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3.4 函数的应用（一）一课一练
一、单选题
1．已知函数，则 =（ ）
A． B． C．-8 D．8
2．若函数 在（﹣∞，+∞）上单调递增，则的取值范围是（ ）
A．[4，8） B．（1，+∞） C．（4，8） D．（1，8）
3．已知 ，则 的值为（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．3
4．已知函数 ，其中a，b是常数，若对 x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），则a+b=（ ）
A．﹣6 B． C．﹣1 D．
5．已知函数 的值域为 ，那么实数 的取值范围是（ ）
A． B．[-1，2） C．（0，2） D．
6．已知 ，且 ，若存在 , ，使得 成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知 ，方程 有三个实根 ，若 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．对于函数，下列结论中正确的是（ ）
A．任取，都有
B．，其中；
C．对一切恒成立；
D．函数有3个零点；
9．已知，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．已知函数 若 ，则实数 .
11．已知 ，满足对于任意实数 ，都有 成立，则实数 的取值范围为 ．
12．狄利克雷是德国著名数学家，函数D（x）= 被称为狄利克雷函数，下面给出关于狄利克雷函数D（x）的五个结论：
①若x是无理数，则D（D（x））=0；
②函数D（x）的值域是[0，1]；
③函数D（x）偶函数；
④若T≠0且T为有理数，则D（x+T）=D（x）对任意的x∈R恒成立；
⑤存在不同的三个点A（x1，D（x1）），B（x2，D（x2）），C（x3，D（x3）），使得△ABC为等边角形．
其中正确结论的序号是 ．
四、解答题
13．设 求满足 的x的值．
14．已知函数f（x）= ．
（1）在直角坐标系中画出该函数图象的草图；
（2）根据函数图象的草图，求函数y=f（x）值域，单调区间及零点．
答案解析部分
1．【答案】D
【解析】【分析】所以选D
【点评】对于分段函数求值问题，只要看清范围，代入相应的函数表达式即可.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：要使函数在（﹣∞，+∞）上单调递增，
需有 ，解得4≤a＜8．
∴a的取值范围是[4，8）．
故选：A．
【分析】由已知可知两段函数均为定义域内的增函数，且第二段的最大值小于等于a，联立不等式组得答案．
3．【答案】C
【解析】【解答】由题意得 ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】两次利用代入法，首先求出f(-3)，再求出f[f(-3)]的值。
4．【答案】D
【解析】【解答】解：若对 x∈R，都有f（1﹣x）=f（1+x），
可得函数f（x）的图象关于直线x=1对称，
当x≤1时，f（x）=2x+a，
由对称性可得，
当x＞1时，可得f（x）=f（2﹣x）=2（2﹣x）+a=4+a﹣2x，
由x＞1时，可得f（x）=bx﹣2a，
即有b=﹣2，4+a=﹣2a，解得a=﹣ ．
则a+b=﹣ ．
故答案为：D．
【分析】由f（1﹣x）=f（1+x）得到函数f（x）的图象关于直线x=1对称，再讨论x≤1时，x＞1时得到a，b的值。
5．【答案】B
【解析】【解答】解：因为函数 的值域为 ，而 的值域为 ，
所以 ，解得 ，
故答案为：B
【分析】 根据分段函数的值域为R，具有连续性，由 是增函数，可得y= (2-a) x+3a也是增函数，故得 ，可得答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】∵
A＞0且a≠1，且1﹣2a＞0，1﹣2a≠1，
即 ，
此时当x≤1时，函数为减函数，当x=1时，函数取最小值1﹣2a；
当x＞1时，函数为减函数，当x=1时，函数取上边界值 ；
若存在x1，x2∈R，x1≠x2，使得f（x1）=f（x2）成立，
1﹣2a＜ ，解得：a> ，
综上可得：a∈
故答案为：B．
【分析】先由已知分段函数得，再讨论x的范围，当x≤1时和当x＞1时，函数为减函数，分别研究函数的最值，即可求出 的取值范围 .
7．【答案】B
【解析】【解答】由1﹣x2≥0得x2≤1，则﹣1≤x≤1， ，
当x＜0时，由f（x）＝2 ，即﹣2x＝2 ．
得x2＝1﹣x2，即2x2＝1，x2 ，则x ，
①当﹣1≤x 时，有f（x）≥2 ，
原方程可化为f（x）+2 f（x）﹣2 2ax﹣4＝0，
即﹣4x﹣2ax﹣4＝0，得x ，由﹣1
解得：0≤a≤2 2．
②当 x≤1时，f（x）＜2 ，原方程可化为4 2ax﹣4＝0，
化简得（a2+4）x2+4ax＝0，解得x＝0，或x ，
又0≤a≤2 2，∴ 0．
∴x1 ，x2 ，x3＝0．
由x3﹣x2＝2（x2﹣x1），得 2（ ），
解得a （舍）或a ．
因此，所求实数a ．
故答案为：B．
【分析】根据题意即可判断出f（x）≥2 ，由此化简方程求出x1 ，x2 ，x3＝0，从而整理即可得到a的值。
8．【答案】A,C,D
【解析】【解答】作出函数的图象如图所示.所以.
对于A：任取，都有.A符合题意；
对于B：因为，所以.B不符合题意；
对于C：由，得到，即.C符合题意；
对于D：函数的定义域为.作出和的图象如图所示：
当时，；
当时，函数与函数的图象有一个交点；
当时，因为，，所以函数与函数的图象有一个交点，所以函数有3个零点.D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】作出函数的图象， 利用图象求出f(x)max，f(x)min即可判断A；
直接求出，即可判断B；由，求得，即可判断C；作出和的图象，判断出函数有3个零点，可判断D.
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】由题意可知表示中的最小值，表示中的最大值，
所以，分别去中的一个最小值与一个最大值，
所以，A符合题意；
对于B，当，则，
，所以，
当时，，，所以，
综上，B符合题意；
对C，当，即时，
，
当，即时，
，
综上，C不符合题意；
对于D，当，即时，
，因为，所以，
即，
当，即时，
，因为，所以，
即，
综上，D符合题意.
故答案为：ABD.
【分析】利用 ，结合函数求最值的方法，再结合绝对值的性质和比较法，从而找出正确的选项。
10．【答案】-1或16
【解析】【解答】当 时，由题意知， ，解得 符合题意；
当 时，由题意知， ，
解得 （舍）， 符合题意；
综上可知，实数a的值为16或-1.
故答案为： 16或-1.
【分析】直接利用分段函数的解析式，分两种情况分别求解，即可求出实数a的值。
11．【答案】
【解析】【解答】解：对任意的实数 ，都有 成立，
可得函数图象上任意两点连线的斜率小于 ，说明函数是减函数，
可得： ，
计算得出 ．
【分析】由题意知分段函数为减函数，需注意接点处的不等关系，列出不等式，即可得出答案。
12．【答案】②③④
【解析】【解答】解：①∵当x为有理数时，D（x）=1；当x为无理数时，D（x）=0，
∴当x为有理数时，D（D（x））=D（1）=1；当x为无理数时，D（D（x））=D（0）=1，
即不管x是有理数还是无理数，均有D（D（x））=1，故①不正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意x∈R，都有D（﹣x）=D（x），故②正确；
③若x是有理数，则x+T也是有理数；若x是无理数，则x+T也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数T，D（x+T）=D（x）对x∈R恒成立，故③正确；
④取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得D（x1）=0，D（x2）=1，D（x3）=0，
∴A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC为等边三角形，故④正确．
即真命题是②③④，
故答案为：②③④．
【分析】①，根据函数的对应法则，可得不管x是有理数还是无理数，均有f（f（x））=1，从而可判断①；②，根据函数奇偶性的定义，可得f（x）是偶函数，可判断②；③，根据函数的表达式，结合有理数和无理数的性质，得f（x+T）=f（x），可判断③；④，取x1=﹣ ，x2=0，x3= ，可得A（ ，0），B（0，1），C（﹣ ，0），恰好△ABC为等边三角形恰好构成等边三角形，可判断④．
13．【答案】解：根据题意，
若 ，
当x≤1时，由 ，解得x=log32，
当x＞1时，由 ，解得x=4，
所以x=log32或x=4
【解析】【分析】分段函数已知函数值求解自变量，需分段讨论自变量范围，在各范围内解方程，符合范围的根可作为自变量的值.
14．【答案】（1）解：如图所示
（2）解：由（1）中草图得函数y=f（x）的值域为R，
单调递增区间为（﹣∞，0），（1，+∞）；单调递减区间为（0，1），
函数的零点为x=±1．
【解析】【分析】（1）直接描点画图即可，（2）由草图可知函数y=f（x）值域，单调区间及零点
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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