四川省广安市华蓥市阳和中学2022-2023八年级下学期期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年四川省广安市华蓥市阳和中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 二次根式、、、、、中，最简二次根式有个．( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2. 在下列命题中，正确的是( )
A. 一组对边平行的四边形是平行四边形 B. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
C. 有一个角是直角的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
3. 由线段，，组成的三角形不是直角三角形的是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
4. 在某样本方差的计算公式中，数字和依次表示样本的( )
A. 容量，方差 B. 平均数，容量 C. 容量，平均数 D. 方差、平均数
5. 如图，在 中，点为的中点，且，则与的夹角的度数为( )
A. B. C. D.
6. 已知如图，正比例函数的函数值随的增大而增大，则一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
7. 若，则与的大小关系是( )
A. B. C. D.
8. 如图，有一张直角三角形的纸片，两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上且与重合，则的长为( )
A. B. C. D.
9. 下列函数中，经过一、二、四象限的函数是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
11. 数据，，，，的方差是______．
12. 已知，，则的值为______ ．
13. 如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，于点，且，连接，在上截取，以为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，则点表示的实数是______．
14. 直线与直线的交点坐标为______ ．
15. 如图，等边与正方形有一条共公边，点在正方形外，连结，则
16. 使式子有意义的的取值范围是______．
17. 已知一次函数的图象如图，根据图中信息请写出不等式的解集为______ ．
18. 如图，折叠矩形纸片，得折痕，再折叠使边与对角线重合，得折痕若，，则 ．
三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
计算：．
20. 本小题分
如图，已知在四边形中，于，于，，，求证：四边形是平行四边形．
21. 本小题分
如图，为的边上的一点，，，，．
求的长；
求的面积．
22. 本小题分
如图，在中，对角线，相交于点，且．
求证：四边形是矩形；
若，，求的长．
23. 本小题分
某校学生会向全校名学生发起了爱心捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图和图，请根据相关信息，解答系列问题：
本次接受随机抽样调查的学生人数为______人，图中的值是______．
求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数．
24. 本小题分
定义：如图，若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．
作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和；
如图，当时，求证：；
如图，当时，与是否仍然相等，请说明理由．
已知中，，，作的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值．
25. 本小题分
如图，直线与轴、轴分别交于点，点的坐标为，点的坐标为．
求的值，及一次函数解析式；
若点是第二象限内的直线上的一个动点．当点运动过程中，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
探究：当运动到什么位置时，的面积为，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：二次根式、、、、、中，
最简二次根式有、、共个．
故选：．
利用最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而分析得出即可．
此题主要考查了最简二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2.【答案】
【解析】解：、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故A选项错误；
B、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故B选项正确；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项错误；
D、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故D选项错误．
故选：．
本题可逐个分析各项，利用排除法得出答案．
主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3.【答案】
【解析】解：、，即，由线段，，组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
B、，即，由线段，，组成的三角形是直角三角形，故本选项错误；
C、，即，由线段，，组成的三角形不是直角三角形，故本选项错误；
D、，即，由线段，，组成的三角形不是直角三角形，故本选项正确；
故选：．
根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是勾股定理及勾股定理的逆定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查方差的定义．一般地设个数据，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
方差计算公式：，表示样本容量，为平均数，根据此公式即可得到答案．
【解答】
解：由于，所以样本容量是，平均数是．
故选C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质等知识点，综合运用知识是解此题的关键．
利用已知得到，，进一步推出，同理得到，即：，利用三角形的内角和定理即可得到所选选项．
【解答】
解：为平行四边形，
，，
，，
点为的中点，且，
，
，，
，
．
故选C．
6.【答案】
【解析】解：正比例函数的函数值随的增大而增大，
，
，，
一次函数的图象经过一、二、三象限．
故选：．
先根据正比例函数的函数值随的增大而增大判断出的符号，再根据一次函数的性质即可得出结论．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数中，当，时函数的图象在一、二、三象限．
7.【答案】
【解析】解：，等式左边为算术平方根，结果为非负数，
，解得．
故选B．
此题考查二次根式的性质：．
本题主要考查了根据二次根式的意义化简．
二次根式规律总结：当时，；当时，．
8.【答案】
【解析】解：，，
由勾股定理得，
，
直角边沿直线折叠落在斜边上且与重合，
，
．
故选：．
利用勾股定理列式求出，再根据翻折变换的性质可得，然后根据代入数据计算即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，熟记翻折前后的两个图形能够完全重合得到是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：函数经过第二、四象限，则一次函数中的，观察选项，选项符合题意．
故选：．
根据一次函数图象与系数的关系解答．
本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，
，
，
作点关于直线的对称点，连接，，则的长即为的最小值，由图可知，当点与点重合，时的值最小，
在中，
，，
．
故选：．
先根据四边形是菱形可知，，由可知，作点关于直线的对称点，连接，，则的长即为的最小值，由图可知，当点与点重合，时的值最小，再在中利用锐角三角函数的定义求出的长即可．
本题考查的是轴对称最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11.【答案】
【解析】解：这组数据，，，，的平均数是，
则这组数据的方差是：
；
故答案为：．
先根据平均数的计算公式要计算出这组数据的平均数，再根据方差公式进行计算即可．
本题考查方差，掌握方差公式和平均数的计算公式是解题的关键，一般地设个数据，，，的平均数为，则方差
12.【答案】
【解析】解：
．
故答案为．
由、的值直接代入求解即可．
本题考查了二次根式的化简求值，解答本题的关键在于对原式进行恰当的化简并代入求值．
13.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，
，
则点表示的实数是．
故答案为：．
根据勾股定理可得，由题意可得，即，因为，即可得出答案．
本题主要考查了勾股定理及实数与数轴，熟练掌握勾股定理及实数与数轴上的点是一一对应关系进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：联立两函数的解析式，得，
解得．
则直线与的交点坐标．
故答案为．
由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解，因此联立两函数的解析式所得方程组的解，即为两个函数图象的交点坐标．
此题考查两直线相交问题，关键是在同一平面直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解．反过来，以二元一次方程组的解为坐标的点，一定是相应的两个一次函数的图象的交点．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了正方形的性质，以及等边三角形的性质，利用了等量代换的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．
根据正方形的性质，可得与的关系，的度数，根据等边三角形的性质，可得与的关系，的度数，根据等腰三角形的性质，可得与，根据三角形的内角和，可得的度数，最后根据角的和差，可得答案．
【解答】
解：四边形是正方形，
，，
等边三角形，
，，
，，
，
，
故答案为：．
16.【答案】或
【解析】解：由题意得：或，
解得：或，
故答案为：或．
根据二次根式和分式有意义的条件可得或，再分别计算出两个不等式组的解集即可．
此题主要考查了二次根式和分式有意义的条件，分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数．
17.【答案】
【解析】解：根据题意得当时，，
即不等式的解集为．
故答案为．
观察函数图形得到当时，一次函数的函数值不小于，即．
本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于或小于的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上或下方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
18.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了折叠的性质，综合利用了勾股定理的知识．掌握折叠的性质，找出直角三角形便于利用勾股定理建立方程是解题的关键．
根据勾股定理可得，由折叠的性质可得≌，则，，则，在中根据勾股定理求出即可．
【解答】
解：在中，，，
，
由折叠的性质可得，≌，
，，
，
设，则，，
在中，
解得，
即．
故答案为：．
19.【答案】解：原式
．
【解析】算式符合平方差公式，完全平方公式，先根据公式，再合并同类二次根式．
本题考查了二次根式的混合运算．关键是先利用乘法公式，再合并同类二次根式．
20.【答案】证明：于，于，
，
在和中，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形．
【解析】由证得≌，得出，，证得，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键．
21.【答案】解：，，
，
，
；
在中，，，，
，
为直角三角形，即，
，，
．
【解析】由，根据的长求出的长，进而求出的长即可；
在直角三角形中，由，以及的长，利用勾股定理的逆定理判断得到三角形为直角三角形，即可求出三角形面积．
此题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．
22.【答案】证明：在中，
，，
又，
，
平行四边形是矩形；
四边形是矩形，
，，
又，
是等边三角形，
，
，
在中，．
【解析】本题考查了矩形的判定方法以及勾股定理的综合运用，熟练记住定义是解题的关键．
由得到，，由，得到；，对角线相等的平行四边形是矩形，即可推出结论；
根据矩形的性质借用勾股定理即可求得的长度．
23.【答案】解：；；
本次调查获取的样本数据的平均数是：元，
由条形统计图可知元出现了次，故本次调查获取的样本数据的众数是：元，
将数据从小到大排列，中位数是第个数和第个数的平均数：元；
该校本次活动捐款金额为元的学生人数为：人，
即该校本次活动捐款金额为元的学生大约有人．
【解析】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据统计图可以分别求得本次接受随机抽样调查的学生人数为，
则，故图中可求；
根据统计图可以分别得到本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
根据统计图中的数据可以估计该校本次活动捐款金额为元的学生人数．
24.【答案】证明：正方形和正方形，
，，，
，
，
．
在和中，
，
≌．
，

解：
理由如下：
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点．
．
四边形，四边形均为正方形，
，，
，．
．
在和中，
，
≌，
．
，
，，
；
解：的值是否发生变化；的最大值为；理由如下：
由得，是面积的三倍，
要使最大，只需的面积最大，
当是直角三角形，即时，有最大值．
此时，．
【解析】由正方形的性质可以得出，，，即可得出≌而得出结论；
如图，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明≌就有而得出结论；
根据可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论．
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键．
25.【答案】解：直线交于点，
，
，
这个一次函数解析式为．
是以长度为底边，点的纵坐标为高的三角形，
；
的面积为，
，
把代入一次函数，得
当点的坐标为时，的面积为．
【解析】把点的坐标为代入求出即可解决问题；
是以长度为底边，点的纵坐标为高的三角形，根据，列出函数关系式即可；、
利用的结论，列出方程即可解决问题；
本题考查一次函数综合题、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建一次函数或方程解决实际问题，属于中考常考题型．

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