卷子答案网-一个不只有答案的网站第一章 三角形的证明
3 线段的垂直平分线
基础过关全练
知识点1 线段垂直平分线的性质定理
1.【教材变式·P23随堂练习】如图,AB是线段CD的垂直平分线,E,F是AB上的两点,若∠CEB=30°,∠CDF=40°,则∠ECF的度数为 .
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,直线DE是线段AB的垂直平分线,连接BE.
(1)若∠A=35°,求∠CBE的度数;
(2)若∠A=30°,△BCE的周长为15+5,求△ABC的面积.
知识点2 线段垂直平分线的判定定理
3.如图,点D在△ABC的边BC上,且BC=BD+AD,则点D在线段 的垂直平分线上.
4.(2023广东揭阳期中)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,点E在AD上.
(1)如图①,连接BE,CE,求证:BE=CE;
(2)如图②,连接BE并延长,交AC于F,若BF⊥AC,
求证:∠CAD=∠CBF.
知识点3 与线段的垂直平分线有关的作图
5.【新考向·尺规作图】(2023河北石家庄四十一中模拟)已知线段AB,用尺规作它的垂直平分线.作图步骤如下,下列说法正确的是( )
A.a,b,c,d均无限制
B.a与b可以不相等
C.a与d必须相等
D.c与d必须相等
6.(2023广东深圳三模)如图,△ABC是等边三角形,以点B为圆心,适当长为半径画弧,交AC于点E、F,再分别以E、F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧交于点D,连接BD交AC于点G,则∠ABG度数为( )
A.15° B.20° C.25° D.30°
知识点4 三角形三边垂直平分线的性质定理
7.【新独家原创】甲、乙、丙三人做游戏,每个人画一个△ABC,然后画AB和BC边的垂直平分线,并观察画出的两条垂直平分线是否相交,甲说:“相交,并且交点在△ABC内部.”乙说:“相交,但交点在一条边上.”丙说:“相交,但交点在△ABC外部.”为此,三人争论不休,你认为( )
A.甲对 B.乙对
C.丙对 D.三种情况都有可能
8.如图,已知O为△ABC三边垂直平分线的交点,∠BAC=80°,求∠BOC的度数.
能力提升全练
9.(2022贵州毕节中考,8,★★☆)在△ABC中,用尺规作图,分别以点A和C为圆心,以大于AC的长为半径作弧,两弧相交于点M和N.作直线MN交AC于点D,交BC于点E,连接AE,则下列结论不一定正确的是( )
A.AB=AE B.AD=CD
C.AE=CE D.∠ADE=∠CDE
10.(2023四川达州通川八中第一次月考,5,★★☆)如图,在△ABC中,BC=8,AB、AC的垂直平分线与BC分别交于点E、F,则△AEF的周长为( )
A.2 B.4
C.8 D.不能确定
11.【最短距离问题】(2023山东菏泽开发区联考,16,★★☆)如图,等腰三角形ABC的底边BC的长为6,面积是18,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB于点E,F,若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为 .
12.【转化与化归思想】(2022江苏无锡中考,16,★★☆)如图,正方形ABCD的边长为8,点E是CD的中点,HG垂直平分AE且分别交AE、BC于点H、G,则BG= .
13.(2022江苏泰州期中,22,)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=40°,
AD是BC边上的高.线段AC的垂直平分线交AD于点E,交AC于点F,连接BE.
(1)试问:线段AE与BE相等吗 请说明理由.
(2)求∠EBD的度数.
(2023广东清远佛冈期中,18,★★☆)如图所示,在Rt△ABC中,
∠ACB=90°,AC=BC,D为BC边上的中点,CE⊥AD于点E,BF∥AC交CE的延长线于点F,连接DF,求证:AB垂直平分DF.
素养探究全练
15.【推理能力】重温定理:
(1)我们在七年级下册学过三角形内角和定理:三角形的内角和等于180°.
我们在探究证明“三角形内角和定理”时,通过撕纸拼凑的探究活动(如图1),即可证明,你能否按图示操作完成探究证明 试写证明过程.
方法类比:
如图2,在四边形ABCD中,∠ABC与∠ADC互余,小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比(1)中思路进行拼合:先作∠CDF=
∠ABC,再过点C作CE⊥DF于点E,连接AE,你发现AD,DE,AE之间的数量关系是 ,试探究说明.
实践应用:
如图3,在四边形ABCD中,连接AC,∠BAC=90°,点O是△ACD两边垂直平分线的交点,连接OA,若∠OAC=∠ABC,试证明∠ABC+
∠ADC=90°.
图1 图2 图3
答案全解全析
基础过关全练
1.100°
解析 如图,设AB与CD交于点H,
∵AB是线段CD的垂直平分线,E,F是AB上的两点,
∴∠CHE=90°,FC=FD,∴∠DCF=∠CDF=40°,∠ECD=90°-∠CEB=60°,∴∠ECF=∠ECD+∠DCF=100°.故答案为100°.
2.解析 (1)∵∠C=90°,∠A=35°,
∴∠ABC=90°-35°=55°,
∵直线DE是线段AB的垂直平分线,
∴EA=EB,∴∠EBA=∠A=35°,∴∠CBE=55°-35°=20°.
(2)∵∠C=90°,∠A=30°,∴∠ABC=60°,
∵EB=EA,∴∠ABE=∠A=30°,∴∠CBE=30°,
∴BE=2CE,设CE=x,则BE=2x,∴BC=x,∴3x+,∴x=5,∴CE=5,BC=5,EA=EB=10,∴AC=CE+EA=15,
∴△ABC的面积=CA·BC=.
3.AC
解析 ∵BC=BD+AD,BC=BD+DC,∴AD=DC,∴点D在线段AC的垂直平分线上,故答案为AC.
4.证明 (1)∵在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC,∴AD垂直平分线段BC,
∵点E在AD上,∴BE=CE.
(2)由(1)知AD⊥BC,又∵BF⊥AC,
∴∠BDE=∠BFA=90°,
∵∠AEB=∠CBF+∠BDE=∠AFB+∠CAD,
∴∠CAD=∠CBF.
5.D 第一步中,a需大于AB的长,第二步中,b需等于a,故A、B选项错误;第三、四步中,c、d需相等,故D选项正确;a与d可以相等,也可以不相等,故C选项错误.故选D.
6.D 由作图方法可知,直线BD是线段EF的垂直平分线,∴BG⊥AC,∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=60°,BG平分∠ABC,
∴∠ABG=∠ABC=30°,故选D.
7.D 三角形三边的垂直平分线交于一点,当三角形是锐角三角形时,交点在三角形内部;当三角形是直角三角形时,交点为斜边中点;当三角形是钝角三角形时,交点在三角形外部.故甲、乙、丙所说的三种情况都有可能,故选D.
8.解析 如图,连接OA,
∵O为△ABC三边垂直平分线的交点,∴OA=OB=OC,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,
∴∠1+∠3=∠2+∠4,∵∠1+∠3=∠BAC=80°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2∠BAC=160°,∴∠5+∠6=180°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=180°-160°=20°,∴∠BOC=180°-(∠5+∠6)=160°.
能力提升全练
9.A 由作图可知,MN垂直平分线段AC,∴AD=DC,EA=EC,∠ADE=∠CDE=90°,故选项B,C,D中的结论一定正确;根据已有条件,无法判断AB是否等于AE,故选项A中的结论不一定正确.故选A.
10.C ∵AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F,
∴AE=BE,AF=CF,∴△AEF的周长=AE+EF+AF=BE+EF+CF=BC=8.故选C.
11.9
解析 如图,连接AD,MA.∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,∴AD⊥BC,∴S△ABC=BC·AD=×6×AD=18,解得AD=6,∵EF是线段AC的垂直平分线,∴MA=MC,∴MC+DM=MA+DM≥AD,∴当点M为AD与EF的交点时,CM+DM取得最小值,最小值为线段AD的长,∴△CDM周长的最小值=AD+×6=6+3=9.故答案为9.
方法解读 本题属于直线同侧两点到直线上一点的距离和最小问题,解题关键是先找其中一个点关于直线的对称点,再连接另一个点和对称点,利用三角形任意两边之和大于第三边及两点之间线段最短得最短距离.
12.1
解析 连接AG,EG,如图,
∵HG垂直平分AE,∴AG=EG,∵四边形ABCD为正方形,且边长为8,∴∠B=∠C=90°,AB=BC=CD=8,∵点E是CD的中点,∴CE=4,设BG=x,则CG=8-x,由勾股定理,得EG2=CG2+CE2=(8-x)2+42,AG2=AB2+BG2=82+x2,∴(8-x)2+42=82+x2,解得x=1,即BG=1.故答案为1.
13.解析 (1)线段AE与BE相等.理由如下:
如图,连接CE,
∵AB=AC,AD是BC边上的高,
∴BD=CD,
∴直线AD为BC的垂直平分线,
∵点E在AD上,∴BE=CE,
∵线段AC的垂直平分线交AD于点E,交AC于点F,∴AE=CE,
∴AE=BE.
(2)∵AB=AC,∠BAC=40°,
∴∠ABC=(180°-∠BAC)=70°,
∵AD是BC边上的高,∴AD平分∠BAC,
∴∠BAE=∠BAC=20°,
∵AE=BE,∴∠ABE=∠BAE=20°,
∴∠EBD=∠ABD-∠ABE=50°.
14.证明 ∵∠BCE+∠ACE=90°,∠ACE+∠CAE=90°,
∴∠BCE=∠CAE.∵AC⊥BC,BF∥AC,∴BF⊥BC,
∴∠ACD=∠CBF=90°.
∵AC=CB,∴△ACD≌△CBF,∴CD=BF.
∵D为BC边上的中点,∴CD=BD,∴BF=BD,
∴△BFD为等腰直角三角形.
∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠ABC=45°.
∵∠FBD=90°,∴∠ABF=45°,
∴∠ABC=∠ABF,即BA是∠FBD的平分线,
∴AB垂直平分DF.
素养探究全练
15.解析 (1)证明:由题意可得∠A=∠ACF,
∴AB∥CF,∴∠B+∠BCF=180°,
∴∠B+∠ACB+∠ACF=180°,
∴∠A+∠B+∠BCA=180°,即三角形的内角和为180°.
(2)AD2+DE2=AE2.探究如下:
∵∠ADC+∠ABC=90°,∠CDE=∠ABC,
∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°,
∴在Rt△ADE中,AD2+DE2=AE2.
(3)证明:如图,连接OC,DO,
∵点O是△ACD两边垂直平分线的交点,
∴OA=OC=OD,∴∠DAO=∠ADO,∠DCO=∠ODC,∠OAC=∠OCA,∴2∠OAC+2∠ODC+2∠ODA=180°,
∴∠OAC+∠ADC=90°,∵∠OAC=∠ABC,
∴∠ADC+∠ABC=90°.
转载请注明出处卷子答案网-一个不只有答案的网站 » 北师大版数学八年级下册1.3 线段的垂直平分线 素养提升练习（含解析）