卷子答案网-一个不只有答案的网站2023-2024学年度第一学期九年级9月
数学练习
（分值：150分，时长：120分钟，日期：2023.9.28）
一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中只有一项是待合目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
2.用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
3.的半径为3，点A到圆心O的距离为4，点与的位置关系是（ ）
A.点A在外 B.点A在内 C.点A在上 D.不能确定
4.若关于x的一元二次方程，该方程的解的情况是（ ）
A.没有实数根 B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根 D.不能确定
5.下列说法正确的是（ ）
A.等弧所对的弦相等 B.三点确定一个圆
C.相等的圆心角对的弧相等 D.三角形的外心到三角形三边的距离相等
6.如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面去覆盖，则能够完全覆盖这个三角形的最小圆的半径为（ ）
A. B.2 C. D.
7.已知是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形的两条边的边长，则的周长为（ ）
A.7 B.10 C.11 D.10或11
8.如图，，是的弦，，点O在内，点为上的动点，点，，分别是，，的中点.若的半径为6，则的长度的最大值是（ ）
A.6 B.12 C. D.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9.一元二次方程的根是______.
10.一元二次方程的一个根是，则k的值是______.
11.若与的值互为相反数，则的值是______.
12.如图，是的内接三角形，若，，则的半径是______.
12题图 13题图 15题图 18题图
13.如图：为的直径，是的弦，、的延长线交于点，已知，，则的大小是______°.
14.设，分别为一元二次方程的两个实数根，则______.
15.如图，是的弦，且，点是弧中点，点是优弧上的一点，，则圆心到弦的距离等于______.
16.一条弦把圆分成两部分，则这条弦所对的圆周角为______.
17.已知关于的方程的两根为，，则方程的两根之和为______.
18.如图，已知正方形的边长为2，点是边的中点，为正方形内一动点，且，点是边上另一动点，连接，，则的最小值为______.
三、解答题（本题共10小题，共96分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19.（本题满分8分）
（1）解方程：.
（2）解方程：.
20.（本题满分8分）阅读下面的例题.
解方程.
解：原方程化为.
令，原方程化成，解得，.
当时，；当时（不合题意，合去）.
∴原方程的解是，.
请模仿上面的方法解方程：.
21.（本题满分8分）如图，的弦、相交于点，且.求证.
22.（本题满分8分）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，.
（1）求k的取值范围；
（2）若，求k的值.
23.（本题满分10分）如图，在中，，以点C为圆心，AC长为半径的与相交于点.
（1）若弧的度数为70°，则______°；
（2）若，，求线段的长.
24.（本题满分10分）如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如，一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”.
（1）通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的二次方程.（m是常数）是“邻根方程”，求m的值.
25.（本题满分10分）已知等腰三角形中，.
（1）用直尺和圆规作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若，，求的外接圆半径.
26.（本题满分10分）2022年北京冬奥会吉样物深受大家的喜欢.某特许零售店的冬奧会吉样物销售量日益火爆.据统计，该店2022年1月的“冰墩墩”销量为1万件，2022年3月的“冰墩墩”销量为1.21万件.
（1）求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；
（2）该零售店4月将采用提高售价的方法增加利润，根据市场调研得出结论：如果将进价80元的“冰墩墩”按每件100元出售，每天可销售500件，在此基础上售价每涨1元，那么每天的销售量就会减少10件，该零售店要想每天获得12000元的利润，且销量尽可能大，则每件商品的售价应该定为多少元
27.（本题满分12分）探索一个问题：任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半（完成下列空格）.
（1）当已知矩形的边长分别是6和1时，小亮同学是这样研究的：设所求矩形的两边分别是x，y，由题意得方程组，消去y化简得；
∵，______；______；所以满足要求的B存在；
（2）如果已知矩形A的边长分别是2和1，请你仿照小亮方法研究是否存在满足要求的矩形B；
（3）如果矩形A的边长为，，请你研究，满足什么条件时，矩形B存在
28.（本题满分12分）
（1）【基础巩固】如图1，内接于，若，弦，则半径______；
（2）【问题探究】如图2，四边形的四个顶点均在上，若，，点为弧上一动点（不与点，点重合）。
求证：；
（3）【解决问题】如图3，一块空地由三条直路（线段、、）和一条道路劣弧CD围成，已知千米，，CD的半径为1千米，市政府准备将这块空地规划为一个公园，主入口在点M处，另外三个入口分别在点C、D、P处，其中点在CD上，并在公园中修四条慢跑道，即图中的线段、、、，某数学兴趣小组探究后发现C、P、D、M四个点在同一个圆上，请你帮他们证明C、P、D、M四点共圆，并判断是否存在一种规划方案，使得四条慢跑道总长度（即四边形的周长）最大 若存在，求其最大值；若不存在，说明理由.
图1 图2 图3
2023-2024学年度第一学期九年级9月
数学参考答案
一、选择题（每题3分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
选项 C B A B A C D D
二、填空题（每空3分）
9.， 10.2 11.1 12.1 13.16
14.2021 15. 16.20或160 17. 18.
三、解答题（本题共10小题，共96分.）
19.（1），. ……4分
（2）， . ……8分
20.解：原方程化为，
令，原方程化成，
解得：，， ……4分
当，
，
解得：，；
当时（舍去）.
则原方程的解是，. ……8分
21.证明：连接.
∵，
∴
∴，
即， ……4分
∴，
∴. ……8分（其他解法参考得分）
22.解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：. ……4分
（2）∵、是方程的实数根，
∴，，
∴，
解得：，， ……6分
又∵，
∴. ……8分
23.解：（1） ……4分
（2）作于，如图，则，
，
∵，
∴，
∴， ……6分
∴， ……8分
∴. ……10分
24.解：（1）解方程得：或， ……2分
∵，
∴是“邻根方程”； …….4分
（2）由方程
解得：或， ……6分
由于关于的二次方程.（是常数）是“邻根方程”，
则或， ……8分
解得或6. ……10分
25.（1）解：（1）如图，即为所作； ……4分
（2）连接交于，如图，
∵，∴，
∴垂直平分，
即，，
在中，， ……6分
设的半径为r，则，，
在中，，解得，
即的半径为. ……10分
26.解：（1）设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为，
由题意可得，， ……2分
解得，（舍去），
答：该店“冰墩墩”销量的月平均增长率为10%. ……4分
（2）设每件商品的售价应该定为元，
则每件商品的销售利润为元，
每天的销售量为件，
依题意可得， ……6分
解得，， ……8分
∵要使销量尽可能大，
∴，
答：每件商品的售价应该定为110元. ……10分
27.解：（1），
∵，
∴，
∴，，
∴满足要求的矩形B在.
故答案为2，； ……2分
（2）设所求矩形的两边分别是和，由题意，得 ……4分
消去y化简，得，
∵，
∴不存在矩形B. ……6分
（3）， ……8分
∴， ……10分
∴
∴当时，矩形B存在. ……12分
28.（1） ……2分
（2）证明：在上取点，使，连接，，
∵，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形， ……4分
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴； ……6分
图2
（3）解：存在.
∵千米，
∴当取得最大值时，四边形的周长最大， ……7分
连接，过点作于点，设，
∵，，，
∴，
∴，
∴， ∴，
∵， ∴，
∴或（舍去），∴，
∴，
∴D、P、C、M四点共圆， ……10分
∴，
由（2）可知，
故当是直径时，最大值为2，
∵四边形的周长，
∴四边形的周长的最大值为：，
即四条慢跑道总长度（即四边形的周长）的最大值为 ……12分
图3
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