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角度计算的综合大题专项训练（30道）
1．（2021春 平顶山期末）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∠B＜∠C．
（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝27°，当∠DAE＝ 度时，∠ADC＝∠C．
2．（2021春 长春期末）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
解决问题：
（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，则∠ACG＝ ；（直接写出答案）
（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度数．
3．（2021春 兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
4．（2021春 海陵区期末）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度数；
（2）若∠A﹣∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度数．
5．（2021春 宽城区期末）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，∠AEB＝∠ABC．
（1）如图1，作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点．求证：∠EFD＝∠ADC．
（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．
6．（2021春 镇江期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）求∠1﹣∠2的度数；
（2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数．
7．（2021春 常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
8．（2020秋 红桥区期末）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
9．（2020秋 涪城区期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．
（1）证明：∠BAC＝∠DEF；
（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数．
10．（2021春 苏州期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
11．（2020秋 恩施市期末）已知：如图，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．
（1）试说明：∠ABC＝∠BFD；
（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数．
12．（2020秋 白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
13．（2021春 新蔡县期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
14．（2020春 香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．
（1）求∠EOF的度数．
（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°时，求∠DAE的度数．
15．（2021春 海陵区校级月考）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．
（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；
（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝ ；（用α、β表示）
（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
16．（2021春 市北区期末）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 度；∠ABP+∠ACP＝ 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ．
17．（2021春 东海县期末）如图1．△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．
（1）若∠A＝50°．则∠F的度数为 ；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M、N．若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与a+β满足的数量关系是 ；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．
18．（2021春 宽城区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图1，点P在斜边AB上运动．
①若∠α＝70°，则∠1+∠2＝ 度．
②写出∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，点P在斜边AB的延长线上运动（CE＜CD），BE、PD交于点F，试说明∠1﹣∠2＝90°+∠α．
（3）如图3，点P在△ABC外运动（只需研究图③的情形），直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系．
19．（2021春 延庆区期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，ED∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．
（1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；
（2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；
（3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．
20．（2021春 中山市期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
（3）如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG，的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
21．（2021春 禅城区期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．
22．（2021春 侯马市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ．
23．（2020春 西城区校级期末）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．
（1）如图1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，则∠2＝ °，∠3﹣∠1＝ °；
（2）如图2，猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）
24．（2020春 福山区期中）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！
【问题探究】
（1）如图1，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ ；
（2）将图1变形为图2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程；
（3）将图1变形为图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程．
【变式拓展】
（4）将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 ．
25．（2020春 蓬溪县期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ ；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ °．
26．（2021春 鄂州期末）探究知：任何一个三角形都满足三角形三内角和等于180°，我们把这个结论称之为三角形三内角和定理．如图1，AB∥CD，且∠BED+∠CDE＝120°，请根据题目条件，结合三角形三内角和定理，探究下列问题：
（1）如图2，在图1基础上作：∠BEF∠DEF，∠CDE＝3∠CDF，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；
（2）如图3，在图1基础上作：过B作BG⊥AB，交CD于点F，且∠CDG∠CDE，求的值．
27．（2020秋 南昌期中）【问题探究】
将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处
（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；
（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】
（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．
28．（2021春 桥西区期末）请认真思考，完成下面的探究过程．
已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝60°，∠C＝40°．
【解决问题】
如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；
【变式探究】
如图2，若F为AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，则∠DFE＝ °；
【拓展延伸】
如图2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y°，（且∠B＞∠C），若F为线段AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，试用x，y表示∠DFE的度数，并说明理由．
29．（2021春 庐江县期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）
30．（2021春 崇川区期末）在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，E为边AC上一点，EF⊥BC，垂足为F，EG平分∠AEF交BC于点G．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，延长AB、EG交于点M，∠M＝α．
①用含α的式子表示∠AEF为 ；
②求证：BD∥ME；
（2）如图2，∠BAC＜90°，延长DB，EG交于点N，请用等式表示∠A与∠N的数量关系，并证明．
角度计算的综合大题专项训练（30道）
1．（2021春 平顶山期末）如图，已知△ABC，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，∠B＜∠C．
（1）若∠B＝44°，∠C＝72°，求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝27°，当∠DAE＝ 21 度时，∠ADC＝∠C．
【解题思路】（1）利用三角形的内角和求出∠BAC，再利用内角与外角的关系先求出∠ADC，再求出∠DAE；
（2）利用三角形的内角和定理及推论，用含∠C的代数式表示出∠BAC、∠ADC，根据∠C＝∠ADC得到关于∠C的方程，先求出∠C，再求出∠DAE的度数．
【解答过程】解：∵AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E，
∴∠BAD＝∠CAD∠BAC，∠AED＝90°．
（1）∵∠B＝44°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣44°﹣72°
＝64°．
∴∠BAD64°＝32°．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD
＝44°+32°
＝76°，
∴∠DAE＝90°﹣∠ADC
＝90°﹣76°
＝24°．
（2））∵∠B＝27°，∠C＝∠ADC，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C
＝180°﹣27°﹣∠C
＝153°﹣∠C．
∴∠BAD（153°﹣∠C）
＝76.5°．
∴∠ADC＝∠B+∠BAD
＝27°+76.5°∠C
＝103.5°∠C．
∵∠ADC＝∠C，
∴103.5°∠C＝∠C．
∴∠ADC＝∠C＝69°．
∴∠DAE＝∠AED﹣∠ADC
＝90°﹣69°
＝21°．
故答案为：21．
2．（2021春 长春期末）如图，点A、B分别在射线OM、ON上运动（不与点O重合），AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，BC延长线交OM于点G．
解决问题：
（1）若∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，则∠ACG＝ 60° ；（直接写出答案）
（2）若∠MON＝100°，求出∠ACG的度数．
【解题思路】（1）由角平分线的定义可求出∠CBA和∠CAB的度数，再根据三角形外角的性质求出∠ACG的度数即可；
（2）先根据三角形内角和定理求出∠OBA+∠OAB的度数，然后再根据角平分线的定义求出∠CBA+∠CAB的度数，最后根据三角形外角的性质求出结果即可．
【解答过程】解：（1）∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA∠ABO，∠CAB∠BAO，
∵∠OBA＝80°，∠OAB＝40°，
∴∠CBA＝40°，∠CAB＝20°，
∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝60°．
故答案为：60°．
（2）∵∠MON＝100°，
∴∠BAO+∠ABO＝180°﹣100°＝80°，
∵AC、BC分别是∠BAO和∠ABO的角平分线，
∴∠CBA∠ABO，∠CAB∠BAO，
∴∠CBA+∠CAB（∠ABO+∠BAO）80°＝40°，
∴∠ACG＝∠CBA+∠CAB＝40°．
3．（2021春 兴化市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，CD⊥AB，AE、CD相交于点F．
（1）若∠DCB＝50°，求∠CEF的度数；
（2）求证：∠CEF＝∠CFE．
【解题思路】（1）根据直角三角形的性质得到∠DCB+∠B＝90°，∠CAB+∠B＝90°，进而得到∠CAB＝∠DCB，根据角平分线的定义计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝∠CAE，根据直角三角形的性质得到∠CEF＝∠AFD，根据对顶角相等证明结论．
【解答过程】（1）解：∵CD⊥AB，
∴∠DCB+∠B＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∴∠CAB＝∠DCB＝50°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE∠CAB＝25°，
∴∠CEF＝90°﹣∠CAE＝65°；
（2）证明：∵AE平分∠CAB，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵∠CAE+∠CEF＝90°，∠BAE+∠AFD＝90°，
∴∠CEF＝∠AFD，
∵∠CFE＝∠AFD，
∴∠CEF＝∠CFE．
4．（2021春 海陵区期末）如图，CD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．
（1）若∠A＝45°，∠BDC＝70°，求∠CED的度数；
（2）若∠A﹣∠ACD＝34°，∠EDB＝97°，求∠A的度数．
【解题思路】（1）利用三角形内角和定理求出∠ACB，再求出∠ECD，∠EDC，可得结论．
（2）设∠A＝x，则∠ACD＝x﹣34°，根据∠EDB＝∠A+∠AED，构建方程求解即可．
【解答过程】解：（1）∵∠CDB＝∠A+∠ACD，
∴∠ACD＝70°﹣45°＝25°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝25°，
∵DE∥CB，
∴∠EDC＝∠BCD＝25°，
∴∠DEC＝180°﹣25°﹣25°＝130°．
（2）设∠A＝x，则∠ACD＝x﹣34°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2x﹣68°，
∵DE∥CB，
∴∠AED＝∠ACB＝2x+68°，
∵∠EDB＝∠A+∠AED，
∴97°＝x+2x﹣68°，
∴x＝55°，
∴∠A＝55°．
5．（2021春 宽城区期末）如图，在△ABC中，点E是边AC上一点，∠AEB＝∠ABC．
（1）如图1，作∠BAC的平分线交CB、BE于D、F两点．求证：∠EFD＝∠ADC．
（2）如图2，作△ABC的外角∠BAG的平分线，交CB的延长线于点D，延长BE、DA交于点F，试探究（1）中的结论是否成立？请说明理由．
【解题思路】（1）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAC，再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，进而得到∠EFD＝∠ADC；
（2）首先根据角平分线的性质可得∠BAD＝∠DAG，再根据等量代换可得∠FAE＝∠BAD，然后再根据内角与外角的性质可得∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，进而得∠EFD＝∠ADC．
【解答过程】解：（1）∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵∠EFD＝∠DAC+∠AEB，∠ADC＝∠ABC+∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC；
（2）探究（1）中结论仍成立；
理由：∵AD平分∠BAG，
∴∠BAD＝∠GAD，
∵∠FAE＝∠GAD，
∴∠FAE＝∠BAD，
∵∠EFD＝∠AEB﹣∠FAE，∠ADC＝∠ABC﹣∠BAD，
又∵∠AEB＝∠ABC，
∴∠EFD＝∠ADC．
6．（2021春 镇江期中）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部A'的位置，且A'与点C在直线AB的异侧，折痕为DE，已知∠C＝90°，∠A＝30°．
（1）求∠1﹣∠2的度数；
（2）若保持△A′DE的一边与BC平行，求∠ADE的度数．
【解题思路】（1）先求出∠B的度数，在根据四边形内角和求出∠1+∠BFD的度数，由∠BFD＝∠A′FE和∠A’的度数可求出答案．
（2）分EA'∥BC和DA'∥BC两种情况讨论．当DA'∥BC时，先求出∠A′DA＝90°，再根据折叠可得出∠ADE＝45°；当EA'∥BC时，根据平行线的性质求出∠2＝∠ABC＝60°，由（1）得出∠1＝120°，再根据折叠可求出∠ADE的度数．
【解答过程】解：（1）由折叠可知，∠A′＝∠A＝30°，
在△A′EF中，∠A′+∠2+∠A′FE＝180°，
∴∠2＝180°﹣∠A′﹣∠A′FE＝150°﹣∠A′FE，
在△ABC中，∠B＝180°﹣∠C﹣∠A＝60°，
在四边形BCDF中，∠1+∠C+∠B+∠BFD＝360°，
∴∠1＝360°﹣∠C﹣∠B﹣∠BFD＝210°﹣∠BFD，
∵∠BFD＝∠A′FE，
∴∠1﹣∠2＝210°﹣150°＝60°；
（2）当DA'∥BC时，如图，∠A′DA＝∠ACB＝90°，
∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，
∴∠ADE＝∠A′DE∠ADA′＝45°，
当EA'∥BC时，如图，∠2＝∠ABC＝60°．
由（1）知，∠1﹣∠2＝60°，
∴∠1＝∠2+60°＝120°，
∵△ADE沿DE折叠到△A′DE，
∴∠ADE＝∠A′DE∠ADA′＝（180°﹣∠1）＝30°．
综上所述∠ADE的度数为：45°或30°．
7．（2021春 常熟市期中）已知△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，过点A作直线GH∥BC，且∠GAB＝60°，∠C＝40°．
（1）求△ABC的外角∠CAF的度数；
（2）求∠DAE的度数．
【解题思路】（1）根据平行线的性质、对顶角相等计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠BAE＝40°，根据平行线的性质求出∠GAD＝90°，结合图形计算，得到答案．
【解答过程】解：（1）∵GH∥BC，∠C＝40°，
∴∠HAC＝∠C＝40°，
∵∠FAH＝∠GAB＝60°，
∴∠CAF＝∠HAC+∠FAH＝100°；
（2）∵∠HAC＝40°，∠GAB＝60°，
∴∠BAC＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝40°，
∵GH∥BC，AD⊥BC，
∴∠GAD＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝10°．
8．（2020秋 红桥区期末）如图，在△ABC中，AD是高，角平分线AE，BF相交于点O，∠BAC＝50°，∠C＝70°，求∠DAC和∠BOA的大小．
【解题思路】根据三角形高线可得∠ADC＝90°，利用三角形的内角和定理可求解∠DAC的度数；由三角形的内角和可求解∠B的度数，再根据角平分线的定义可求出∠BAO和∠ABO的度数，再利用三角形的内角和定理可求解．
【解答过程】解：∵AD是△ABC的高线，
∴∠ADC＝90°，
∵∠ADC+∠C+∠CAD＝180°，∠C＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣90°﹣70°＝20°；
∵∠ABC+∠C+∠CAB＝180°，∠C＝70°，∠BAC＝50°，
∴∠ABC＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∵AE，BF分别平分∠BAC，∠ABC，AE，BF相交于点O，
∴∠BAO∠BAC＝25°，∠ABO∠ABC＝30°，
∵∠ABO+∠BAO+∠AOB＝180°，
∴∠AOB＝180°﹣25°﹣30°＝125°．
9．（2020秋 涪城区期末）如图，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3．
（1）证明：∠BAC＝∠DEF；
（2）∠BAC＝70°，∠DFE＝50°，求∠ABC的度数．
【解题思路】（1）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）利用三角形的外角的性质解决问题即可．
【解答过程】（1）证明：∵∠BAC＝∠1+∠CAE，∠DEF＝∠3+∠CAE，∠1＝∠3，
∴∠BAC＝∠DEF．
（2）∵∠ABC＝∠2+∠ABD，∠1＝∠2，
∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF，
由（1）可知∠DEF＝∠BAC＝70°，
∴∠ABC＝∠1+∠ABD＝∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠DFE＝180°﹣70°﹣50°＝60°，
∴∠ABC＝60°．
10．（2021春 苏州期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，∠C＝∠BAD，△ABC的角平分线BE交AD于点F．
（1）求证：∠AEF＝∠AFE；
（2）G为BC上一点，当FE平分∠AFG且∠C＝30°时，求∠CGF的度数．
【解题思路】（1）由角平分线定义得∠ABE＝∠CBE，再根据三角形的外角性质得∠AEF＝∠AFE；
（2）由角平分线定义得∠AFE＝∠GFE，进而得∠AEF＝∠GFE，由平行线的判定得FG∥AC，再根据平行线的性质求得结果．
【解答过程】解：（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABF+∠BAD＝∠CBE+∠C，
∵∠AFE＝∠ABF+∠BAD，∠AEF＝∠CBE+∠C，
∴∠AEF＝∠AFE；
（2）∵FE平分∠AFG，
∴∠AFE＝∠GFE，
∵∠AEF＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠GFE，
∴FG∥AC，
∵∠C＝30°，
∴∠CGF＝180°﹣∠C＝150°．
11．（2020秋 恩施市期末）已知：如图，△ABC中，∠BAD＝∠EBC，AD交BE于F．
（1）试说明：∠ABC＝∠BFD；
（2）若∠ABC＝35°，EG∥AD，EH⊥BE，求∠HEG的度数．
【解题思路】（1）根据三角形的外角性质即可得出结论；
（2）根据三角形内角和和互余进行分析解答即可．
【解答过程】解：（1）∵∠BFD＝∠ABF+∠BAD，∠ABC＝∠ABF+∠FBC，
∵∠BAD＝∠EBC，
∴∠ABC＝∠BFD；
（2）∵∠BFD＝∠ABC＝35°，
∵EG∥AD，
∴∠BEG＝∠BFD＝35°，
∵EH⊥BE，
∴∠BEH＝90°，
∴∠HEG＝∠BEH﹣∠BEG＝55°．
12．（2020秋 白银期末）（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．
（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．
【解题思路】（1）作射线OA，由三角形外角的性质可知∠1+∠B＝∠3，∠2+∠C＝∠4，两式相加即可得出结论；
（2）连接AD，由（1）的结论可知∠F+∠2+∠3＝∠DEF，∠1+∠4+∠C＝∠ABC，两式相加即可得出结论．
【解答过程】解：（1）作射线OA，
∵∠3是△ABO的外角，
∴∠1+∠B＝∠3，①
∵∠4是△AOC的外角，
∴∠2+∠C＝∠4，②
①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，
即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；
（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，
③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，
即∠A+∠C+∠D+∠F＝230°．
13．（2021春 新蔡县期末）如图，△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠CAB＝50°，∠C＝60°，求∠DAE和∠BOA的度数．
【解题思路】先利用三角形内角和定理可求∠ABC，在直角三角形ACD中，易求∠DAC；再根据角平分线定义可求∠CBF、∠EAF，可得∠DAE的度数；然后利用三角形外角性质，可先求∠AFB，再次利用三角形外角性质，容易求出∠BOA．
【解答过程】解：∵∠CAB＝50°，∠C＝60°
∴∠ABC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
又∵AD是高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠DAC＝180°﹣90°﹣∠C＝30°，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠CBF＝∠ABF＝35°，∠EAF＝25°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAF＝5°，
∠AFB＝∠C+∠CBF＝60°+35°＝95°，
∴∠BOA＝∠EAF+∠AFB＝25°+95°＝120°，
∴∠DAC＝30°，∠BOA＝120°．
故∠DAE＝5°，∠BOA＝120°．
14．（2020春 香坊区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝40°，AE、BF分别为△ABC的角平分线，它们相交于点O．
（1）求∠EOF的度数．
（2）AD是△ABC的高，∠AFB＝80°时，求∠DAE的度数．
【解题思路】（1）先根据三角形内角和定理得∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）的度数，由角平分线的定义和三角形内角和定理可得结论；
（2）先根据垂直的定义及三角形内角和可得到∠CAD的度数，再求出∠1的度数，最后根据三角形内角和即可求解．
【解答过程】解：（1）∵∠CAB+∠ABC＝180°﹣∠C，
∵AE、BF是角平分线，
∴∠EAB∠BAC，∠FBA∠ABC，
∴∠EAB+∠FBA（∠BAC+∠ABC）（180°﹣∠C）＝90°∠C，
∴∠AOB＝180°﹣（90°∠C）＝90°∠C，
∵∠C＝40°，
∴∠AOB＝110°，
∴∠EOF＝∠AOB＝110°．
（2）
∵AD⊥BC，∠C＝40°，
∴∠CAD＝50°，
∵∠AFB＝80°，
∴∠1＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∴∠DAE＝180°﹣∠1﹣∠AOB＝180°﹣50°﹣110°＝20°．
15．（2021春 海陵区校级月考）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为E，CF∥AD．
（1）如图1，∠B＝30°，∠ACB＝70°，求∠CFE的度数；
（2）若（1）中的∠B＝α，∠ACB＝β（α＜β），则∠CFE＝ βα ；（用α、β表示）
（3）如图2，（2）中的结论还成立么？请说明理由．
【解题思路】（1）求∠CFE的度数，求出∠DAE的度数即可，只要求出∠BAE﹣∠BAD的度数，由平分和垂直易得∠BAE和∠BAD的度数即可；
（2）由（1）类推得出答案即可；
（3）类比以上思路，把问题转换为∠CFE＝90°﹣∠ECF即可解决问题．
【解答过程】解：（1）∵∠B＝30°，∠ACB＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠ACB＝80°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝40°，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°
∴∠BAE＝60°
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝60°﹣40°＝20°，
∵CF∥AD，∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠CFE＝∠DAE＝20°；
（2）∵∠BAE＝90°﹣∠B，∠BAD∠BAC（180°﹣∠B﹣∠ACB），
∵CF∥AD，
∴∠CFE＝∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝90°﹣∠B（180°﹣∠B﹣∠BCA）（∠ACB﹣∠B）βα，
故答案为：βα；
（3）（2）中的结论成立．
∵∠B＝α，∠ACB＝β，
∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC∠BAC＝90°αβ，
∵CF∥AD，
∴∠ACF＝∠DAC＝90°αβ，
∴∠BCF＝β+90°αβ＝90°αβ，
∴∠ECF＝180°﹣∠BCF＝90°αβ，
∵AE⊥BC，
∴∠FEC＝90°，
∴∠CFE＝90°﹣∠ECFβα．
16．（2021春 市北区期末）阅读并填空将三角尺（△MPN，∠MPN＝90°）放置在△ABC上（点P在△ABC内），如图1所示，三角尺的两边PM、PN恰好经过点B和点C．我们来探究：∠ABP与∠ACP是否存在某种数量关系．
（1）特例探索：
若∠A＝50°，则∠PBC+∠PCB＝ 90 度；∠ABP+∠ACP＝ 40 度；
（2）类比探索：
∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A ；
（3）变式探索：
如图2所示，改变三角尺的位置，使点P在△ABC外，三角尺的两边PM、PN仍恰好经过点B和点C，则∠ABP、∠ACP、∠A的关系是 ∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A ．
【解题思路】（1）利用三角形内角和定理即可解决问题．
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可证明．
（3）不成立；存在结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．利用三角形内角和定理即可解决问题．
【解答过程】解：（1）∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∵∠P＝90°，
∴∠PBC+∠PCB＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝130°﹣90°＝40°，
故答案为：90，40；
（2）结论：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
证明：∵（∠PBC+∠PCB）+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴90°+（∠ABP+∠ACP）+∠A＝180°，
∴∠ABP+∠ACP+∠A＝90°，
∴∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A．
故答案为：∠ABP+∠ACP＝90°﹣∠A；
（3）结论：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
理由是：设AB交PC于O，如图2：
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠ACO+∠A＝∠P+∠PBO，即∠ACP+∠A＝90°+∠ABP，
∴∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A，
故答案为：∠ACP﹣∠ABP＝90°﹣∠A．
17．（2021春 东海县期末）如图1．△ABC的外角平分线BF、CF交于点F．
（1）若∠A＝50°．则∠F的度数为 65° ；
（2）如图2，过点F作直线MN∥BC，交AB，AC延长线于点M、N．若设∠MFB＝α，∠NFC＝β，则∠A与a+β满足的数量关系是 α+β∠A＝90° ；
（3）在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．
①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间满足的数量关系，并说明理由；
②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出三者之间满足的数量关系．
【解题思路】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠F的度数；
（2）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到∠BFC的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A与α+β的数量关系；
（3）①根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系；
②分两种情况进行讨论，根据（2）中的结论∠BFC＝90°﹣∠A，以及平角的定义，即可得到∠A与α，β之间的数量关系．
【解答过程】解：（1）如图1，
∵∠A＝50°，
∴∠ABC+∠ACB＝130°，
∴∠DBC﹣∠ECB＝360°﹣130°＝230°，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB（∠DBC+∠ECD）230°＝115°，
∴△BCF中∠F＝180°﹣115°＝65°，
故答案为65°；
（2）如图2，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝360°﹣（180°﹣∠A）＝180°+∠A，
又∵△ABC的外角平分线交于点F，
∴∠FBC+∠FCB（∠DBC+∠ECB）（180°+∠A）＝90°∠A，
∴△BCF中，∠BFC＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，
又∵∠MFB＝α，∠NFC＝β，MN∥BC，
∴∠FBC＝α，∠FCB＝β，
∵△BCF中，∠FBC+∠FCB+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°∠A＝180°，
即α+β∠A＝90°，
故答案为：α+β∠A＝90°；
（3）①α+β∠A＝90°，理由如下：
如图3，
由（2）可得，∠BFC＝90°∠A，
∵∠MFB+∠NFC+∠BFC＝180°，
∴α+β+90°∠A＝180°，
即α+β∠A＝90°，
②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立，
分两种情况：
如图4，当M在线段AB上，N在AC延长线上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°∠A，
∵∠BFC﹣∠MFB+∠NFC＝180°，
∴90°∠A﹣α+β＝180°，
即β﹣α∠A＝90°；
如图5，
当M在AB的延长线上，N在线段AC上时，
由（2）可得，∠BFC＝90°∠A，
∴∠BFC﹣∠NFC+∠MFB＝180°，
∴90°∠A﹣β+α＝180°，
即α﹣β∠A＝90°；
综上所述，∠A与α，β之间的数量关系为β﹣α∠A＝90°或α﹣β∠A＝90°．
18．（2021春 宽城区期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别是边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）如图1，点P在斜边AB上运动．
①若∠α＝70°，则∠1+∠2＝ 160 度．
②写出∠α、∠1、∠2之间的关系，并说明理由．
（2）如图2，点P在斜边AB的延长线上运动（CE＜CD），BE、PD交于点F，试说明∠1﹣∠2＝90°+∠α．
（3）如图3，点P在△ABC外运动（只需研究图③的情形），直接写出∠α、∠1、∠2之间的关系．
【解题思路】（1）①求出∠CEP+∠CDP，可得结论．
②结论：∠1+∠2＝90°+∠α．连接PC，利用三角形的外角的性质解决问题即可．
（2）利用三角形的外角的性质以及三角形内角和定理证明即可．
（3）利用基本结论∠C+∠3＝∠P+∠4，构建关系式，可得结论．
【解答过程】解：（1）①∵∠C＝90°，α＝70°，
∴∠CEP+∠CDP＝360°﹣（90°+70°）＝200°，
∴∠1+∠2＝360°﹣200°＝160°，
故答案为：160．
②结论：∠1+∠2＝90°+∠α．
理由：如图1中，连结CP．
∵∠1＝∠DCP+∠CPD，∠2＝∠ECP+∠CPE，
∴∠1+∠2＝∠DCP+∠CPD+∠ECP+∠CPE，
∵∠DCP+∠ECP＝∠ACB＝90°，∠CPD+∠CPE＝∠DPE＝∠α，
∴∠1+∠2＝90°+∠α．
（2）如图2中，∵∠1＝∠ACB+∠CFD，∠CFD＝∠2+∠α，
∴∠1＝∠ACB+∠2+∠α．
∵∠ACB＝90°，
∴∠1＝90°+∠2+∠α．
∴∠1﹣∠2＝90°+∠α．
（3）结论：∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．
理由：如图3中，
∵∠C+∠3＝∠P+∠4，∠C＝90°，∠P＝α，
∴90°+（180°﹣∠2）＝α+（180°﹣∠1），
∴∠2﹣∠1＝90°﹣∠α．
19．（2021春 延庆区期末）在三角形ABC中，点D在线段AC上，ED∥BC交AB于点E，点F在线段AB上（点F不与点A，E，B重合），连接DF，过点F作FG⊥FD交射线CB于点G．
（1）如图1，点F在线段BE上，用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，并证明；
（2）如图2，点F在线段BE上，求证：∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°；
（3）当点F在线段AE上时，依题意，在图3中补全图形，请直接用等式表示∠EDF与∠BGF的数量关系，不需证明．
【解题思路】（1）结论：∠EDF+∠BGF＝90°．如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．
（2）如图2中，过点F作FH∥BC交AC于点H．利用平行线的性质求解即可．
（3）作出图形，利用平行线的性质求解即可．
【解答过程】（1）解：结论：∠EDF+∠BGF＝90°．
理由：如图1中，过点F作FH∥BC交AC于点H．
∵ED∥BC，
∴ED∥FH．
∴∠EDF＝∠1．
∵FH∥BC，
∴∠BGF＝∠2．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG＝90°．
∴∠1+∠2＝90°．
∴∠EDF+∠BGF＝90°．
（2）证明：如图2中，过点F作FH∥BC交AC于点H．
∴∠ABC＝∠AFH．
∴∠ABC＝∠1+∠3．
∴∠3＝∠ABC﹣∠1．
∵∠EDF＝∠1，
∴∠3＝∠ABC﹣∠EDF．
∵FG⊥FD，
∴∠DFG＝90°．
∴∠BFG+∠3＝90°．
∴∠3＝90°﹣∠BFG．
∴90°﹣∠BFG＝∠ABC﹣∠EDF．
∴∠ABC+∠BFG﹣∠EDF＝90°．
（3）解：结论：∠BGF﹣∠EDF＝90°．
理由：设DE交FG于J．
∵DE∥BC，
∴∠BGF＝∠FJE，
∵∠FJE＝∠DEJ+∠EDF，∠DEJ＝90°，
∴∠BGF﹣∠EDF＝90°
20．（2021春 中山市期末）同学们以“一块直角三角板和一把直尺”开展数学活动，提出了很多数学问题，请你解答：
（1）如图1，∠α和∠β具有怎样的数量关系？请说明理由；
（2）如图2，∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，求∠FQG的大小；
（3）如图3，点P是线段AD上的动点（不与A，D重合），连接PF、PG，的值是否变化？如果不变，请求出比值；如果变化，请说明理由．
【解题思路】（1）如图1，延长AM交EG于M．由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°，故∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．进而推断出∠β+∠α＝90°．
（2）如图2，延长AC交EG于N．由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°，得∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°，故∠1+∠CGN＝90°．因为∠DFC的平分线与∠EGC的平分线相交于点Q，所以∠QFC，∠GQC＝90°．那么，∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝135°．
（3）由题意知：DF∥EG，得∠FOG＝∠EGO，故1．
【解答过程】解：（1）如图1，延长AM交EG于M．
∠β+∠α＝90°，理由如下：
由题意知：DF∥EG，∠ACB＝90°．
∴∠α＝∠GMC，∠ACB＝∠GMC+∠CGM＝90°．
∵∠EGB和∠CGM是 对顶角，
∴∠β＝∠CGM．
∴∠β+∠α＝90°．
（2）如图2，延长AC交EG于N．
由题意知：DF∥EN，∠ACB＝90°．
∴∠1＝∠GNC，∠CGN+∠GNC＝90°．
∴∠1+∠CGN＝90°．
∵QF平分∠DFC，
∴∠QFC．
同理可得：∠GQC＝90°．
∵四边形QFCG的内角和等于360°．
∴∠FQG＝360°﹣∠QFC﹣∠QGC﹣∠ACB＝360°﹣（90°）﹣（90°）﹣90°．
∴∠FQG＝135°．
（3）如图3，
由题意知：DF∥EG．
∴∠FOG＝∠EGO．
∴1．
∴的值不变．
21．（2021春 禅城区期末）△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE与∠B、∠C的数量关系；
（3）拓展：如图3，四边形ABDC中，AE是∠BAC的角平分线，DA是∠BDC的角平分线，猜想：∠DAE与∠B、∠C的数量关系是否改变．说明理由．
【解题思路】（1）根据三角形的内角和定理可求得∠BAC＝80°，由角平分线的定义可得∠CAD的度数，利用三角形的高线可求∠CAE得度数，进而求解即可得出结论；
（2）根据（1）的推理方法可求解∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）连接BC交AD于F，过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，根据角平分线的定义得到∠EAM（∠ACB﹣∠ABC），同理，∠ADN（∠BCD﹣∠CBD），求得∠MAD＝∠ADN，根据角的和差即可得到结论．
【解答过程】解：（1）∵∠B＝40°，∠C＝60°，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝80°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD∠BAC＝40°，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠CAE＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝10°；
（2）∵∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD∠BAC，
∵AE是△ABC的高，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE∠BAC﹣（90°﹣∠C）（180°﹣∠B﹣∠C）﹣90°+∠C∠C∠B，
即∠DAE∠C∠B；
（3）不变，
理由：连接BC交AD于F，
过点A作AM⊥BC于M，过点D作DN⊥BC于N，
∵AE是∠BAC的角平分线，AM是高，
∴∠EAM（∠ACB﹣∠ABC），
同理，∠ADN（∠BCD﹣∠CBD），
∵∠AFM＝∠DFN，∠AMF＝∠DNF＝90°，
∴∠MAD＝∠ADN，
∴∠DAE＝∠EAM+∠MAD＝∠EAM+∠ADN（∠ACB﹣∠ABC）（∠BCD﹣∠CBD）（∠ACD﹣∠ABD）．
22．（2021春 侯马市期末）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）如图②，AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，求∠P的度数．
（3）如图（3），直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ∠P＝90°（∠B+∠D） ；
（4）如图（4），直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的数量关系是 ∠P＝180°（∠B+∠D） ．
【解题思路】（1）根据三角形的内角和等于180°列式整理即可得证；
（2）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，∠3＝∠4，再根据（1）的结论列出整理即可得解；
（3）表示出∠PAD和∠PCD，再根据（1）的结论列出等式并整理即可得解；
（4）根据四边形的内角和等于360°可得（180°﹣∠1）+∠P+∠4+∠B＝360°，∠2+∠P+（180°﹣∠3）+∠D＝360°，然后整理即可得解．
【解答过程】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
∴∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，
∴∠BAP＝∠PAD，∠BCP＝∠PCD，
由（1）的结论得，∠P+∠BCP＝∠ABC+∠BAP，①，
∠P+∠PAD＝∠ADC+∠PCD②，
①+②得，2∠P+∠BCP+∠PAD＝∠BAP+∠PCD+∠ABC+∠ADC，
∴2∠P＝∠ABC+∠ADC，
∵∠ABC＝36°，∠ADC＝16°，
∴∠P＝26°．
（3）∵直线AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠PAB＝∠PAD，∠PCB＝∠PCE，
∴2∠PAB+∠B＝180°﹣2∠PCB+∠D，
∴180°﹣2（∠PAB+∠PCB）+∠D＝∠B，
∵∠P+∠PAD＝∠PCB+∠AOC＝∠PCB+∠B+2∠PAD，
∴∠P＝∠PAD+∠B+∠PCB＝∠PAB+∠B+∠PCB，
∴∠PAB+∠PCB＝∠P﹣∠B，
∴180°﹣2（∠P﹣∠B）+∠D＝∠B，即∠P＝90°（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝90°（∠B+∠D）．
（4）∵直线AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠FAP＝∠PAO，∠PCE＝∠PCB，
在四边形APCB中，（180°﹣∠FAP）+∠P+∠PCB+∠B＝360°①，
在四边形APCD中，∠PAD+∠P+（180°﹣∠PCE）+∠D＝360°②，
①+②得：2∠P+∠B+∠D＝360°，
∴∠P＝180°（∠B+∠D）．
故答案为：∠P＝180°（∠B+∠D）．
23．（2020春 西城区校级期末）在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，且BD，CE相交于点M，MN⊥BC于点N．将∠MBN记为∠1，∠MCN记为∠2，∠CMN记为∠3．
（1）如图1，若∠A＝110°，∠BEC＝130°，则∠2＝ 20 °，∠3﹣∠1＝ 55 °；
（2）如图2，猜想∠3﹣∠1与∠A的数量关系，并证明你的结论；
（3）若∠BEC＝α，∠BDC＝β，用含α和β的代数式表示∠3﹣∠1的度数．（直接写出结果即可）
解：（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是： ∠3﹣∠1∠A ．
（3）∠3﹣∠1＝ 30° ．
【解题思路】（1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACE＝∠BEC﹣∠A，再根据角平分线的定义可得∠2＝∠ACE；根据角平分线的定义求出∠ACB，再根据三角形的内角和定理求出∠ABC，然后求出∠1，根据直角三角形两锐角互余求出∠3，然后相减即可得解；
（2）根据角平分线的定义可得∠1∠ABC，∠2∠ACB，再根据直角三角形两锐角互余表示出∠3，然后表示出∠3﹣∠1＝90°∠ACB∠ABC，再根据三角形的内角和定理可得∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，然后代入整理即可得解；
（3）在△BCE和△BCD中，根据三角形内角和定理列式整理得到∠1+∠2，再根据三角形的内角和定理和角平分线的定义用∠A表示出∠1+∠2，然后根据∠3﹣∠1∠A整理即可得解．
【解答过程】（1）解：在△ACE中，∠ACE＝∠BEC﹣∠A
＝130°﹣110°
＝20°，
∵CE平分∠ACE，
∴∠2＝∠ACE＝20°，
∴∠ACB＝2∠2＝2×20°＝40°，
在△ABC中，∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1∠ABC30°＝15°，
∵MN⊥BC，
∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣20°＝70°，
∴∠3﹣∠1＝70°﹣15°＝55°，
故答案为：20，55；
（2）∠3﹣∠1与∠A的数量关系是：∠3﹣∠1∠A．
证明：在△ABC中，BD，CE是它的两条角平分线，
∴∠1∠ABC，∠2∠ACB，
∵MN⊥BC于点N，
∴∠MNC＝90°，
在△MNC中，∠3＝90°﹣∠2，
∴∠3﹣∠1＝90°﹣∠2﹣∠1，
＝90°∠ACB∠ABC，
＝90°（∠ACB+∠ABC），
∵在△ABC中，∠ACB+∠ABC＝180°﹣∠A，
∴∠3﹣∠1＝90°（180°﹣∠A）∠A；
故答案为：∠3﹣∠1∠A；
（3）∵BD，CE是△ABC的两条角平分线，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
在△BCE和△BCD中，∠1+2∠2+β＝180°，
∠2+2∠1+α＝180°，
∴∠1+∠2＝120°，
∵∠1+∠2（∠ACB+∠ABC）（180°﹣∠A），
∴120°（180°﹣∠A），
整理得，∠A30°，
∴∠3﹣∠130°．
故答案为：30°．
24．（2020春 福山区期中）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！
【问题探究】
（1）如图1，请直接写出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝ 180° ；
（2）将图1变形为图2，∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程；
（3）将图1变形为图3，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果如何？请写出证明过程．
【变式拓展】
（4）将图3变形为图4，已知∠BGF＝160°，那么∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是 320° ．
【解题思路】（1）根据三角形外角的性质，得到∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，根据三角形内角和等于180°即可求解．
（2）根据三角形外角的性质，得到∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，即可证明此结论．
（3）根据三角形外角的性质，得到∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，即可证明此结论；
（4）根据三角形外角的性质，得到∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，即可得到结论．
【解答过程】（1）解：如图1，∵∠2＝∠C+∠E，∠1＝∠A+∠2，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝∠1+∠B+∠D＝180°，
故答案为：180°；
（2）证明：∵∠ABE＝∠C+∠E，∠DBC＝∠A+∠D，
∠ABE+∠DBE+∠DBC＝180°，
∴∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E＝180°
∴将图①变形成图②∠A+∠DBE+∠C+∠D+∠E仍然为180°；
（3）证明：∵在△FGD中，∠DFG+∠FGD+∠D＝180°，
∠DFG＝∠B+∠E，∠FGD＝∠A+∠C，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°，
∴将图①变形成图③，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E还为180°；
（4）解：∵∠BGF＝∠B+∠2＝160°，∠2＝∠D+∠F，
∴∠B+∠D+∠F＝160°，
∵∠BGF＝∠1+∠E＝160°，∠1＝∠A+∠C，
∴∠A+∠C+∠E＝160°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝320°，
故答案为：320°．
25．（2020春 蓬溪县期末）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝ 122° ；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝ 119 °，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝ 29 °．
【解题思路】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）由角平分线得出∠ECB∠ACB，∠EBD∠ABD．由三角形外角的性质知∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，根据∠EBD∠ABD（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB可得答案；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠QBC与∠QCB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．
【解答过程】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBCABC，∠PCB∠ACB（角平分线的定义），
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°∠A
＝90°∠A
＝90
＝122°．
故答案为：122°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB∠ACB，∠EBD∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，
∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD∠ABD（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC∠A；
（3）结论：∠BQC＝90°∠A．
理由如下：∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，
∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，
∴∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠QCB，
＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC），
＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB），
＝180°∠A﹣90°
＝90°∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°∠A＝90°58°，
由（1）可知∠BPC＝90°∠BQC＝90°119°；
由（2）可知，∠R∠BQC＝29°
故答案为119，29．
26．（2021春 鄂州期末）探究知：任何一个三角形都满足三角形三内角和等于180°，我们把这个结论称之为三角形三内角和定理．如图1，AB∥CD，且∠BED+∠CDE＝120°，请根据题目条件，结合三角形三内角和定理，探究下列问题：
（1）如图2，在图1基础上作：∠BEF∠DEF，∠CDE＝3∠CDF，EF与DF交于点F，求∠EFD的度数；
（2）如图3，在图1基础上作：过B作BG⊥AB，交CD于点F，且∠CDG∠CDE，求的值．
【解题思路】（1）设∠BEF＝α，∠CDF＝β，根据角之间的比例关系可得∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，进而可得∠DEF+∠EDF＝80°，所以可得答案；
（2）根据垂直可得∠CDG＝90°﹣∠G，再根据∠E+∠CDE＝120°经过整理得3∠E＝4∠G，进而可得答案．
【解答过程】解：（1）∵，
∴∠DEF＝2∠BEF，
又∵∠CDE＝3∠CDF，
∴设∠BEF＝α，∠CDF＝β，
∴∠DEF＝2α，∠DEB＝3α，∠CDE＝3β，∠EDF＝2β，
∵∠BED+∠CDE＝120°，
∴3α+3β＝120°，
∴α+β＝40°，
∴2α+2β＝80°，
∴∠EFD＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝180°﹣（2α+2β）＝180°﹣80°＝100°，
答：∠EFD的度数为100°；
（2）∵BF⊥AB，
∴∠ABG＝90°，
∵AB∥CD，
∴∠ABG+∠BFC＝180°，
∴∠BFC＝∠GFD＝90°，
在△GFD中，∠GFD+∠CDG+∠G＝180°，
∴∠CDG＝90°﹣∠G，
∵∠E+∠CDE＝120°，，
∴，∠E（90°﹣∠G）＝120°，
整理得：3∠E＝4∠G，
∴．
27．（2020秋 南昌期中）【问题探究】
将三角形ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处
（1）如图1，当点A落在四边形BCDE的边CD上时，直接写出∠A与∠1之间的数量关系；
（2）如图2，当点A落在四边形BCDE的内部时，求证：∠1+∠2＝2∠A；
（3）如图3，当点A落在四边形BCDE的外部时，探索∠1，∠2，∠A之间的数量关系，并加以证明；
【拓展延伸】
（4）如图4，若把四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、D落在四边形BCFE的内部点A′、D′的位置，请你探索此时∠1，∠2，∠A，∠D之间的数量关系，写出你发现的结论，并说明理由．
【解题思路】（1）运用折叠原理及三角形的外角性质即可解决问题；
（2）运用折叠原理及四边形的内角和定理即可解决问题；
（3）运用三角形的外角性质即可解决问题；
（4）根据三角形的内角和和四边形的内角和即可得到结论．
【解答过程】解：（1）如图1，∠1＝2∠A．
理由如下：由折叠知识可得：∠EA′D＝∠A；
∵∠1＝∠A+∠EA′D，
∴∠1＝2∠A；
（2）如图2，2∠A＝∠1+∠2．
理由如下：∵∠1+∠A′DA+∠2+∠A′EA＝360°，
∠A+∠A′+∠A′DA+∠A′EA＝360°，
∴∠A′+∠A＝∠1+∠2，
由折叠知识可得：∠A＝∠A′，
∴2∠A＝∠1+∠2；
（3）如图3，∠1﹣∠2＝2∠A，
理由：∵∠1+2∠AED＝180°，2∠ADE﹣∠2＝180°，
∴∠1﹣∠2+2∠AED+2∠AED＝360°，
∵∠A+∠AED+∠ADE＝180°，
∴2∠A+2∠AED+2∠ADE＝360°，
∴∠1﹣∠2＝2∠A；
（4）∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°，
理由：∵∠1+2∠AEF＝180°，∠2+2∠DFE＝180°，
∴∠1+∠2+2∠AEF+2∠DFE＝360°，
∵∠A+∠D+∠AEF+∠DFE＝360°，
∴2∠A+2∠D+2∠AEF+2∠DFE＝720°，
∴∠1+∠2＝2（∠A+∠D）﹣360°．
28．（2021春 桥西区期末）请认真思考，完成下面的探究过程．
已知在△ABC中，AE是∠BAC的角平分线，∠B＝60°，∠C＝40°．
【解决问题】
如图1，若AD⊥BC于点D，求∠DAE的度数；
【变式探究】
如图2，若F为AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，则∠DFE＝ 10 °；
【拓展延伸】
如图2，△ABC中，∠B＝x°，∠C＝y°，（且∠B＞∠C），若F为线段AE上一个动点（F不与E重合），且FD⊥BC于点D时，试用x，y表示∠DFE的度数，并说明理由．
【解题思路】（1）由∠B＝60°，∠C＝40°，得∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．由角平分线的定义，得∠EAC＝40°．根据三角形外角的性质，得∠FED＝80°．由FD⊥BC，根据三角形内角和定理，故可求得∠DFE．
（2）与（1）同理．
（3）与（1）同理．
【解答过程】解：（1）解决问题：∵∠B＝60°，∠C＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．
又∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠EAC40°．
∴∠AED＝∠C+∠EAC＝40°+40°＝80°．
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°．
∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
（2）变式探究：由（1）知：∠AED＝80°．
∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°．
∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣80°＝10°．
故答案为：10°．
（3）拓展延伸：∠DFE，理由如下：
∵∠B＝x°，∠C＝y°，
∴∠BAC＝180°﹣x°﹣y°．
又∵AE是∠BAC的角平分线，
∴∠CAE．
∴∠AED＝∠C+∠CAE＝y°+90°90°．
∵FD⊥BC，
∴∠FDE＝90°．
∴∠DFE＝180°﹣∠FDE﹣∠FED＝180°﹣90°﹣（90°）．
29．（2021春 庐江县期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．
（1）求证：∠EAB＝∠CED；
（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 45° （直接写出答案即可）；
（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）
【解题思路】（1）根据垂直得到直角三角形，由直角三角形两锐角互余利用等量代换证明结论；
（2）通过作FM∥AB∥CD可证∠DFA＝∠CDF+∠BAF，因为∠CDE+∠BAE＝90°和角平分线的定义可得∠F（∠CDE+∠BAE），继而得到答案；
（3）根据角平分线的定义得∠CEH＝∠DEH＝∠GEB＝∠BAG＝∠EAF，由于∠B＝90°，∠BAE+∠BEA＝90°，在△AEG中，可证得∠EAG+∠AEG＝90°，从而证得结论．
【解答过程】（1）证明：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE+∠AEB＝90°，
∵AE⊥DE，
∴∠AED＝90°，
∴∠AEB+∠CED＝90°，
∴∠BAE＝∠CED．
（2）解：答案为45°；
过点F作FM∥AB，如图，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∵∠C＝90°，
∴∠CED+∠CDE＝90°，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAE+∠CDE＝90°，
∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，
∴∠CDF∠CDE，∠BAF∠BAE，
∴∠CDF+∠BAF（∠BAE+∠CDE）＝45°，
∵FM∥AB∥CD，
∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，
∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．
（3）∵EH平分∠CED，
∴∠CEH∠CED，
∴∠BEG∠CED，
∵AF平分∠BAE，
∴∠BAG∠BAE，
∵∠BAE＝∠CED，
∴∠BAG＝∠BEG，
∵∠BAE+∠BEA＝90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，
即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴EG⊥AF．
30．（2021春 崇川区期末）在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，E为边AC上一点，EF⊥BC，垂足为F，EG平分∠AEF交BC于点G．
（1）如图1，若∠BAC＝90°，延长AB、EG交于点M，∠M＝α．
①用含α的式子表示∠AEF为 180°﹣2α ；
②求证：BD∥ME；
（2）如图2，∠BAC＜90°，延长DB，EG交于点N，请用等式表示∠A与∠N的数量关系，并证明．
【解题思路】（1）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
②根据垂直的定义得到∠EFC＝90°，求得∠ABC＝2α，根据角平分线的定义得到∠ABD∠ABC＝α，求得∠ABD＝∠M，于是得到结论；
（2）设∠ABD＝x，∠AEG＝y，根据角平分线的定义得到∠ABC＝2x，∠AEF＝2y，求得x+y＝180°﹣∠A﹣∠N①，x+y＝∠N+90°②，于是得到结论．
【解答过程】解：（1）①∵∠A＝90°，∠M＝α，
∴∠AEM＝180°﹣90°﹣α＝90°﹣α，
∵EM平分∠AEF，
∴∠AEF＝2∠AEM＝180°﹣2α，
故答案为：180°﹣2α；
②证明：∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°，
∴∠C+∠FEC＝90°，
∵∠A＝90°，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∴∠CEF＝∠ABC，
∵∠AEF＝180°﹣2α，
∴∠CEF＝2α，
∴∠ABC＝2α，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABD∠ABC＝α，
∴∠ABD＝∠M，
∴BD∥ME；
（2）2∠N+∠A＝90°，
证明：∵BD平分∠ABC，EG平分∠AEF，
设∠ABD＝x，∠AEG＝y，
∴∠ABC＝2x，∠AEF＝2y，
∵∠ABD+∠A＝180°﹣∠ADB，∠ADB＝∠N+∠AEG，
∴x+∠A＝180°﹣∠N﹣y，
∴x+y＝180°﹣∠A﹣∠N①，
Rt△FEG中，∠EGF＝∠BGN＝90°﹣y，
△BNG中，∠DBG＝∠N+∠BGN，
∴x＝∠N+90°﹣y，
∴x+y＝∠N+90°②，
由①和②得：180°﹣∠A﹣∠N＝∠N+90°，
∴∠A+2∠N＝90°.
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