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7.3 复数的三角表示
一、选择题
1．（2023高一下·资阳期末）复数（ ）
A． B． C． D．
2． 瑞士数学家欧拉在 1748年得到复数的三角形式：（ 为虚数单位），根据该式，计算 的值为（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．
3．（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·昆明模拟）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．（2023高三上·铜仁期末）若复数（其中i是虚数单位），则（ ）
A．5 B．12 C．13 D．17
6．（2022高一下·宜春期末）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2021高一下·松江期末）欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，现有以下两个结论：①；②其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对
8．（2023高二下·安徽月考）棣莫佛公式（i为虚数单位，），是由法国数学家棣莫佛发现的.根据棣莫佛公式，复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
9．欧拉公式（为虚数单位，，为自然底数）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2022高三上·广东月考）已知复数，则（ ）．
A． B． C． D．1
12．（2022高三上·如皋月考）欧拉公式（其中，为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式建立了三角函数与指数函数的关系，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”根据欧拉公式，下列结论中正确的是（ ）
A．的实部为0
B．在复平面内对应的点在第一象限
C．
D．的共轭复数为
13．（2022·湖北模拟）瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下，被誉为“数学中的天桥”，据此（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．-i
14．（2022·开封模拟）已知 ， ， 是z的共轭复数，且 ，则 （ ）
A．2 B． C． D．
15．（2022·汝州模拟）欧拉公式（）被称为“上帝公式”、“最伟大的数学公式”、“数学家的宝藏”．尤其是当时，得到，将数学中几个重要的数字0，1，i，e，联系在一起，美妙的无与伦比．利用欧拉公式化简，则在复平面内，复数z对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
16．（2022高三上·阜阳期末）设，则（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题
17． 复数 的三角形式是 ．
18． 复数 的模是 ．
19． 设 对应的向量为 将 绕原点按顺时针方向旋转 所得向量对应的复数的虚部为 ．
20．（2022高一下·景德镇期末）已知复数，则 ．
21．若复数是纯虚数，则 ．
22．若复数 满足 ，，则 的代数形式是 ．
23．（2022高一下·广州期末）欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉提出的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，则复数的共轭复数为 ．
24．（2022高一下·杭州期中）欧立公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数——自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则 .
三、解答题
25．设满足，，求．
26．在复平面内，一个正方形的四个顶点按照逆时针方向依次为 ，，，（其中 为原点）．已知点 对应的复数 ，求 和 分别对应的复数 ，．
27． 把复数 与 对应的向量 ， 分别按逆时针方向旋转 和 后，与向量 重合且模相等，已知 ，求复数 的代数式和它的辐角主值．
28．（2023高一下·苏州期中）已知复数（其中是虚数单位，）.
（1）若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围.
29．（2023高一下·太原期中）已知复数，且为纯虚数.
（1）求实数的值；
（2）设复数，且复数对应的点在第二象限，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】利用诱导公式以及特殊角三角函数求出三角函数值即可求得复数.
2．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得： =cosπ+isinπ+1=-1+0+1=0，
故答案为：B.
【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断，可得答案.
3．【答案】C
【解析】【解答】由题意， ；
故答案选C。
【分析】考核复数的三角形式的复数运算。
4．【答案】B
【解析】【解答】由题意可得：对应的点为，
∵，则，
故位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】 根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断，可得答案.
5．【答案】C
【解析】【解答】因为，
所以．
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，结合复数模公式，以及三角函数的恒等变换公式，即可求解出答案.
6．【答案】D
【解析】【解答】由，知复数对应的点位于第四象限.
故答案为：D.
【分析】 对z化简，再结合复数的几何意义，即可求解出答案.
7．【答案】A
【解析】【解答】对①，由题意，，正确；
对②，原式==
=，正确.
故答案为：A.
【分析】对于①，由欧拉公式即可判断；对②，由欧拉公式可得原式=，由指数的运算性质化简，再结合欧拉公式即可判断。
8．【答案】C
【解析】【解答】由题意得 ，
故选：C
【分析】根据棣莫佛公式化简，即可求解出z的虚部.
9．【答案】A
【解析】【解答】解：令代入可得，
所以表示的复数在复平面内对应的点为，
则，
所以表示的复数在复平面内对应的点位于第一象限.
故答案为：B.
【分析】代入原式，可得，从而得到其复数在复平面内对应的点坐标，再判断横坐标和纵坐标的正负即可得出结论
10．【答案】B
【解析】【解答】解：令代入可得，
所以表示的复数在复平面内对应的点为，
所以表示的复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】代入原式，可得，从而得到其复数在复平面内对应的点坐标，再判断横坐标和纵坐标的正负即可得出结论.
11．【答案】A
【解析】【解答】因为复数，所以，
则，
故答案为：.
【分析】根据复数模的公式可得，进而求出答案.
12．【答案】C
【解析】【解答】对于A，，则实部为-1，A不符合题意；
对于B，对应的点为，
，，对应的点位于第二象限，B不符合题意；
对于C，，C符合题意；
对于D，，则其共轭复数为，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】 由欧拉公式 ，逐项进行分析判断，可得答案.
13．【答案】B
【解析】【解答】
，
故答案为：B
【分析】易知，再根据已知条件转化为即可求解.
14．【答案】D
【解析】【解答】 ，
，
∴ ， ，
∴ ，∴ .
故答案为：D.
【分析】根据复数的运算法则可得 ， ，再根据正切的二倍角公式可得答案。
15．【答案】D
【解析】【解答】由题意得 ，
所以复数z对应的点位于第四象限，
故答案为：D
【分析】先利用欧拉公式得，然后利用复数的运算性质求解出复数z，从而可求出复数z对应的点位于的象限.
16．【答案】C
【解析】【解答】设
所以.
故答案为：C.
【分析】首先由复数代数形式的运算性质整理，再结合复数模的概念即可得出答案。
17．【答案】
【解析】【解答】由题意，；
故答案为： 。
【分析】利用复数的代数式与三角形式转换，可求出结果。
18．【答案】3
【解析】【解答】由题意，以及 ；
可得 ；
故答案为3；
【分析】可根据复数的三角形式的定义，即可得到复数的模.
19．【答案】
【解析】【解答】由题意，所得向量对应的复数为： ，
故虚部为 。
故答案为。
【分析】此题利用复数的三角形式和代数式的运算。
20．【答案】1
【解析】【解答】∵
∴.
故答案为：1
【分析】根据复数模的运算可得答案.
21．【答案】-1
【解析】【解答】解：根据题意，
由移项可得，
又因为，
联立方程组解得或
所以，
故答案为：-1
【分析】根据纯虚数的概念可得，再与联立方程组可解得的值，从而可计算得出答案.
22．【答案】
【解析】【解答】设 ，则 ， ，
则 ，
∴ ，即 ，
解得 。
故答案为： 。
【分析】可设 ，则 ， ，再利用运算规则，即可得到答案。
23．【答案】1-i
【解析】【解答】由已知可得，
所以，，
因此，复数的共轭复数为1-i.
故答案为：1-i.
【分析】 由已知可得，再由复数代数形式的乘除运算化简，利用共轭复数的概念求出 复数的共轭复数 .
24．【答案】-i
【解析】【解答】解法一：则
；
解法二：∵
∴
故答案为：-i．
【分析】 法一：利用复数乘法运算法则能求出结果；法二：利用复数三角表示能求出结果.
25．【答案】解：由已知得，
即，
所以，
所以．
【解析】【分析】由已知条件，，可将复数转化为三角形式，再用恒等思想以及复数的除法运算即可求解.
26．【答案】解：由复数运算的几何意义知
【解析】【分析】此题考核了复数运算的几何意义以及乘除法。
27．【答案】解：由复数乘法的几何意义得
，
又
所以
所以 的辐角主值为 ．
【解析】【分析】利用乘除法的几何意义可得以及 ，可化简的 ，所以辐角主值为。
28．【答案】（1）解：若在复平面内表示的点在第三象限的角平分线上，
则，解得；
（2）解：若，
则，
由②得③，
将①③相加得，
故，
因为，
则当时，，当时，，
所以的取值范围为.
【解析】【分析】(1)由题意可得 的实部与虚部相等且小于0，由此列式求解出m的值；
(2)利用两复数的实部与实部、虚部与虚部相等列方程组，可得 关于sinθ的函数式，再由配方法求得最值，进而求出实数的取值范围.
29．【答案】（1）解：因为，
，
又为纯虚数，
，
解得.
（2）解：，
因为复数所对应的点在第二象限，
所以，
解得，
所以的取值范围是.
【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合纯虚数的定义，以及复数的四则运算，即可求解出实数的值；
(2)根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数的四则运算，即可求解出实数的取值范围.
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