卷子答案网-一个不只有答案的网站第5章 特殊平行四边形
5.3 正方形
第2课时 正方形的性质
基础过关全练
知识点 正方形的性质
1. 矩形、正方形都具有的性质是( )
A.对角线相等 B.邻边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角
2.已知A(3,-1),B(3,-1+),则正方形ABCD的面积是( )
A.3 B.7 C.9 D.2
3.(2023广西中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为 .
4.如图,已知四边形ABCD是正方形,G为边AD上任意一点,CE⊥BG于点E,DF⊥CE于点F.
求证:DF=BE+EF.
能力提升全练
5.【一题多变·正方形+轴对称,对称点在其内部,求线段长】(2023浙江杭州余杭月考,9,★★☆)
如图,正方形ABCD中,点E是AB的中点,点F在BC边上,点B关于EF的对称点为B',连结B'D,B'E,B'F.若正方形ABCD的边长为2,则当四边形BEB'F是正方形时,B'D=( )
A. B. C.2 D.3
[变式1·正方形+轴对称,对称点在其对角线上,求线段长]如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连结DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则OF的长为( )
A. B.2-2 C.2- D.-1
[变式2·正方形+轴对称,求角的度数]【半角模型】如图,四边形ABCD是正方形,点P在边BC上,作△PAB关于直线PA对称的△PAB',延长PB'与边CD交于点M,连结AM,则∠PAM的度数为( )
A.60° B.55° C.45° D.40°
6.
如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O,点E是AD上除端点外的任意一点,过点O作OF⊥OE交CD于点F,若AB=6,则四边形EOFD的面积为 .
7.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AD,CD上,且DE=CF,AF与BE相交于点G.
(1)求证:BE=AF;
(2)若AB=12,DE=3,求AG的长.
8. 如图,在正方形ABCD中,点P在边BC的延长线上,连结AP交BD于F,过点C作CG∥AP交BD于点G,连结AG,CF.
(1)求证:△ADF≌△CBG;
(2)四边形AGCF是什么特殊四边形 请说明理由.
9.【教材变式·P126例2】(2023浙江绍兴中考,22,★★☆)如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(与点B,D不重合),GE⊥CD,GF⊥BC,E,F分别为垂足,连结EF,AG,并延长AG交EF于H.
(1)求证:∠DAG=∠EGH;
(2)判断AH与EF是否垂直,并说明理由.
素养探究全练
10.【推理能力】如图1,在正方形ABCD中,AB=2,点E是边AD上的一个动点,连结BE、CE,作BE、CE的垂直平分线交于点H,且BE的垂直平分线分别交AB、BE、CD于点M、F、N,CE的垂直平分线交CE于点G.
(1)如图2,当点E运动到AD的中点时.
①证明:△ABE≌△DCE;
②连结BH、CH,证明:∠EBH=∠ECH.
(2)若点E从点A出发,沿着边AD向点D运动,到达点D后停止运动.
①利用图1证明:无论点E运动到边AD上的何处,MN始终被点H平分;
②求整个运动过程中,点H的运动路径长.(直接写出结果)
图1 图2
第5章 特殊平行四边形
5.3 正方形
第2课时 正方形的性质
答案全解全析
基础过关全练
1.A 矩形、正方形的对角线都相等,所以A符合题意;
矩形的邻边不一定相等,所以B不符合题意;
矩形的对角线不一定互相垂直,所以C不符合题意;
矩形的对角线不一定平分对角,所以D不符合题意.故选A.
2.B ∵A(3,-1),B(3,-1+),
∴AB=-1+-(-1)=,
∴S正方形ABCD=()2=7.
3.答案
解析 连结AE(图略).
∵M,N分别是EF,AF的中点,
∴MN=AE.
易知当点E与点C重合时,AE取得最大值,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠B=90°,AB=BC,
∴AE的最大值===2,
∴MN的最大值为.
4.证明 ∵四边形ABCD是正方形,
∴BC=CD,∠BCD=90°,
∵CE⊥BG,DF⊥CE,∴∠BEC=∠CFD=90°,
∴∠BCE+∠CBE=90°=∠BCE+∠DCF,
∴∠CBE=∠DCF,
在△CBE和△DCF中,
∴△CBE≌△DCF(AAS),∴CF=BE,CE=DF,
∵CE=EF+CF,∴DF=BE+EF.
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5.A 如图,连结BB',
∵E为AB边的中点,∴AE=BE=1,
∵四边形BEB'F是正方形,
∴BB'=BE=,BB'平分∠ABC,
易知点B,B',D三点共线,
∵四边形ABCD是正方形,
∴BD=AB=2,
∴B'D=BD-BB'=.
[变式1]C ∵四边形ABCD是正方形,DC=2,
∴DB=DC=2,OD=OB,∴OD=.
∵△DEF与△DEC关于直线DE对称,
∴DF=DC=2,∴OF=DF-OD=2-.
[变式2]C ∵△PAB与△PAB'关于直线PA对称,
∴AB'=AB,∠PAB'=∠PAB,∠AB'P=∠B,
∵四边形ABCD为正方形,
∴∠D=∠BAD=∠B=90°,AD=AB,∴AB'=AD,
∵∠AB'M=180°-90°=90°,∴∠D=∠AB'M,
∵AM=AM,∴Rt△ADM≌Rt△AB'M(HL),
∴∠DAM=∠B'AM,∴∠DAM+∠BAP=∠MAB'+∠PAB'=∠BAD=45°,即∠PAM=45°,故选C.
6.答案 9
解析 ∵四边形ABCD是正方形,
∴OD=OC,∠DOC=90°,∠EDO=45°=∠FCO,
∵OE⊥OF,∴∠EOD=90°-∠DOF=∠FOC,
∴△DOE≌△COF(ASA),∴S△DOE=S△COF,
∴=S△DOE+S△DOF=S△COF+S△DOF=S△DOC,
∵AB=6,∴S△DOC==×62=9,
∴=9.
7.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,
∵DE=CF,∴AE=DF,
在△BAE和△ADF中,
∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF.
(2)由(1)知△BAE≌△ADF,
∴∠EBA=∠FAD,∵∠EBA+∠AEB=90°,
∴∠GAE+∠AEG=90°,∴∠AGE=90°,
∵AB=12,DE=3,
∴AE=AD-DE=AB-DE=9,
∴BE===15,
在Rt△ABE中,S△ABE=AB·AE=BE·AG,
∴×12×9=×15×AG,∴AG=7.2.
8.解析 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC,∠DBC=∠ADB=45°,
∵CG∥AP,∴∠BGC=∠BFP,
∵∠BFP=∠AFD,∴∠AFD=∠BGC.
在△ADF和△CBG中,
∴△ADF≌△CBG(AAS).
(2)四边形AGCF是菱形.理由如下:
连结AC,设AC与BD交于点O,如图,
∵四边形ABCD是正方形,
∴OA=OC,OB=OD,AC⊥BD.
由(1)知△ADF≌△CBG,∴DF=BG,∴OB-BG=OD-FD,即OG=OF.
又∵OA=OC,∴四边形AGCF是平行四边形,
∵AC⊥FG,∴四边形AGCF是菱形.
9.解析 (1)证明:∵在正方形ABCD中,AD⊥CD,GE⊥CD,
∴AD∥GE,∴∠DAG=∠EGH.
(2)AH与EF垂直.理由如下:如图,连结GC交EF于点O.
∵BD为正方形ABCD的对角线,∴∠ADG=∠CDG=45°.
又∵DG=DG,AD=CD,∴△ADG≌△CDG,
∴∠DAG=∠DCG.
在正方形ABCD中,∠ECF=90°,
又∵GE⊥CD,GF⊥BC,∴四边形FCEG为矩形,
∴OE=OC,∴∠OEC=∠OCE,∴∠DAG=∠OEC.
由(1)得∠DAG=∠EGH,∴∠EGH=∠OEC,
∴∠EGH+∠GEH=∠OEC+∠GEH=∠GEC=90°,
∴∠GHE=90°,∴AH⊥EF.
素养探究全练
10.解析 (1)证明:①∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=CD,∠A=∠D=90°,
∵点E是AD的中点,
∴AE=DE,
在△ABE和△DCE中,
∴△ABE≌△DCE(SAS).
②如图,连结EH,
∵△ABE≌△DCE,∴BE=CE,
∴∠EBC=∠ECB,
∵BE、CE的垂直平分线交于点H,
∴BH=EH=CH,∴∠HBC=∠HCB,
∴∠EBH=∠ECH.
(2)①证明:过点H作PQ⊥AB,交AB于P,交CD于Q,连结EH,BH,CH,过点H作HK⊥BC于K,如图,
∵BE、CE的垂直平分线交于点H,∴BH=EH=CH,
∵KH⊥BC,∴BK=CK,
易知∠ABC=∠BCD=∠BPQ=∠CQP=90°=∠BKH=∠CKH,
∴四边形BKHP,四边形CKHQ均是矩形,
∴BK=PH,CK=HQ,∴PH=QH,
又∵∠MPH=∠HQN=90°,∠MHP=∠NHQ,
∴△PHM≌△QHN(ASA),∴MH=NH,
∴无论点E运动到边AD上的何处,MN始终被点H平分.
②点H的运动路径长为.详解:如图,当点E运动到AD的中点时,连结AC,BD交于点O,连结EM,EH,
∵BE、CE的垂直平分线交于点H,∴BH=EH=CH,
∴点H在BC的垂直平分线上移动.
当点E在点A处时,点H与点O重合;在点E从点A到AD的中点的运动过程中,点H从点O向下运动;在点E从AD的中点到点D的运动过程中,点H向上运动到点O.
当点E运动到AD的中点时,易知点E,O,H在同一直线上,点O是BD的中点,
∴EO=AB=1,AE=DE=1,EO∥AB,∴∠ABE=∠BEH,
∵MH垂直平分BE,
∴BF=EF,BM=ME,∵∠BFM=∠EFH,
∴△BMF≌△EHF(ASA),∴BM=EH,
∵ME2=AE2+AM2,∴ME2=1+(2-ME)2,∴ME=,∴ME=BM=EH=,∴HO=-1=,∴点H的运动路径长=2×=.
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