卷子答案网-一个不只有答案的网站咸阳市名校2023-2024学年高三上学期第四次阶段测试数学理科
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1.已知集合 , 则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量 , 则 “” 是 “” 的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
3.设 是两条不同的直线,是两个不同的平面, 给出下列命题:
①若 ，则.
②若 , 则.
③若 , 则.
④若 , 则.
其中正确命题的序号是（ ）
A.①③④ B.②③④ C.①②④ D.①②③
4.已知 , 若, 则（ ）
A. B. C. D.
5.若 的展开式中含有常数项 (非零), 则正整数的可能值是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
6.已知正四面体 的外接球的体积为, 则该正四面体的棱长为（ ）
A.1 B. C. D.
7.已知 , 且, 则（ ）
A.有最小值 8 B.有最小值
C.有最大值 8 D.有最大值
8.已知向量 , 向量, 则的最大值, 最小值分别是（ ）
A. B. C.16,0 D.4,0
9.等比数列 的各项均为正数, 且. 设, 则数列的前项和（ ）
A. B. C. D.
10.已知双曲线 的右焦点为, 过点的直线交双曲线于两点.若的中点坐标为, 则的方程为 ( )
A. B. C. D.
11.若函数 在上是单调函数, 且存在负的零点, 则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12.已知点 在圆上运动, 且, 若点的坐标为,则的最大值为（ ）
A.7 B.12 C.14 D.11
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 若 , 则__________.
14. 设锐角 三个内角所对的边分别为, 若, 则的取值范围为__________.
15. 已知数列 的前项和为, 若, 点在直线上. 则数列的通项公式是__________.
16.已知曲线 在点处的切线与曲线相切, 则__________.
三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （本题满分10分）已知函数 .
(1)求 的单调递增区间;
(2) 将 的图象向右平移个单位长度, 得到函数的图象, 求在上的值域.
18. （本题满分12分）某同学进行投篮训练, 已知该同学每次投篮投中的概率均为 .
(1)求该同学进行三次投篮恰好有两次投中的概率;
(2)若该同学进行三次投篮, 第一次投中得 1 分, 第二次投中得 1 分, 第三次投中得 2 分, 记 为三次总得分, 求的分布列及数学期望.
19. （本题满分12分）如图, 在底面 为矩形的四棱锥中, 平面平面.
(1)证明: 平面
(2) 若 在棱上, 且, 求与平面所成角的正弦值.
20. （本题满分12分）已知抛物线 的焦点为, 直线与轴的交点为,与抛物线的交点为, 且.
(1) 求抛物线 的方程;
(2) 过抛物线 上一点作两条互相垂直的弦和, 试问直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由.
21. （本题满分12分）已知函数 .
(1)讨论函数 的单调性;
(2)若对于任意的 , 都有, 求整数的最大值.
选做题：第22题，23题中 选做一题，多做或做错按照第一题计分
22. （本题满分10分） [选修 4-4: 坐标系与参数方程]
在直角坐标系 中, 曲线的参数方程为(为参数), 以坐标原点为极点, 以轴正半轴为极轴, 建立极坐标系, 曲线的极坐标方程为.
(1) 写出 的普通方程和的直角坐标方程;
(2) 设点 在上, 点在上, 求的最小值以及此时的直角坐标.
23. （本题满分10分） [选修 4-5: 不等式选讲] 已知函数 .
(1)当 时，求不等式的解集;
(2) 设函数 . 当时,, 求的取值范围.
参考答案及解析
1. 【答案】D
【解析】根据偶次方根被开方数为非负数得 , 解得. 故,所以选 D.
2. 【答案】B
【解析】因为 ,
所以由 , 解得,
所以 , 所以“”是“”的必要不充分条件,
即“ ”是“”的必要不充分条件.故选：B.
3. 【答案】A
【解析】对于①, 若 , 过作平面, 使得,
因为 , 则, 因为, 则, 故,①对;
对于②, 若 , 则或或相交 (不一定垂直), ②)错;
对于③, 若 , 则,③对;
对于④, 若 , 则, ④对.
故选: A.
4. 【答案】D
【解析】,
为奇函数, 则,
,
. 故选：D.
5. 【答案】C
【解析】由二项式定理知,,
因为其含有常数项, 即存在 , 使得, 此时, 所以时,,
故选: C.
6. 【答案】C
【解析】设外接球半径为 , 则, 解得,
将正四面体放入正方体中, 设正方体边长为 , 如图所示:
则 , 正四面体的棱长为.
故选: C.
7. 【答案】A
【解析】由 可得, 所以,
由于 , 且, 则, 故, 当且仅当时取等号,
故 , 因此有最小值 8 , 故选: A
8. 【答案】D
【解析】
向量 , 向量, 则,
所以 ,
所以 的最大值, 最小值分别是: 16,0 ;
所以 的最大值，最小值分别是 4,0 ; 故选：D.
9. 【答案】B
【解析】设等比数列 的公比为, 则, 则,所以,, 所以,,
因为 , 可得, 所以,,
所以, ,
所以, , 即数列为等差数列,
所以, ,
所以, ,
因此, .
故选: B.
10. 【答案】D
【解析】解: 设 ,
则 , 两式相减得,
即 , 化简得,
又 , 解得, 所以双曲线的方程为:.
故选: D.
11. 【答案】C
【解析】当 时,, 所以函数在时单调递增, 由题
意可知整个函数在全体实数集上也是单调递增, 因此有: ,
又因为 存在负的零点, 因此有, 综上所述:的取值范围是.
故选 C.
12. 【答案】D
【解析】解：如图所示:
因为 , 所以为圆的直径,
又 , 则,
设 , 则,
所以 ,
所以 ,
当 时，等号成立，故选：D
13. 【答案】.
【解析】因为 , 则,
因此, . 故答案为:.
14. 【答案】
【解析】,
由正弦定理可得, ,
即 , 所以为锐角,则,
由题意可得, , 故, 由正弦定理可得,,
所以 .
故答案为:
15. 【答案】 .
【解析】由已知可得 ,等式两边同时除以可得, 即,
所以, 数列 为等差数列, 且其首项为, 公差为 1 ,
则 , 可得,
当 时,,
也满足, 故对任意的. 故答案为:.
16. 【答案】.
【解析】
因为 的导数为, 则,
所以曲线 在处的切线方程为, 即,
又切线 与曲线相切, 设切点为,
因为 , 所以切线斜率为, 解得,
所以 , 则, 解得.
故答案为; .
17. 【解析】(1) 因为 ,
令 , 解得,
则 的单调递增区间是;
(2) 因为 ,将的图象向右平移个单位长度,
可得 .
因为 , 所以,
所以 , 则,
即 在区间内的值域为.
18. 【解析】(1) 记该同学进行三次投篮恰好有两次投中为事件“ ”,
则 .
(2) 设事件 分别表示第一次投中, 第二次投中, 第三次投中,根据题意可知.
故 .,
,
.
所以于 的分布列为:
的数学期望.
19. 【解析】(1) 过点 作, 垂足为,
平面平面, 平面平面,
平面
平面, 又平面,
,
平面,
平面.
(2) 由（1）知 平面平面,
在 Rt中,, 故,
在 中,,
, 又,
以点为坐标原点, 分别以方向为轴轴轴,建立坐标系如图所示,
则 ,
所以 ,
设平面 的法向量为, 则,
令 , 可得, 所以,
设 与平面所成的角为,
则 ,
所以 与平面所成的角的正弦值为.
20. 【解析】(1) 设 , 代入得:, 即
由 得:, 解得:或（舍去）
故抛物线 C 的方程为: .
(2) 由题可得 ，直线的斜率不为 0
设直线
联立 , 得:,
由 , 则, 即.
于是
, 所以
或
当 时,
直线 , 恒过定点, 不合题意, 舍去.
当 , 直线, 恒过定点
综上可知, 直线 恒过定点
21. 【解析】(1) 解: 由题意知, ,
当 时,单调递减;
当 时,单调递增;
在上单调递减, 在上单调递增.
(2) 解: ,
恒成立, 令, 则;
由 (1) 知, 在上单调递增, 且,
, 使, 即,
当 时,, 即单调递减;
当 时,, 即单调递增;
,
, 且.
22. 【解析】(1) 的普通方程为的直角坐标方程为.
(2) 由题意, 可设点 的直角坐标为,
因为 是直线, 所以的最小值即为到的距离的最小值,
.
当且仅当 时,取得最小值,
最小值为 , 此时的直角坐标为.
23. 【解析】 (1) 当 时,.
解不等式 , 得.
因此, 的解集为.
(2) 当 时,,当时等号成立,
所以当 时,等价于. (1)
当 时，(1)等价于, 无解.
当 时, (1)等价于, 解得.
所以 的取值范围是.
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