卷子答案网-一个不只有答案的网站人教B版（2019）必修第一册《第二章 等式与不等式》单元测试
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在实数范围内，下列命题正确的是
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，则 D. 若，，则
2.（5分）若，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
3.（5分）如果，则下列各式正确的是
A. B. C. D.
4.（5分）若，则有
A. 最小值 B. 最小值 C. 最大值 D. 最大值
5.（5分）已知函数，，若，都有，则正数的最小值为
A. B. C. D.
6.（5分）实数集，设集合，，则
A. B.
C. D.
7.（5分）已知，为正实数，向量，，若，则的最小值为
A. B. C. D.
8.（5分）函数 的定义域是
A.
B.
C.
D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）下列命题中为真命题的是
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.（5分）多选正四棱雉中，侧棱与底面所成的角为，侧面与底面所成的角为，侧面等腰三角形的底角为，相邻两侧面所成的二面角为，则
A. B. C. D.
11.（5分）函数，若在上恒成立，则满足的条件可能是
A. B.
C. D.
12.（5分）若，则下列不等式成立的是
A. B. C. D.
13.（5分）已知，，则下列命题成立的有
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）正数，满足，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 ______ .
15.（5分）已知函数，则不等式的解集为________.
16.（5分）被誉为古希腊“数学三巨匠”之一的数学家阿波罗尼斯发现： 平面内一动点到两个不同定点，的距离之比为常数且，则点的轨迹是一个圆心在直线上的圆，简称“阿氏圆”据此请回答如下问题：
已知中，为一动点，、为两定点，且，，面积记为，若时，则__________若时，则取值范围为__________.
17.（5分）若函数在区间上有零点，则的最小值为________.
18.（5分）若正实数，，满足，则最小值为__________
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数，
Ⅰ求不等式的解集；
Ⅱ若恒成立，求实数的取值范围．
20.（12分）已知实数，，，函数
若，，，求不等式的解集；
若的最小值为，求的最小值．
21.（12分）已知
当时，求不等式的解集；
若不等式恒成立，求的取值范围．
22.（12分）设，且．
已知，求的值；
若，设集合，，求复平面内对应的点集表示的曲线的对称轴；
若，，是否存在，使得数列，，满足为常数，且对一切正整数均成立？若存在，试求出所有的，若不存在，请说明理由．
23.（12分）已知函数为奇函数.
求实数的值；
判断并证明函数的单调性；
求不等式的解集.
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：取，，则此时无意义，选项A错误；
取，，，，则，选项B错误；
取，，则，选项C错误；
由，可知，，故，选项D正确．
故选：．
取值逐项判断即可，选项D可以利用不等式的性质直接判断．
该题考查不等式的性质，作为选择题，可用特值法快速解决，属于基础题．
2.【答案】D;
【解析】解：根据，取，，则可排除、、．
故选：．
根据，取，，即可排除错误选项．
该题考查了不等式的基本性质，属基础题．
3.【答案】A;
【解析】解：对于，，
，因此正确．
对于时不成立；
对于取，不成立；
对于取，不成立．
故选：
A.由，，可得；
B.时不成立；
C.取，不成立；
D.取，不成立．
此题主要考查了不等式的性质、函数的性质，属于基础题．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查利用基本不等式求函数最值，属于基础题.
利用基本不等式求值即可.
解：，
，当且仅当，即时取等号，
故最小值为
故选
5.【答案】C;
【解析】解：由题意，，都有，
，
函数，，
可知；
，
，
当且仅当时取等号，
，
解得，即．
故选：．
根据，都有，即只需，即可求解的最小值．
此题主要考查函数最值的求解，构造思想，根据基本不等式的性质以及一元二次的解法是解决本题的关键．
6.【答案】D;
【解析】
该题考查并集及其运算，补集及其运算，一元二次不等式的解法，属于基础题．
解不等式求得集合、，再根据补集与并集的定义计算即可．
解：集合，，
或，
或，
即．
故选D．
7.【答案】C;
【解析】
这道题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解答该题的关键是进行的代换，属于中档题．
由已知可得，，代入，展开利用基本不等式可求．
解：，
，
，
则，
当且仅当且即，时取等号，
则的最小值为．
故选C．
8.【答案】A;
【解析】
这道题主要考查函数的定义域，只需真数大于，解一元二次不等式即可．
解：要使函数有意义，应当满足，
解得．
故选A．
9.【答案】BCD;
【解析】解：当，时，显然不成立；
由题意可知，，结合不等式的性质可知显然成立；
若，则，
，即，正确；
若，则一定成立，正确．
故选：
结合不等式的性质分别检验各选项即可判断．
此题主要考查了利用不等式的性质比较大小，性质的灵活应用是求解问题的关键，属于基础题．
10.【答案】AC;
【解析】由于由最小角定理可知，由最大角定理可知
由于，，，，则
从而，故选
11.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了不等式的恒成立问题，考查了数形结合思想，属于较难题.
由题意得在上恒成立，当时，画出与在上的图像，可得；当时，画出与在上的图像，可得，综合可得答案.
解：由在上恒成立，可得在上恒成立，
当时，如图，
可得，即，故正确；
当时，如图，
可得，即，故正确.
故选
12.【答案】BCD;
【解析】
此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解答该题的关键，属于基础题 .
利用不等式的基本性质即可得出．
解：，，
A.，，故不成立；
B.因为，故成立；
C.因为，所以，故成立；
D.因为，所以，故成立 .
故选
13.【答案】ABD;
【解析】解：由于，，且，所以，故正确；
对于：，故正确；
对于：，故错误；
对于：由于，，故正确．
故选：
直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断的结论．
此题主要考查的知识要点：基本不等式的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
14.【答案】m≥6;
【解析】解：由题意，
正数，满足，
当且仅当时取等号
对任意实数恒成立，
即对任意实数恒成立，
的最大值为，
，
故答案为：
求出当且仅当时取等号，问题转化为对任意实数恒成立，即可求出实数的取值范围．
此题主要考查求实数的取值范围，考查基本不等式的运用，考查函数的最值，属于中档题．
15.【答案】;
【解析】
此题主要考查函数的奇偶性与单调性、不等式的求解，属于中档题.
先判断函数的奇偶性与单调性，再利用函数的单调性和奇偶性，将转化为，即可求解.
解：函数的定义域为，
，
是奇函数，且
是上的增函数，
，
，，
解得
不等式的解集为
故答案为
16.【答案】;;
【解析】
此题主要考查了与圆有关的轨迹问题与三角形面积问题，属于难题.
根据情况建立合适的平面直角坐标系，可得点和点的坐标，设出点的坐标，结合条件代入两点之间的距离公式可得点的轨迹为除去轴上两点的一个圆，利用圆上的点的纵坐标和三角形面积之间的关系即可解决问题.
解：以作为原点，所在的直线作为轴，建立平面直角坐标系，如图所示，
若，即，则不妨设在正半轴上，则，
设的顶点，而，
则，化简可得：，
根据条件可知不在直线上，则，即且，
所以点的轨迹为圆除去点与，可得，
所以面积的最大值为，即，
同样的，当，，
则的顶点满足，
化简可得，可得，
又，则，即，
所以，解得，即取值范围为
故答案为，
17.【答案】;
【解析】此题主要考查二次函数的零点、基本不等式和最值问题，考查推理能力和计算能力，属于中档题.
设的两个零点是，，且，则，设，求出，即有最小值
解：设的两个零点是，，且，则，，
，
当且仅当时取等号．
设，则，
由，得，
因此，所以，
此时，，有最小值
18.【答案】;
【解析】
此题主要考查了利用基本不等式求最值，由展开计算，由基本不等式可得最小值.
解：
，
当且仅当即时等号成立，
所以最小值为，
故答案为
19.【答案】解：由 知，即．
又，故 ，，，，
所求不等式的解集为．
由，即恒成立．
令，则的最小值为，，求得，
的取值范围是．;
【解析】
由题意可得 ，即，，由此求得的范围．
Ⅱ利用绝对值三角不等式求得的最小值为，可得，由此求得的范围．
这道题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，属于中档题．
20.【答案】解：当，，时，
，或或，
或或，
即，
不等式的解集为
，
由柯西不等式可得，
，
，
的最小值为;
【解析】
先将，，代入中，可得分段函数，由，可得关于的不等式组，解不等式组即可得到解集；
利用绝对值三角不等式可得，从而可得，再由柯西不等式即可求得的最小值．
此题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式和柯西不等式的应用，考查了转化思想与运算求解能力，属中档题．
21.【答案】解：当时，不等式为，
当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时；
所以，当时，不等式的解集为或
由，知，讨论如下：
当，，由，知，
则恒成立等价于，解得；
当，，
则恒成立等价于，解得；
当，，，故，
则恒成立等价于，解得；
综上，;
【解析】此题主要考查绝对值不等式的解法和恒成立问题，属于中档题.
把代入，讨论的取值范围，去掉绝对值，从而得到不等式的解集.
分类去掉绝对值，根据即可求出的取值范围.
22.【答案】解：（1）设z=a+bi，（a，b∈R），则Rez=a，
若a≥0，则f（z）=z，由已知条件可得-a-3bi=-2+9i，
∵a，b∈R，即：-a=-2，-3b=9；
解得：a=2，b=-3，
∴z=2-3i，
若a＜0，则f（z）=-z，由已知条件可得--7a-5bi=-2+9i，
∵a，b∈R，-7a=-2，-5b=9；
∴解得a=（舍去），b=-，
综上可得z=2-3i，
（2）：设z=a+bi，（a，b∈R），则Rez=a，a≥0，
∵集合P1={z|f（z） -2i f（z）+2i -12=0，z∈C}，解得：（a+bi）（a-bi）-2i（a+bi）+2i（a-bi）-12=0；
即：++4b-12=0，且a≥0
+（b+2）2=16；则有（a，b）是表示在以（0，-2）为圆心，半径为4的右侧圆周上的点；
P2={ω|ω=iz，z∈P1}，解得：ω=iz=-b+ai，
复平面内P2对应的点集为：（-b，a）
∵有（a，b）是表示在以（0，-2）为圆心，半径为4的圆周上的点；
所以：（-b，a）与（a，b）关于y=-x对称的．
（-b，a）是表示在以（2，0）为圆心，半径为4的圆周上的点；a≥0
故对称轴为：x=2；
（3）设存在u∈C满足题设要求，令=Re，=Im，（n∈N*），易的对一切n∈N*均有≥0，
且+1=|2+=+1-2|；|+1|=|（2+1）|；（※），
（i）若u∈{-i，i}，则{}显然为常数数列，故u=±i满足题设要求，
（ii）若u {-i，i}，则用数学归纳法可证：对任意的n∈N*，（，） {（0，-1），（0，1）}，
证明：当n=1时，由u {-i，i}，可知（，） {（0，-1），（0，1）}，
假设n=k时，（，） {（0，-1），（0，1）}，
那么当n=k+1，若（，）∈{（0，-1），（0，1）}，则=0，||=1，
故2++1-2=0，|（2）|=1，（※※）
如果=0，那么（，） {（0，-1），（0，1）}，可知||≠1，这与（※※）矛盾，
如果＞0，那么（，） {（0，-1），（0，1）}，可知||≠1，这与（※※）矛盾，
综上可得对任意的n∈N*，（，） {（0，-1），（0，1）}，
记=22+2，注意到-=（22+2）-（22+2）=2[（2+）2+2++（1-2）2]≥0，
即-≥0，当且仅当=0，2=1，亦即（，）∈{（0，-1），（0，1）}时等号成立，
于是有＜，（n∈N*），进而对任意m，n∈N*，均有＞，
所以=，从而，此时的u {-i，i}不满足要求．
综上，存在u=±i，使得数列得数列，，…满足=（m为常数，且m∈N*）对一切正整数n均成立．;
【解析】
设，分类讨论，即可求出的值；
求解集合，，得到两集合的关系，在求表示的曲线对称轴即可；
设存在满足题设要求，令，，，易得对一切均有，且；；，根据数学归纳法可证：对任意的，，，再记，证明对任意，，均有，可得，从而，此时的不满足要求，得出结论．
该题考查了借助复数的有关概念，考查了运算能力和转化能力，属于难题．
23.【答案】解：根据题意，函数为奇函数，则，
解得；
当时，，
，
则，
满足，函数为奇函数，
故
在上为增函数，证明如下：
任取，，且，
则，
，
，且，
，
为上的增函数；
根据题意，，则，
不等式，
即，解得：，
即不等式的解集为;
【解析】此题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于中档题．
根据题意，由奇函数的性质可得，解可得的值，检验即可；
利用定义法证明是增函数即可；
根据题意，由函数的解析式可得，进而可得，解不等式可得的取值范围，即可得答案．
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 人教B版（2019）必修第一册《第二章 等式与不等式》单元测试（word含解析）