卷子答案网-一个不只有答案的网站福建省罗源第一中学2020-2021学年高二上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．（2020高二上·福建月考）命题 ： ， ，则 是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
2．（2020高二上·福建月考）已知某运动员每次投篮命中的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
3．（2018高二上·深圳期中）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 （ ）
A． B． （y≠0）
C． D． （y≠0）
4．（2020高二上·福建月考）某射手一次射击中，击中 10 环、9环、8环的概率分别是 ，则这射手在一次射击中至多8环的概率是（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.71 D．0.29
5．（2020高二上·福建月考）椭圆 与 的关系是（ ）
A．有相同的长轴长和短轴长 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
6．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 的周长为 ，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020高二上·福建月考）“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．m> B．m>0 C．0
8．（2020高二上·福建月考）过椭圆 的右焦点 的直线与 交于 ， 两点，若线段 的中点 的坐标为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·福建月考）下列命题不正确的是（ ）
A．椭圆 的焦点坐标为
B．椭圆 的焦点坐标为
C．椭圆 与 的焦点坐标相同
D．已知 中， ， 成等差数列，则顶点 的轨迹方程为
10．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 的离心率 ，则下列正确的是（ ）
A．焦点在 轴时， B．焦点在 轴时，
C．焦点在 轴时， D．焦点在 轴时，
11．（2020高二上·福建月考）从1，2，3，4，5中随机选两个数，下列事件的概率为 是（ ）
A．两数之差绝对值为2 B．两数之差绝对值为1
C．两数之和不小于6 D．两数之和不大于5
12．（2020高二上·福建月考）命题 ： ， ，命题 ： ，使得 ，则下列为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．（2020高二上·福建月考）直线l： 过椭圆左焦点 和一个顶点B，则该椭圆的离心率为 .
14．（2020高二上·福建月考）已知命题 ：函数 的定义域为 ，命题 ： ，若 是真命题，则实数 的取值范围是 .
15．（2020高二上·福建月考）在区间 上随机取一个数 ，则使函数 无零点的概率是 ．
四、双空题
16．（2020高二上·福建月考）如图所示，已知椭圆的两个焦点分别为 ， 为椭圆上的一点，且 ，则该椭圆的离心率为 ；若点 在第二象限， ，则 的面积为 .
五、解答题
17．（2020高二上·福建月考）命题 ：实数 满足集合 ， ：实数 满足集合 .
（Ⅰ）若 ， 为真命题，求集合 ， ；
（Ⅱ）若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
18．（2020高二上·福建月考）为了解某地区某种农产品的年产量 (单位：吨)对价格 (单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
x 2 3 4 5 6
y 8 6 5 4 2
已知x和 具有线性相关关系.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， .
（1）求 ， ；
（2）求y关于x的线性回归方程 ；
（3）若年产量为3.5吨，试预测该农产品的价格.
19．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点， ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过椭圆左焦点，且 ，求 .
20．（2020高二上·福建月考）某年级组织学生参加了某项学术能力测试，为了解参加测试学生的成绩情况，从中随机抽取20名学生的测试成绩作为样本，规定成绩大于或等于110分为优秀，否则为不优秀.统计结果如图：
（1）求 的值和样本的平均数；
（2）从该样本成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩至少有一个落在 内的概率.
21．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 的长轴长为4，点 在 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与 交于 ， 两点，若 ( 为坐标原点)，求 的值.
22．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 ，点 在椭圆上，椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设点 为椭圆长轴的左端点， ， 为椭圆上异于椭圆 长轴端点的两点，记直线 ， 斜率分别为 ， ，若 ，请判断直线 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】特称命题的否定为全称命题，据此可得：
命题 ： ，
则 ： ，
故答案为：C.
【分析】由特称命题的否定为全称命题，由此可得答案.
2．【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191 271 932 812 393共5组，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ，
故答案为：B
【分析】这是一个古典概型，从20组随机数中找出表示三次投篮恰有两次命中的随机数，代入公式求解.
3．【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】
所以定点 的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即 所以 ，故答案为：D.
【分析】利用三角形周长公式和两点距离公式，再利用两点距离公式和两边之和大于第三边，再结合椭圆的定义，从而推出顶点C的轨迹方程。
4．【答案】A
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】依题意可得，射手击中8环以下的概率是 ，则他一次射击中至多8环的概率为 ，
故答案为：A。
【分析】利用对立事件和互斥事件求概率公式结合已知条件，再利用概率之和等于1，从而求出这射手在一次射击中至多8环的概率。
5．【答案】B
【知识点】圆锥曲线的共同特征
【解析】【解答】对于椭圆 ，
焦距 ，
对于椭圆
顶点坐标与 有关，所以长轴长和短轴长与 有关，
焦距
故两个椭圆由相等的焦距，
故答案为：B
【分析】利用椭圆的定义分别求出两个方程的 ， ， 的值即可判断每个选项的正误.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】 的周长为 ，
则 ,
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为： .
故答案为：A
【分析】利用焦点三角形的周长求出 ，再根据离心率求出 ，由 即可求解.
7．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的等价条件为 ，即 ，所以必要不充分条件比 的范围更大且包含 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而求出“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件。
8．【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，则
的中点 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，
而 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以
椭圆方程为： .
故答案为：A.
【分析】设 以及 中点 坐标，利用“点差法”得到 之间的关系，从而得到 之间的关系，结合 即可求解出椭圆的方程.
9．【答案】A,C,D
【知识点】轨迹方程；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】A．因为椭圆方程为 ，则 ，所以焦点在 轴上，故错误；
B． 因为椭圆方程为 ，则 ，所以焦点在 轴上，
又 ，所以焦点坐标为 ，故正确；
C．椭圆 的焦点坐标为 ，又椭圆方程 中 ，
所以椭圆 的焦点在 轴上，故错误；
D．由条件可知： ，且 三点不共线，
所以 的轨迹是以 为焦点的椭圆，长轴长为 的椭圆去掉 这两个点，
所以 的轨迹方程为 ，故错误；
故答案为：ACD.
【分析】A．根据椭圆方程判断出焦点位置，从而真假可知；B．先确定焦点位置，再计算出 的值，由此确定出焦点坐标；C．先确定焦点位置，然后可判断真假；D．对比椭圆的定义进行判断，从而求解出轨迹方程.
10．【答案】A,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆标准方程为： ，
当椭圆的焦点在 轴上时且 ，则 ，解得 ，
当椭圆的焦点在 轴上时且 ，则 ，解得 ，
故答案为：AD.
【分析】将椭圆方程化为标准形式，根据焦点位置和离心率确定出 满足的不等式组，由此求解出 的取值范围，从而判断出正确选项.
11．【答案】B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】由1，2,3,4,5中5个数字随机选2个数字，包含的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个基本事件，
其中两数之差绝对值为2的包含（1,3），（2,4），（3,5）共3个基本事件，所以两数之差绝对值为2的概率 ，A不正确；两数之差绝对值为1包含（1,2），（2,3），（3,4），（4,5）共4个基本事件，所以两数之差绝对值为1的概率 ，B符合题意；两数之和不小于6包含（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个基本事件，所以两数之和不小于6的概率 ，C不正确；两数之和不大于5包含（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），共包含4个基本事件，所以两数之和不大于5的概率 ，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】首先求从1，2，3，4，5中随机选两个数，所包含的基本事件个数，再分别计算选项中的事件所包含的基本事件，再根据古典概型求概率.
12．【答案】B,C,D
【知识点】复合命题的真假；其他不等式的解法
【解析】【解答】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，有 成立，即命题 为真.
由 ，
所以 恒成立，故命题 为假
则 为假，A不正确.
为真，B符合题意.
为真命题，则 为真命题，C符合题意.
为假， 为真命题，则 为真命题，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】先判断出命题 和 的真假，再由复合命题的真值表来判断，得出答案.
13．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得 ， ，
， ，
.
故答案为： .
【分析】根据直线方程得到左焦点 和顶点B的坐标，进而求得 的值，再利用 ，求出 的值，在带路离心率公式.
14．【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】命题 为真命题时，即 恒成立
所以 ，解得 或
命题 为真，则 ，即 或
是真命题，则 均为真命题.
所以 ，解得 或
故答案为：
【分析】先求出命题 、 为真命题时参数 的范围，再根据 是真命题， 均为真命题，从而求出答案.
15．【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】因为区间 长度为 ，使函数 无零点，即判 长度为 ，所以由几何概型概率公式得区间 上随机取一个数 ，则使函数 无零点的概率是 ，故答案为0.5。
【分析】利用已知条件结合几何概型求概率公式，从而求出使函数 无零点的概率。
16．【答案】；
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆方程为 ，依题意得， ，
又∵ ，即 ，故 ，
∴该椭圆的离心率为
所以椭圆的方程为 .
设 点坐标为 ，由点 在第二象限，则 ， ，
∵ ，∴ 所在的直线方程为 .
则解方程组 ，得 ，解得 或 （舍）
所以 .
∴ .
故答案为： ；
【分析】根据 ，求出a，结合焦点坐标求出c，从而求出椭圆的离心率；由直线 方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求 的面积.
17．【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，∴ .
∴ .
由 ，解得 ，
∴ .
（Ⅱ）∵ 是 成立的充分不必要条件，∴ .
∴ 解得 .
经检验 时成立，
∴实数 的取值范围是
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（Ⅰ）分别解 和 ，即可求出结果；（Ⅱ）由 是 成立的充分不必要条件，可得 是 的真子集，即可求出结果.
18．【答案】（1）解： ，
（2）解：因为 ，所以 ，
所以线性回归方程为：
（3）解：当 时， ，
故农产品的价格为 千元 吨.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表中数据计算出 ， ；（2）利用公式计算出 的值，则线性回归方程可求；（3）利用（2）中的线性回归方程预测农产品价格.
19．【答案】（1）解：由题意得
解得 ， .
所以椭圆 的方程为
（2）解：由（1）得椭圆的左焦点为 ，则直线 的方程为：
设 ， .
由 得 ，
又 ， .
所以
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率以及焦距长，结合 ，解方程组，求得 ，则问题得解；（2）由题意直线 的方程为： ,联立直线与椭圆方程组；再利用弦长公式，即可求出 的值.
20．【答案】（1）解：由 ，解得 .
样本的平均数为
（2）解：由频率分布直方图可知该样本中成绩落在 的人数为： ，
分别记为1,2,3,4；
该样本中成绩落在 的人数为：
成绩落在的人数为0.01×10×20=20.01×10×20=2，分别记为m,n.
从成绩优秀的学生中任选两名的基本事件有(1,2)，(1,3),(1,4),(1,m),(1,n),(2,3),
(2,4),(2, m),(2, n),(3,4),(3, m),(3, n),(4, m),(4, n),( m, n)共15个,
则这两名学生的成绩至少有一个落在 内的事件共9个,
所以所求事件的概率为：
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1，可求得a；由每组底边中点值×每个长方形面积可求得平均数；（2）先求出成绩落在 和 人数，从优秀的6人中任取2人总共有15种可能，从中找出满足题意的可能，用古典概型计算公式即可求得.
21．【答案】（1）解：由题意得 ，
又点 在 上，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为
（2）解：设 ， 的坐标为 ， ，依题意得，
联立方程组 消去 ，得 .
，所以
， ，
，
∵ ，所以 ，则 ，
所以
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题可得 ，再结合点 在 上，代入即可解出 ，得出椭圆方程；（2）设 ， 的坐标为 ， ，联立直线与椭圆，由韦达定理结合 建立方程，即可求出k值.
22．【答案】（1）解：因为椭圆过点 且离心率为 ，
所以 ，所以解得 ，所以椭圆方程为
（2）解：因为 ，设 ，当直线的斜率存在时，设直线 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 或 ，
当 时， ，此时过点 不符合题意，
当 时， ，此时过定点 ；
当直线的斜率不存在时， ，所以 坐标为 ，
所以 ，满足要求，
综上可知：直线 过定点
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据点在椭圆上以及离心率列出方程组，求解出 的值则椭圆方程可求；（2）考虑直线 的斜率是否存在，若斜率存在，设出直线 的方程 以及点 的坐标，根据 求解出 之间的关系从而确定出定点坐标；若斜率不存在可直接进行验证，即可得到最终结果.
福建省罗源第一中学2020-2021学年高二上学期数学10月月考试卷
一、单选题
1．（2020高二上·福建月考）命题 ： ， ，则 是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】特称命题的否定为全称命题，据此可得：
命题 ： ，
则 ： ，
故答案为：C.
【分析】由特称命题的否定为全称命题，由此可得答案.
2．（2020高二上·福建月考）已知某运动员每次投篮命中的概率为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15
【答案】B
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】在20组随机数中表示三次投篮恰有两次命中的有：191 271 932 812 393共5组，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ，
故答案为：B
【分析】这是一个古典概型，从20组随机数中找出表示三次投篮恰有两次命中的随机数，代入公式求解.
3．（2018高二上·深圳期中）△ABC的两个顶点坐标A（-4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是 （ ）
A． B． （y≠0）
C． D． （y≠0）
【答案】D
【知识点】椭圆的定义
【解析】【解答】
所以定点 的轨迹为以A，B为焦点的椭圆，去掉A，B，C共线的情况，即 所以 ，故答案为：D.
【分析】利用三角形周长公式和两点距离公式，再利用两点距离公式和两边之和大于第三边，再结合椭圆的定义，从而推出顶点C的轨迹方程。
4．（2020高二上·福建月考）某射手一次射击中，击中 10 环、9环、8环的概率分别是 ，则这射手在一次射击中至多8环的概率是（ ）
A．0.48 B．0.52 C．0.71 D．0.29
【答案】A
【知识点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】【解答】依题意可得，射手击中8环以下的概率是 ，则他一次射击中至多8环的概率为 ，
故答案为：A。
【分析】利用对立事件和互斥事件求概率公式结合已知条件，再利用概率之和等于1，从而求出这射手在一次射击中至多8环的概率。
5．（2020高二上·福建月考）椭圆 与 的关系是（ ）
A．有相同的长轴长和短轴长 B．有相等的焦距
C．有相同的焦点 D．有相同的顶点
【答案】B
【知识点】圆锥曲线的共同特征
【解析】【解答】对于椭圆 ，
焦距 ，
对于椭圆
顶点坐标与 有关，所以长轴长和短轴长与 有关，
焦距
故两个椭圆由相等的焦距，
故答案为：B
【分析】利用椭圆的定义分别求出两个方程的 ， ， 的值即可判断每个选项的正误.
6．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过 的直线交椭圆 于 ， 两点，若 的周长为 ，则椭圆 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】 的周长为 ，
则 ,
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
所以椭圆 的标准方程为： .
故答案为：A
【分析】利用焦点三角形的周长求出 ，再根据离心率求出 ，由 即可求解.
7．（2020高二上·福建月考）“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件是（ ）
A．m> B．m>0 C．0
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的等价条件为 ，即 ，所以必要不充分条件比 的范围更大且包含 ，
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而求出“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一个必要不充分条件。
8．（2020高二上·福建月考）过椭圆 的右焦点 的直线与 交于 ， 两点，若线段 的中点 的坐标为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质
【解析】【解答】设 ，则
的中点 ，所以 ，
又 ，所以 ，
即 ，
而 ， ，
所以 ，又 ，
所以 ，所以
椭圆方程为： .
故答案为：A.
【分析】设 以及 中点 坐标，利用“点差法”得到 之间的关系，从而得到 之间的关系，结合 即可求解出椭圆的方程.
二、多选题
9．（2020高二上·福建月考）下列命题不正确的是（ ）
A．椭圆 的焦点坐标为
B．椭圆 的焦点坐标为
C．椭圆 与 的焦点坐标相同
D．已知 中， ， 成等差数列，则顶点 的轨迹方程为
【答案】A,C,D
【知识点】轨迹方程；椭圆的定义；椭圆的简单性质
【解析】【解答】A．因为椭圆方程为 ，则 ，所以焦点在 轴上，故错误；
B． 因为椭圆方程为 ，则 ，所以焦点在 轴上，
又 ，所以焦点坐标为 ，故正确；
C．椭圆 的焦点坐标为 ，又椭圆方程 中 ，
所以椭圆 的焦点在 轴上，故错误；
D．由条件可知： ，且 三点不共线，
所以 的轨迹是以 为焦点的椭圆，长轴长为 的椭圆去掉 这两个点，
所以 的轨迹方程为 ，故错误；
故答案为：ACD.
【分析】A．根据椭圆方程判断出焦点位置，从而真假可知；B．先确定焦点位置，再计算出 的值，由此确定出焦点坐标；C．先确定焦点位置，然后可判断真假；D．对比椭圆的定义进行判断，从而求解出轨迹方程.
10．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 的离心率 ，则下列正确的是（ ）
A．焦点在 轴时， B．焦点在 轴时，
C．焦点在 轴时， D．焦点在 轴时，
【答案】A,D
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】椭圆标准方程为： ，
当椭圆的焦点在 轴上时且 ，则 ，解得 ，
当椭圆的焦点在 轴上时且 ，则 ，解得 ，
故答案为：AD.
【分析】将椭圆方程化为标准形式，根据焦点位置和离心率确定出 满足的不等式组，由此求解出 的取值范围，从而判断出正确选项.
11．（2020高二上·福建月考）从1，2，3，4，5中随机选两个数，下列事件的概率为 是（ ）
A．两数之差绝对值为2 B．两数之差绝对值为1
C．两数之和不小于6 D．两数之和不大于5
【答案】B,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】【解答】由1，2,3,4,5中5个数字随机选2个数字，包含的基本事件为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10个基本事件，
其中两数之差绝对值为2的包含（1,3），（2,4），（3,5）共3个基本事件，所以两数之差绝对值为2的概率 ，A不正确；两数之差绝对值为1包含（1,2），（2,3），（3,4），（4,5）共4个基本事件，所以两数之差绝对值为1的概率 ，B符合题意；两数之和不小于6包含（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6个基本事件，所以两数之和不小于6的概率 ，C不正确；两数之和不大于5包含（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），共包含4个基本事件，所以两数之和不大于5的概率 ，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】首先求从1，2，3，4，5中随机选两个数，所包含的基本事件个数，再分别计算选项中的事件所包含的基本事件，再根据古典概型求概率.
12．（2020高二上·福建月考）命题 ： ， ，命题 ： ，使得 ，则下列为真命题的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】复合命题的真假；其他不等式的解法
【解析】【解答】由 ，即 ，解得 ，
所以 ，有 成立，即命题 为真.
由 ，
所以 恒成立，故命题 为假
则 为假，A不正确.
为真，B符合题意.
为真命题，则 为真命题，C符合题意.
为假， 为真命题，则 为真命题，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】先判断出命题 和 的真假，再由复合命题的真值表来判断，得出答案.
三、填空题
13．（2020高二上·福建月考）直线l： 过椭圆左焦点 和一个顶点B，则该椭圆的离心率为 .
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意得 ， ，
， ，
.
故答案为： .
【分析】根据直线方程得到左焦点 和顶点B的坐标，进而求得 的值，再利用 ，求出 的值，在带路离心率公式.
14．（2020高二上·福建月考）已知命题 ：函数 的定义域为 ，命题 ： ，若 是真命题，则实数 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】命题的真假判断与应用；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】命题 为真命题时，即 恒成立
所以 ，解得 或
命题 为真，则 ，即 或
是真命题，则 均为真命题.
所以 ，解得 或
故答案为：
【分析】先求出命题 、 为真命题时参数 的范围，再根据 是真命题， 均为真命题，从而求出答案.
15．（2020高二上·福建月考）在区间 上随机取一个数 ，则使函数 无零点的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概型
【解析】【解答】因为区间 长度为 ，使函数 无零点，即判 长度为 ，所以由几何概型概率公式得区间 上随机取一个数 ，则使函数 无零点的概率是 ，故答案为0.5。
【分析】利用已知条件结合几何概型求概率公式，从而求出使函数 无零点的概率。
四、双空题
16．（2020高二上·福建月考）如图所示，已知椭圆的两个焦点分别为 ， 为椭圆上的一点，且 ，则该椭圆的离心率为 ；若点 在第二象限， ，则 的面积为 .
【答案】；
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】设椭圆方程为 ，依题意得， ，
又∵ ，即 ，故 ，
∴该椭圆的离心率为
所以椭圆的方程为 .
设 点坐标为 ，由点 在第二象限，则 ， ，
∵ ，∴ 所在的直线方程为 .
则解方程组 ，得 ，解得 或 （舍）
所以 .
∴ .
故答案为： ；
【分析】根据 ，求出a，结合焦点坐标求出c，从而求出椭圆的离心率；由直线 方程与椭圆方程联立，可得P的坐标，利用三角形的面积公式，可求 的面积.
五、解答题
17．（2020高二上·福建月考）命题 ：实数 满足集合 ， ：实数 满足集合 .
（Ⅰ）若 ， 为真命题，求集合 ， ；
（Ⅱ）若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
【答案】解：（Ⅰ）由 ，得 ，∴ .
∴ .
由 ，解得 ，
∴ .
（Ⅱ）∵ 是 成立的充分不必要条件，∴ .
∴ 解得 .
经检验 时成立，
∴实数 的取值范围是
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法；绝对值不等式的解法
【解析】【分析】（Ⅰ）分别解 和 ，即可求出结果；（Ⅱ）由 是 成立的充分不必要条件，可得 是 的真子集，即可求出结果.
18．（2020高二上·福建月考）为了解某地区某种农产品的年产量 (单位：吨)对价格 (单位：千元/吨)的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如表：
x 2 3 4 5 6
y 8 6 5 4 2
已知x和 具有线性相关关系.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 ， .
（1）求 ， ；
（2）求y关于x的线性回归方程 ；
（3）若年产量为3.5吨，试预测该农产品的价格.
【答案】（1）解： ，
（2）解：因为 ，所以 ，
所以线性回归方程为：
（3）解：当 时， ，
故农产品的价格为 千元 吨.
【知识点】最小二乘法；线性回归方程
【解析】【分析】（1）根据表中数据计算出 ， ；（2）利用公式计算出 的值，则线性回归方程可求；（3）利用（2）中的线性回归方程预测农产品价格.
19．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不同的交点， ， .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 过椭圆左焦点，且 ，求 .
【答案】（1）解：由题意得
解得 ， .
所以椭圆 的方程为
（2）解：由（1）得椭圆的左焦点为 ，则直线 的方程为：
设 ， .
由 得 ，
又 ， .
所以
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率以及焦距长，结合 ，解方程组，求得 ，则问题得解；（2）由题意直线 的方程为： ,联立直线与椭圆方程组；再利用弦长公式，即可求出 的值.
20．（2020高二上·福建月考）某年级组织学生参加了某项学术能力测试，为了解参加测试学生的成绩情况，从中随机抽取20名学生的测试成绩作为样本，规定成绩大于或等于110分为优秀，否则为不优秀.统计结果如图：
（1）求 的值和样本的平均数；
（2）从该样本成绩优秀的学生中任选两名，求这两名学生的成绩至少有一个落在 内的概率.
【答案】（1）解：由 ，解得 .
样本的平均数为
（2）解：由频率分布直方图可知该样本中成绩落在 的人数为： ，
分别记为1,2,3,4；
该样本中成绩落在 的人数为：
成绩落在的人数为0.01×10×20=20.01×10×20=2，分别记为m,n.
从成绩优秀的学生中任选两名的基本事件有(1,2)，(1,3),(1,4),(1,m),(1,n),(2,3),
(2,4),(2, m),(2, n),(3,4),(3, m),(3, n),(4, m),(4, n),( m, n)共15个,
则这两名学生的成绩至少有一个落在 内的事件共9个,
所以所求事件的概率为：
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1，可求得a；由每组底边中点值×每个长方形面积可求得平均数；（2）先求出成绩落在 和 人数，从优秀的6人中任取2人总共有15种可能，从中找出满足题意的可能，用古典概型计算公式即可求得.
21．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 的长轴长为4，点 在 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 与 交于 ， 两点，若 ( 为坐标原点)，求 的值.
【答案】（1）解：由题意得 ，
又点 在 上，所以 ，解得 ，
所以椭圆 的标准方程为
（2）解：设 ， 的坐标为 ， ，依题意得，
联立方程组 消去 ，得 .
，所以
， ，
，
∵ ，所以 ，则 ，
所以
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题可得 ，再结合点 在 上，代入即可解出 ，得出椭圆方程；（2）设 ， 的坐标为 ， ，联立直线与椭圆，由韦达定理结合 建立方程，即可求出k值.
22．（2020高二上·福建月考）已知椭圆 ，点 在椭圆上，椭圆 的离心率为 .
（1）求椭圆的方程；
（2）设点 为椭圆长轴的左端点， ， 为椭圆上异于椭圆 长轴端点的两点，记直线 ， 斜率分别为 ， ，若 ，请判断直线 是否过定点？若过定点，求该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
【答案】（1）解：因为椭圆过点 且离心率为 ，
所以 ，所以解得 ，所以椭圆方程为
（2）解：因为 ，设 ，当直线的斜率存在时，设直线 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，所以 或 ，
当 时， ，此时过点 不符合题意，
当 时， ，此时过定点 ；
当直线的斜率不存在时， ，所以 坐标为 ，
所以 ，满足要求，
综上可知：直线 过定点
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据点在椭圆上以及离心率列出方程组，求解出 的值则椭圆方程可求；（2）考虑直线 的斜率是否存在，若斜率存在，设出直线 的方程 以及点 的坐标，根据 求解出 之间的关系从而确定出定点坐标；若斜率不存在可直接进行验证，即可得到最终结果.