卷子答案网-一个不只有答案的网站17.2 勾股定理的逆定理
测试时间:15分钟
一、选择题
1.(2023贵州铜仁期中)下列各组数中,是勾股数的是( )
A.0.3,0.4,0.5 B.3,4,5 C.,, D.5,7,12
2.(2023广西崇左期末改编)由线段a,b,c组成的三角形中,是直角三角形的是( )
A.a=1,b=2,c=3 B.a=1,b=,c=
C.a=2,b=3,c=5 D.a=6,b=8,c=10
3.(2023安徽安庆期末)若△ABC的三边长分别为a,b,c,下列给出的条件不能使△ABC为直角三角形的是( )
A.a=,b=,c= B.a=5,b=6,c=
C.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5 D.a∶b∶c=3∶4∶5
4.如图,有四个三角形,各有一边长为6,一边长为8,若第三边长分别为6,8,10,12,则面积最大的三角形是( )
5.下列定理中,没有逆定理的是( )
A.内错角相等,两直线平行
B.菱形的四条边都相等
C.若实数a=b,则a2=b2
D.直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方
二、填空题
6.(2023湖南邵阳期中)已知:a、b、c是△ABC的三边长,且满足|a-3|++(c-4)2=0,则△ABC的形状为 .
7.(2022广东深圳实验学校期末)在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12,则△ABC的周长为 .
8.(2023广西钦州月考)在如图所示的正方形网格中,A、B、C都在格点上,连接AB、AC,则∠1+∠2= °.
9.若正整数a,n满足a2+n2=(n+1)2,这样的三个整数a,n,n+1(如:3,4,5或5,12,13),我们称它们为一组“完美勾股数”.当n<150时,共有 组这样的“完美勾股数”.
10.(2023四川省绵阳中学期中)下列说法:
①因为0.6,0.8,1不是勾股数,所以以0.6,0.8,1为边长的三角形不是直角三角形;
②若a,b,c是勾股数,且c>b,c>a,则必有a2+b2=c2;
③因为以0.5,1.2,1.3为边长的三角形是直角三角形,所以0.5,1.2,1.3是勾股数;
④若三个整数a,b,c是直角三角形的三边长,则3a,3b,3c必是勾股数.
其中正确的是 .(填序号)
三、解答题
11.(2023广西河池期末)当直角三角形的三边长都是正整数时,我们称这三个数为勾股数,如:3,4,5都是正整数,且32+42=52,所以3,4,5是勾股数.观察下列各组勾股数有哪些规律.
3,4,5 9,40,41
5,12,13 ……
7,24,25 a,b,c
(1)当a=11时,求b,c的值;
(2)判断10,24,26是不是一组勾股数,若是,请说明理由.
12.如图,已知等腰△ABC的底边BC=17 cm,D是腰BA延长线上一点,连接CD,且BD=15 cm,CD=8 cm.
(1)判断△BDC的形状,并说明理由;
(2)求△ABC的周长.
13.阅读下列一段文字,回答问题.
【材料阅读】
平面内有两点M(x1,y1),N(x2,y2),由勾股定理可得,这两点间的距离MN=.
例如,如图1,M(3,1),N(1,-2),则MN==.
【直接应用】
(1)已知P(2,-3),Q(-1,3),求P、Q两点间的距离.
(2)如图2,在平面直角坐标系中,A(-1,-3),OB=,OB与x轴正半轴的夹角是45°.
①求点B的坐标;
②试判断△ABO的形状.
答案全解全析
一、选择题
1.答案 B A.不是勾股数,因为0.3,0.4,0.5不是正整数,不符合题意;
B.是勾股数,因为32+42=52,且3,4,5均为正整数,符合题意;
C.不是勾股数,因为,不是正整数,不符合题意;
D.不是勾股数,因为52+72≠122,不符合题意.
故选B.
2.答案 D A.12+22≠32,故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形,本选项不符合题意;
B.12+()2≠()2,故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形,本选项不符合题意;
C.22+32≠52,故线段a、b、c组成的三角形不是直角三角形,本选项不符合题意;
D.62+82=102,故线段a、b、c组成的三角形是直角三角形,本选项符合题意.
故选D.
3.答案 C A.∵a2+b2=()2+()2=11,c2=()2=11,
∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,故A不符合题意;
B.∵a2+c2=52+()2=36,b2=62=36,
∴a2+c2=b2,∴△ABC是直角三角形,故B不符合题意;
C.∵∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5,∠A+∠B+∠C=180°,
∴∠C=180°×=75°,∴△ABC不是直角三角形,故C符合题意;
D.∵a∶b∶c=3∶4∶5,
∴设a=3k,b=4k,c=5k,k>0,
∵a2+b2=(3k)2+(4k)2=25k2,c2=(5k)2=25k2,
∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形,故D不符合题意.故选C.
4.答案 C 如图,过C作CD⊥AB于D,∵AB=6,AC=8,∴CD≤8,∴当CD与AC重合时,CD最长,为8,此时,∠BAC=90°,△ABC的面积最大,∴BC==10,∴四个三角形中面积最大的三角形的三边长分别为6,8,10,故选C.
5.答案 C A.内错角相等,两直线平行的逆定理为两直线平行,内错角相等,不符合题意;B.菱形的四条边都相等的逆定理为四条边都相等的四边形是菱形,不符合题意;C.若实数a=b,则a2=b2的逆命题为若a2=b2,则a=b,不成立,符合题意;D.直角三角形两直角边的平方等于斜边的平方的逆定理为两较短边的平方和等于较长边的平方的三角形是直角三角形,不符合题意.故选C.
二、填空题
6.答案 直角三角形
解析 由题意得a-3=0,b-5=0,c-4=0,
∴a=3,b=5,c=4,
∵32+42=52,∴△ABC是直角三角形.
7.答案 36
解析 如图,∵AD是BC边上的中线,BC=10,
∴BD=BC=5.
∵52+122=132,∴BD2+AD2=AB2,
∴△ABD是直角三角形,∴AD⊥BC,
又∵BD=CD,
∴AC=AB=13,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=13+13+10=36.
8.答案 45
解析 如图,过A作AG⊥BG于点G,取格点D,连接AD,CD,过C作CH⊥DH于点H,
设小正方形的边长均为1,由勾股定理得,AD2=22+12=5,CD2=22+12=5,AC2=32+12=10,
∴AD2+DC2=AC2,
∴△ADC为等腰直角三角形,∴∠ACD=45°,
∵AG∥CH,∴∠1=∠ACH,
∵AG=DH=1,BG=CH=2,∠BGA=∠CHD=90°,
∴△ABG≌△DCH(SAS),∴∠DCH=∠2,
∴∠1+∠2=∠ACH+∠DCH=∠ACD=45°.
9.答案 8
解析 ∵a2+n2=(n+1)2,
∴a2=2n+1,
∴a2为奇数,且为完全平方数.
∵n<150,∴2n+1<301,
∴a2的取值应为9,25,49,81,121,169,225,289,共有8个,
∴当n<150时,共有8组这样的“完美勾股数”.
10.答案 ②④
解析 ①虽然0.6,0.8,1不是勾股数,但是0.62+0.82=12,所以以0.6,0.8,1为边长的三角形是直角三角形,故①说法错误;
②若a,b,c是勾股数,且c>b,c>a,则必有a2+b2=c2,故②说法正确;
③因为0.5,1.2,1.3都不是正整数,所以0.5,1.2,1.3不是勾股数,故③说法错误;
④若三个整数a,b,c是直角三角形的三边长,则3a,3b,3c一定是勾股数,故④说法正确.
综上,正确的是②④.
三、解答题
11.解析 (1)由题表中勾股数的规律,可得c=b+1,
∵a2+b2=c2,a=11,
∴112+b2=(b+1)2,∴b=60,∴c=61.
(2)10,24,26是一组勾股数.理由如下:
∵102+242=676,262=676,
∴102+242=262,
∴10,24,26是一组勾股数.
12.解析 (1)△BDC是直角三角形.
理由:∵BC=17 cm,BD=15 cm,CD=8 cm,
∴BD2+CD2=BC2,
∴△BDC是直角三角形.
(2)设AB=AC=x cm,则AD=(15-x)cm,
在Rt△ADC中,由勾股定理得AD2+DC2=AC2,
∴(15-x)2+82=x2,解得x=,
∴AB=AC= cm,
∵BC=17 cm,
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=++17=(cm).
13.解析 (1)∵P(2,-3),Q(-1,3),
∴PQ==3.
(2)①过点B作BF⊥y轴于点F,
∵OB与x轴正半轴的夹角是45°,
∴∠FOB=∠OBF=45°,
∵OB=,
∴OF=BF=1,
∴B(1,-1).
②∵A(-1,-3),B(1,-1),O(0,0),
∴OA==,AB==2,
∵AB2+OB2=8+2=10,OA2=10,
∴AB2+OB2=OA2,
∴△ABO是直角三角形.