卷子答案网-一个不只有答案的网站2022-2023学年云南大学附中星耀学校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题[（每题3分.共12题，总分36分）
1．（3分）下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（3分）从一定高度抛一个瓶盖100次，落地后盖面朝下的有55次，则下列说法中错误的是（ ）
A．盖面朝下的频数是55
B．盖面朝下的频率是0.55
C．盖面朝下的概率不一定是0.55
D．同样的试验做200次，落地后盖面朝下的有110次
3．（3分）对于函数y＝（x﹣2）2+5，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是（2，5）
B．图象开口向上
C．图象关于直线x＝2对称
D．函数最大值为5
4．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（ ）
A．70° B．65° C．55° D．35°
5．（3分）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
6．（3分）已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的存在情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
7．（3分）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝380 B．x（x﹣1）＝380
C．x（x+1）＝380 D．x（x+1）＝380
8．（3分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心（ ）
A．2 B．4cm C． D．
10．（3分）若方程x2﹣2x﹣1＝0的其中一个实数根为x1，则x1﹣的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
11．（3分）如图，半径r＝2的⊙M在x轴上平移，当⊙M与直线y＝x+2相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，0）
C．（0，0）或（﹣6，0） D．（2，0）成（﹣6，0）
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），y随x增大而增大；②抛物线一定过原点，ax2+bx+c＞0；④a﹣b+c＜0；⑤关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根为22+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根为1和﹣5．其中结论错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空鯴（每题3分，共6题，总分18分）
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有红球和黑球共12个，每个球除颜色不同外其余都一样，任意换出一个球是黑球的概率为 个．
14．（3分）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝2，那么AB的长为 ．
15．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝ ．
16．（3分）已知扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm2，那么扇形的半径为 ．
17．（3分）已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的半径是 ．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点2﹣2x（0≤x≤2）的图象记为C1，它与x轴的交点为O、A1．将C1绕点A1旋转180°得到C2，点O的对称点为A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，点A1的对称点为A3；……，按此方法操作，直至得到C20，若P（，n）在C20上，则n的值为 ．
三、解答题（共6题，满分46分）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）．
20．（5分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）求出点A旋转到A1所经过的路线长．
21．（8分）如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率；
（2）直接写出点（m，n）落在函数y＝x2图象上的概率．
22．（8分）“低碳生活，绿色出行”，2017年1月
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，为了使利润最大，该商城应如何进货？
23．（8分）如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，与AB、AD分别相交于点E、F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，求正方形ABCD的边长．
24．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴于B、C两点2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A（﹣1，0）．点D为抛物线在第一象限内的一点，DQ交BC于点P，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP＝∠DPC；
（3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形？如果存在；如果不存在，请说明理由．
2022-2023学年云南大学附中星耀学校九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题[（每题3分.共12题，总分36分）
1．（3分）下列美丽的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个图形不是轴对称图形，不是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，是中心对称图形．
共有3个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，
故选：C．
2．（3分）从一定高度抛一个瓶盖100次，落地后盖面朝下的有55次，则下列说法中错误的是（ ）
A．盖面朝下的频数是55
B．盖面朝下的频率是0.55
C．盖面朝下的概率不一定是0.55
D．同样的试验做200次，落地后盖面朝下的有110次
【答案】D
【分析】根据频数、频率及用频率估计概率解答即可．
【解答】解：A、盖面朝下的频数是55；
B、盖面朝下的频率是，此选项正确；
C、盖面朝下的概率接近于0.55，此选项正确；
D、同样的试验做200次，不一定必须有110次；
故选：D．
3．（3分）对于函数y＝（x﹣2）2+5，下列结论错误的是（ ）
A．图象顶点是（2，5）
B．图象开口向上
C．图象关于直线x＝2对称
D．函数最大值为5
【答案】D
【分析】根据函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决．
【解答】解：∵函数y＝（x﹣2）2+5＝x2+4x﹣4，
∴该函数图象的顶点坐标是（2，5）；
a＝8＞0，该函数图象开口向上；
该函数图象关于直线x＝2对称，故选项C正确；
当x＝2时，该函数取得最小值y＝5；
故选：D．
4．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，A1B1恰好经过点B，则旋转角α的度数等（ ）
A．70° B．65° C．55° D．35°
【答案】A
【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝55°，
∵将△ABC绕点C逆时针旋转α角到△A1B1C的位置，
∴∠B5＝∠ABC＝55°，∠B1CA1＝∠ACB＝90°，
CB＝CB′，
∴∠CBB3＝∠B1＝55°，
∴∠α＝70°，
故选：A．
5．（3分）如图，点A，B，C，D，E均在⊙O上，∠CED＝30°，则∠BOD的度数为（ ）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】D
【分析】首先连接BE，由圆周角定理即可得∠BEC的度数，继而求得∠BED的度数，然后由圆周角定理，求得∠BOD的度数．
【解答】解：连接BE，
∵∠BEC＝∠BAC＝15°，∠CED＝30°，
∴∠BED＝∠BEC+∠CED＝45°，
∴∠BOD＝2∠BED＝90°．
故选：D．
6．（3分）已知函数y＝kx+b的图象如图所示，则一元二次方程x2+x+k﹣1＝0根的存在情况是（ ）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【答案】C
【分析】先根据函数y＝kx+b的图象可得；k＜0，再根据一元二次方程x2+x+k﹣1＝0中，Δ＝12﹣4×1×（k﹣1）＝5﹣4k＞0，即可得出答案．
【解答】解：根据函数y＝kx+b的图象可得；k＜0，
则一元二次方程x2+x+k﹣5＝0中，Δ＝15﹣4×1×（k﹣7）＝5﹣4k＞7，
则一元二次方程x2+x+k﹣1＝5根的存在情况是有两个不相等的实数根，
故选：C．
7．（3分）2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，则可列方程为（ ）
A．x（x﹣1）＝380 B．x（x﹣1）＝380
C．x（x+1）＝380 D．x（x+1）＝380
【答案】B
【分析】设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【解答】解：设参赛队伍有x支，则
x（x﹣1）＝380．
故选：B．
8．（3分）如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可使小灯泡发光，小灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与小灯泡发光的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，
∴小灯泡发光的概率为：＝．
故选：A．
9．（3分）如图，将半径为4cm的圆折叠后，圆弧恰好经过圆心（ ）
A．2 B．4cm C． D．
【答案】B
【分析】连接AO，过O作OD⊥AB，交于点D，交弦AB于点E，根据折叠的性质可知OE＝DE，再根据垂径定理可知AE＝BE，在Rt△AOE中利用勾股定理即可求出AE的长，进而可求出AB的长．
【解答】解：如图所示，
连接AO，过O作OD⊥AB，交，交弦AB于点E，
∵折叠后恰好经过圆心，
∴OE＝DE，
∵⊙O的半径为4，
∴OE＝OD＝，
∵OD⊥AB，
∴AE＝AB，
在Rt△AOE中，
AE＝＝＝2．
∴AB＝2AE＝4．
故选：B．
10．（3分）若方程x2﹣2x﹣1＝0的其中一个实数根为x1，则x1﹣的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2
【答案】D
【分析】根据根与系数的关系化简后运算即可．
【解答】解：x2﹣2x﹣5＝0，
x1+x6＝2，x1x4＝﹣1，
∴x1﹣＝x1+x6＝2，
故选：D．
11．（3分）如图，半径r＝2的⊙M在x轴上平移，当⊙M与直线y＝x+2相切时，圆心M的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（2，0）
C．（0，0）或（﹣6，0） D．（2，0）成（﹣6，0）
【答案】D
【分析】由于点M的位置不确定，需要考虑两种情况：①点M在直线AB左侧、②点M在直线AB右侧；解题的方法大致相同，过圆心作直线AB的垂线，在构建的直角三角形中，根据圆的半径和直角三角形中的特殊角，即可确定圆心P的坐标．
【解答】解：当y＝0时，0＝x+2，
解得x＝﹣2，
∴A（﹣2，2），
当x＝0时，y＝2，
∴B（6，2），
∴OA＝OB，
∵∠AOB＝90°，
∴∠BAO＝45°，
当⊙M从右向左运动时，⊙M与直线AB有两种相切情况．
第一种情况：如图，当⊙M1在直线AB的右侧与直线AB相切于点D3时，连接M1D1，则D3M1⊥AB，
在Rt△D1M3A中，∠M1AD1＝45°，D7M1＝，
∴AM1＝＝4，
∴OM1＝AM4﹣OA＝4﹣2＝2，
此时点M1的坐标为（2，7）；
第二种情况：如图，当⊙M2在直线AB的左侧与直线AB相切于点D2时，连接M8D2，则D2M4⊥AB，
在Rt△D2M2A中，∠M3AD2＝45°，D2M4＝，
所以AM2＝4，OM2＝OA+AM4＝2+4＝4，
即点M2的坐标为（﹣6，2）．
综上所述，点M的坐标为（2，0）．
故选：D．
12．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，0），y随x增大而增大；②抛物线一定过原点，ax2+bx+c＞0；④a﹣b+c＜0；⑤关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根为22+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根为1和﹣5．其中结论错误的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】①根据函数图象变化趋势进行解答；
②根据对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点，便可判断；
③根据﹣4＜x＜0时，抛物线在x轴上方，进行判断；
④根据当x＝﹣1时，y的函数值的位置进行判断；
⑤根据题意抛物线与直线y＝﹣m的交点为（2，﹣m），（﹣6，﹣m），由关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）有两个整数根，即可判断关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（0＜n＜m）的两个整数根x1，x2，满足﹣6＜x1＜﹣4，0＜x2＜2即可判断．
【解答】解：①由函数图象可知，当﹣2＜x＜0时，
则此小题结论错误，符合题意；
②∵对称轴为直线x＝﹣4，与x轴的一个交点坐标为（﹣4，
∴另个交点为（0，5），
则此小题结论正确，不合题意；
③由函数图象可知，当﹣4＜x＜0时，即ax5+bx+c＞0，
则此小题结论正确，不合题意；
④则函数图象可知，当x＝﹣1时，
则此小题结论错误，符合题意；
⑤由题意可知，抛物线与直线y＝﹣m的交点为（2，
∵对称轴为直线x＝﹣2，
∴另一个交点为（﹣6，﹣m），
∵8＜n＜m，
∴抛物线与直线y＝﹣n的交点的横坐标为﹣6＜x1＜﹣6，0＜x2＜5，
∴关于x的方程ax2+bx+c+n＝0（4＜n＜m）的两个整数根x1，x2，满足﹣2＜x1＜﹣4，8＜x2＜2，
∴这两个整数根为6和﹣5．
则此小题结论正确，不合题意；
故选：B．
二、填空鯴（每题3分，共6题，总分18分）
13．（3分）在一个不透明的袋子中装有红球和黑球共12个，每个球除颜色不同外其余都一样，任意换出一个球是黑球的概率为 9 个．
【答案】见试题解答内容
【分析】首先设袋中的红球有x个，根据题意得：＝，解此分式方程即可求得答案．
【解答】解：设袋中的红球有x个，
根据题意得：＝，
解得：x＝7，
即袋中的红球有9个．
故答案为：9．
14．（3分）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝2，那么AB的长为 2 ．
【答案】2．
【分析】由切线长定理知PA＝PB，根据已知条件即可判定△PAB是等边三角形，由此可求得AB的长．
【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，
∴PA＝PB，
∵∠P＝60°，
∴△PAB是等边三角形，
∴AB＝PA＝2，
故答案为：2．
15．（3分）x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+2b＝0的解，则2a+4b＝ ﹣2 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先把x＝1代入方程x2+ax+2b＝0得a+2b＝﹣1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值．
【解答】解：把x＝1代入方程x2+ax+5b＝0得1+a+6b＝0，
所以a+2b＝﹣2，
所以2a+4b＝2（a+2b）＝2×（﹣3）＝﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（3分）已知扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm2，那么扇形的半径为 24cm ．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用扇形面积公式直接代入求出r即可．
【解答】解：∵扇形的圆心角为150°，它的面积为240πcm2，
∴设扇形的半径为：r，则：240π＝，
解得：r＝24（cm），
故答案为：24cm．
17．（3分）已知直角三角形两条直角边的长是3和4，则其内切圆的半径是 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，然后运用直角三角形内切圆半径公式求解．
【解答】解：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c；
则：a＝3，b＝4；
由勾股定理，得：c＝；
∴r＝＝5．
故直角三角形内切圆的半径为1．
18．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点2﹣2x（0≤x≤2）的图象记为C1，它与x轴的交点为O、A1．将C1绕点A1旋转180°得到C2，点O的对称点为A2；将C2绕点A2旋转180°得到C3，点A1的对称点为A3；……，按此方法操作，直至得到C20，若P（，n）在C20上，则n的值为 ．
【答案】．
【分析】求出C2的表达式为：y＝﹣（x﹣3）2+1，由题意得，C2运动到C20相当于向右平移了4×9＝36，得到C20的表达式为：y＝﹣（x﹣39）2+1，即可求解．
【解答】解：令y＝x2﹣2x＝5，则x＝0或2，
当x＝7时，y＝x2﹣2x＝﹣2，
即点C1的顶点坐标为：（1，﹣6），
则C2顶点坐标为：（3，﹣4），
则C2的表达式为：y＝﹣（x﹣3）7+1，
由题意得，C2运动到C20相当于向右平移了2×9＝36，
则C20的表达式为：y＝﹣（x﹣39）2+8，
则n＝y＝﹣（﹣39）2+6＝，
故答案为：．
三、解答题（共6题，满分46分）
19．（8分）解方程：
（1）x2﹣4x+1＝0；
（2）2（x﹣3）2＝x（x﹣3）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）方程移项后，利用因式分解法求出解即可．
【解答】解：（1）方程移项得：x2﹣4x＝﹣3，
配方得：x2﹣4x+3＝3，即（x﹣2）8＝3，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
（2）方程移项得：2（x﹣3）2﹣x（x﹣3）＝0，
分解因式得：（x﹣4）（2x﹣6﹣x）＝6，
解得：x1＝3，x4＝6．
20．（5分）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1；
（2）求出点A旋转到A1所经过的路线长．
【答案】（1）见解析；
（2）π．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）利用弧长公式求解．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C2即为所求；
（2）点A旋转到A1所经过的路线长＝＝π．
21．（8分）如图，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m，乙转盘中指针所指区域内的数字为n（若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．
（1）请你用画树状图或列表格的方法求出|m+n|＞1的概率；
（2）直接写出点（m，n）落在函数y＝x2图象上的概率．
【答案】（1）．
（2）．
【分析】（1）画树状图得出所有等可能的结果数以及|m+n|＞1的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）由树状图可得出所有等可能的结果数以及点（m，n）落在函数y＝x2图象上的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中满足|m+n|＞1的结果有：（﹣2，（﹣3，（﹣1，（1，（4，共5种，
∴|m+n|＞1的概率为．
（2）由树状图可知，共有12种等可能的结果，
其中满足点（m，n）落在函数y＝x2图象上的结果有：（﹣1，5），1），
∴点（m，n）落在函数y＝x2图象上的概率为＝．
22．（8分）“低碳生活，绿色出行”，2017年1月
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆．请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，为了使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）设平均增长率为x，根据1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆列出方程，再求解即可；
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车100﹣m辆，根据不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，列出不等式，求出m的取值范围，然后求出利润W的表达式，根据一次函数的性质求解即可．
【解答】解：（1）设平均增长率为x，根据题意得：
640（x+1）2＝1000，
解得：x＝3.25＝25%或x＝﹣2.25（不合题意，舍去），
则四月份的销量为：1000（1+25%）＝1250辆，
答：该公司8月份在深圳市新投放共享单车1250辆；
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车100﹣m辆，
根据题意得：500m+1000（100﹣m）≤70000，
解得：m≥60．
利润W＝（700﹣500）m+（1300﹣1000）（100﹣m）＝200m+300（100﹣m）＝﹣100m+30000，
∵﹣100＜0，
∴W随着m的增大而减小．
当m＝60时，利润最大＝﹣100×60+30000＝24000，
答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车．
23．（8分）如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，与AB、AD分别相交于点E、F．
（1）求证：CD与⊙O相切；
（2）若⊙O的半径为，求正方形ABCD的边长．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）连接OM，过点O作ON⊥CD，垂足为N，根据正方形性质推出∠ACB＝∠ACD，根据角平分线性质推出OM＝ON即可；
（2）设正方形ABCD的边长为a，证△COM∽△CAB得出比例式，代入求出即可．
【解答】（1）证明：连接OM，过点O作ON⊥CD，
∵⊙O与BC相切于M，
∴OM⊥BC，
∵正方形ABCD中，AC平分∠BCD，
又∵ON⊥CD，OM⊥BC
∴OM＝ON
∴CD与⊙O相切．
（2）解：设正方形ABCD的边长为a，
∵∠OCM＝∠ACB，∠OMC＝∠B＝90°，
∴△COM∽△CAB，
∴，
∴
解得，
∴正方形ABCD的边为．
24．（9分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3交坐标轴于B、C两点2+bx+3经过B、C两点，且交x轴于另一点A（﹣1，0）．点D为抛物线在第一象限内的一点，DQ交BC于点P，交x轴于点Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，在点D的移动过程中，存在∠DCP＝∠DPC；
（3）在抛物线上取点E，在平面直角坐标系内取点F，问是否存在以C、B、E、F为顶点且以CB为边的矩形？如果存在；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）m＝2；
（3）存在，此时点F的坐标为（4，1）或（﹣5，﹣2）．
【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点B，C的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
（2）先根据OB＝OC＝3求出∠OCB＝∠OBC＝∠BPQ＝∠DPC＝45°，从而可得∠DCO＝90°，再根据平行线的判定可得CD∥AB，从而可得点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3，由此即可得；
（3）设点F的坐标为F（s，t），分两种情况：①四边形BCEF是矩形，②四边形BCFE是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点E的坐标，再根据矩形的性质求解即可得．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+3交坐标轴与B、C两点，
∴点B（3，6），3），
∵抛物线y＝ax2+bx+6经过B、C两点，0），
，
∴，
∴抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+5；
（2）解：∵B（3，0），3），
∴OB＝OC＝3，
∴∠OCB＝∠OBC＝∠BPQ＝∠DPC＝45°，
∵∠DCP＝∠DPC（已知），
∴∠DCO＝∠DCP+∠OCB＝90°，
∵∠AOC＝90°，
∴CD∥AB（内错角相等，两直线平行），
∴点D的纵坐标与点C的纵坐标相同，即为3，
当y＝5时，﹣x2+2x+6＝3，
解得x＝2或x＝4（舍去），
则m＝2；
（3）存在，求解如下：
设点F的坐标为F（s，t），
①当四边形BCEF是矩形时，则CE⊥BC，
∵直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∴设直线CE的解析式为y＝x+c，
把点C（2，3）代入得：c＝3，
∴直线CE的解析式为：y＝x+6，
联立，
解得：或（即为点C，
∴E（8，4），
∵四边形BCEF是矩形，且B（3，C（8，E（1，
∴，
解得，
则此时点F的坐标为F（4，8）；
②当四边形BCFE是矩形时，则BE⊥BC，
设直线BE的解析式为y＝x+n，
将点B（3，0）代入得：3+n＝0，
解得：n＝﹣3，
则直线BE的解析式为y＝x﹣6，
联立，
解得：或（即为点B，
∴E（﹣3，﹣5），
∵四边形BCFE是矩形，且B（3，C（2，E（﹣2，
∴，
解得：，
则此时点F的坐标为F（﹣5，﹣2），
综上，存在以C、B、E，此时点F的坐标为（4，﹣2）．
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