卷子答案网-一个不只有答案的网站人教B版（2019）必修第一册《1.1.1 集合及其表示方法》同步练习
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）下列集合中与是同一集合的是
A. B.
C. D.
2.（5分）设集合，则
A. B. C. D.
3.（5分）已知集合，若，则实数的取值集合为
A. B.
C. D.
4.（5分）已知集合，，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
5.（5分）非空数集如果满足：；若对，有，则称是“互倒集”给出以下数集：
； ；
其中“互倒集”的个数是
A. B. C. D.
6.（5分）已知非空集合，满足以下两个条件．
，；
的元素个数不是中的元素，的元素个数不是中的元素，则有序集合对的个数为
A. B. C. D.
7.（5分）已知集合，集合中至少有个元素，则
A. B. C. D.
8.（5分）已知集合，集合，则
A. B.
C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知集合，若，则实数的值为
A. B. C. D.
10.（5分）下列关系中，正确的有
A. B. C. D.
11.（5分）下列各对象能构成集合的是
A. 所有的平行四边形
B. 清华大学数学系大一所有高个子男生
C. 数学必修一中的所有难题
D. 方程在实数范围内的解
12.（5分）若集合，，下列关系正确的是
A. B. C. D.
13.（5分）已知集合，若对于任意实数对，存在，使成立，则称集合是“垂直对点集”，给出下列四个集合：
其中是“垂直对点集”的是
A. ；
B. ；
C. ；
D.
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图所示，已知四边形是矩形，为对角线与的交点，设点集，向量的集合且，不重合则集合有 ______ 个元素.
15.（5分）已知集合或，，，，，对于，，表示和中相对应的元素不同的个数，若给定，则所有的和为______．
16.（5分）若，则实数的取值集合是_________.
17.（5分）用区间表示下列集合：
________；
________；
或________.
18.（5分）已知集合，，则集合中元素个数为______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）对于正整数集合，，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”．
判断集合是否为“和谐集”，并说明理由；
求证：集合是“和谐集”；
求证：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．
20.（12分）已知集合，，若，，求的值
21.（12分）已知数集满足条件，若，则
已知，求证：在中必定还有两个元素．
请你自己设计一个数属于，再求出中其他的所有元素．
从上面两小题的解答过程中，你能否悟出什么“道理”并证明你发现的这个“道理”．
22.（12分）设集合求证：
一切奇数属于集合；
偶数不属于；
属于的两个整数，其乘积仍属于
23.（12分）已知
如果，求的范围；若，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了集合的特征，属于基础题.
利用集合的含义解答即可.
解：与是同一集合的是
故选
2.【答案】B;
【解析】解：集合，
集合就是由全体大于的自然数构成的集合，
显然，，
故选：．
根据集合元素和集合之间的关系进行判断．
这道题主要考查集合元素和集合之间的关系的判断，比较基础．
3.【答案】A;
【解析】解；，，
当即时，，成立；
当时，，或，
若，，成立，
若，，成立．
综上，，，，
故选：．
先由元素的确定性，得或，分类讨论，验证元素的互异性．
此题主要考查元素与集合的关系，利用元素的确定性和互异性解题，属于基础题．
4.【答案】D;
【解析】解：集合，
，
故选：．
首先把集合，解出来，再根据元素与集合，集合与集合间的关系可进行判断．
这道题主要考查元素与集合，集合与集合间的关系，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】解：解：对于集合当时，为空集；
对于集合即，，故集合是互倒集；
对于集合，，且，故集合是互倒集．
故选：．
当时，为空集；
即，，即可判断出正误；
，，且，即可判断出正误．
该题考查了集合的新定义“互倒集”、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6.【答案】A;
【解析】解：若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，，
即，，此时有，
若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，，
即，，此时有，
若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，，不满足题意，
若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，，
即，，此时有，
若集合中只有个元素，则集合中只有个元素，则，，
即，，此时有，
故有序集合对的个数是，
故选：．
分别讨论集合，元素个数，即可得到结论．
这道题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．
7.【答案】D;
【解析】解：集合，集合中至少有个元素，
，
，
．
故选：．
首先确定集合，由此得到，由此求得的取值范围．
此题主要考查了集合的化简与应用，属于基础题．
8.【答案】D;
【解析】解：；
．
故选：．
根据集合，即可得出集合．
考查描述法、列举法的定义，以及元素与集合的关系．
9.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查集合中元素的性质，考查分类讨论思想的应用，属于基础题.
由，分，，，三种情况讨论即可，注意验证集合中元素的互异性.
解：若，则，此时，符合题意
若，则，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去
若，则或舍去，当时，，符合题意.
综上，或，
故选
10.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查了集合中元素的性质，考查了考生的概念的理解，属基础题.
对选项分别进行判断即可得.
解：选项由空集是任何非空集合的真子集可知，本选项是正确的
选项是有理数，故是正确的
选项所有的整数都是有理数，故有，所以本选项是不正确的
选项由空集是任何集合的子集可知，本选项是不正确的，
故选
11.【答案】AD;
【解析】【解析】对，所有的平行四边形，符合集合的定义，能构成集合错，清华大学数学系大一所有高个子男
生， “高个子”没有明确的标准，不能构成集合错，数学必修一中的所有难题，“难题”没有明确的标准，不能
构成集合对，方程在实数范围内的解，符合集合的定义，能构成集合.
12.【答案】ACD;
【解析】
此题主要考查元素与集合的关系，属于基础题；
根据，表示上的点，是一个点集；然后逐项判断即可求解；
解：由题意，表示上的点，是一个点集；
对于选项，，，故，故正确；
对于选项，是数集，是点集，故错误；
对于选项，，故正确；
对于选项，不在上，故正确；
故选
13.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查了集合的新定义，由垂直对点集的概念，对各项分析即可得答案
解：由题意可得：集合是“垂直对点集”，即满足：
曲线上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．
对于，，其图象向左向右和轴无限接近，向上和轴无限接近，如图，
在图象上任取一点，连，过原点作的垂线必与的图象相交，
即一定存在点，使得成立，
故是“垂直对点集”，故正确．
对于，，在图象上任取一点，连，过原点作直线的垂线，因为的图象沿轴向左向右无限延展，且与轴相切，
因此直线总会与的图象相交．
所以是“垂直对点集”，故正确；
对于，，其图象过点，且向右向上无限延展，向左向下无限延展，
据指数函数的图象和性质可知，
在图象上任取一点，连，过原点作的垂线必与的图象相交，
即一定存在点，使得成立，
故是“垂直对点集”，故正确．
对于，，，
取，则不存在点，满足，
因此集合不是“垂直对点集”，故不正确；
故选：
14.【答案】12;
【解析】解：解：以点为起点的向量有个，同理，以，，，为起点的向量各有个，
因此图中共有个向量，
但这个向量中有如下相等的向量：，，
故其中共有个不相等的向量，故中共有个元素．
故答案为：
集合有多少个元素，即中有多少个不同的向量，分别以五个点为起点计算向量的总个数，找出相等的向量个数，相减即为答案．
本题考查集合元素的个数，掌握向量相等的概念是解题的关键，属于中档题．
15.【答案】n2n-1;
【解析】解：易知中共有个元素，分别记为，
的共有个，的共有个．
．
故答案为：
易知中共有个元素，分别记为的共有个，的共有个然后求和即可．
此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于的，其实中的元素就是一个维的坐标，其中每个坐标值都是或者，也可以这样理解，就是一个位数字的数组，每个数字都只能是和，第二个定义．
16.【答案】;
【解析】
此题主要考查元素与集合的关系.
解：，
若即，集合为，不满足互异性，
若即，集合为，满足题目条件，
若即时，集合为，不满足互异性，
综上实数的取值集合是
故答案为
17.【答案】；
；
;略;略;
【解析】此题主要考查数集用区间表示，属于基础题.
利用区间定义进行求解.
解：
或
18.【答案】10;
【解析】解：集合，，
，，
又集合
故中元素有个，
故答案为：
根据已知先求出，，进而根据分步乘法原理，得到答案．
此题主要考查的知识点是集合的交集和并集运算，分步乘法原理，难度中档．
19.【答案】解：（1）对于集合{1，2，3，4，5}，当去掉元素2时，剩余的所有元素之和为13，
不能分为两个交集为空集且这两个集合的所有元素之和相等的集合，
所以集合{1，2，3，4，5}不是“和谐集”．
（2）证明：设A={1，3，5，7，9，11，13}，
当去掉元素1时，有3+5+7+9=11+13；
当去掉元素3时，有1+9+13=5+7+11；
当去掉元素5时，有9+13=1+3+7+11；
当去掉元素7时，有1+9+11=3+5+13；
当去掉元素9时，有1+3+5+11=7+13；
当去掉元素11时，有3+7+9=1+5+13；
当去掉元素13时，有1+3+5+9=7+11．
所以集合A={1，3，5，7，9，11，13}是“和谐集”．
（3）证明：设“和谐集”A={，，…，}所有元素之和为M．
由题可知，M-（i=1，2，…，n）均为偶数，
因此（i=1，2，…，n）的奇偶性相同．
（ⅰ）如果M为奇数，则（i=1，2，…，n）也均为奇数，
由于M=++…+，所以n为奇数．
（ⅱ）如果M为偶数，则（i=1，2，…，n）均为偶数，
此时设=2，则{，，…，}也是“和谐集”．
重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”．
此时各项之和也为奇数，集合A中元素个数为奇数．
综上所述，集合A中元素个数为奇数．;
【解析】
根据定义，判断集合不是“和谐集”；
根据定义进行判断；
判定的奇偶性相同，分类讨论，证明：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数．
该题考查新定义的认识与理解能力，考查分类讨论的数学思想，属于难题．
20.【答案】解：由题意得，，代入中方程得，
故，
由和，得，
代入中方程得，，
所以;
【解析】此题主要考查了元素与集合的关系，以及集合间的关系的应用，应用一元二次方程的根与系数的关系，为中档题.
由，求出，进而求出，再根据两个集合间的关系，可知，进而求出，，由此能求出的值.
21.【答案】解：，而，
若，则中必定还有且仅有另外两个元素和
不妨设，而，
若，则中同样还有且仅有两个元素，
由可猜想中只有个元素，即，和
下面证明这三个数存在且互不相等．
先证存在性：，存在且不为
，，，即必有意义．
再证互不相等：若，则，
，故不可能．
，同理可证成立．
综上所述，集合中必有这三个互不相同的元素，而，
中仅有这三个元素．;
【解析】此题主要考查元素和集合的关系，利用条件进行推理并总结规律是解决本题的关键，考查学生的推理能力．
根据条件进行递推即可得到中其他所有元素．
不妨设，求出中其他所有元素
根据的元素特点得到结论并证明．
22.【答案】证明：（1）设a为任意奇数，则a=2k-1（k∈z），
因为2k-1=-（k-1）2，且k，k-1均为整数，
∴a∈M．由a的任意性知，一切奇数属于M．
（2）首先我们证明如下命题：
设：x，y∈z，则x+y与x-y具有相同的奇偶性．
以下用反证法证明．
假设（4k-2）∈M，则存在x，y∈z，
使得-=4k-2 （x+y）（x-y）=2（2k-1）．
若x+y与x-y同为奇数，则（x+y）（ x-y）必定为奇数，
而2（2k-1）表示偶数，矛盾；
若x+y与x-y同为偶数，则（x+y）（ x-y）必定被4整除，
但2（2k-1）表示不能被4整除的偶数，也导致矛盾．
综上所述，形如4k-2的偶数不属于M．
（3）设a，b∈M，则存在，，，∈z，
使得．
∵
=
=，
又因为-，-均为整数，
∴ab∈M．;
【解析】
令，，；从而证明，
假设，从而可得，，，从而可得不可以是一奇一偶的乘积，从而证明；
设，，则
此题主要考查了集合的化简与运算，属于基础题．
23.【答案】解：，
，
解得：
，
，
;
【解析】
由属于集合，得出关于的不等式，求解出的范围；
由属于集合，得出关于的不等式，求解出的范围.
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