；当时，
当且仅当，即时取得等号，
故每件商品售价为60元时，每天获得的利润最多．
答：（1）关于的函数表达式；
（2）若想每天获得的利润最多，售价应为每件60元
22．(1)队胜、平、负有三种情况：4，7，1；5，4，3；6，1，5
(2)
【分析】（1）根据场数之和为12，积分之和为19，列出等量关系，结合，且均为整数，分析即得解；
（2）根据题意，列出和的关系，结合（1）中结论，分析即得解
(1)
设队胜场、平场、负场
故
由题意，，且均为整数
，解得可取
故队胜、平、负有三种情况：
当时，；当时，；当时，
(2)
由题意，
当时，最大为（元）
故的最大值为（元）