卷子答案网-一个不只有答案的网站人教A版（2019）选择性必修第一册 2.3 直线的交点坐标与距离公式
一、单选题
1．已知直线，直线与关于直线对称，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
2．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线l的方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A． B． C． D．
3．直线l经过两条直线和的交点，且平行于直线，则直线l的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
5．已知直线与直线和的距离相等，则的方程是（ ）
A． B．
C． D．
6．过直线：与：的交点，并与垂直的直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．已知点O（0，0），A（–2，0），B（2，0）．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数y=图像上的点，则|OP|=（ ）
A． B． C． D．
8．若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，，，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（ ）.
A．
B．
C．
D．
10．一束光线从点处射到y轴上一点后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程是
A． B．
C． D．
11．已知点和点到直线的距离相等，且过点，则直线的方程为（ ）
A．或 B．或
C． D．
12．已知点P，Q分别在直线与直线上，且，点，，则的最小值为．
A． B． C． D．
二、填空题
13．直线经过点，且分别与直线和相交于，两点，若，则直线的方程为________．
14．已知直线，，且，则这两条直线之间的距离为___________.
15．一条光线从点射出，经x轴反射，其反射光线所在直线与圆相切，则反射光线所在的直线方程为____.
16．与直线关于对称的直线的方程为__________.
三、解答题
17．已知的两条高所在的直线方程为，若点A坐标为
（1）求垂心H的坐标；
（2）若关于直线的对称点为N，求点N到直线BC的距离．
18．（1）已知点A的坐标为，直线l的方程为，求点A关于直线l的对称点的坐标；
（2）求直线关于点对称的直线l的方程；
（3）求直线关于直线对称的直线l的方程.
19．如图，射线，所在直线的方向向量分别为， ，点在内，于， 于.
（1）若，，求 的值；
（2）若，的面积是 ，求的值；
（3）已知为常数，，的中点为，且，当 变化时，求的取值范围.
20．已知AO是边BC的中线，用坐标法证明．
21．已知、、三点，且，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
由直线与直线的交点在直线上可设直线，在直线上取一点，由该点到直线与的距离相等列方程即可得解.
【详解】
联立，解得，
所以直线与直线的交点为，
所以点在直线上，
所以可设直线即，
在直线上取一点，则该点到直线与的距离相等，
所以，解得或（舍去）.
所以直线的斜率为.
故选：D.
关键点点睛：解决本题的关键是由直线对称的几何特征转化为代数问题，细心运算即可得解.
2．D
先求点关于直线对称的点，再根据两点之间线段最短，即可得解.
【详解】
如图，设关于直线对称的点为，
则有 ，可得，可得，
依题意可得“将军饮马”的最短总路程为，
此时，
故选：D.
3．B
联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线平行则斜率相同求出斜率即可.
【详解】
由得两直线交点为(－1，0)，直线l斜率与相同，为，
则直线l方程为y－0＝(x＋1)，即x－2y＋1＝0.
故选：B.
4．C
求出关于的对称点,根据题意，为最短距离，求出即可.
【详解】
设点关于的对称点，设军营所在区域为的圆心为,
根据题意，为最短距离，
的中点为，，直线的斜率为1,
解得：,
，
故选: C.
本题考查点关于直线对称，点与圆心的距离，考查运算求解能力，求解时注意对称性的应用.
5．D
设所求直线方程为：，根据该直线与和的距离相等，建立方程求解可得选项.
【详解】
设所求直线l方程为：，
因为直线l与；距离相等，所以，解得，
所以所求直线方程为：，
故选：D.
6．B
由， 求得交点，再根据所求直线与垂直，得到斜率，写出直线方程.
【详解】
由，
解得，
所以交点为，
又所求直线与垂直，
所以，
所以所求直线方程为：，
即，
故选：B
本题主要考查直线的交点与两直线位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
7．D
根据题意可知，点既在双曲线的一支上，又在函数的图象上，即可求出点的坐标，得到的值．
【详解】
因为，所以点在以为焦点，实轴长为，焦距为的双曲线的右支上，由可得，，即双曲线的右支方程为，而点还在函数的图象上，所以，
由，解得，即．
故选：D.
本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
8．B
由两直线平行的判定有且求参数a，应用平行线距离公式求与间的距离.
【详解】
∵直线与平行，
∴且，解得．
∴直线与间的距离．
故选：B．
9．B
设点，根据两点坐标求距离公式化简计算，结合点与点不重合且、、A不共线即可得出结果.
【详解】
设点，
由，得，
即.
又点与点不重合且，，不共线，
所以，.
故选：B.
10．B
由反射定律得点A关于y轴的对称点，又因为B点也在直线上，根据截距式可得直线方程．
【详解】
由题得点关于y轴的对称点在反射光线所在的直线上，再根据点也在反射光线所在的直线上，由截距式求得反射光线所在直线的方程为，即，故选B.
本题直线方程可由两点式或截距式求出，找到点A的对称点是突破口，属于基础题．
11．A
先求出直线的斜率，由点和点到直线的距离相等，且过点，得到直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），由此能求出直线的方程.
【详解】
解：∵点和点，∴，
∵点和点到直线的距离相等，且l过点，
∴直线与直线平行，且直线过点，或直线的方程为（过线段中点），
∴直线的方程为：，或，
整理得：或.
故选：A.
本题考查求直线方程，考查点到直线的距离问题，利用平行或过线段的中点求解直线方程，属于基础题．
12．B
设，则四边形为平行四边形，故而就是的最小值，又的最小值就是.
【详解】
因为，故，
，故，所以，
又，所以，故四边形为平行四边形，
，
因为，当且仅当三点共线时等号成立，
的最小值为，选B.
本题考查坐标平面中线段和的最值，注意利用几何性质把问题转化为一个动点（在直线上）与两个定点之间的连线段的和的最值，这类问题属于中档题.
13．或
求出直线和之间的距离，由可得与的夹角为，分直线的斜率存在和直不存在两种情况，利用直线间的夹角公式可得答案.
【详解】
直线和之间的距离为，
由做于，所以，因为 ，
所以与的夹角为，
当直线的斜率存在时，设为，则的直线方程为，
所以，解得，则的直线方程为；
当直线的斜率不存在时，则的直线方程为，
与直线和的交点为和，
因为两点间的距离为，符合题意，
所以的直线方程为或.
故答案为：或.
14．##
根据直线平行的等价条件求出的值，再由两平行线间的距离公式即可求解.
【详解】
因为直线，，且，
则，解得：，
所以，即，
所以这两条直线之间的距离为，
故答案为：.
15．或
点关于轴的对称点为,即反射光线过点,分别讨论反射光线的斜率存在与不存在的情况,进而求解即可
【详解】
点关于轴的对称点为,
（1）设反射光线的斜率为,则反射光线的方程为,即,
因为反射光线与圆相切,
所以圆心到反射光线的距离,即,
解得,
所以反射光线的方程为:；
（2）当不存在时,反射光线为,此时,也与圆相切,
故答案为: 或
本题考查直线在光学中的应用,考查圆的切线方程
16．
求出直线与直线的交点，在直线上取点，求出它关于直线的对称点，再由两点式可求出结果.
【详解】
联立，解得，所以直线与直线的交点为，
在直线上取点，设点关于直线的对称点为，
则，解得，所以点关于直线的对称点为，
由两点式可得与直线关于对称的直线的方程为：
，即.
故答案为：
17．（1）；（2）．
根据三角形垂心的意义，结合条件已知的两条高所在直线的方程分别为，，只须求得这两条高线的交点即可．
求出关于直线l ：的对称点为，求出BC：，根据点到线的距离公式计算即可．
【详解】
设，
由题意， ，可得，故垂心 ；
由（1）知：， 由“三条高线交于一点”得：，
，又 ，可设，代入，解得： ，
，
，可得，即，
∴，整理后得： ，
设的对称点，则有，且MN的中点在l上，
∴，整理得，解得，
∴N到直线BC的距离为 ．
18．（1）；（2）；（3）.
(1)求得直线AA′的方程，再求直线l与与直线AA′的交点，进而即可求出A′的坐标；
(2)取直线l上任一点(x，y)，根据题意得到关于点的对称点在直线上，进而求出直线方程；
(3)求出已知两直线的交点坐标，进而根据对称的性质，结合两点式方程即可解答.
【详解】
（1）过点且与直线垂直的直线的方程为，
由得，
即直线与直线的交点坐标为，
∵点关于点的对称点的坐标为，
∴点A关于直线l的对称点的坐标为.
（2）取直线l上任一点，其关于点的对称点在直线上，
∴，整理得，
即所求直线l的方程为.
（3）由得
∴两直线的交点为，
在直线上取点，
设点B关于直线的对称点为，
则有
解得即点C的坐标为，
由于所求直线经过A C两点，则有，
即，
∴所求直线l的方程为.
19．（1）；（2）或2；（3）
(1)求出,点P到直线的距离,利用勾股定理,求的值;
(2)直线OA的方程为 ,求出到直线的距离,利用勾股定理求出,利用 的面积为,求k的值;
(3)设直线OA的倾斜角为,求出, ,利用,可得P变化时,动点 T轨迹方程,求出,即可求的取值范围.
【详解】
（1）， ，
若，则， 的方程为，即，
则点到直线的距离为，
；
（2）直线OA的方程为,到直线的距离为 ,
,
的面积为,
或2；
（3）设, ,,, ,,
设直线OA的倾斜角为,则， ,
根据题意得，解得 ，
代入，
化简得动点T轨迹方程为.
,
当且仅当时, 取得最小值.
的取值范围是 .
本题考查三角形面积，考查轨迹方程，解题的关键是正确利用图形关系，得出三角形面积的表达式.
20．证明见解析
结合图形，设A、B、C三点的坐标，再根据题意和点点的距离公式即可证明.
【详解】
取BC边所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，如图
设，(其中)，则
，
所以，即证.
21．
利用两点间的距离公式可得出关于的等式，由此可解得实数的值.
【详解】
由可得，解得.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
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