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第四章 指数函数与对数函数综合测试题
一、单选题
1．已知 ，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
4．化简的结果为 （ ）
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
5．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知全集U=R，集合A=，，则( )
A．(0，1] B．
C． D．(0，1)
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
9．函数的零点所在的大致区间是 ( )
A．(6，7) B．(7，8) C．(8，9) D．(9，10)
10．若，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>a>c B．a>b>c C．c>a>b D．a>c>b
11．计算： （ ）
A． B． C． D．
12．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知函数 ，若函数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．设，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
15．设函数若实数满足，且，则下列结论恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数 ，函数 ，下列选项正确的是（ ）
A．点 是函数 的零点
B． ， ，使
C．函数 的值域为
D．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
三、填空题
17．已知函数，则 ．
18．若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
19．已知函数 ，若存在 ，使得 在 上恰有两个零点，则实数 的最小值是 .
四、解答题
20．定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当0＜x≤1时，f（x）= ，
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（2）判断并证明f（x）在[﹣1，0）上的单调性；
（3） 当x∈（0，1]时，方程 ﹣2x﹣m=0有解，试求实数m的取值范围．
21．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”
（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；
（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时， ；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．
22．已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
（2）讨论函数 的奇偶性；
（3）证明：函数 在定义域上单调递减.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】当 时， ，所以 恒成立，
当 时， ，
即 ，
综上： 的范围是 .
故答案为：A
【分析】分 和 两种情况解不等式.
2．【答案】B
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】求解出集合 ，根据并集的定义求得结果.
3．【答案】B
【解析】【解答】解： ，
， ，
．
故答案为：B．
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，得出 ，即可判断 ， ， 的大小关系．
4．【答案】C
【解析】【解答】== ·= a4，故选C。
【分析】易错题，须细心计算。
5．【答案】B
【解析】【解答】解： ， ， ，根据对数函数的单调性故 .
故答案为：B.
【分析】结合题意由指对互花公式，结合对数函数的单调性即可比较出大小。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：在同一坐标系内分别作出 以及 的图象，因为 ，所以 ．
故答案为：A
【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点得出结论。
7．【答案】A
【解析】【分析】因为
所以，选.
8．【答案】A
【解析】【解答】因为，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】化简，，，进而得到的大小关系，得到答案.
9．【答案】D
【解析】【分析】因为，所以函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是(9，10)。选D
【点评】函数的图像在闭区间是连续不断的，且，则函数在上有零点。零点存在性定理只能判断函数在上有零点但没有判断出零点的个数。
10．【答案】A
【解析】【解答】，， ，所以，故选A.
【分析】比较大小一般的思路是先研究函数的单调性，再结合不等式的性质来求解，属于基础题。
11．【答案】C
【解析】【解答】原式
.
故答案为：C
【分析】根据指数和对数的运算性质计算可得.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，
在同一坐标系中作出y=（ ）x．与y=|log0.5x|，如图，
由图可得零点的个数为2．
故选B．
【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
13．【答案】C
【解析】【解答】函数y＝f（f（x））+1的零点，
即方程f[f（x）]＝﹣1的解个数，
⑴当a＝0时，f（x） ，
当x＞1时，x ，f（f（x））＝﹣1成立，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解
当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，
当x≤0时，f（x）＝1，f（f（x））＝0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，
∴f（f（x））＝﹣1有1解，
故a＝0不符合题意，
⑵当a＞0时，
当x＞1时，x ，f（f（x））＝﹣1成立，
当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解，
当 x≤0时，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））＝﹣1有1解，
当x 时，f（x）＜0，∴f（f（x））＝﹣1有1解，
故，f（f（x））＝﹣1有4解，
⑶当a＜0时，
当x＞1时，x ，f（f（x））＝﹣1成立，∴f（f（x））＝﹣1有1解，
当0＜x≤1时，f（x）≤0． ，成立， 方程f[f（x）]＝﹣1无解，
当x≤0时，f（x）≥1， ，成立， 方程f[f（x）]＝﹣1无解，
故f（f（x））＝﹣1有1解，不符合题意，
综上：a＞0
故答案为：C
【分析】函数y＝f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x）]＝﹣1的解的个数，结合函数f（x）图象，分类讨论判断，求解方程可得答案．
14．【答案】A,C
【解析】【解答】对于A，因为，所以A符合题意；
对于B，因为，所以B不符合题意；
对于C，因为，所以，而ab＜0，所以a+b<0，所以C符合题意；
对于D，，
所以D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】首先由对数的运算性质整理化简原式，结合对数的运算性质由不等式的简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。
15．【答案】A,C,D
【解析】【解答】由题意，函数，作出函数的图象，如图所示，
根据图象可得，即，
设，则，
因为，则，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，令时，可得，所以B不正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，由，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意由对数函数的图象结合绝对值的几何意义，整理化简即可得出函数的解析式，由此结合对数函数的图象即可作出函数f(x)的图象，然后由数形结合法即可得出，再由指数幂的运算性质以及指数函数的性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
16．【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A，零点不是一个点，所以A不符合题意；
对于B，当 时， ，则 ，
由 得 ；由 得 ；
所以 在 上单调递增；在 上单调递减；
所以 时， 单调递增，则 ；
当 时， ，则 ，
由 得 ；由 得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 时， ，即 ；
所以 ， ，使 ，即B符合题意；
对于C，由B中判断的函数的单调性，可得 和 为两个极小值；
且 ；所以 ，则 的值域为 ，C符合题意.
对于D， ，若 ，则 ；
则关于 的方程 有两个不相等的实数根
关于 的方程 有两个不相等的实数根
关于 的方程 有一个非零的实数根
函数 与 有一个交点，且 ，
当 时， ，当 变化时， ， 的变化情况如下：
-2 0
0 0
极大值 极小值
极大值 ，极小值 ；
当 时，
当 变化时， ， 的变化情况如下：
1 2
0
极小值
极小值 ，
画出函数 大致图像如下，
由图像可得，只需 或 ，
即 的取值范围是 ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据零点的概念，可判断A不符合题意；根据导数的方法判定 单调，求出 ，以及 时的值域，即可判断B符合题意；根据B中函数单调性，即可判断出C符合题意；根据题中条件，得到函数 与 有一个交点，且 ，用导数的方法判定函数 单调性，求出极值，结合函数图象，即可得出结果.
17．【答案】2
【解析】【解答】由题意可得： .
故答案为：2.
【分析】根据分段函数结合对数的定义运算求解.
18．【答案】
【解析】【解答】当 时， ，即函数 在区间 上的值域为 .
由于函数 的值域为 ，则函数 在区间 上单调递减，
且有 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求出函数 在区间 上的值域为 ，从而可得出函数 在区间 上单调递减，且有 ，得出关于实数 的不等式组，解出即可.
19．【答案】
【解析】【解答】因为函数 , 在 上恰有两个零点，
则必在 与 时恰好取到零点的边界，
若 时, 的零点满足 ，
解方程求得 或 ，
当 时, ,满足 在 上恰有两个零点，
则 ,且 ，
解方程可得 (舍)或 (舍)，
当 时, ,满足 在 上恰有两个零点，
则 ,且 ，
解方程可得 (舍)或 ，
综上可知,当 时满足 在 上恰有两个零点。
故答案为: 。
【分析】因为函数 , 在 上恰有两个零点，则必在 与 时恰好取到零点的边界，再利用分类讨论的方法结合零点存在性定理，从而求出实数b的最小值。
20．【答案】（1）解：设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，
f（﹣x）= = ，
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣ ，
∴f（x）=
（2）解：设﹣1＜x1﹣x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）=﹣ + = ，
∵x1＜x2，∴ ﹣ ＜0，﹣2＜x1+x2＜0，
∴ ﹣1＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[﹣1，0）递减
（3）解：方程 ﹣2x﹣m=0有解， 即m=4x+1﹣2x在（0，1]上有解，
令2x=t，t∈（1，2]，
t2﹣t+1∈（1，3]，
∴m∈（1，3]
【解析】【分析】1、本题考查的是函数奇偶性的应用以及解析式的求法。
2、本题考查的是用定义证明函数的单调性。
3、本题考查的是复合函数根的存在情况。
21．【答案】（1）解：由f（x）=x2及f（a+x）=kf（a﹣x），可得
（a+x）2=k（a﹣x）2，即为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，
需满足条件 ，解得 ，故k=1≠0，a存在，
所以f（x）=x2∈M
（2）解：由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），
sinacosx+cosasinx=k（sinacosx﹣cosasinx），
所以（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，
sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，
即cos2a=﹣ （k+ ），由于|k+ |≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），
所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．
其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+ ，n∈Z；
k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．
故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+ ，1）和（nπ，﹣1），n∈Z
（3）解：因为（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，
所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），于是f（x+4）=f（x），
故函数f（x）是以4为周期的函数．
若0＜x＜1，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos（ x），
若2＜x＜3，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos（ x），
若3＜x＜4，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos（ x），
f（x）= 故f（x）=
当2014≤x≤2016时，函数f（x）的零点分别为2014，2015，2016
【解析】【分析】（1）由题意可得（a+x）2=k（a﹣x）2，化为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，
需满足条件 ，解方程即可判断；（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（a﹣x），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；（3）由（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点．
22．【答案】（1）解：令 ，可得 ，即 ，解得
函数 的定义域为
（2）解：由（1）知函数 的定义域关于原点对称
由 ，可得函数 为奇函数
（3）解：设
设
∵
∴
∴
利用对数函数 在 上单调递增有，
即
故函数 在 上单调递减．
【解析】【分析】（1）利用对数型函数求定义域的方法，结合分式不等式的解法，从而求出函数 的定义域 ；
（2） 由（1）知函数 的定义域关于原点对称 ，利用奇函数的判断方法，从而讨论出函数 的奇偶性；
（3）利用复合函数的单调性判断方法，即同增异减，从而证出函数 在定义域上单调递减.
第四章 指数函数与对数函数综合测试题
一、单选题
1．已知 ，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
4．化简的结果为 （ ）
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
5．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知全集U=R，集合A=，，则( )
A．(0，1] B．
C． D．(0，1)
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
9．函数的零点所在的大致区间是 ( )
A．(6，7) B．(7，8) C．(8，9) D．(9，10)
10．若，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>a>c B．a>b>c C．c>a>b D．a>c>b
11．计算： （ ）
A． B． C． D．
12．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知函数 ，若函数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．设，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
15．设函数若实数满足，且，则下列结论恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数 ，函数 ，下列选项正确的是（ ）
A．点 是函数 的零点
B． ， ，使
C．函数 的值域为
D．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
三、填空题
17．已知函数，则 ．
18．若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
19．已知函数 ，若存在 ，使得 在 上恰有两个零点，则实数 的最小值是 .
四、解答题
20．定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当0＜x≤1时，f（x）= ，
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（2）判断并证明f（x）在[﹣1，0）上的单调性；
（3） 当x∈（0，1]时，方程 ﹣2x﹣m=0有解，试求实数m的取值范围．
21．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”
（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；
（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时， ；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．
22．已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
（2）讨论函数 的奇偶性；
（3）证明：函数 在定义域上单调递减.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】当 时， ，所以 恒成立，
当 时， ，
即 ，
综上： 的范围是 .
故答案为：A
【分析】分 和 两种情况解不等式.
2．【答案】B
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】求解出集合 ，根据并集的定义求得结果.
3．【答案】B
【解析】【解答】解： ，
， ，
．
故答案为：B．
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，得出 ，即可判断 ， ， 的大小关系．
4．【答案】C
【解析】【解答】== ·= a4，故选C。
【分析】易错题，须细心计算。
5．【答案】B
【解析】【解答】解： ， ， ，根据对数函数的单调性故 .
故答案为：B.
【分析】结合题意由指对互花公式，结合对数函数的单调性即可比较出大小。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：在同一坐标系内分别作出 以及 的图象，因为 ，所以 ．
故答案为：A
【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点得出结论。
7．【答案】A
【解析】【分析】因为
所以，选.
8．【答案】A
【解析】【解答】因为，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】化简，，，进而得到的大小关系，得到答案.
9．【答案】D
【解析】【分析】因为，所以函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是(9，10)。选D
【点评】函数的图像在闭区间是连续不断的，且，则函数在上有零点。零点存在性定理只能判断函数在上有零点但没有判断出零点的个数。
10．【答案】A
【解析】【解答】，， ，所以，故选A.
【分析】比较大小一般的思路是先研究函数的单调性，再结合不等式的性质来求解，属于基础题。
11．【答案】C
【解析】【解答】原式
.
故答案为：C
【分析】根据指数和对数的运算性质计算可得.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，
在同一坐标系中作出y=（ ）x．与y=|log0.5x|，如图，
由图可得零点的个数为2．
故选B．
【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
13．【答案】C
【解析】【解答】函数y＝f（f（x））+1的零点，
即方程f[f（x）]＝﹣1的解个数，
⑴当a＝0时，f（x） ，
当x＞1时，x ，f（f（x））＝﹣1成立，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解
当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，
当x≤0时，f（x）＝1，f（f（x））＝0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，
∴f（f（x））＝﹣1有1解，
故a＝0不符合题意，
⑵当a＞0时，
当x＞1时，x ，f（f（x））＝﹣1成立，
当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解，
当 x≤0时，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））＝﹣1有1解，
当x 时，f（x）＜0，∴f（f（x））＝﹣1有1解，
故，f（f（x））＝﹣1有4解，
⑶当a＜0时，
当x＞1时，x ，f（f（x））＝﹣1成立，∴f（f（x））＝﹣1有1解，
当0＜x≤1时，f（x）≤0． ，成立， 方程f[f（x）]＝﹣1无解，
当x≤0时，f（x）≥1， ，成立， 方程f[f（x）]＝﹣1无解，
故f（f（x））＝﹣1有1解，不符合题意，
综上：a＞0
故答案为：C
【分析】函数y＝f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x）]＝﹣1的解的个数，结合函数f（x）图象，分类讨论判断，求解方程可得答案．
14．【答案】A,C
【解析】【解答】对于A，因为，所以A符合题意；
对于B，因为，所以B不符合题意；
对于C，因为，所以，而ab＜0，所以a+b<0，所以C符合题意；
对于D，，
所以D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】首先由对数的运算性质整理化简原式，结合对数的运算性质由不等式的简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。
15．【答案】A,C,D
【解析】【解答】由题意，函数，作出函数的图象，如图所示，
根据图象可得，即，
设，则，
因为，则，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，令时，可得，所以B不正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，由，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意由对数函数的图象结合绝对值的几何意义，整理化简即可得出函数的解析式，由此结合对数函数的图象即可作出函数f(x)的图象，然后由数形结合法即可得出，再由指数幂的运算性质以及指数函数的性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
16．【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A，零点不是一个点，所以A不符合题意；
对于B，当 时， ，则 ，
由 得 ；由 得 ；
所以 在 上单调递增；在 上单调递减；
所以 时， 单调递增，则 ；
当 时， ，则 ，
由 得 ；由 得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 时， ，即 ；
所以 ， ，使 ，即B符合题意；
对于C，由B中判断的函数的单调性，可得 和 为两个极小值；
且 ；所以 ，则 的值域为 ，C符合题意.
对于D， ，若 ，则 ；
则关于 的方程 有两个不相等的实数根
关于 的方程 有两个不相等的实数根
关于 的方程 有一个非零的实数根
函数 与 有一个交点，且 ，
当 时， ，当 变化时， ， 的变化情况如下：
-2 0
0 0
极大值 极小值
极大值 ，极小值 ；
当 时，
当 变化时， ， 的变化情况如下：
1 2
0
极小值
极小值 ，
画出函数 大致图像如下，
由图像可得，只需 或 ，
即 的取值范围是 ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据零点的概念，可判断A不符合题意；根据导数的方法判定 单调，求出 ，以及 时的值域，即可判断B符合题意；根据B中函数单调性，即可判断出C符合题意；根据题中条件，得到函数 与 有一个交点，且 ，用导数的方法判定函数 单调性，求出极值，结合函数图象，即可得出结果.
17．【答案】2
【解析】【解答】由题意可得： .
故答案为：2.
【分析】根据分段函数结合对数的定义运算求解.
18．【答案】
【解析】【解答】当 时， ，即函数 在区间 上的值域为 .
由于函数 的值域为 ，则函数 在区间 上单调递减，
且有 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求出函数 在区间 上的值域为 ，从而可得出函数 在区间 上单调递减，且有 ，得出关于实数 的不等式组，解出即可.
19．【答案】
【解析】【解答】因为函数 , 在 上恰有两个零点，
则必在 与 时恰好取到零点的边界，
若 时, 的零点满足 ，
解方程求得 或 ，
当 时, ,满足 在 上恰有两个零点，
则 ,且 ，
解方程可得 (舍)或 (舍)，
当 时, ,满足 在 上恰有两个零点，
则 ,且 ，
解方程可得 (舍)或 ，
综上可知,当 时满足 在 上恰有两个零点。
故答案为: 。
【分析】因为函数 , 在 上恰有两个零点，则必在 与 时恰好取到零点的边界，再利用分类讨论的方法结合零点存在性定理，从而求出实数b的最小值。
20．【答案】（1）解：设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，
f（﹣x）= = ，
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣ ，
∴f（x）=
（2）解：设﹣1＜x1﹣x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）=﹣ + = ，
∵x1＜x2，∴ ﹣ ＜0，﹣2＜x1+x2＜0，
∴ ﹣1＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[﹣1，0）递减
（3）解：方程 ﹣2x﹣m=0有解， 即m=4x+1﹣2x在（0，1]上有解，
令2x=t，t∈（1，2]，
t2﹣t+1∈（1，3]，
∴m∈（1，3]
【解析】【分析】1、本题考查的是函数奇偶性的应用以及解析式的求法。
2、本题考查的是用定义证明函数的单调性。
3、本题考查的是复合函数根的存在情况。
21．【答案】（1）解：由f（x）=x2及f（a+x）=kf（a﹣x），可得
（a+x）2=k（a﹣x）2，即为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，
需满足条件 ，解得 ，故k=1≠0，a存在，
所以f（x）=x2∈M
（2）解：由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），
sinacosx+cosasinx=k（sinacosx﹣cosasinx），
所以（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，
sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，
即cos2a=﹣ （k+ ），由于|k+ |≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），
所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．
其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+ ，n∈Z；
k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．
故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+ ，1）和（nπ，﹣1），n∈Z
（3）解：因为（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，
所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），于是f（x+4）=f（x），
故函数f（x）是以4为周期的函数．
若0＜x＜1，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos（ x），
若2＜x＜3，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos（ x），
若3＜x＜4，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos（ x），
f（x）= 故f（x）=
当2014≤x≤2016时，函数f（x）的零点分别为2014，2015，2016
【解析】【分析】（1）由题意可得（a+x）2=k（a﹣x）2，化为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，
需满足条件 ，解方程即可判断；（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（a﹣x），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；（3）由（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点．
22．【答案】（1）解：令 ，可得 ，即 ，解得
函数 的定义域为
（2）解：由（1）知函数 的定义域关于原点对称
由 ，可得函数 为奇函数
（3）解：设
设
∵
∴
∴
利用对数函数 在 上单调递增有，
即
故函数 在 上单调递减．
【解析】【分析】（1）利用对数型函数求定义域的方法，结合分式不等式的解法，从而求出函数 的定义域 ；
（2） 由（1）知函数 的定义域关于原点对称 ，利用奇函数的判断方法，从而讨论出函数 的奇偶性；
（3）利用复合函数的单调性判断方法，即同增异减，从而证出函数 在定义域上单调递减.
第四章 指数函数与对数函数综合测试题
一、单选题
1．已知 ，那么 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．设集合 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．已知 ， ， ，则实数 ， ， 的大小关系是
A． B． C． D．
4．化简的结果为 （ ）
A．a16 B．a8 C．a4 D．a2
5．已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
6．若 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知全集U=R，集合A=，，则( )
A．(0，1] B．
C． D．(0，1)
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）．
A． B． C． D．
9．函数的零点所在的大致区间是 ( )
A．(6，7) B．(7，8) C．(8，9) D．(9，10)
10．若，则a，b，c的大小关系为( )
A．b>a>c B．a>b>c C．c>a>b D．a>c>b
11．计算： （ ）
A． B． C． D．
12．函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知函数 ，若函数 有四个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
14．设，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
15．设函数若实数满足，且，则下列结论恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
16．已知函数 ，函数 ，下列选项正确的是（ ）
A．点 是函数 的零点
B． ， ，使
C．函数 的值域为
D．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是
三、填空题
17．已知函数，则 ．
18．若函数 的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
19．已知函数 ，若存在 ，使得 在 上恰有两个零点，则实数 的最小值是 .
四、解答题
20．定义在[﹣1，1]上的奇函数f（x）满足当0＜x≤1时，f（x）= ，
（1）求f（x）在[﹣1，1]上的解析式；
（2）判断并证明f（x）在[﹣1，0）上的单调性；
（3） 当x∈（0，1]时，方程 ﹣2x﹣m=0有解，试求实数m的取值范围．
21．已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体，存在实数a、k（k≠0），对于定义域内的任意x均有f（a+x）=kf（a﹣x）成立，称数对（a，k）为函数f（x）的“伴随数对”
（1）判断f（x）=x2是否属于集合M，并说明理由；
（2）若函数f（x）=sinx∈M，求满足条件的函数f（x）的所有“伴随数对”；
（3）若（1，1），（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，当1≤x＜2时， ；当x=2时，f（x）=0．求当2014≤x≤2016时，函数y=f（x）的零点．
22．已知函数 .
（1）求函数 的定义域；
（2）讨论函数 的奇偶性；
（3）证明：函数 在定义域上单调递减.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】当 时， ，所以 恒成立，
当 时， ，
即 ，
综上： 的范围是 .
故答案为：A
【分析】分 和 两种情况解不等式.
2．【答案】B
【解析】【解答】
故答案为：
【分析】求解出集合 ，根据并集的定义求得结果.
3．【答案】B
【解析】【解答】解： ，
， ，
．
故答案为：B．
【分析】根据对数函数和指数函数的单调性，得出 ，即可判断 ， ， 的大小关系．
4．【答案】C
【解析】【解答】== ·= a4，故选C。
【分析】易错题，须细心计算。
5．【答案】B
【解析】【解答】解： ， ， ，根据对数函数的单调性故 .
故答案为：B.
【分析】结合题意由指对互花公式，结合对数函数的单调性即可比较出大小。
6．【答案】A
【解析】【解答】解：在同一坐标系内分别作出 以及 的图象，因为 ，所以 ．
故答案为：A
【分析】由题意利用指数函数的单调性和特殊点得出结论。
7．【答案】A
【解析】【分析】因为
所以，选.
8．【答案】A
【解析】【解答】因为，，，
所以.
故答案为：A.
【分析】化简，，，进而得到的大小关系，得到答案.
9．【答案】D
【解析】【分析】因为，所以函数y＝lgx－的零点所在的大致区间是(9，10)。选D
【点评】函数的图像在闭区间是连续不断的，且，则函数在上有零点。零点存在性定理只能判断函数在上有零点但没有判断出零点的个数。
10．【答案】A
【解析】【解答】，， ，所以，故选A.
【分析】比较大小一般的思路是先研究函数的单调性，再结合不等式的性质来求解，属于基础题。
11．【答案】C
【解析】【解答】原式
.
故答案为：C
【分析】根据指数和对数的运算性质计算可得.
12．【答案】B
【解析】【解答】解：函数f（x）=2x|log0.5x|﹣1，令f（x）=0，
在同一坐标系中作出y=（ ）x．与y=|log0.5x|，如图，
由图可得零点的个数为2．
故选B．
【分析】通过令f（x）=0，将方程的解转化为函数图象的交点问题，从而判断函数的零点个数．
13．【答案】C
【解析】【解答】函数y＝f（f（x））+1的零点，
即方程f[f（x）]＝﹣1的解个数，
⑴当a＝0时，f（x） ，
当x＞1时，x ，f（f（x））＝﹣1成立，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解
当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，
当x≤0时，f（x）＝1，f（f（x））＝0，∴方程f[f（x）]＝﹣1无解，
∴f（f（x））＝﹣1有1解，
故a＝0不符合题意，
⑵当a＞0时，
当x＞1时，x ，f（f（x））＝﹣1成立，
当0＜x＜1，log2x＜0，∴方程f[f（x）]＝﹣1有1解，
当 x≤0时，0＜f（x）≤1，∴f（f（x））＝﹣1有1解，
当x 时，f（x）＜0，∴f（f（x））＝﹣1有1解，
故，f（f（x））＝﹣1有4解，
⑶当a＜0时，
当x＞1时，x ，f（f（x））＝﹣1成立，∴f（f（x））＝﹣1有1解，
当0＜x≤1时，f（x）≤0． ，成立， 方程f[f（x）]＝﹣1无解，
当x≤0时，f（x）≥1， ，成立， 方程f[f（x）]＝﹣1无解，
故f（f（x））＝﹣1有1解，不符合题意，
综上：a＞0
故答案为：C
【分析】函数y＝f[f（x）]+1的零点个数，即为方程f[f（x）]＝﹣1的解的个数，结合函数f（x）图象，分类讨论判断，求解方程可得答案．
14．【答案】A,C
【解析】【解答】对于A，因为，所以A符合题意；
对于B，因为，所以B不符合题意；
对于C，因为，所以，而ab＜0，所以a+b<0，所以C符合题意；
对于D，，
所以D不符合题意；
故答案为：AC．
【分析】首先由对数的运算性质整理化简原式，结合对数的运算性质由不等式的简单性质，对选项逐一判断即可得出答案。
15．【答案】A,C,D
【解析】【解答】由题意，函数，作出函数的图象，如图所示，
根据图象可得，即，
设，则，
因为，则，
对于A中，由，所以A正确；
对于B中，令时，可得，所以B不正确；
对于C中，由，可得，所以C正确；
对于D中，由，所以D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据题意由对数函数的图象结合绝对值的几何意义，整理化简即可得出函数的解析式，由此结合对数函数的图象即可作出函数f(x)的图象，然后由数形结合法即可得出，再由指数幂的运算性质以及指数函数的性质，由此对选项逐一判断即可得出答案。
16．【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A，零点不是一个点，所以A不符合题意；
对于B，当 时， ，则 ，
由 得 ；由 得 ；
所以 在 上单调递增；在 上单调递减；
所以 时， 单调递增，则 ；
当 时， ，则 ，
由 得 ；由 得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增；
所以 时， ，即 ；
所以 ， ，使 ，即B符合题意；
对于C，由B中判断的函数的单调性，可得 和 为两个极小值；
且 ；所以 ，则 的值域为 ，C符合题意.
对于D， ，若 ，则 ；
则关于 的方程 有两个不相等的实数根
关于 的方程 有两个不相等的实数根
关于 的方程 有一个非零的实数根
函数 与 有一个交点，且 ，
当 时， ，当 变化时， ， 的变化情况如下：
-2 0
0 0
极大值 极小值
极大值 ，极小值 ；
当 时，
当 变化时， ， 的变化情况如下：
1 2
0
极小值
极小值 ，
画出函数 大致图像如下，
由图像可得，只需 或 ，
即 的取值范围是 ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】根据零点的概念，可判断A不符合题意；根据导数的方法判定 单调，求出 ，以及 时的值域，即可判断B符合题意；根据B中函数单调性，即可判断出C符合题意；根据题中条件，得到函数 与 有一个交点，且 ，用导数的方法判定函数 单调性，求出极值，结合函数图象，即可得出结果.
17．【答案】2
【解析】【解答】由题意可得： .
故答案为：2.
【分析】根据分段函数结合对数的定义运算求解.
18．【答案】
【解析】【解答】当 时， ，即函数 在区间 上的值域为 .
由于函数 的值域为 ，则函数 在区间 上单调递减，
且有 ，即 ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】求出函数 在区间 上的值域为 ，从而可得出函数 在区间 上单调递减，且有 ，得出关于实数 的不等式组，解出即可.
19．【答案】
【解析】【解答】因为函数 , 在 上恰有两个零点，
则必在 与 时恰好取到零点的边界，
若 时, 的零点满足 ，
解方程求得 或 ，
当 时, ,满足 在 上恰有两个零点，
则 ,且 ，
解方程可得 (舍)或 (舍)，
当 时, ,满足 在 上恰有两个零点，
则 ,且 ，
解方程可得 (舍)或 ，
综上可知,当 时满足 在 上恰有两个零点。
故答案为: 。
【分析】因为函数 , 在 上恰有两个零点，则必在 与 时恰好取到零点的边界，再利用分类讨论的方法结合零点存在性定理，从而求出实数b的最小值。
20．【答案】（1）解：设x∈[﹣1，0），则﹣x∈（0，1]，
f（﹣x）= = ，
∵f（x）是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），
∴f（x）=﹣ ，
∴f（x）=
（2）解：设﹣1＜x1﹣x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）=﹣ + = ，
∵x1＜x2，∴ ﹣ ＜0，﹣2＜x1+x2＜0，
∴ ﹣1＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＞0，
∴f（x）在[﹣1，0）递减
（3）解：方程 ﹣2x﹣m=0有解， 即m=4x+1﹣2x在（0，1]上有解，
令2x=t，t∈（1，2]，
t2﹣t+1∈（1，3]，
∴m∈（1，3]
【解析】【分析】1、本题考查的是函数奇偶性的应用以及解析式的求法。
2、本题考查的是用定义证明函数的单调性。
3、本题考查的是复合函数根的存在情况。
21．【答案】（1）解：由f（x）=x2及f（a+x）=kf（a﹣x），可得
（a+x）2=k（a﹣x）2，即为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，
需满足条件 ，解得 ，故k=1≠0，a存在，
所以f（x）=x2∈M
（2）解：由f（x）=sinx∈M得：sin（a+x）=ksin（a﹣x），
sinacosx+cosasinx=k（sinacosx﹣cosasinx），
所以（1+k）cosasinx+（1﹣k）sinacosx=0，
sin（x+φ）=0对任意的x∈R都成立，只有k2+2kcos2a+1=0，
即cos2a=﹣ （k+ ），由于|k+ |≥2（当且仅当k=±1时，等号成立），
所以|cos2a|≥1，又因为|cos2a|≤1，故|cos2a|=1．
其中k=1时，cos2a=﹣1，a=nπ+ ，n∈Z；
k=﹣1时，cos2a=1，a=nπ，n∈Z．
故函数f（x）的“伴随数对”为（nπ+ ，1）和（nπ，﹣1），n∈Z
（3）解：因为（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，
所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），于是f（x+4）=f（x），
故函数f（x）是以4为周期的函数．
若0＜x＜1，则1＜2﹣x＜2，此时f（x）=f（2﹣x）=﹣cos（ x），
若2＜x＜3，则1＜4﹣x＜2，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=﹣cos（ x），
若3＜x＜4，则0＜4﹣x＜1，此时f（x）=﹣f（4﹣x）=cos（ x），
f（x）= 故f（x）=
当2014≤x≤2016时，函数f（x）的零点分别为2014，2015，2016
【解析】【分析】（1）由题意可得（a+x）2=k（a﹣x）2，化为（1﹣k）x2+2a（1+k）x+（1﹣k）a2=0对x∈R成立，
需满足条件 ，解方程即可判断；（2）哟题意可得sin（a+x）=ksin（a﹣x），运用两角和差公式，化简结合余弦函数的值域即可得到所求数对；（3）由（1，1）和（2，﹣1）都是函数f（x）的“伴随数对”，所以f（1+x）=f（1﹣x）且f（2+x）=﹣f（2﹣x），可得f（x）为周期为4的函数，求得0＜x＜1，1＜x＜2，2＜x＜3，3＜x＜4，x=0，1，2，3，4的函数解析式，可得2014＜x＜2015，2015＜x＜2016，x=2014，2015，2016的解析式，即可得到所求零点．
22．【答案】（1）解：令 ，可得 ，即 ，解得
函数 的定义域为
（2）解：由（1）知函数 的定义域关于原点对称
由 ，可得函数 为奇函数
（3）解：设
设
∵
∴
∴
利用对数函数 在 上单调递增有，
即
故函数 在 上单调递减．
【解析】【分析】（1）利用对数型函数求定义域的方法，结合分式不等式的解法，从而求出函数 的定义域 ；
（2） 由（1）知函数 的定义域关于原点对称 ，利用奇函数的判断方法，从而讨论出函数 的奇偶性；
（3）利用复合函数的单调性判断方法，即同增异减，从而证出函数 在定义域上单调递减.
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