卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年度上学期月考
高二数学
时间：120分钟 分数：150分
命题范围：选择性必修一，选必二到3.1章
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
2. 顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
3. 市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A. 48 B. 54 C. 72 D. 84
4. 已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A B. C. D.
6. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A 152 B. 126 C. 90 D. 54
7. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A. B. C. D.
8. 在长方体，底面是边长为正方形，高为，则点到截面的距离为
A. B. C. D.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 满足方程的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
10. 若椭圆的焦距是2，则的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11. 已知空间三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 若双曲线过点，且它的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为 B. 曲线经过双曲线的一个焦点
C. 双曲线的离心率为 D. 直线与双曲线有两个公共点
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线与双曲线相交于两点，则______；
14. 将2名教师 4名学生分成2组，分别安排到甲 乙两个基地实习，要求每组有1名教师和2名学生，则不同的安排方法有___________种
15. 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是_______
16. 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____.
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 .
17. 经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．
（1）若直线的斜率是，求的值；
（2）若是坐标原点，求的值．
18. 已知圆C经过两点，，且圆心C在x轴上．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线l与直线AB垂直，且与圆C相交所得弦长为，求直线l方程．
19. 如图，在直三棱柱中，，，，点 分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
20. 已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
21. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面为正三角形，，平面平面为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
22. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.
（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.
2023-2024学年度上学期月考
高二数学
时间：120分钟 分数：150分
命题范围：选择性必修一，选必二到3.1章
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】A
【解析】
【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为．
故选：A．
2. 顶点在原点，焦点是的抛物线的标准方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的焦点坐标求解即可；
【详解】由题意知抛物线开口向上，
故抛物线的标准方程是：
故选：B.
3. 市内某公共汽车站有6个候车位（成一排），现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是（ ）
A. 48 B. 54 C. 72 D. 84
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，现将3个乘客全排列，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，结合插空法，即可求解.
【详解】根据题意，现将3个乘客全排列，将有4个空隙，再将两个空座位捆绑在一起和另一个空座位，放入4个空隙中的两个，共有种.
故选：C.
4. 已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出线段中点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，根据在圆上，得到轨迹方程．
【详解】设线段中点，则．
在圆上运动，
，即．
故选：A．
【点睛】本题考查中点的坐标公式、求轨迹方程的方法，考查学生的计算能力，属于基础题．
5. 已知椭圆：的一个焦点为，则的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为，从而求得，再根据题中所给的方程中系数，可以得到，利用椭圆中对应的关系，求得，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.
详解：根据题意，可知，因为，
所以，即，
所以椭圆的离心率为，故选C.
点睛：该题考查的是有关椭圆的离心率的问题，在求解的过程中，一定要注意离心率的公式，再者就是要学会从题的条件中判断与之相关的量，结合椭圆中的关系求得结果.
6. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加．甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
A. 152 B. 126 C. 90 D. 54
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，按甲乙的分工情况不同分两种情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一，②甲乙不同时参加一项工作；分别由排列、组合公式计算其情况数目，进而由分类计数的加法公式，计算可得答案．
解：根据题意，分情况讨论，①甲乙一起参加除了开车的三项工作之一：C31×A33=18种；
②甲乙不同时参加一项工作，进而又分为2种小情况；
1°丙、丁、戊三人中有两人承担同一份工作，有A32×C32×A22=3×2×3×2=36种；
2°甲或乙与丙、丁、戊三人中的一人承担同一份工作：A32×C31×C21×A22=72种；
由分类计数原理，可得共有18+36+72=126种，
故选B．
考点：排列、组合的实际应用．
7. 已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】分析：由离心率计算出，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可．
详解：
所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离
故选D
点睛：本题考查双曲线的离心率，渐近线和点到直线距离公式，属于中档题．
8. 在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，根据直线与平面垂直的判定定理可得平面，再根据平面与平面垂直的判定定理得出平面平面，交线为，在平面内过作于，则的长即为点到截面的距离，在中，利用等面积法求出即可.
【详解】如下图所示：
设，，，又，
平面，平面，平面平面.
又平面平面，过点在平面内作于点，
则的长即为点到截面的距离，在中，，，
由，可得，因此，点到截面的距离为，故选B.
【点睛】本题考查点到平面的距离的计算，考查空间想象能力与逻辑推理能力，属于中等题.
二．选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 满足方程的值为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】AB
【解析】
【分析】利用组合数的性质求解
【详解】因为，所以或
解得：或或或，
当时，，故舍去；
当时，，故舍去；
当时，；
当时，；
故选: AB
10. 若椭圆的焦距是2，则的值是（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】AC
【解析】
【分析】分椭圆的焦点在轴和轴上两种情况讨论得解.
【详解】解：当椭圆的焦点在轴上时，，，.
又因为，所以.所以，
所以；
当椭圆的焦点在轴上时，，，
所以，所以.
故选：AC
11. 已知空间三点，，，则下列说法正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由条件可得的坐标，然后逐一判断即可.
【详解】因为，，，
所以
所以，，
所以不共线.
故选：AC
12. 若双曲线过点，且它的渐近线方程为，则下列结论正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为 B. 曲线经过双曲线的一个焦点
C. 双曲线的离心率为 D. 直线与双曲线有两个公共点
【答案】ABD
【解析】
【分析】由双曲线的渐近线为，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断A；再求出双曲线的判断B，C；直线与双曲线的渐近线的关系判断D．
【详解】对于A：由双曲线渐近线方程为，可设双曲线方程为，
把点代入，得，即．
所以双曲线的方程为，故A正确；
对于B：因为双曲线的方程为，所以，
则双曲线的焦点坐标为，
而当时，，
所以曲线经过双曲线的一个焦点，故B正确；
对于C：由选项B可知双曲线的离心率为，故C错误；
对于D：联立，消去，得，
则，所以直线与双曲线有两个公共点，故D正确.
故选：ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若直线与双曲线相交于两点，则______；
【答案】
【解析】
【分析】联立直线与双曲线方程，利用弦长公式计算即得.
【详解】由消去y并整理得：，，
设，则，
所以.
故答案为：
14. 将2名教师 4名学生分成2组，分别安排到甲 乙两个基地实习，要求每组有1名教师和2名学生，则不同的安排方法有___________种
【答案】12
【解析】
【分析】将任务分三步完成，在每步中利用排列和组合的方法计数，最后利用分步计数原理，将各步结果相乘即可得结果.
【详解】第一步，为甲地选一名老师，有2种选法;
第二步，为甲地选两个学生，有种选法;
第三步，为乙地选1名教师和2名学生，有1种选法；
故不同的安排方案共有2×6×1=12种.
故答案为：12.
15. 圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是_______
【答案】
【解析】
【分析】求出圆心到直线的距离，再加上圆的半径即得．
【详解】圆心为，圆心到直线距离为，∴圆上的点到直线的距离的最大值为．
【点睛】设圆的半径为，圆心到直线的距离为，则圆上的点到直线距离的最大值为，最小值为（直线与圆相离时，否则最小值为0）．
16. 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是____.
【答案】
【解析】
【分析】利用向量夹角公式即得.
【详解】
由题意得∠CAB=45°，AB=，
∵，
∴
又||===，||=1，
∴cos<>===.
故答案为：.
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 .
17. 经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点．
（1）若直线的斜率是，求的值；
（2）若是坐标原点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）联立方程组，然后结合抛物线的定义求解；
（2）将问题分为垂直于轴与不垂直于轴求解；
【小问1详解】
抛物焦点是，直线方程是，
与，联立得：，
解得，
所以．
【小问2详解】
当垂直于轴时，．
当不垂直于轴时，设，
代入得，
所以，
从而．
故，
综上．
18. 已知圆C经过两点，，且圆心C在x轴上．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线l与直线AB垂直，且与圆C相交所得弦长为，求直线l的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设出圆的方程，待定系数法求出方程；（2）利用点到直线距离公式及垂径定理进行求解.
【小问1详解】
已知圆心C在x轴上，
故设圆的标准方程为，
因为圆C经过两点，，所以，
解之得，所以；
【小问2详解】
由题意知，所以直线l的斜率为，
所以设直线l的方程为，
得圆心C到直线l的距离为，
因为直线l与圆C相交所得弦长为，所以，
所以，即，
求得或，
所以直线l的方程为或．
19. 如图，在直三棱柱中，，，，点 分别为的中点．
（1）证明：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；
（2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【小问1详解】
证明：如图所示，连接，，
在三棱柱为直三棱柱，为的中点，则为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
解：以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设与平面所成角为，则．
20. 已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，联立方程求出，即可得到双曲线方程；
（2）利用点差法求出中点坐标，点斜式求出直线方程即可.
【详解】（1）由焦点可知，
又一条渐近线方程为
所以，
由可得 ,解得，，
故双曲线的标准方程为
（2）设，AB中点的坐标为
则①，②，
②①得：，
即，又，
所以，
所以直线的方程为，即
21. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面为正三角形，，平面平面为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．
（1）求证：；
（2）若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用线面平行证明线线平行即可.
（2）建立空间直角坐标系，利用坐标法求解点面距离即可.
【小问1详解】
∵底面为矩形，∴，
又∵平面平面平面．
又∵平面，平面平面
【小问2详解】
如图，取的中点，连接，过点作交于点．
∵侧面为正三角形，∴，
∵平面平面，且交线为，平面，
∴平面底面为矩形，∴．
以原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，
∴．
设，则，
∴．
设平面法向量为，
则
令，则，平面的一个法向量为．
易知是平面的一个法向量．
∴，
解得．
又∵平面的一个法向量，
∴点到平面的距离为
22. 已知椭圆的两个焦点分别为，短轴的两个端点分别为.
（Ⅰ）若为等边三角形，求椭圆的方程；
（Ⅱ）若椭圆的短轴长为，过点的直线与椭圆相交于两点，且，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或．
【解析】
【详解】试题分析：（1）由为等边三角形可得a=2b，又c=1，集合可求，则椭圆C的方程可求；（2）由给出的椭圆C的短轴长为2，结合c=1求出椭圆方程，分过点F2的直线l的斜率存在和不存在讨论，当斜率存在时，把直线方程和椭圆方程联立，由根与系数关系写出两个交点的横坐标的和，把
转化为数量积等于0，代入坐标后可求直线的斜率，则直线l的方程可求
试题解析：（1）为等边三角形，则
椭圆的方程为：；
（2）容易求得椭圆的方程为，
当直线的斜率不存在时，其方程为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，设，
则，
∵，
∴，
即
解得，即，
故直线的方程为或.
考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系．
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