卷子答案网-一个不只有答案的网站珠海市斗门区2023-2024学年高二上学期第一阶段考
数学试题
本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.在正方体中，（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则实数（ ）
A. B.2 C.3 D.
3.某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人.现从全校学生中按比例分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高二年级学生人数为（ ）
A.18 B.20 C.22 D.30
4.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
5.新高考按照“”的模式设置，其中“3”为语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门科目中选考1门科目，“2”由考生在化学、生物、政治、地理4门科目中选考2门科目，则学生甲选考的科目中包含物理和生物的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，三棱锥中，，分别是，的中点，设，，，用，，表示，则（ ）
A. B. C. D.
7.一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600，另两位员工的月工资数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ）
A.6800 B.7000 C.7200 D.7400
8.正方体的棱长为2，若动点在线段上运动，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的0分.
9.已知空间向量，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.向题与向量共线
C.向量关于轴对称的向量为
D.向量关于平面对称的向量为
10.给出下列命题，其中正确的命题是（ ）
A.若直线的方向向量为，平面的法向是为，则直线
B.若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
D.已知向量，，则在上的投影向量为
11.从高二某班抽三名学生（抽到男女同学的可能性相同）参加数学竞赛，记事件为“三名学生都是女生”，事件为“三名学生都是男生”，事件为“三名学生至少有一名是男生”，事件为“三名学生不都是女生”，则以下正确的是（ ）
A. B.事件与事件互斥
C. D.事件与事件对立
12.为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长（单位：分钟），分别为53，57，45，61，79，49，，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则的值可能为（ ）
A.58 B.59 C.62 D.64
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.
13.已知，，若，则______.
14.在已知四面体中，已知、、两两垂直，且，，，若是的重心，则______.
15.社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为，，则此项任务被甲、乙两人中至少一人完成的概率为______.
16.已知，，是空间单位向量，，若空间向量满足（，），，则的最大值是______.
四、解答题：本大题共6小题，第17题满分10分，其余各题每小题满分12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.从2名男生（记为，）和2名女生（记为，）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.
（1）请写出该试验的样本空间；
（2）设事件为“选到1名男生和1名女生”，求事件发生的概率；
（3）若2名男生，所处年级分别为高一、高二，2名女生，所处年级分别为高一、高二，设事业件为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”，求事件发生的概率.
18.已知在四棱锥中，底面是矩形，且，，平面，，分别是线段，的中点
（1）求证：：
（2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由.
19.现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：
投资股市：
投资结果 获利40% 不赔不赚 亏损20%
概率
购买基金：
投资结果 获利20% 不赔不赚 亏损10%
概率
（1）当时，求的值；
（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于，求的取值范围.
20.俄乌冲突导致石油、天然气价格飙升.燃油价格问题是人们关心的热点问题，某网站为此进行了调查.现从参与者中随机选出100人作为样本，并将这100人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）求样本中数据落在的频率；
（2）求样本数据的第50百分位数；
（3）若将频率视为概率，现在要从和两组中按比例分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行座谈，求抽取的2人中至少有1人的年龄在组的概率.
珠海市斗门一中2023-2024学年度第一学期第一阶段考试
高二数学参考答案
一、单项选择题：本大题每小题5分，满分50分.
1 2 3 4 5 6 7 8
C B B A B D D A
6.【答案】D【详解】，分别是，的中点，
.故选：D.
7.【详解】一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为6200，6300，6500，7100，7500，7600，
当另外两名员工的工资都小于6300时，中位数为，
当另外两名员工的工资都大于7500时，中位数为，
8位员工月工资的中位数的取值区间为，
8位员工月工资的中位数不可能是7400.故选：D.
8.解：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，，，.
，，.
点在线段上运动，，且.
，，
，，即，故答案为：.
二、多项选择题：本大题每小题5分，满分20分.
9. ABC 10. CD 11. ABD 12. AD
10.【详解】选项A，由已知直线的方向向量为，平面的法向量为，
所以，所以，所以直线或，故A错误；
选项B，因为，，根据空间向量四点共面条件可知，
，，，四点不共面，故B错误；选项C，三个不共面的向量可以成为空间的一个基底，选项D，由，，在上的投影向量为，故D正确.故选：CD.
11.【答案】ABD
【解析】由所抽学生为女生的概率均为，则，A正确；，两事件不可能同时发生，为互斥事件，B正确；事件包含：三名学生有一名男生、三名学生有两名男生、三名学生都是男生，其对立事件为A，D正确：事件包含：三名学生都是男牛、三名学生有一名男生、三名学生有两名男生，与事件含义相同，故，C错误；故选：ABD.
12.【答案】AD
【解析】将已如的6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79.
若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，
不符合条件；若，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，
它们的差为18，不符合条件：若，则这组数招的第80百分位数与第60百分位数分别为和61（或61和），则，解得或.故选：AD.
三、填空题：本大题每小题5分；满分20分.
13. 1 14. 15. 16.
16.【详解】依题意，，是空间单位向量，且（，），
，
，
，
，
当且仅当时等号成立，所以，，
所以.故答案为：
四、解答题：本大题每小题6分，共70分.
17.【详解】（1）解：由题知，样本空间为；
（2）由（1）知，所有的可能结果数为6个，其中满足事件得结果数有4个、
故；
（3）由（1）知，所有的可能结果数为6个，其中满足事件得结果数有3个，
故.
18.【解析】解：因为平面，且四边形是矩形
以，，为轴建立空间直角坐标系，设
，，，，，
（1），，
（2）设，
设平面的法向量为，
，
，，
平面，
，解得，存在点，为的四等分点（靠近）.
19.（1）解“购买基金”的投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果两两互斥，.又，.
（2）记事件为“甲投资股市且获利”，事件为“乙购买基金且获利”，事件为“一年后甲、乙两人中至少有一人获利”，则，且，相互独立.由题意可知，
..
，.又，，..
20.【解析】【1】依题意，样本中数据落在为；
【2】解：样本数据的第50百分位数落在第四组，且第50百分位数为
.
【3】解：与两组的频率之比为1:2，现从和两组中用分层抽样的方法抽取6人，则组抽取2人，记为，，组抽取4人，记为1，2，3，4.所有可能的情况共15种，其中至少有1人的年龄在的情况有9种，记“抽取的2人中至少有1人的年龄在组”为事件，则.
21.【解析】（1），
，
，
，
（2）依迻意，，，，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.
22.【解析】【小问1详解】由，，知，，
所以，所以；
【小问2详解】设，，分别为与，，同方向的单位向量，
则，，.
①
②由题，
因为，所以，
由知
则.
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